(共36张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
人教A版（2019）高中数学选择性必修一第二章2.4《圆的方程》
课堂教学
在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
两点;
一点、倾斜角
复习引入
y
O
x
形
数
解析几何的基本思想
几何问题代数化
欣赏生活中美丽的圆
欣赏生活中美丽的圆
欣赏生活中美丽的圆
车行天下
赵州桥----国际土木工程历史古迹
欣赏生活中美丽的圆
毕达哥拉斯学派
一切空间图形中，
球形是最美的图形.
一切平面图形中，
圆形是最美的图形.
圆
圆心、半径
2.确定一个圆的基本要素是什么？
1.圆的定义是什么？
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
思考
C
r
x
y
O
根据两点间距离公式,即
_________________
在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
两边平方,得
____________________
|MC|与r的关系:_______
|MC|=r
M(x, y)
C(a,b)
设圆心C(a,b)和圆上任意一点M(x,y),半径为r.
探究新知
x
y
O
1.括号内x,y的系数都为______
2.括号内连接符号为____,括号外连接符号为___
特点：
特别：
圆的标准方程
(x- ) 2 + (y- ) 2 = r2
>0
3.圆上点_______;圆心_______;半径_____
1
-
+
当圆心在原点(0,0)上时,圆的方程为：
>0
探究新知
思考辨析
判断下列方程是圆的方程吗？
1.根据下列条件，求出圆的标准方程
(1)圆心为(1, 2),半径为2，___________________
(2)圆心为(0, -3),半径为，__________________
小试牛刀
2.根据圆的标准方程，求出圆心和半径.
小试牛刀
(1)圆
的圆心是______，半径是___
(2)圆
的圆心是______，半径是____
(-1, 0)
(0, -2)
2
典例分析
例1 求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上.
解: 圆心是A(2, -3), 半径长等于5的圆的标准方程是：
把M1(5, -7)的坐标代入方程
左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点 M1在这个圆上；
把点M2(-2, -1)的坐标代入方程
的左边，得 ，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M2不在这个圆上．
x
A(2,-3)
O
y
M1(5,-7)
M2(-2,-1)
M1，M2两个点中，一个在圆上，一个点在圆内；
那我们该如何判断点与圆的位置关系？
探究：如何确定点P(x0, y0)与圆 的位置关系？
dd=r
d>r
点在圆上
点在圆外
点在圆内
位置关系
图形
几何条件
代数形式
点与圆的位置关系
C
P
C
C
P
P
探究新知
d
d
d
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆上或圆外
(1)点P(3,2)与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系( )
C
(2)点P(m,5)与圆x2+y2=25的位置关系( )
D
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆上或圆外
3.判断点与圆的位置关系
小试牛刀
探究新知
求圆的标准方程
例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上,只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
解：(待定系数法)
x
O
y
A(5,1)
C(2,-8)
B(7,-3)
小试牛刀
4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程.
解：(待定系数法)
x
O(0,0)
y
A(4,0)
B(0,3)
思考：例2及此题还有没有别的解法？
解1：
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程．
x
O
y
A(1,1)
B(2,-2)
l
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法.
解2：
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程．
x
O
y
A(1,1)
B(2,-2)
l
∵ A(1,1),B(2,-2)
∴圆心C(-3,-2)
方法总结
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为；
②列——由已知条件，建立关于的方程组；
③解——解方程组，求出；
④代——将代入所设方程，得所求圆的方程．
圆的标准方程
圆心、半径
点与圆的位置关系
圆外:
圆上:
圆内:
通过今天的学习，你学到了哪些新知识？
在今天的学习中，运用了什么数学方法与思想？
类比法、坐标法、代数法、数形结合等
圆的基本要素
课堂小结
1、复习本节课内容;
2、完成课本P85练习题第1、3题;
3、思考把圆的标准方程展开后是什么形式
作业
教学阐释
C
ONTENTS
目录
01 |
教材分析
02 |
学情分析
03 |
目标分析
04 |
重点难点
05 |
教法分析
06 |
教学过程
教材分析
《圆的方程》承接着上节课《直线的方程》，继续锻炼着学生在平面直角坐标系中解析几何图形的能力，进一步提升学生的数形结合思想。
圆是高中数学中一类重要的圆锥曲线，其标准方程的推导思想更是后续学习其他圆锥曲线的基础。
新课标中强调了要帮助学生用代数方法，认识圆的几何特征，建立它的标准方程，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
学情分析
授课对象：高二学生
学生已经学习了：
● 圆的基本性质（初中）；
● 建立直角坐标系求直线方程；
● 学生具备基本的数学思维和思想方法：观察、类比、归纳、概括、表达等能力。
班级情况：学生基础差、底子薄、缺乏学习的主动性，在解析几何的学习上难度较大，但渴望进步。
目标分析
知识与技能：
● 会自主推导圆的标准方程；
● 能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程；
过程与方法：
● 培养学生用解析法观察、发现、研究和解决几何问题的能力；
情感态度价值观：
● 激发学生自主探究问题的兴趣；
● 培养学生直观想象的数学学科核心素养。
重点难点
重点：
● 熟知圆的标准方程的推导过程和基本特征；
● 掌握求解圆的标准方程的两种方法；
难点：
● 根据圆的标准方程，判定点与圆的位置关系。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题—探究”教学法，使教师总是站在学生思维的最近发展区上，启发学生思考问题，理解问题，解决问题。
教学过程
复习回顾，引入新课
1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
2.确定一个圆的基本要素：圆心、半径。
x
y
O
r
C
教学过程
合作探究，获得新知
1.探究圆的标准方程
2.探究点与圆的位置关系
圆外:
圆上:
圆内:
教学过程
典例分析，当堂训练
1.例1 点与圆的位置关系；
2.例2 待定系数法求圆的标准方程；
3.例3 几何法求圆的标准方程;
4.当堂训练。
教学过程
课堂小结，反思提高
1.知识方面：圆的标准方程、点与圆的位置关系；
2.方法方面：待定系数法、几何法；
3.思想方面：数形结合的思想。
教学过程
布置作业，分层落实
1.复习：本节课内容；
2.巩固：课本P85练习题1、3；
3. 提高：思考把圆的标准方程展开之后是什么形式？
感谢聆听！(共34张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
人教A版（2019）高中数学选择性必修一第二章2.4《圆的方程》
课堂教学
复习回顾
问题1 圆的标准方程是什么？
问题2 如何判断点与圆的位置关系？
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径
新课导入
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中也是有标准方程与一般式方程。
这节课，我们将在上节课的基础上学习圆的另一种方程表达式：一般式方程。
思考
方程表示的圆是怎样的？
以(1，2）为圆心，2为半径的圆.
变形为
配方
探究新知
圆的一般方程
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
问题1：把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于 a, b, r 均为常数，所以
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究新知
问题2：是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线都是圆呢？
尝试： 判断下列方程分别表示什么图形？
(1)x2+y2-2x+4y+1=0
(2)x2+y2-2x-4y+5=0
(3)x2+y2-2x-4y+6=0
圆
圆心为(1,-2), 半径为2
点(1, 2)
不表示任何图形
由此可知：形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程表示不一定都表示圆.
探究新知
问题3：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 在什么条件下表示圆？
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方, 并把常数项移到右边, 得
(1)当D2+E2-4F>0时, 表示以( )为圆心,以( )为半径的圆
(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解 ，表示一个点( )
(3)当D2+E2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.
因此, 当 时, 方程①表示一个圆, 我们把方程①叫做圆的一般方程.
探究新知
圆的一般方程
条件：
特点：
1.与系数相同并且不等于0；
2.没有这样的二次项；
3.圆心为，半径为
思考
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程：
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径
圆的一般方程：
圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程．
两种方程的字母间的关系：
思考
思考:当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？
C
x
o
y
C
x
o
y
C
x
o
y
D=0
E=0
F=0
小试牛刀
1.求下列各圆的圆心坐标和半径:
解：(1) 圆心坐标为(3, 0), 半径长为3；
(2) 圆心坐标为(0, -b), 半径长为|b|；
小试牛刀
2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:
解：(1) 方程表示一个点(0, 0)；
(2) 方程表示圆心坐标为(1, -2), 半径长为1的圆；
典例分析
例4 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
设过O, M1, M2的圆方程为
则
解2：(待定系数法)
∴过O, M1, M2的圆方程为
求圆的方程常用待定系数法, 其大致步骤是:
(1) 根据题意, 选择标准方程或一般方程;
(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组;
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
对比两种待定系数法求方程的区别优劣？
圆的方程常用待定系数法
尝试用几何法去求
方法总结
求圆的方程的方法：
圆的标准方程：
圆的一般方程：
一般地，求圆的方程有两种方法：
(1) 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组，求系数 .
利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程.
(2) 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解 . 常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心.
求点的轨迹方程
典例分析
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.
分析：
如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动
点A的坐标满足方程
(x+1)2+y2=4
建立点M的坐标与点A的
坐标之间的关系，就可
以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的
轨迹方程.
x
O
y
A
B(4,3)
M
1
3
4
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
求点的轨迹方程
典例分析
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：(相关点代入法)
这就是点M的轨迹方程。
x
O
y
A
B(4,3)
M
1
3
4
求谁设谁
整理得
小试牛刀
【巩固训练】已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M在直线AB上, 且满足 求点M的轨迹方程.
解：
x
O
y
A
B(4,3)
M
1
3
4
成立条件
圆的方程的求法
通过今天的学习，你学到了哪些新知识？
思考：利用圆的一般方程，如何判定点与圆的位置关系？
圆的一般方程
课堂小结
待定系数法
几何分析法
轨迹方程的求法
求谁设谁
1、复习本节课内容，总结求圆的方程的一般方法与步骤;
2、完成课本P88练习题第2、3题;
3、思考利用圆的一般方程如何判定点与圆的位置关系？
作业
教学阐释
C
ONTENTS
目录
01 |
教材分析
02 |
学情分析
03 |
目标分析
04 |
重点难点
05 |
教法分析
06 |
教学过程
教材分析
《圆的方程》承接着上节课《直线的方程》，继续锻炼着学生在平面直角坐标系中解析几何图形的能力，进一步提升学生的数形结合思想。
圆是高中数学中一类重要的圆锥曲线，其一般方程属于解析几何的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义。
学情分析
授课对象：高二学生
学生已经学习了：
● 圆的标准方程；
● 用待定系数法和几何法求圆的方程。
班级情况：学生基础差、底子薄、缺乏学习的主动性，在解析几何的学习上难度较大，但渴望进步。
目标分析
知识与技能：
● 掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
● 能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求圆心坐标和半径；
● 能用待定系数法由已知条件求圆的方程。
过程与方法：
● 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
● 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用。
情感态度价值观：
● 激发学生自主探究问题的兴趣；
● 培养学生直观想象的数学学科核心素养。
重点难点
重点：
● 熟知圆的一般方程和基本特征；
● 用待定系数法求圆的方程。
难点：
● 圆的一般方程的应用；
● 用待定系数法求圆的方程。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题—探究”教学法，使教师总是站在学生思维的最近发展区上，启发学生思考问题，理解问题，解决问题。
教学过程
复习回顾，引入新课
1.圆的标准方程
2.点与圆的位置关系
圆外:
圆上:
圆内:
教学过程
合作探究，获得新知
1.探究圆的一般方程
2.圆的一般方程成立的条件
教学过程
典例分析，当堂训练
1.例4 圆的方程的求法及步骤；
2.例5 轨迹方程；
3.当堂训练。
教学过程
课堂小结，反思提高
1.知识方面：圆的一般方程及其成立的条件、轨迹方程；
2.方法方面：待定系数法、几何法；
3.思想方面：数形结合的思想。
教学过程
布置作业，分层落实
1.复习：本节课内容；
2.巩固：课本P88练习题2、3；
3. 提高：思考利用圆的一般方程如何判定点与圆的位置关系？
感谢聆听！课 题 2.4.1 圆的标准方程 课 型 新授课
授课对象 高二学生
选用教材 人教 A版（2019）选择性必修一
1. 圆的标准方程及其推导；
教学内容
2. 点与圆的位置关系。
《圆的方程》承接上节课《直线的方程》，继续锻炼着学生在平面直角坐
标系中解析几何图形的能力，进一步提升学生的数形结合思想。圆是高
中数学中一类重要的圆锥曲线，其标准方程的推导更是后续学习其他圆
教材分析
锥曲线的基础。新课标中强调了要帮助学生用代数方法，认识圆的基本
特征，建立它的标准方程，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题
和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
圆的标准方程是学生在掌握了圆的定义以及求直线的方程的基础上进行
研究的，但由于学生刚开始接触解析几何的学习且学习程度较浅，对坐
学情分析
标法的运用也不熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外，学生在问
题的探究能力以及学习的积极性等方面有待加强。
1.掌握圆的标准方程的推导过程；
2.根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；
教学目标
3. 能从圆的标准方程中熟练地写出圆心坐标和半径；
4. 会根据已知条件求出圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系。
教学重点 圆的标准方程的推导及点与圆的位置关系的判定方法。
教学难点 圆的标准方程的求法。
教学方法 探究式教学与启发式教学相结合
教学资源与工具 教材、黑板、圆规、多媒体
教学过程预设
教学环节 师生活动 设计意图
1.问题：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
通过复习回顾
及图片赏析，明
一、导入 师生活动：教师引导学生回顾“直线的方程”，明确本 确本节课研究
节课的研究方法——坐标法。 对象和研究方
法。
2. 欣赏生活中美丽的圆
师生活动：教师通过多媒体展示生活中常见的与圆有
关的图片，明确本节课研究对象——圆。
（一）类比探究，建立方程 明确确定圆的
问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 几何要素，为圆
师生活动：结合初中所学圆的定义，学生思考得出确 的标准方程的
定一个圆的几何要素——圆心和半径。 建立做好铺垫。
问题：若 C的圆心 C的坐标为 , ，半径为 ，在平
面直角坐标系中，如何建立 C的方程？ 类比直线方程
师生活动：教师引导学生归纳，在平面直角坐标系中， 的建立，在平面
C的圆心 C的坐标为 , ，半径为 ，M , 为圆上 直角坐标系中
任意一点， C就是以下点的集合 P = = 建立圆的方程
追问 1：你能用坐标表示点 M满足的条件吗？
师生活动：学生根据距离公式
得 2 + 2 = ，
平方得 2 + 2 = 2.
总结：总结得出圆的标准方程为 2 + 2 = 2
问题：圆的标准方程有什么特点？圆心在坐标原点，
半径为 的圆的标准方程是什么？
师生活动：学生通过观察圆的标准方程得出其结构特
点以及圆心在坐标原点半径为 的圆的标准方程，教师
帮助归纳总结：
【特点】
①括号内 x、y的系数都为 1；
②括号内的连接符号为“-”，括号外的连接符号为“+”；
③圆上点坐标为 , ，圆心坐标为 , ，半径为 .
特别地，当圆心为坐标原点 O 0,0 时，半径为 的圆的
探究 标准方程为
（一） 2 + 2 = 2.
圆的标
（二）辨析理解，认识方程
准方程
问题：判断下列方程是圆的方程吗？
①( )2 ( )2 = 4
②( )2 + ( )2 =0
初步认识圆的
③( )2 + ( )2 =m 标准方程，了解
圆的标准方程
师生活动：学生口答完成，教师点评总结，引导学生
的结构特点。
进一步认识圆的标准方程的结构特点。
（三）小试牛刀
问题：1.根据下列条件，求出圆的标准方程
(1)圆心为(1,2)，半径为 2，其标准方程为( );
(2)圆心为(0,-3)，半径为 3，其标准方程为( ).
2.根据圆的标准方程，写出圆心和半径
(1)圆(x + 1)2 + y2 = 4的圆心是( ),半径是( );
(2)圆x2 + (y + 2)2 = 3的圆心是( ),半径是( ).
二、 师生活动：学生口答完成，教师点评总结。
探究 （四）思考交流，应用方程
为加深对圆的
新知 例 1 求圆心为 A(2， 3)，半径为 5的圆的标准方程，并
标准方程的理
判断点M1(5， 7)，M 2 ( 2， 1)是否在这个圆上. 解，教材设置了
师生活动：学生自主完成，教师适时点拨 例 1，例 1 分为
两部分，首先根
据圆心坐标和
半径写出圆的
标准方程；然后
解：圆心为 A(2， 3)，半径为 5的圆的标准方程是 根据点的坐标
2 2 是否满足圆的(x 2) (y 3) 25 .
方程来判断点
把点M1(5， 7)的坐标代入 (x 2)
2 (y 3)2 25的左
与圆的位置关
边，得 (5 2)2 ( 7 3)2 25，左右两边相等，点M1的坐 系，充分体现了
坐标法的运用
标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
和数形结合的
把点M 2 ( 2， 1)的坐标代入 (x 2)
2 (y 3)2 25的
思想。
左边，得 ( 2 2)2 ( 1 3)2 20，左右两边不相等，点M 2
的坐标不满足圆的方程，所以点M 2不在这个圆上（如
图）.
（一）数形结合，探究关系 在例1的基础上
问题：如何确定点 P( 0, 0)与圆( )2 + ( )2 = 加深对点与圆
2的位置关系？ 位置关系的理
师生活动：学生交流，得出点 P( 0, 20)与圆( ) + 解。
( )2 = 2的位置关系：
探究
（二）
点与圆
的位置
（三）小试牛刀
关系 判断点与圆的位置关系
巩固对点与圆
(1)点 P(3,2)与圆 ( 2)2 + ( 3)2 = 4 的位置关系
位置关系的认
( )
识。
A、在圆外 B、在圆上 C、在圆内 D、在圆上或圆外
(2)点 P(m,5)与圆 2 + 2 =25 的位置关系( )
A、在圆外 B、在圆上 C、在圆内 D、在圆上或圆外
例2为已知圆的例 2 ABC三个顶点分别是 A(5，1)，B(7， 3)，C(2， 8) ，
相关条件，求圆
求 ABC的外接圆的标准方程.
的标准方程。通
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
过例2及变式训
解：设所求的方程是 (x a)2 (y b)2 r 2 . 练帮助学生理
A(5 1) B(7 3) C(2 8) 解确定圆的两因为 ， ， ， ， ， 三点都在圆上，所以
个要素是圆心
它们的坐标都满足方程 (x a)2 (y b)2 r 2 .
和半径。
(5 a)2 (1 b)2 r 2
于是 (7 a)2 ( 3 b)2 r 2 ，
(2 a)
2 ( 8 b)2 r 2
a 2 b 2 10a 2b 26 r 2
即 2 2 a b 14a 6b 58 r 2 .
2
a b
2 4a 16b 68 r 2
三式两两相减，可以消去 a2 ，b2 ，r 2 ，得到关于 a，b
a 2b 8
的二元一次方程组 ，
a b 1
a 2
解此方程组，得 ，
b 3
代入 (5 a)2 (1 b)2 r 2 ，得 r 2 25 .
所以， ABC的外接圆的标准方程是
(x 2)2 (y 3)2 25 .
三、例题及变 变式训练 课本 P 85 4.已知△AOB 的三个顶点分别是
点 A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB 的外接圆的
式
标准方程
师生活动：学生根据例 2的学习，板演变式训练。
思考：例 2及变式训练还有没有别的解法？
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1)，B(2， 2)两点，且圆
心 C在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
师生活动：教师分析，数形结合，师生讨论解题思路。
解法 1：设圆心 C的坐标为 (a，b) .
因为圆心 C在直线 l : x y 1 0 上，所以
a b 1 0 .①
因为 A，B是圆上两点，所以 |CA | |CB | .
根据两点间距离公式，有
(a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，
即 a 3b 3 0 .②
使学生明确求
由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C的坐标是
标准方程的关
( 3， 2) . 键是求出圆心
圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 坐标和半径，主
要方法——几
所以，所求圆的标准方程是 (x 3)2 (y 2)2 25 .
何法和代数法
解法 2：
（ 待 定 系 数
法）。
如图，设线段 AB 的中点为 D. 由 A，B 两点的坐标为
(1 1) (2 2) (3 1， ， ， ，可得点 D的坐标为 ， )，直线 AB 的
2 2
斜率为 k 2 1AB 3 .2 1
因此，线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是
y 1 1 3 (x )，即 x 3y 3 0 .
2 3 2
由垂径定理可知，圆心 C也在线段 AB 的垂直平分
x 3y 3 0
线上，所以它的坐标是方程组 的解.
x y 1 0
x 3
解这个方程组，得 .
y 2
所以圆心 C的坐标是 ( 3， 2) .
圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
所以，所求圆的标准方程是 (x 3)2 (y 2)2 25 .
问题：
1.圆的标准方程是什么？
及时梳理，提炼
四、课堂小结 2.点与圆的位置关系有哪些？如何判断？
升华所学知识。
3.求圆的标准方程有哪些方法？
师生活动：学生从三个方面对课堂内容进行反思总结。
1.复习本节课内容;
五、布置作业 2.完成课本 P85 练习题第 1、3题; 课后巩固提升
3.思考把圆的标准方程展开后是什么形式
§2.4.1 圆的标准方程
1、圆的定义
2、圆的标准方程
板书设计
3、点与圆的位置关系
教学反思课 题 2.4.2 圆的一般方程 课 型 新授课
授课对象 高二学生
选用教材 人教 A版（2019）选择性必修一
1. 圆的一般方程；
教学内容 2. 用待定系数法求圆的方程；
3. 求轨迹方程的常用方法。
《圆的方程》承接上节课《直线的方程》，继续锻炼着学生在平面直角坐
标系中解析几何图形的能力，进一步提升学生的数形结合思想。圆是高
教材分析 中数学中一类重要的圆锥曲线，其一般方程属于解析几何的基础知识，
是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容
的学习，无论是在知识上还是思想方法上都有着深远的意义。
本节内容是在初中所学知识及前一节内容的基础上进行学习的，但由于
学生刚开始接触解析几何的学习且学习程度较浅，对坐标法的运用也不
学情分析
熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外，学生在问题的探究能力以
及学习的积极性等方面有待加强。
1.掌握圆的一般方程及其特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求圆心坐标和半径；
教学目标
3.能用待定系数法由已知条件求圆的方程；
4. 掌握轨迹方程的常用求法。
教学重点 熟知圆的一般方程和基本特点，能用待定系数法求圆的方程。
教学难点 圆的一般方程的应用，用待定系数法求圆的方程。
教学方法 探究式教学与启发式教学相结合
教学资源与工具 教材、黑板、圆规、多媒体
教学过程预设
教学环节 师生活动 设计意图
问题 1：圆的标准方程是什么？
(x a)2 (y b)2 r 2
复习回顾上节
问题 2：如何判断点与圆的位置关系？
课圆的标准方
程以及点与圆
一、导入 的位置关系，类
比直线方程，确
问题 3：直线的方程有多种形式，圆的方程呢？ 定本节课的研
师生活动：教师引导学生回顾“圆的标准方程”，并提 究内容。
出问题引发学生思考，确定本节课研究内容——圆的
一般方程。
（一）提出问题，探究新知
问题： (x 1)2 (y 2)2 4表示的圆是怎样的？
师生活动：结合上节课所学圆的标准方程，学生思考
得出 (x 1)2 (y 2)2 4表示的是以(1,-2)为圆心，以 2
为半径的圆。
追问：若将此方程展开，得到什么？ 由特殊推广到
师生活动：教师引导学生将方程展开，得到 一般，探究“圆”
x2 y2 2x 4y 1 0 . 的一般方程及
问题：上面两个式子都能表示圆，由此我们可以得到 其特征。
圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r 2 的展开式变形吗？
师生活动：学生根据初中所学知识将圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r 2 展开得到 x2 y2 Dx Ey F 0的形
式。
追问：是不是任何一个形如 x2 y2 Dx Ey F 0的方
程表示的曲线都是圆呢？尝试判断以下方程分别表示
什么图形？
(1) 2 + 2 2 + 4 + 1 = 0
(2) 2 + 2 2 4 + 5 = 0
(3) 2 + 2 2 4 + 6 = 0
师生活动：学生根据初中所学知识将上述方程进行配
方得：
2 2
(1)（ 1） +（ + 2） = 4表示圆心为（1，-2），半径
为 2 的圆；
2 2
(2)（ 1） +（ 2） =0表示点（1，2）；
2 2
(3)（ 1） +（ 2） =1不表示任何图形。
总结：总结得出形如 x2 y2 Dx Ey F 0的方程表示
的曲线不一定是圆。
初步认识圆的
追问： x2 y2 Dx Ey F 0在什么条件下表示圆？ 一般方程。
师生活动：学生合作交流探究问题，教师引导，讲解。
将方程的左边配方，并把常数项移到右边，得
x D
2 2
y E D
2 E 2 4F
.①
2 2 4
（1）当D2 E 2 4F 0时，比较方程①和圆的标
D E
准方程，可以看出方程表示以 ， 2 2
为圆心，
1 D2 E 2 4F 为半径的圆；
2
（2）当D2 E 2 4F 0时，方程只有实数解
x D E D E ，y ，它表示一个点 ，
2 2 2 2
；
（3）当D2 E 2 4F 0时，方程没有实数解，它
不表示任何图形.
因此，当D2 E 2 4F 0时，方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示一个圆. 我们把这个方程叫做圆的一般方程.
（二）观察方程，归纳特点
问题： x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的一般方程时有什
么特点？
师生活动：学生通过观察圆的一般方程得出其结构特
点，教师帮助归纳总结：
了解圆的一般
①当且仅当D2 E 2 4F 0时，该方程表示以 D E ， 方程的结构特
2 2
1 点。
为圆心， D2 E 2 4F 为半径的圆；
2
② 2与 2系数相同且不为 0；
二、探究新知
③没有 这样的二次项。
问题：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？
师生活动：学生通过观察圆的标准方程和一般方程，
总结其各自特点。
（三）小试牛刀
问题：1.求下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) x2 y2 6x 0 ;
(2) x2 y2 2by 0 ; 加深对圆的一
(3) x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0. 般方程的理解，
要求学生能够
2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:
根据一般方程
(1) x2 y2 0 ;
求出圆的圆心
(2) x2 y2 2x 4 y 6 0 ;
(3) x2 y2 2ax b2 0. 坐标和半径。
师生活动：学生口答完成，教师点评总结。
例 4 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M 2(4，2)的圆的方程，并
求这个圆的圆心坐标和半径.
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0.①
因为O，M1，M 2 三点都在圆上，所以它们的坐标都
是方程①的解. 把它们的坐标依次代人方程①，得到
关于 D，E，F的一个三元一次方程组
F 0
D E F 2 0 ，
4D 2E F 20 0
D 8
解这个方程组，得 E 6 . 例4为已知圆的
F 0
相关条件求圆
三、例题及变
所以，所求圆的方程是 x2 y2 8x 6y 0 . 的方程。通过例
式
4 帮助学生用待
故所求圆的圆心坐标是 (4， 3)，半径
定系数法研究
r 1 D2 E 2 4F 5.
2 圆的方程，掌握
思考：例 2及变式训练还有没有别的解法？ 利用待定系数
问题：能否根据这两节课的学习总结利用待定系数法 法研究圆的方
求圆的方程的一般步骤？ 程的一般步骤。
师生活动：学生合作交流，得出利用待定系数法求圆
的方程的一般步骤，教师归纳总结。
总结：求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于 a，b，r或 D，E，F的方程组；
（3）解出 a，b，r或 D，E，F，得到标准方程或一般
方程.
例 5 已知线段 AB的端点 B的坐标是 (4，3)，端点 A在圆
(x 1)2 y2 4 上运动，求线段 AB的中点 M的轨迹方程.
师生活动：教师分析，数形结合，师生讨论解题思路。
解：如图，设点M的坐标是 (x，y)，点A的坐标是 (x0 ，y0 ) .
由于点 B的坐标是 (4，3)，且 M是线段 AB 的中点，所以
x 4 y 3
x 0 ，y 0 .
2 2
于是有 x0 2x 4，y0 2y 3 .①
因为点 A在圆 (x 1)2 y2 4上运动，所以点 A的
坐标满足圆的方程，即 (x0 1)
2 y20 4 .②
例5为根据几何
把①代入②，得 (2x 4 1)2 (2y 3)2 4，整理得 条件求动点轨
2 2
3 3 迹及轨迹方程
x y 1.
2 2 的问题，通过例
3 3
这就是点 M的轨迹方程，它表示以 ， 为圆心， 5 及变式训练，
2 2
加深学生对轨
半径为 1的圆.
迹方程的认识，
培养学生数形
结合的思想。
变式训练：已知线段 AB 的端点 B的坐标是(4, 3), 端
点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M在直线AB上, 且满
足 = 求点 M的轨迹方程.
问题：
1.圆的一般方程是什么？成立的条件是什么？
及时梳理，提炼
四、课堂小结 2.求圆的方程的常用方法和步骤？
升华所学知识。
3.求动点轨迹方程的常用方法？
师生活动：学生从三个方面对课堂内容进行反思总结。
1.复习本节课内容;
2.完成课本 P88 练习题第 2、3题;
五、布置作业 课后巩固提升
3.思考利用圆的一般方程如何判定点与圆的位置关
系？
§2.4.2 圆的一般方程
成立条件
1、圆的一般方程
板书设计 特点
2、求圆的方程的步骤
教学反思
