三角形的概念（复习）.[下学期]
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文档简介
三角形的概念（复习）
重 点 难 点 分 析
一、三角形的概念
三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图02-1：△ABC有三个顶点：点A，点B，点C，
有三条边：AB， AC，BC。 有三个内角：∠A，∠B，∠C。 还有三个外角：分别延长AB、BC、CA。所得∠1、∠2、∠3叫做三角形的外角。
三角形中边与角的位置关系：如图1，BC边叫做∠A的对边，AC边叫做∠B的对边，AB边叫做∠C的对边。AB、AC边叫做∠A的邻边，BA、BC边叫做∠B的邻边，CA、CB边叫做∠C的邻边。
二、三角形的三条重要线段
1.三角形的角平分线
三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
每一个三角形都有三条角平分线。且三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心，如图02-2，如果AD、BE、CF分别是△ABC的角平分线，那么有：
2. 三角形的中线
三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
每一个三角形都有三条中线，且三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，如图02-3。如果AD、BE、CF分别是△ABC的中线，那么有：
3.三角形的高
三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
每一个三角形都有三条高线，三条高线或延长线也相交于一点，这点叫做三角形的垂心，如图02-4，当△ABC为锐角三角形时，三条高都在三角形内部。如果AD、BE、CF是三角形的三条高，那么有：AD⊥BC于D BE⊥AC于E CF⊥AB于F。
当△ABC为直角三角形时，有两条高恰好是它的两条边，那AC边上的高是BC边，BC边上的高是AC边，AB边上的高是CD。
当△ABC为钝角三角形时，有两条高在三角形的外部与两条边的延长线相交，即：BC边上的高AD，AC边上的高为BE，AB边上的高是CF。
注意：三角形的角平分线，中线和高都是线段，在画图时不能画成直线，射线。
三、三角形三条边的关系
1.三角形按边分类：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等边三角形： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形按边的相等关系分类：
2.三角形三边的关系：
对于任何一个三角形，如果把任意两个顶点看作定点，联结这两个定点的线有两条，一条是线段，另一条是折线，由公理“联接两点的所有线中，线段最短”得出：
如图02-5
由此得出：
定理：三角形两边之和大于第三边。
推理：三角形两边之差小于第三边。
说明：定理及推论是指任意三角形三条边所具有的性质，同时又说明只有具有“两条线段之和大于第三条线段”或“两条线段之差小于第三条线段”的三条线段才能组成三角形图形，否则是组不成三角形的。例如：三条线段的长分别为3cm,5cm和10cm，就不能组成三角形图形，不信你自己动手试试。
四、三角形的内角和
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
此定理对任意三角形都成立，证明方法很多，可用已学过的平行线的性质，介绍几种添加辅助线的方法。
方法一： 如图02-6，过△ABC中的顶点A作EF//BC，由平行线的性质，可推出∠1=∠B，∠2=∠C。因为∠1+∠BAC+∠2=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°。
方法二：
02-7，延长△ABC中的BC到D，过C点作CE//AB，由平行线的性质可推出∠1=∠B，∠2=∠A，因为∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°。
方法三，如图02-8，在△ABC中BC边上任取一点D，过点D作DE//AB交AC于E，过点D作DF//AC交AB于F，由平行线的性质可推出：∠1=∠C， ∠3=∠B，∠2=∠4=∠A，因为∠1+∠2+∠3=180°， 所求∠A+∠B+∠C=180°此定理是我们求三角形内角度数的重要途径。
2.三角形按角分类
说明：三角形有两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分类方法分辩清楚。
3.三角形内角和定理的推论
推论1.直角三角形的两个锐角互余即：如图02-9在△ABC中，∠C=90°那么∠A+∠B=90°
推论2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。即：如图02-10∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD=∠A+∠B。
推论3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
即：如图02-11∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。
注意：三角形的任何一个外角与相邻内角是邻补角，与不相邻的两个内角和相等且大于任何一个不相邻的内角。应用时要搞清楚外角与内角的位置关系，正确运用。
五、应用举例
例1.填空题：已知△ABC中，a=6,b=14则C边的取值范围是____。
分析：根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边列出不等式。
解：∵b-a例2.填空题：已知一个等腰三角形的两边分别是9cm和7cm，则它的周长是______cm。
分析：若这个等腰三角形的腰长为9cm,则三边分别为9cm,9cm,7cm，满足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为7cm，7cm,9cm，也成立。
解：这个等腰三角形的周长为25cm或23cm。
例3．已知一个等腰三角形ABC的周长为10cm，且三边长都是整数，求三边长．
思路分析：在△ABC中，设AB=AC，则
AB+AC+BC=10，即2AB+BC=10
∴AB=
∵三边长都为整数，∴BC必为偶数
∴BC只能取2，4，6，8
对应AB(AC)为4，3，2，1
∵AB=AC=2，BC=6时，AB+AC＜BC
与定理三角形两边之和大于第三边矛盾
∴此时△ABC不存在
同理：AB=AC=1，BC=8时，△ABC也不存在
故△ABC的三边长可能取值为：4cm，4cm，2cm或3cm，3cm，4cm
本例在求解过程中，未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关系定理，把不合题意两组解除去．解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了不重不漏．
例4．如图，△ABC的三条内角平分线相交于I，IG⊥BC于G，求证：∠BID=
∠CIG
思路分析：从题设及观察图形可知
∠CIG=90°－∠BCF（直角三角形两锐角互余）
=90°－∠ACB（角平分线定义）
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°（三角形内角和定理）
∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC（移项）
∴∠CIG=90°－（180°－∠ABC－∠BAC）（等量代换）
=90°－90°+∠ABC+∠BAC（去括号）
=∠ABC+∠BAC（合并同类项）
∵∠ABE=∠ABC，∠BAD=∠BAC（角平分线定义）
∴∠CIG=∠ABE+∠BAD（等量代换）
∵∠BID=∠ABE+∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠CIG=∠BID（等量代换）
本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定的目标推进，终于达到目的．这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈来愈明朗化，趋近于要证的结论．这是我们求索几何思路十分有效的方法之一．同学们在今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题能力达到一个新的层次．
学习时应注意的问题
（1）三角形的角平分线、中线和高是线段，而不是射线，也不是直线。
（2）三角形两边的和大于第三边。当a+b>c,b+c>a,c+a>b都能成立时，以a、b、c为三边，可以构成三角形。若a是最长的线段，且有b+c>a，则以a、b、c为三边，可以构成三角形。若c是最短线段，且有c>|a-b|时，以a、b、c为三边，可以构成三角形。
（3）三角形的一个外角大于任一个与它不相邻的内角而不是三角形的外角大于它的每一个内角。
专题测试
1、 填空题
1. 如图1-1-13，AD是△ABC的角平分线，
那么有∠ ∠ .
如图1-1-14，已知AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线，那 么有AC=2 ，BD= ， .
2. 如图1-1-15，已知BE∥CD，∠1=95°，∠2=28°，那么∠CAB= .
3. 在△ABC中，AB=6，BC=11，那么4. 如图1-1-16，已知在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高，BD、CE交于H，图中
有 个直角三角形，它们是 .
图1-1-14 图1-1-15 1-1-16图
5. 在上题中，如果∠DBC=32°，∠ECB=40°，那么∠DHC= ，∠EHD ，
∠BCD= .
6. 如果等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是7cm，那么这种三角形有 个，
它们的周长分别是 .
7. 已知在△ABC中，∠C+∠A=2∠B，∠C-∠A=80°，那么∠A= ，∠B= .
2、 选择题
1.三角形的角平分线是（ ）
（A）直线 （B）线段 （C）射线 （D）垂线段
2.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（ ）.
（A）90° （B）105° （C）120° （D）130°
3.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么这个三角形是（ ）.
（A） Rt△ (B)钝角△ （C）锐角△ （D）不能确定
4.如图1-1-17，在△ABC中，∠A=70°，BO、CO分别是∠B、∠C的平分线，那么∠BOC的度数为（ ）.
（A）55° （B）125° （C）110° （D）100°
5.已知三角形三边长分别是4、1+2a、9，那么，实数a的取值范 图1-1-17
围是（ ）.
（A）36.一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是（ ）.
（A）5或7 （B）7或9 （C）9或11 （D）11
7.下列说法中，正确的是（ ）.
A、 个锐角△，一定不是等腰△ B、个等腰△，一定是锐角△
C、 直角△，一定不是等腰△ D、个等边△，一定不是钝角△
8.任意一个三角形的三个内角中，至少有（ ）.
（A）一个锐角 （B）一个钝角 （C）两个锐角 （D）一个直角
9.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）.
（A）等腰三角形（B）锐角三角形 （C）直角三角形（D）钝角三角形
10.如图1-1-18，已知△ABC中，∠B和∠C的外角平分线交于M，那么，∠BMC=（ ）.
（A）（90°-∠A） （B）90°-∠A
（C）（180°-∠A） （D）180°-∠A
图1-1-118
3、 解答、证明题
1. 已知一个等腰三角形的周长是21cm，腰长是底边长的三倍.求各边的长.
2. 如图1-1-19，已知在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于P点，∠A=70°，∠ABE=25°，∠ACD=38°.
求：∠BEC和∠CPE的度数.
图1-1-19
3、如图1-1-20，已知在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，AE为BC边上的高.求∠DAE的度数.
4、 图1-1-21，已知在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB于D，
∠ADC的平分线DE交AC于E. 求证DE∥BC
图1-1-20 图1-1-21
专题测试
一、填空题
1.∠DAC、∠BAC 2.AC=2AE、BD=DC，AF=AB 3.67° 4.5△CEB、△HDC、△HEB 6.72°、108°、58° 7.2、24cm 27cm 8.20°、60° 9.< 10.22
二、选择题
1. B； 2.A； 3.C； 4.B； 5.B； 6.B； 7.D； 8.C； 9.C； 10.C
三、解答、证明题
1.3cm、9cm、9cm
2.95°、47°
3.10°
4.【证】由已知可得出∠ACB=60°，由∠1=∠2=30°再得出∠ADC=60°.
又∠3=∠4=30°，
∴ ∠1=∠3，则DE∥BC
重 点 难 点 分 析
一、三角形的概念
三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图02-1：△ABC有三个顶点：点A，点B，点C，
有三条边：AB， AC，BC。 有三个内角：∠A，∠B，∠C。 还有三个外角：分别延长AB、BC、CA。所得∠1、∠2、∠3叫做三角形的外角。
三角形中边与角的位置关系：如图1，BC边叫做∠A的对边，AC边叫做∠B的对边，AB边叫做∠C的对边。AB、AC边叫做∠A的邻边，BA、BC边叫做∠B的邻边，CA、CB边叫做∠C的邻边。
二、三角形的三条重要线段
1.三角形的角平分线
三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
每一个三角形都有三条角平分线。且三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心，如图02-2，如果AD、BE、CF分别是△ABC的角平分线，那么有：
2. 三角形的中线
三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
每一个三角形都有三条中线，且三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，如图02-3。如果AD、BE、CF分别是△ABC的中线，那么有：
3.三角形的高
三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
每一个三角形都有三条高线，三条高线或延长线也相交于一点，这点叫做三角形的垂心，如图02-4，当△ABC为锐角三角形时，三条高都在三角形内部。如果AD、BE、CF是三角形的三条高，那么有：AD⊥BC于D BE⊥AC于E CF⊥AB于F。
当△ABC为直角三角形时，有两条高恰好是它的两条边，那AC边上的高是BC边，BC边上的高是AC边，AB边上的高是CD。
当△ABC为钝角三角形时，有两条高在三角形的外部与两条边的延长线相交，即：BC边上的高AD，AC边上的高为BE，AB边上的高是CF。
注意：三角形的角平分线，中线和高都是线段，在画图时不能画成直线，射线。
三、三角形三条边的关系
1.三角形按边分类：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等边三角形： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形按边的相等关系分类：
2.三角形三边的关系：
对于任何一个三角形，如果把任意两个顶点看作定点，联结这两个定点的线有两条，一条是线段，另一条是折线，由公理“联接两点的所有线中，线段最短”得出：
如图02-5
由此得出：
定理：三角形两边之和大于第三边。
推理：三角形两边之差小于第三边。
说明：定理及推论是指任意三角形三条边所具有的性质，同时又说明只有具有“两条线段之和大于第三条线段”或“两条线段之差小于第三条线段”的三条线段才能组成三角形图形，否则是组不成三角形的。例如：三条线段的长分别为3cm,5cm和10cm，就不能组成三角形图形，不信你自己动手试试。
四、三角形的内角和
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
此定理对任意三角形都成立，证明方法很多，可用已学过的平行线的性质，介绍几种添加辅助线的方法。
方法一： 如图02-6，过△ABC中的顶点A作EF//BC，由平行线的性质，可推出∠1=∠B，∠2=∠C。因为∠1+∠BAC+∠2=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°。
方法二：
02-7，延长△ABC中的BC到D，过C点作CE//AB，由平行线的性质可推出∠1=∠B，∠2=∠A，因为∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°。
方法三，如图02-8，在△ABC中BC边上任取一点D，过点D作DE//AB交AC于E，过点D作DF//AC交AB于F，由平行线的性质可推出：∠1=∠C， ∠3=∠B，∠2=∠4=∠A，因为∠1+∠2+∠3=180°， 所求∠A+∠B+∠C=180°此定理是我们求三角形内角度数的重要途径。
2.三角形按角分类
说明：三角形有两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分类方法分辩清楚。
3.三角形内角和定理的推论
推论1.直角三角形的两个锐角互余即：如图02-9在△ABC中，∠C=90°那么∠A+∠B=90°
推论2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。即：如图02-10∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD=∠A+∠B。
推论3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
即：如图02-11∠ACD是△ABC的一个外角，那么∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。
注意：三角形的任何一个外角与相邻内角是邻补角，与不相邻的两个内角和相等且大于任何一个不相邻的内角。应用时要搞清楚外角与内角的位置关系，正确运用。
五、应用举例
例1.填空题：已知△ABC中，a=6,b=14则C边的取值范围是____。
分析：根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边列出不等式。
解：∵b-a
分析：若这个等腰三角形的腰长为9cm,则三边分别为9cm,9cm,7cm，满足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为7cm，7cm,9cm，也成立。
解：这个等腰三角形的周长为25cm或23cm。
例3．已知一个等腰三角形ABC的周长为10cm，且三边长都是整数，求三边长．
思路分析：在△ABC中，设AB=AC，则
AB+AC+BC=10，即2AB+BC=10
∴AB=
∵三边长都为整数，∴BC必为偶数
∴BC只能取2，4，6，8
对应AB(AC)为4，3，2，1
∵AB=AC=2，BC=6时，AB+AC＜BC
与定理三角形两边之和大于第三边矛盾
∴此时△ABC不存在
同理：AB=AC=1，BC=8时，△ABC也不存在
故△ABC的三边长可能取值为：4cm，4cm，2cm或3cm，3cm，4cm
本例在求解过程中，未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关系定理，把不合题意两组解除去．解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了不重不漏．
例4．如图，△ABC的三条内角平分线相交于I，IG⊥BC于G，求证：∠BID=
∠CIG
思路分析：从题设及观察图形可知
∠CIG=90°－∠BCF（直角三角形两锐角互余）
=90°－∠ACB（角平分线定义）
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°（三角形内角和定理）
∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC（移项）
∴∠CIG=90°－（180°－∠ABC－∠BAC）（等量代换）
=90°－90°+∠ABC+∠BAC（去括号）
=∠ABC+∠BAC（合并同类项）
∵∠ABE=∠ABC，∠BAD=∠BAC（角平分线定义）
∴∠CIG=∠ABE+∠BAD（等量代换）
∵∠BID=∠ABE+∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠CIG=∠BID（等量代换）
本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定的目标推进，终于达到目的．这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈来愈明朗化，趋近于要证的结论．这是我们求索几何思路十分有效的方法之一．同学们在今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题能力达到一个新的层次．
学习时应注意的问题
（1）三角形的角平分线、中线和高是线段，而不是射线，也不是直线。
（2）三角形两边的和大于第三边。当a+b>c,b+c>a,c+a>b都能成立时，以a、b、c为三边，可以构成三角形。若a是最长的线段，且有b+c>a，则以a、b、c为三边，可以构成三角形。若c是最短线段，且有c>|a-b|时，以a、b、c为三边，可以构成三角形。
（3）三角形的一个外角大于任一个与它不相邻的内角而不是三角形的外角大于它的每一个内角。
专题测试
1、 填空题
1. 如图1-1-13，AD是△ABC的角平分线，
那么有∠ ∠ .
如图1-1-14，已知AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线，那 么有AC=2 ，BD= ， .
2. 如图1-1-15，已知BE∥CD，∠1=95°，∠2=28°，那么∠CAB= .
3. 在△ABC中，AB=6，BC=11，那么
有 个直角三角形，它们是 .
图1-1-14 图1-1-15 1-1-16图
5. 在上题中，如果∠DBC=32°，∠ECB=40°，那么∠DHC= ，∠EHD ，
∠BCD= .
6. 如果等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是7cm，那么这种三角形有 个，
它们的周长分别是 .
7. 已知在△ABC中，∠C+∠A=2∠B，∠C-∠A=80°，那么∠A= ，∠B= .
2、 选择题
1.三角形的角平分线是（ ）
（A）直线 （B）线段 （C）射线 （D）垂线段
2.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（ ）.
（A）90° （B）105° （C）120° （D）130°
3.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么这个三角形是（ ）.
（A） Rt△ (B)钝角△ （C）锐角△ （D）不能确定
4.如图1-1-17，在△ABC中，∠A=70°，BO、CO分别是∠B、∠C的平分线，那么∠BOC的度数为（ ）.
（A）55° （B）125° （C）110° （D）100°
5.已知三角形三边长分别是4、1+2a、9，那么，实数a的取值范 图1-1-17
围是（ ）.
（A）3
（A）5或7 （B）7或9 （C）9或11 （D）11
7.下列说法中，正确的是（ ）.
A、 个锐角△，一定不是等腰△ B、个等腰△，一定是锐角△
C、 直角△，一定不是等腰△ D、个等边△，一定不是钝角△
8.任意一个三角形的三个内角中，至少有（ ）.
（A）一个锐角 （B）一个钝角 （C）两个锐角 （D）一个直角
9.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）.
（A）等腰三角形（B）锐角三角形 （C）直角三角形（D）钝角三角形
10.如图1-1-18，已知△ABC中，∠B和∠C的外角平分线交于M，那么，∠BMC=（ ）.
（A）（90°-∠A） （B）90°-∠A
（C）（180°-∠A） （D）180°-∠A
图1-1-118
3、 解答、证明题
1. 已知一个等腰三角形的周长是21cm，腰长是底边长的三倍.求各边的长.
2. 如图1-1-19，已知在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于P点，∠A=70°，∠ABE=25°，∠ACD=38°.
求：∠BEC和∠CPE的度数.
图1-1-19
3、如图1-1-20，已知在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，AE为BC边上的高.求∠DAE的度数.
4、 图1-1-21，已知在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB于D，
∠ADC的平分线DE交AC于E. 求证DE∥BC
图1-1-20 图1-1-21
专题测试
一、填空题
1.∠DAC、∠BAC 2.AC=2AE、BD=DC，AF=AB 3.67° 4.5
二、选择题
1. B； 2.A； 3.C； 4.B； 5.B； 6.B； 7.D； 8.C； 9.C； 10.C
三、解答、证明题
1.3cm、9cm、9cm
2.95°、47°
3.10°
4.【证】由已知可得出∠ACB=60°，由∠1=∠2=30°再得出∠ADC=60°.
又∠3=∠4=30°，
∴ ∠1=∠3，则DE∥BC