广东省阳江市第三中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（含解析）

阳江市第三中学2022-2023学年高二下学期5月月考
数学
(时间：120分钟，分值：150分，范围：数列，导数，计数原理，随机变量及其分布)
2023.5.30
第I卷（选择题）
一、单选题(共8小题，每小题5分，满分40分)
1．已知等差数列，若，，则公差为（ ）
A． B．4 C．1 D．2
2．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）
A．23 ， 5 B．5 ， 4 C． D．
4．在的展开式中第4项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有
A．12种 B．18种 C．24种 D．48种
8．在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
二、多选题(共4小题，每小题5分，满分20分，错选、多选不得分，漏选得2分)
9．下列式子正确的有（ ）
A． B．
C． D．，
10．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设随机变量的分布列为，则
A． B．
C． D．
12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B.
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
第II卷（非选择题）
三、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)
13．已知随机变量，若，则________
14．的展开式中的系数为_______________.
15．设为非负实数，随机变量的概率分布为：
0 1 2
则的最大值为__.
16．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
(
2
)
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）已知的二项式系数之和为64，求展开式中的系数.
（2）解不等式.
18.（本小题满分12分）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若函数在上严格递减，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%）.某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，.
(1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）已知等差数列前项和为，数列前项的积为.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
(1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
(2)在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
22.（本小题满分12分）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
阳江市第三中学2022-2023学年高二下学期5月月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A A D D C B CD CD ABC AB
1．D
【详解】设公差为，由，，所以.
2．D
【详解】设等比数列的公比为，则，所以，.
3．A
【详解】，，
所以在上，，函数单调递增，，
4．A
【详解】解：的展开式中第4项的二项式系数为
5．D
【详解】由题意，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，
可得，，根据条件概率的计算公式，可得.
6．D
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，排除AC；当时，，
此时图像在轴的上方，排除B.
7．C
【详解】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.
8．B
【详解】由可知：当为奇数时，，当为偶数时，，
所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2
故
9．CD
【详解】对于选项A，，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B错误.
对于选项C，，所以选项C正确；
对于选项D，，所以选项D正确；
10．CD
【详解】因为，
令，则，故A错误；
令代入，得，故C正确；
令代入，得，
因为二项式的展开式的第项为，
所以所以,故B错误；
所以当为奇数时，为负数；即（其中为奇数），
所以；故D正确.
11．ABC
【详解】随机变量的分布列为,
， 解得，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
12．AB
【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，
又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，
又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，
又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，
对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；
对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；
对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；
13．/
【详解】，故，所以，
14．40
【详解】因为的展开式的通项，
令和，可得的系数为.
15．/
【详解】由已知可得，所以.
因为，所以，所以的最大值是．
16．(4，5)
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
17.【详解】（1）由题意知，二项式系数之和，
所以
所以，
所求的系数为.
（2）在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈，
原不等式化为：，
即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
18.【详解】（1）
函数在处的切线方程为；
（2）对任意恒成立
故，解得，
故的取值范围为.
19.【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）X的可能取值为0，2，4，6，
，
，
，
，
则X的分布列为
X 0 2 4 6
P
所以.
20.【详解】（1）是等差数列，，
即：，又， ，
.
又，
当时，，符合上式，
.
由（1）得，则
①
①乘以3得：
②
②得：
=
所以
21.【详解】（1）设x个红球y个白球，，因为，
所以或或．
∴符合题意的取法种数有种．
（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有种，
第二步，再排，先把两个白球全排列，再选2个红球捆绑在一起，和另外一个红球插空，共有，
根据分步计数原理可得，种．
22.【详解】（1）的定义域为，
当时，，
∴，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2），令，
若，则，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当时，f（x）在上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为，
，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴g（x）单调递增，
∴在上的最小值为，
由题意可知，解得，