河南省鹤壁市2022-2023学年高二下学期6月第五次段考数学试题（Word版含答案）

鹤壁市2022-2023学年高二下学期6月第五次段考
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．满足等式的集合共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若，则（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
4．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
5．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（ ）
A． B． C． D．
8．对任意，函数满足，若方程的根为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20．0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知，则对应的的集合为
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4
10．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则 B．若实数，则
C． D．若实数，则
11．已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．的图象关于点对称
C．函数在处取得最小值 D．函数没有最大值
12．已知函数，对定义域内任意，都有．若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
三、填空题（本大题共5小题，共25．0分）
13．若集合，则集合的非空真子集的个数为_________________．
14．如果恒成立，则实数的取值范围是_____________．
15．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_________________．
16．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是_________________．
四、解答题（本大题共6小题，共72．0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）已知．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）若，求的值域．
18．（本小题12分）在中，内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求．
19．（本小题12分）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
20．（本小题12分）如图，在直三棱柱中，，点是的中点，点在上，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求粗圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，过原点的直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，直线与轴分别交于点．问：轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
22．（本小题12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个实数解，求的最大整数值．
鹤壁市2022-2023学年高二下学期6月第五次段考
数学答案
1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．ABCD 10．AD 11．BC 12．ABD
13．254 14．（－2，0] 15．[－2，8] 16．[3，4）
17．【答案】解：（1）
，
令，则
的对称轴为，最小正周期；
（2）当时，，所以，
所以．
18．解：（1），
由正弦定理得，
则，即，
∵在中，，∴，又，∴解得；
（2）在中，，
由余弦定理得，
∵，∴，∴．
19．解：（1），
则①，∴②；
由②－①得：；
∴当且时，，
又也符合上式，因此；
（2）∵，
∴，
即原不等式成立．
20．解：（1）证明：取的中点，连接，
因为点是的中点，所以，
在直三棱柱中，，又点在上，
所以，所以四点共面，
因为平面，平面平面，所以，
因为，点是的中点，所以，
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）可知，
所以四边形是平行四边形，则，
设，
在中，，
所以，
所以三棱锥的体积为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当三棱锥的体积最大时，，
则，
因为平面，所以平面，又、平面，
所以，又，则两两垂直，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，则，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．解：（Ⅰ）由题意得，又
解得，所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知，
则直线的方程为，直线的方程为，
则点坐标为点坐标为．假设存在定点使得，
即（也可以转化为斜率来求），即
即，即所以，
所以存在点坐标为满足条件．
22．解：（1）∵，
∴，
①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减；
②当，即时，
由，解得，由，解得，
由，解得，或，
此时，在和上递减，在上递增；
③当，即时，
由，解得或舍，
由，解得，由，解得，
此时，在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）令，
则，
由（1）知，当时，在上单调递减，
∴在上至多有一个零点，不符合题意舍去，∵a是整数，∴，
当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
若在上有两个零点，则有，
∵，
令，则，∴，
则，∴在上单调递增，
又∵，．存在唯一的，使得，
当时，，此时，
若，则，
令，则在上单调递增，
又∵，∴，
当时，，此时，，
∴，∴当时，成立，
∴a的最大整数值为－1．