辽宁省沈阳市第120中学2022-2023学年高一下学期6月第三次质量监测数学试题（Word版含答案）

沈阳市第120中学2022-2023学年高一下学期6月第三次质量监测
数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．一个用斜二测画法画出来三角形是一个边长为的正三角形，则原三角形面积是（ ）
A． B． C． D．
4．以下命题正确的是（ ）
A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
5．已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．“不以规矩，不成方圆”．出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具．有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点，，都在圆周上，角，，分别对应，，，满足．若，且，则（ ）
A． B．周长为
C．周长为 D．圆形木板的半径为
7．已知函数（其中，）在区间上单调，且，当时，取得最大值，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点，分别在线段和上，且满足，下底面的中心为点，点，分别为线段和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件
B．若，则存在唯一实数使得
C．已知，，则与的夹角为锐角的充要条件是
D．在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
10．已知直线，，两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面，，使，，且，
B．存在平面，，使，，且，
C．存在平面，使，，且
D．存在唯一的平面，使，且，与所成角相等
11．如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面 B．直线和平面所成的角为定值
C．异面直线和所成角不为定值 D．若直线平面，则点为线段中点
12．已知三棱锥所有棱长均为2，平面，为垂足，是中点，延长线交平面于点，延长线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若是棱上的动点，则的最小值为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数（，），若，为的两个零点，则当取得最小值时，__________．
14．已知圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为__________．
15．在平面四边形中（如图所示），，，，，若点为边上的动点，则的最小值为__________ ．
16．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，的两部分，则__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）已知复数（为虚数单位，）为纯虚数，和实数是关于的方程的两个根．
（1）求，的值；
（2）若复数满足，说明在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求该图形的面积．
18．（本题12分）在中，．
（1）求的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的角平分线的长．
19．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点．
（1）证明：平面．
（2）若四棱锥的体积为32，的面积为4，求到平面的距离．
20．（本题12分）桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达点．在点时测得点位于北偏西方向上，点位于北偏西方向上；在点时测得点位于北偏东方向上，点位于北偏东方向上，且在点时观测的仰角的正切值为．设点在地表水平面上的正投影为，点在地表水平面上的正投影为，，，，在地表水平面上的分布如图2所示．
（1）该山的高度为多少千米？
（2）已知该山的下底面圆的半径为，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
21．（本题12分）已知函数，的最小正周期为．
（1）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本题12分）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，是上一个动点，且．
（1）当时，求证：平面平面；
（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
沈阳市第120中学2022-2023学年高一下学期6月第三次质量监测
数学参考答案
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．B 2．D 3．C 4．C 5．B
6．B 7．A 8．A
二、多选题（本大题共4小题，共20分，在每小题有多项符合题目要求）
9．AD 10．ABC 11．AD 12．ACD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13． 14． 15． 16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解：（1）因为为纯虚数，
所以，即
解得，
此时，由韦达定理得，∴．
（2）复数满足，即，
所以所求点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，
．
18．（本题12分）（1） （2）正确条件为①③，（ⅰ），（ⅱ）
【详解】（1）由题设，而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③．
（ⅰ）由，则，即，
又，可得，所以，可得，
则，故；
（ⅱ）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
19．（本题12分）（1）证明：取的中点，连接，．
因为，分别是，的中点，所以，且．
又底面是平行四边形，且分别是的中点，所以，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为是的中点，所以的面积是平行四边形面积的．
因为是的中点，所以三棱锥的高是四棱锥的高的．
因为四棱锥的体积为32，所以三棱锥的体积为．
设到平面的距离为，
因为的面积为4，所以，得，即到平面的距离为3．
20．（本题12分）【详解】（1）由题意可知，，
∴，在中，由正弦定理，
，，
又∵点观测时仰角的正切值为，，
所以，该山的高度为0.4千米．
（2）设的外接圆为圆，
∵，根据圆的性质，，，，四点共圆
在中，由正弦定理，圆直径为，
在中，由正弦定理，
延长与圆台交于点，
由题意下底面圆半径为，圆台的母线长可在直角中由勾股定理得为0.5．
圆台的侧面积，
圆台的上底面面积，
所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．
21．（本题12分）【详解】（1）
，
∵的最小正周期为，，∴，．
那么的解析式，
方程在上有且有一个解，
转化为函数与函数在上只有一个交点．
∵，∴．
因为函数在上增，在上减，
且，，，
∴或，所以或．
（2）由（1）可知，∴．
实数满足对任意，都存在，使得成立．
即成立，令，
设，那么，
∵，∴，可得在上恒成立．
令，其对称轴，∵上，
∴①当时，即，，所以；
②当，即时，，所以；
③当，即时，，所以；
综上可得，存在，可知的取值范围是．
22．（本题12分）（1）当时，为中点，
因为是的中点，所以，，
则四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为，分别是，中点，所以．
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面平面．
（2）如图，连接，与，
因为平面，平面，所以．
若，又，平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
在矩形中，由，得，所以．
又，，所以，，则，即．