内蒙古自治区乌兰察布市2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题（Word版含答案）

乌兰察布市2022-2023学年高一下学期6月联考
（数学）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，已知是边延长线上一点，若为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
7．在矩形中，是矩形内（不含边框）的动点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点测得的仰角为（单位：）（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A． B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则 D．
10．如图，在中，，直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知是单位向量，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．在上投影向量的坐标为
C． D．与的夹角为
12．在中，内角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数（其中为虚数单位），则___________．
14．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和，则该棱台的高为_________．
15．记的内角的对边分别为，则_____________．
16．已知向量，则与夹角的余弦值为______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知复数，设．
（1）求复数；
（2）若复数满足，求．
18．（12分）已知向量满足．
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角．
19．（12分）在中，内角所对的边分别为．
（1）证明：；
（2）若，且，求的周长．
20．（12分）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，
如图所示，若被截正方体的棱长是．
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观，工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
21．（12分）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）设，求的取值范围．
22．（12分）在中，内角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求；
（2）若且，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案及解析
一、选择题
1．B 【解析】．故选B项．
2．A 【解析】由，得．故选A项．
3．B 【解析】依题意底面半径，高，所以母线，所以圆锥的侧面积．故选B项．
4．B 【解析】，，代入可得，可得．故选B项．
5．D 【解析】把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，
设原来梯形的上底为，下底为，高为，则直观图中等腰梯形的高为，因为直观图的面积为，所以，所以原梯形的面积为．故选D项．
6．A 【解析】因为向量的夹角为，且，所以，，因此，所以向量与向量的夹角为．故选A项．
7．C 【解析】记，则，所以时，取最小值．故选C项．
8．C 【解析】在中，，所以，又，由正弦定理可得，在中，，所以．故选C项．
二、选择题
9．AD 【解析】因为，A项正确；复数的虚部为－1，B项错误；若，则，C项错误；设，所以，，D项正确．故选AD项．
10．BC 【解析】对于A项，因为，所以，则，故A项错误；对于B项和C项，因为三点共线，由共线定理可知存在实数，使得，设，所以，所以觉得，显然成立，因为，所以，故B，C项正确；对于D项，因为，所以是的中点，因此，由上可知，得，故D项错误．故选BC项．
11．ACD 【解析】由可得，故，A项错误；，C项错误；，故与的夹角为，D项错误；在上投影向量的坐标为，B项正确．故选ACD项．
12．ABD 【解析】因为，所以，所以，故A项正确；因为，利用正弦定理可得，因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，又，所以，故B项正确；因为，所以，所以，因为，所以，故C项错误；，故D项正确．故选ABD项．
三、填空题
13． 【解析】因为，所以，所以．
14．3 【解析】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，对角线长为9，则高为．
15．1 【解析】由题和正弦定理得，则有，整理得．因为，所以，则，因为，所以，又，则由正弦定理有，因为，所以，所以，所以，所以．
16． 【解析】设，则，因为，所以，即．又，所以．由解得所以．设与的夹角为，则，即与夹角的余弦值为．
四、解答题
17．解：（1），
（2）设复数（其中）．
由，得，
所以，解得．
由，得，
所以，解得，
所以．
18．解：（1），所以，
所以．
（2）因为，所以，
所以，所以．
令与的夹角为，则，
因为，所以，
故与的夹角为．
19．（1）证明：因为，
所以．
根据正弦定理有．
（2）解：由可得，
所以．
在中，由余弦定理可得，
即，解得或，
因此的周长为18或20．
20．解：（1）正方体的体积为，
石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱长为，
故一个小正三棱锥的体积为，
故石凳的体积为．
（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，
则石凳的表面积为．
，
则粉刷一个石凳需要元．
21．解：（1）因为为上靠近的三等分点，所以可得，
又，且，所以，
则
即．
（2）根据题意，因为，故以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
设，则，
因为点在上运动，故可设其坐标为，
则，
由，可得，
则，
因为，所以，
故．
22．解：（1）若选①，，
由余弦定理得，
所以，
又，所以．
若选②，根据正弦定理边化角得，，
所以，
又，所以，
所以，
因为，所以．
（2）由正弦定理边化角得，
因为，
所以，
又，可得，
由，得，
得，
所以．