(共34张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系（1）
人教A版（2019）高中数学选择性必修一第二章2.5《直线与圆、圆与圆的位置关系》
课堂教学
复习回顾
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r
点在圆上
d点在圆内
d>r
点在圆外
点与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径
海上生明月
将月亮看作成一个圆，海天交线看作一条直线，通过月出的过程，你能感受到直线与圆的位置关系吗？
情境导入
探究新知
通过观察月出以及初中时所学知识，我们得到，直线与圆有三种位置关系：
直线与圆有两个（公共点）交点时，
叫做直线与圆相交；
直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时，
叫做直线与圆相切；
直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时，
叫做直线与圆相离
探究新知
直线与圆的位置关系
问题1：类比点与圆的位置关系，能否得到直线与圆的位置关系的判定？
位置关系 相交 相切 相离
图形
交点的个数
d与r的关系
2个
1个
0个
直线与圆的位置关系
圆心到直线的距离与半径
几何法
探究新知
直线与圆的位置关系
问题2：点到直线的距离如何计算？
回顾点到直线的距离公式：
典例分析
例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1（几何法）：
第一步：将圆的方程化为标准方程 ;
可以得出该圆的圆心为（0,1），半径为√5；
第二步：计算圆心到直线的距离
第三步：比较d与r的大小；两边同时平方后比较大小；
所以，直线与圆相交.
直线与圆的位置关系
探究新知
直线与圆的位置关系
问题3：类比直线与直线的位置关系，能否得到直线与圆的位置关系的判定？
直线与圆的位置关系
直线与圆方程组解的个数
联立方程
联立直线与圆的方程组消元后可得到一个一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
方程组解的个数
交点的个数
与0的关系
2 1 0
2 1 0
代数法
典例分析
例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法2（代数法）：
直线与圆的位置关系
第一步：联立直线l与圆C的方程
第二步：消元，消去x，将①式化为 带入②式；
化简得 ；
第三步：计算 ：
所以，直线与圆相交.
①
②
小贴士：判定圆与直线位置关系时，通常几何法更为简便
方法总结
直线与圆的位置关系
用代数法判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系的步骤：
(1)联立它们的方程, 得到方程组
(2)消元, 得到关于x(或y)的一元二次方程.
典例分析
例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
弦长问题
解法1（几何法）：
过圆心C点作CD垂直AB，由勾股定理可得 ；
也就是垂径定理；可以求得
解法2（代数法）：
解二元一次方程 ；解得 ;
带入直线的方程中，得到两个交点坐标为A(2,0),B(1,3);
求两点间的距离：
补充
弦长问题
设直线的方程为y = kx + b，
由根与系数的关系得x1+x2，x1x2，代入弦长公式：
弦长公式
变式训练
解法1：（几何法）
第一步：圆C的圆心为（2,1）；半径为2
第二步：圆心到直线的距离
第三步：比较d与r的大小关系；d所以，直线与圆相交；
弦长：
变式训练
解法2：（代数法）
第一步：联立方程组
第二步：消元，消y，①式改写为 代入②式中；
化简得：
第三步：计算 ：
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得
代入直线方程，得两交点的坐标为
求两点间的距离：
①
②
探究新知
例2 过点P(2,1)作圆O:的切线l，求切线l的方程.
切线问题
探究新知
例2 过点P(2,1)作圆O:的切线l，求切线l的方程.
切线问题
探究新知
切线问题
问题4：过一点求圆的切线一定有两条吗？
过一点求圆的切线方程时，要考虑该点的具体位置：
不一定
若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
思考：求过圆外一点的切线方程和过圆上一点的切线方程有什么异同点？
课堂小结
1.判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
消去y（或x）
课堂小结
2.弦长问题
3.切线问题
过一点求圆的切线方程时，要考虑该点的具体位置
1、复习本节课内容;
2、完成课本P93练习题第1、2、3题.
作业
教学阐释
C
ONTENTS
目录
01 |
教材分析
02 |
学情分析
03 |
目标分析
04 |
重点难点
05 |
教法分析
06 |
教学过程
教材分析
《直线与圆的位置关系》是对上节课《圆的方程》的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
新课标中强调了要帮助学生用代数方法，认识直线与圆的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
学情分析
授课对象：高二学生
学生已经学习了：
● 直线与圆的位置关系（初中）；
● 直线与圆的方程以及点与圆的位置关系、用解方程组的方法判断直线与直线的位置关系；
● 学生具备基本的数学思维和思想方法：观察、类比、归纳、概括、表达等能力。
班级情况：学生基础差、底子薄、缺乏学习的主动性，在解析几何的学习上难度较大，但渴望进步。
目标分析
知识与技能：
● 理解直线与圆的三种位置关系，掌握其判断方法；
● 掌握相切时的切线方程和相交时的弦长问题；
过程与方法：
● 培养学生用解析法观察、发现、研究和解决几何问题的能力；
情感态度价值观：
● 激发学生自主探究问题的兴趣；
●让学生感受数学的严谨性和正确性。
重点难点
重点：
● 直线与圆的位置关系的判定方法，相切时的切线方程以及相交时的弦长问题；
难点：
● 直线与圆三种位置关系的研究。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，站在学生思维的最近发展区上启发诱导。
教学过程
复习回顾，引入新课
1.点与圆的位置关系的判断
2.直线与直线位置关系的判断：建立方程组，通过方程组解的个数判断
圆外:
圆上:
圆内:
教学过程
合作探究，获得新知
1.类比点与圆的位置关系得到直线与圆的位置关系的判断方法——几何法；
2.类比直线与直线的位置关系得到直线与圆的位置关系的判断方法——代数法；
3.直线与圆相交时的弦长问题——弦长的求法：几何法、代数法、弦长公式；
4.直线与圆相切时的切线问题——过一点的切线方程：点在圆外、点在圆上。
教学过程
典例分析，当堂训练
1.例1 直线与圆的位置关系；
2.例1 直线与圆相交时的弦长问题；
3.例2 直线与圆相切时的切线问题;
4.当堂训练。
教学过程
课堂小结，反思提高
1.知识方面：直线与圆的位置关系、弦长问题、圆的切线方程；
2.方法方面：几何法、代数法；
3.思想方面：类比推理、数形结合的思想。
教学过程
布置作业，分层落实
1.复习：本节课内容；
2.巩固：课本P93练习题1、2、3。
感谢聆听！(共27张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系（2）
——应用
人教A版（2019）高中数学选择性必修一第二章2.5《直线与圆、圆与圆的位置关系》
课堂教学
复习回顾
1.判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
消去y（或x）
复习回顾
2.弦长问题
3.切线问题
过一点求圆的切线方程时，要考虑该点的具体位置
情境导入
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
.
x
O
y
港口
.
轮船
xOBACD解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取 10 km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为
轮船航线所在直线L的方程为: 4x+7y-28 = 0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
点Ｏ到直线L的距离
圆Ｏ的半径长: r=3
因为 3.5＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响．
x
y
0
A
D
解决问题的思路
1、建立坐标系：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系。
2、将平面几何问题转化为代数问题：
圆形区域所在圆的方程为：x2 + y 2 = 9；
轮船航线所在直线的方程为： 4x+7y-28 = 0
问题归结为圆O与直线有无公共点。
3、解决代数问题：
4、获得几何结论：这艘轮船不会受到台风的影响。
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
典例分析
思考：不建立平面直角坐标系该如何解决这个问题呢？
变式训练
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过
解 建立如图所示的坐标系.
依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
典例分析
课堂小结
审题
认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知
建系
利用直线与圆的方程的有关知识求解
求解
还原
将运算结果还原到实际问题中
建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
1、复习本节课内容;
2、完成课本P95练习题第1、2题.
作业
教学阐释
C
ONTENTS
目录
01 |
教材分析
02 |
学情分析
03 |
目标分析
04 |
重点难点
05 |
教法分析
06 |
教学过程
教材分析
《直线与圆的位置关系》（第2课时）是对上节课《直线与圆的位置关系》（第1课时）的延续和拓展，是直线与圆的方程在实际生活中的应用；
本节课主要利用坐标法研究直线与圆的位置关系的实际应用，要求学生掌握利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
学情分析
授课对象：高二学生
学生已经学习了：
● 直线与圆的位置关系及其判断方法；
● 学生具备基本的数学思维和思想方法：观察、类比、归纳、概括、表达等能力。
班级情况：学生基础差、底子薄、缺乏学习的主动性，在解析几何的学习上难度较大，但渴望进步。
目标分析
知识与技能：
● 理解直线与圆的三种位置关系，掌握其判断方法；
● 能够利用坐标法解决平面几何问题；
过程与方法：
● 培养学生用解析法观察、发现、研究和解决几何问题的能力；
情感态度价值观：
● 激发学生自主探究问题的兴趣；
●让学生感受数形结合的数学思想。
重点难点
重点：
● 利用坐标法解决平面几何问题及实际问题；
难点：
● 直线与圆位置关系的实际应用。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，站在学生思维的最近发展区上启发诱导。
教学过程
复习回顾，引入新课
直线与圆的位置关系的判断
1.几何法 2.代数法
教学过程
合作探究，获得新知
审题
认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知
建系
利用直线与圆的方程的有关知识求解
求解
还原
将运算结果还原到实际问题中
建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
教学过程
典例分析，当堂训练
1.例3、例4 利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”；
2.思考利用几何法如何解决例3；
3.当堂训练。
教学过程
课堂小结，反思提高
1.知识方面：直线与圆的位置关系的应用；
2.方法方面：坐标法；
3.思想方面：类比推理、数形结合的思想。
教学过程
布置作业，分层落实
1.复习：本节课内容；
2.巩固：课本P95练习题1、2。
感谢聆听！2.5.1 直线与圆的位
课 题 课 时 第 1课时 课 型 新授课
置关系
授课对象 高二学生
选用教材 人教 A版（2019）选择性必修一
1. 直线与圆的位置关系及其判断；
教学内容 2. 直线与圆相交时的弦长问题；
3. 直线与圆相切时的切线方程问题。
《直线与圆的位置关系》是对上节课《圆的方程》的延续和拓展，又是
后续研究圆与圆位置关系和直线与圆锥位置关系等内容的基础。新课标
教材分析 中强调了要帮助学生用代数方法，认识直线与圆的位置关系，运用平面
解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴
含的数学思想。
学生在初中的时候已经认识了直线与圆的三种位置关系，且在本章前两
节课已经学习了直线与圆的相关知识点，了解了用解方程组的方法判断
学情分析 直线与直线的位置关系。学生通过前边知识的学习与积累，已经具备了
观察、类比、归纳、概括、表达等能力，但是学生的基础较差，学习的
主动性也不高，学习较为吃力。
1.理解直线与圆的三种位置关系，掌握其判断方法；
教学目标
2.掌握相切时的切线方程和相交时的弦长问题。
直线与圆的位置关系的判断方法，相切时的切线方程和相交时的弦长问
教学重点
题。
教学难点 直线与圆的三种位置关系的研究。
教学方法 探究式教学与启发式教学相结合
教学资源与工具 教材、黑板、圆规、多媒体
教学过程预设
教学环节 师生活动 设计意图
1.问题：点与直线的位置关系及判断？
通过复习回顾
及图片赏析，明
一、导入
师生活动：教师引导学生回顾“点与圆的位置关系”， 确本节课研究
为本节课“直线与圆的位置关系”的几何法打下基础。 内容。
2. 欣赏图片——海上生明月
师生活动：教师通过多媒体展示让学生了解直线与圆
的三种位置关系，明确本节课研内容。
（一）类比探究，几何方法
问题：类比点与圆的位置关系，能否得到直线与圆的
位置关系？
师生活动：教师引导学生类比点与圆的位置关系去判 类比点与圆的
断直线与圆的位置关系。 位置关系，判断
直线与圆的位
置关系。
追问：点到直线的距离如何计算？
师生活动：学生回顾点到直线的距离公式并回答。
总结：这种根据点到圆心的距离与半径的大小关系判
断直线与圆位置关系的方法是几何法。
（二）思考交流，例题探究
例 1 已知直线 ：3x + y 6 = 0和圆心为 C的圆x2 +
y2 2y 4 = 0 例1包含两个问，判断直线 l与圆 C的位置关系；如果
题，第一个问题
相交，求直线 l与圆 C所截得的弦长。
是判断直线与
师生活动：学生合作交流，利用几何法判断直线与圆
圆的位置关系，
是否相交。
通过例 1解法 1
解：圆 C方程 2 + 2 2 4 = 0可化为 2 + 1 2 = 5.
的训练，加强学
因此，圆心 C 0，1 ，半径为 5，圆心到直线 的
生对几何法的
距离为
认识。
d = 3×0+1 6 = 5 < 5，所以直线 与圆 C相交，
探究 32+12 10
有两个公共点。
（一）
直线与 （三）方法总结
圆的位 问题：通过例 1的几何解法，你能否总结出利用几何
法判断直线与圆位置关系的步骤？
置关系
总结利用几何
师生活动：学生通过例 1的解答过程总结方法，教师
法进行判断的
点评总结。
一般步骤，规范
【方法总结】利用几何法判断直线与圆位置的一般步
学生做题步骤。
骤如下：
第一步：将圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径；
第二步：计算圆心到直线的距离；
第三步：比较 d与 r的大小，得出直线与圆的位置关
系。
（四）类比探究，代数方法
问题：类比直线与直线的位置关系，能否得到直线与
圆的位置关系？
师生活动：教师引导学生类比直线与直线的位置关系
类比直线与直
去判断直线与圆的位置关系。
线的位置关系，
判断直线与圆
的位置关系。
总结：这种通过解方程组来判断直线与圆位置关系的
方法是代数法。
（五）思考交流，例题探究
例 1 已知直线 ：3x + y 6 = 0和圆心为 C的圆x2 +
y2 2y 4 = 0，判断直线 与圆 C的位置关系；如果
相交，求直线 与圆 C所截得的弦长。
例1包含两个问
师生活动：学生合作交流，利用代数法判断直线与圆
题，第一个问题
是否相交。
是判断直线与
解：联立直线 与圆 C的方程，得 圆的位置关系，
3 + 6 = 0
2 + 2 ，消去 ，得
2 3 + 2 = 0， 通过例 1解法 2 2 4 = 0
所以得 的训练，加强学
-3 2 - 4 1 0 9＞0 生对代数法的
认识。
所以直线 与圆 C相交。
（六）方法总结
问题：通过例 1的几何解法，你能否总结出利用代数
法判断直线与圆位置关系的步骤？
师生活动：学生通过例 1的解答过程总结方法，教师
点评总结。
【方法总结】利用代数法判断直线与圆位置的一般步
总结利用几何
骤如下：
法进行判断的
第一步：联立直线与圆的方程； 一般步骤，规范
学生做题步骤。
第二步：消元，得到关于 x（或 y）的一元二次方程；
第三步：计算Δ，判断直线与圆的位置关系。
（一）例题探究
例 1 已知直线 ：3x + y 6 = 0和圆心为 C的圆x2 + 例1包含两个问
y2 2y 4 = 0，判断直线 与圆 C的位置关系；如果 题，第二个问题
相交，求直线 与圆 C所截得的弦长。 是求直线与圆
师生活动：学生合作交流，探究弦长问题。 相交时的弦长。
通过直线与圆
解 1：圆 C 方程 2 + 2 2 4 = 0 可化为 2 +
1 2 = 5 位置关系的判.
C 0 1 断，我们已经掌因此，圆心 ， ，半径为 5，圆心到直线 的
握了几何法和
距离为
d = 3×0+1 6 5
代数法，求弦长
= < 5，所以直线 与圆 C相交，
32+12 10 是在此基础上
有两个公共点，所以，弦长为 2 2 2 = 10。
进行的，所以也
解 2：联立直线 与圆 C的方程，得
主要练习了几
3 + 6 = 0 2
2 + 2 2 4 = 0，消去 ，得 3 + 2 = 0， 何法和代数法。
解得 1 = 2， 2 = 1。所以直线 与圆 C 相交，有
两个公共点。
把 1 = 2， 2 = 1分别代入得 1 = 0， 2 = 3。
交点是 2,0 , 1,3 ，弦长为 1 2 2 + 3 0 2 = 10。
（二）方法总结
问题：通过例 1求弦长的两种解法，你能否总结出求
弦长的方法吗？
师生活动：学生通过例 1的解答过程总结方法，教师
点评总结。
【方法总结】求直线与圆相交时的弦长主要有以下方
法：
二、 (1)几何法：| AB | 2 r 2 d 2 总结求直线与
圆相交时的弦
探究 探究 (2)代数法：| AB | (xA xB )
2 (yA y
2
B ) 长的方法，加强
新知 （二） 理解。
追问：除了这两种方法之外，还有别的方法求相交时
及例 相交时 的弦长吗？
题讲 的弦长 师生活动：教师补充弦长公式。
解 问题
弦长公式 | AB | (x 22 x1) (y2 y1)
2 (1 k 2 )(x2 x1)
2
(1 k 2 )[(x 21 x2 ) 4x1x2 ]
（三）变式训练
加强练习，巩固
变式：已知直线 l： 3 + 2 3 3 = 0，与圆 C： 2 +
知识。
2 4 2 + 1 = 0，判断直线与圆的位置关系，如
果相交，求直线被圆所截得的弦长。
师生活动：学生根据例 1的讲解，自主完成变式训练。
（一）例题探究
例 2 过点 P 2，1 作圆 O： 2 + 2 = 1的切线 ，求切
线 的方程。
师生活动：学生合作交流，探究切线方程。
解 1 ： 设 切 线 l 的 方 程 为 y 1 k(x 2) ， 即
kx y 1 2k 0，又圆心O(0,0), r 1
由 d r |1 2k |
4
1，解得 k 0,或 k
k 2 1 3
因此，所求切线 l 的方程为 y 1,或 4x 3y 5 0 .
通过例2探究直
线与圆相切时
探 究 的切线方程，并
（三） 掌握两种方法。
解 2 ： 设 切 线 l 的 方 程 为 y 1 k(x 2) ， 即
相切时
kx y 1 2k 0，
的切线
y 1 k(x 2)
方程 (k 2 1)x2 (2k 4k 2 )x 4k 2 4k 0
x2 2 y 1
因为直线 l 与圆相切，所以方程组只有一组解，
4
所以Δ= (2k 4k 2 )2 4(k 2 1)(4k 2 4k) 0，解得 k 0,或 k
3
因此，所求切线 l 的方程为 y 1,或 4x 3y 5 0 .
问题：过一点求圆的切线一定有两条吗？
师生活动：学生思考并合作交流探究。
【总结】①若点在圆外，过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此
点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
问题：
1.直线与圆的位置关系是怎样的？如何判断？
及时梳理，提炼
三、课堂小结 2.直线与圆相交时的弦长如何计算？
升华所学知识。
3.直线与圆相切时的切线方程如何求？
师生活动：学生从三个方面对课堂内容进行反思总结。
1.复习本节课内容;
四、布置作业 课后巩固提升
2.完成课本 P93 练习题第 1、2、3题。
§2.5.1 直线与圆的位置关系（1）
相离 d>r Δ<0
1、直线与圆的位置关系 相切 d=r Δ=0
相交 00
板书设计
2、弦长计算：
(1)几何法：| AB | 2 r 2 d 2
(2)代数法：| AB | (xA x )
2
B (yA yB )
2
3、 切线方程
教学反思2.5.1 直线与圆的位
课 题 课 时 第 2课时 课 型 新授课
置关系
授课对象 高二学生
选用教材 人教 A版（2019）选择性必修一
1. 直线与圆的位置关系及其判断；
教学内容
2. 直线与圆位置关系的实际应用。
《直线与圆的位置关系》（第 2课时）是对上节课《直线与圆的位置关系》
（第 1课时）的延续和拓展，是直线与圆的方程在实际生活中的应用。
教材分析 本节课主要利用坐标法研究直线与圆的位置关系的实际应用，要求学生
掌握利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，感悟平面解析几何中蕴
含的数学思想。
学生在上节课已经学习了直线与圆的位置关系及其判断，掌握了利用几
何法和代数法去判断直线与圆的位置关系、求弦长、求切线方程等，本
学情分析 节课是在上节课的基础上进行学习的。通过上节课的学习，学生已经对
解析几何的做题方法有了大体认识，但由于学习时间较短、掌握程度较
浅，本节课的学习中遇到困难是在所难免的。
1.理解直线与圆的三种位置关系，掌握其判断方法；
教学目标
2.掌握利用坐标法解决实际问题和平面几何问题的步骤。
教学重点 坐标法解决实际问题和平面几何问题
教学难点 坐标法解决实际问题和平面几何问题
教学方法 探究式教学与启发式教学相结合
教学资源与工具 教材、黑板、三角板、圆规、多媒体
教学过程预设
教学环节 师生活动 设计意图
问题：上节课我们主要学习了哪些内容？
相离 d>r Δ<0
1、直线与圆的位置关系 相切 d=r Δ=0
相交 00
2、弦长计算： 通过复习回顾，
一、导入 明确本节课研
(1)几何法：| AB | 2 r 2 d 2
究内容。
(2)代数法：| AB | (xA x )
2
B (yA yB )
2
3、切线方程
师生活动：教师引导学生回顾系上节课知识，为本节
课“直线与圆的位置关系”的实际应用打下基础。
（一）情景导入，方法探究
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象
台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km 处，受影
情境导入，将情
响的范围是半径长为 30km 的圆形区域。已知港口位于
境问题与几何
台风中心正北 40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那
问题融合，提高
么它是否会受到台风的影响？
学生的审题能
力，和对数学知
识的运用能力。
师生活动：教师引导学生将题目中的语言转化为数学
语言，并与本节课结合。
解：以台风中心为原点，东西方向为 x 轴，建立如图
所示的直角坐标系，其中，取 10 km 为单位长度，这
样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为
x 2 y 2 9
轮船航线所在直线 L的方程为:4x+7y-28 = 0
问题归结为圆Ｏ与直线 L有无公共点。
d |0 0 28| 28 3.5
点Ｏ到直线 L的距离 65 65
圆Ｏ的半径长: r=3
因为 3.5＞3，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受
到台风的影响．
（二）思考交流，总结思路
问题：解决上题的基本思路是什么？
二、探究新知 师生活动：学生合作交流，总结做题思路。
【思路总结】解决问题的思路
1、建立坐标系：以台风中心为原点 O，东西方向为 x
对题目进行总
轴，建立直角坐标系。
结，理清做题思
2、将平面几何问题转化为代数问题：
路。
圆形区域所在圆的方程为：x2 + y 2 = 9；
轮船航线所在直线的方程为：4x+7y-28 = 0
问题归结为圆 O与直线有无公共点。
d | 0 0 28 | 28 3.5 3 r
3、解决代数问题： 65 65
4、获得几何结论：这艘轮船不会受到台风的影响。
（三）方法总结
问题：通过上题，你能否总结出利用坐标法解决平面
几何问题的步骤吗？
师生活动：学生总结方法，教师点评总结。
总结方法和步
【方法总结】用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
骤，帮助学生明
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 确做题思路、规
中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 范做题步骤。
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
例 3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度
AB 20 m，拱高OP 4 m，建造时每间隔 4 m 需要用一
根支柱支撑，求支柱 A2P2的高度（精确到 0.01 m）.
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
解：建立如图所示的直角坐标系，使线段 AB 所在直线
为 x轴，O为坐标原点，圆心在 y轴上. 由题意，点 P，
B的坐标分别为 (0，4)，(10，0) . 设圆心坐标是 (0，b)，圆
的半径是 r，那么圆的方程是 x2 (y b)2 r 2 .
因为 P，B两点都在圆上，所以它们的坐标
(0，4)，(10，0)都满足方程 x2 (y b)2 r 2 . 于是，得到方
02 (4 b)2 r2
程组
102
.
(0 b)
2 r2
解得b 10.5，r 2 14.52 .
所以，圆的方程是 x2 (y 10.5)2 14.52 .
把点 P2的横坐标 x 2代入圆的方程，得
( 2)2 ( y 10.5)2 14.52 ，
即 y 10.5 14.52 ( 2)2 （ P2的纵坐标 y 0，平方
根取正值）.
所以 y 14.52 ( 2)2 10.5 14.36 10.5 3.86(m) .
例题及变式，加
三、例题及变 答：支柱 A2P2的高度约为 3.86 m.
深对知识的理
式 思考：还有没有别的方法解决这个问题？ 解，巩固对坐标
师生活动：师生共探解决方法，两种方法进行比较。 法解决平面几
何问题的认识
变式训练：某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高 4 m. 现
和运用。
有一船，宽 10 m，水面以上高 3 m，这条船能否从桥
下通过
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
例 4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛
中心为圆心，半径为 20 km 的圆形区域内. 已知小岛
中心位于轮船正西 40 km 处，港口位于小岛中心正北
30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁
危险？
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
解：以小岛的中心为原点 O，东西方向为 x轴，建
立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取
10 km 为单位长度，则港口所在位置的坐标为 (0，3)，
轮船所在位置的坐标为 (4，0) .
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆
的方程为 x2 y2 4 . 轮船航线所在直线 l的方程为
x y
1，即3x 4y 12 0 .
4 3
3x 4y 12 0
联立直线 l与圆 O的方程，得 2 2 .
x y 4
消去 y，得 25x2 72x 80 0 .
由Δ ( 72)2 4 25 80 0，可知方程组无解.
所以直线 l与圆 O相离，轮船沿直线返港不会有
触礁危险.
问题：
1.直线与圆的位置关系是怎样的？如何判断？ 及时梳理，提炼
四、课堂小结
2.如何利用坐标法解决与平面几何相关问题？ 升华所学知识。
师生活动：学生从两个方面对课堂内容进行反思总结。
1.复习本节课内容;
五、布置作业 课后巩固提升
2.完成课本 P95 练习题第 1、2题。
§2.5.1 直线与圆的位置关系（2）
例 3 例 4
板书设计
教学反思课 题 2.5.2 圆与圆的位置关系 课 型 新授课
授课对象 高二学生
选用教材 人教 A版（2019）选择性必修一
1. 圆与圆的位置关系；
教学内容
2. 两圆相交时的公共弦所在的直线。
《圆与圆的位置关系》是在研究“点与圆的位置关系”和“直线与圆的
位置关系”的基础上通过类比进行研究学习的，是前面所学知识的延续。
教材分析
本节课在研究“圆与圆的位置关系”时主要运用几何法，重在培养学生
数形结合的数学思想。
学生在初中的时候已经认识了圆与圆的五种位置关系，上节课也已经学
习了直线与圆的位置关系，本节课是在此基础上进行的，主要是利用几
学情分析 何法和代数法判断圆与圆的位置关系，并由此得出两圆相交公共弦所在
的直线的方程。但由于学生对解析几何的学习程度较浅，且基础较差，
在学习上会显得比较吃力。
1. 能根据给定的方程判断圆与圆的位置关系；
教学目标 2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想，学会用数形结合思想处理
问题。
教学重点 能根据给定的方程判断圆与圆的位置关系。
教学难点 圆与圆位置关系具体问题的研究。
教学方法 探究式教学与启发式教学相结合
教学资源与工具 教材、黑板、圆规、多媒体
教学过程预设
教学环节 师生活动 设计意图
问题：上节课我们主要学习了哪些内容？
相离 d>r Δ<0
1、直线与圆的位置关系 相切 d=r Δ=0
相交 00
2、弦长计算： 通过复习回顾，
一、导入 明确本节课研
(1)几何法：| AB | 2 r 2 d 2
究内容。
(2)代数法：| AB | (x x )2A B (yA yB )
2
3、切线方程
师生活动：教师引导学生回顾系上节课知识，为本节
课“直线与圆的位置关系”的实际应用打下基础。
（一）提出问题，探究新知
问题：回忆一下初中所学的知识，回忆下圆与圆的位
置关系有哪些？
师生活动：教师通过多媒体展示动画，学生回顾初中
所学圆与圆的位置关系。
追问：随着两圆的相对位置变化，公共点个数又分别 复习初中所学
是多少？ 圆与圆的位置
师生活动：教师引导学生根据圆与圆的位置关系得到 关系，对本节课
每种位置公共点个数. 所研究内容做
（1）两圆相交，有两个公共点； 一个初步了解。
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
（二）类比探究，方法总结
问题：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位
置关系的方法，判断圆与圆的位置关系
师生活动：学生回答——几何法和代数法，教师点评。
追问：利用几何法和代数法判断圆与圆位置关系的具
体方法是什么？
师生活动：学生合作交流，根据直线与圆位置关系判
断总结圆与圆位置关系判断的具体方法，教师归纳。
总结：
1.几何法
设圆C1的半径为 r1，圆C2 的半径为 r2，如何判断圆
与圆的位置关系？
类比探究，总结
（1）当 |C1C2 | r1 r2时，圆C1和圆C2 外离；
得出判断圆与
二、探究新知
（2）当 |C1C2 | r1 r2时，圆C1和圆C2 外切； 圆位置关系的
（3）当 r r |C C 方法及做题步1 2 1 2 | r1 r2 ，圆C1和圆C2 相交；
骤。
（4）当 |C1C2 | | r1 r2 |时，圆C1和圆C2 内切；
（5）当 |C1C2 | | r1 r2 |时，圆C1和圆C2 内含.
2.代数法
因为两个圆的交点坐标就是两个圆的方程的公共
解，所以可以根据两个圆的方程的公共解的个数判断
它们之间的关系.具体情形如下：
两圆相交 有两组公共解；
两圆相切 有一组公共解；
两圆相离 没有公共解.
追问：利用几何法和代数法判断圆与圆位置关系的具
体步骤是什么？
师生活动：学生合作交流，根据直线与圆位置关系判
断总结圆与圆位置关系判断的具体步骤，教师归纳。
总结：
1.几何法
(1) 把两圆的方程化成标准方程；
(2) 求出两圆的圆心坐标及半径 r1,r2；
(3) 求两圆的圆心距 d；
(4)比较 d与|r1-r2|, r1+r2 的大小关系，得出结论.
2.代数法
(1)联立两者方程；
(2)消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程；
(3)求出△；
(4)判断△的符号，得出结论.
例 5 已知圆C1 : x
2 y2 2x 8y 8 0，圆
C2 : x
2 y2 4x 4y 2 0，试判断圆C1与圆C2 的位置关
系. 例5是判断圆与
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。 圆位置关系的
例题，师生从几
解 1：将圆C1与圆C2 的方程联立，得到方程组
何法和代数法
x2 y2 2x 8y 8 0，① 两个方面解决
x2 y2 4x 4y 2 0 . ②
问题，加深对圆
①-②，得 x 2y 1 0，③ 与圆位置关系
y 1 x 的理解。由③，得 .
2
把上式代入①，并整理，得 x2 2x 3 0 .④
方程④的根的判别式Δ ( 2)2 4 1 ( 3) 16 0 ，
所以，方程④有两个不相等的实数根 x1，x2 . 把 x1，x2分
别代入方程③，得到 y1，y2 .
因此圆C1与圆C2 有两个公共点 A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，
这两个圆相交.
【问题探究】圆C1与圆C2 与方程③有什么关系？
师生活动：学生合作交流，画出圆 C1 与圆 C2 以及方
程③表示的直线，并求出圆 C1 与圆 C2 的交点坐标.
提出问题，交流
总结：当两圆相交时，两圆方程相减，可得两圆公共 探究，得出两圆
弦所在直线的方程. 相交时的公共
解 2：把圆C1的方程化成标准方程，得 弦所在的直线
的方程。
(x 1)2 (y 4)2 25，圆C1的圆心是 ( 1， 4)，半径 r1 5.
三、例题及变 把圆C2 的方程化成标准方程，得
式 (x 2)2 (y 2)2 10，圆C2 的圆心是 (2，2)，半径
r2 10 .
圆C1与圆C2 的连心线的长为
( 1 2)2 ( 4 2)2 3 5 .
圆C1与圆C2 的两半径之和 r1 r2 5 10，两半径
长之差 r1 r2 5 10 .
因为5 10 3 5 5 10 ，即 r1 r2 3 5 r1 r2 ，
所以圆C1与圆C2 相交（如图），它们有两个公共点 A，
B.
【问题探究】 在解法 1中，如果两圆方程联立消元后
得到的方程的 0，它说明什么？能据此确定两圆是
内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？
当 0时，两圆是什么位置关系？
师生活动：学生合作交流，给出解决方案，教师帮助
其进行归纳总结。
总结：
对两种判断方
(1)当 ＝0 时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切,
法进行比较。
但不能确定两圆是内切还是外切.还要根据两圆的半
径与圆心距作进一步判断：
①若 d=R+r，则两圆外切 ②若 d=|R-r|，则两圆内切
(2)当 < 0 时, 方程组没有解, 此时两圆相离，但不
能确定两圆是外离还是内含.还要根据两圆的半径与
圆心距作进一步判断：
①若 d>R+r，则两圆外离 ②若 0≤d<|R-r|，则两圆内含
例 6 已知圆 O的直径 AB 4，动点 M与点 A的距离是
它与点 B的距离的 2倍.试探究点 M的轨迹，并判断
该轨迹与圆 O的位置关系..
师生活动：学生合作交流，给出解决方案。
解：如图，以线段 AB 的中点 O为原点，AB 所在直线为
x轴，线段 AB 的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐
标系.由 AB 4，得 A( 2，0)，B(2，0) .
用坐标法探究
设点 M的坐标为 (x，y)，由 |MA | 2 |MB |，得
满足几何条件
(x 2)2 y2 2 (x 2)2 y2 ，化简，得 的动点的轨迹。
x2 12x y2 4 0，即 (x 6)2 y2 32 .
所以点 M的轨迹是以 P(6，0)为圆心，半径为 4 2的
一个圆.
因为两圆的圆心距为 | PO | 6，两圆的半径分别为
r1 2，r2 4 2，又 r2 r1 | PO | r2 r1，所以点 M的轨迹
与圆 O相交.
变式训练：已知圆C1 : 2 + 2 = 4,圆C2 : 2 + 2 8
6 + 16 = 0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
问题：
1.圆与圆的位置关系有哪几种，该如何判断？ 及时梳理，提炼
四、课堂小结
2.圆与圆相交时的公共弦所在的直线方程如何求？ 升华所学知识。
师生活动：学生从两个方面对课堂内容进行反思总结。
1.复习本节课内容;
2.完成课本 P98 练习题第 2题;
五、布置作业 课后巩固提升
3.思考圆与圆相交时的公共弦长如何求，并求出例 5
两圆相交的公共弦长.
§2.5.2 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：相交、相切（外切、内切）、相离（外离、内
含）
板书设计
2、圆与圆位置关系的判断
教学反思(共29张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
人教A版（2019）高中数学选择性必修一第二章2.5《直线与圆、圆与圆的位置关系》
课堂教学
复习回顾
问题： 如何判断直线与圆的位置关系？
代数法：
方程有两解
方程有一解
方程有0解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
直线与圆相切，有一个交点
直线与圆相离，无交点
复习回顾
问题： 如何判断直线与圆的位置关系？
几何法：
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
新课导入
前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系．
现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
探究新知
问题1 回忆一下初中所学的知识，回忆下圆与圆的位置关系有哪些？
圆与圆的位置关系有五种：
外离、外切、相交、内切、内含.
外离
外切
相交
内切
内含
随着两圆的相对位置变化，公共点个数又分别是多少？
0个
1个
2个
1个
2个
圆与圆的位置关系
探究新知
问题2 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系
1. 代数法：
利用圆的方程判断圆与圆位置关系：
联立求解.
① 方程组有两组不同实数解
两圆相交
② 方程组有一组实数解
两圆相切
③ 方程组没有实数解
两圆相离或内含
（1）由两个圆的方程
联立两者方程看是否有解.
(2)消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程；
(3)求出△；
(4)判断△的符号，得出结论：
圆与圆的位置关系
探究新知
设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距d，则
2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.
①圆和圆外离
② 圆和圆外切
③ 圆和圆相交
(1)把两圆的方程化成标准方程；
(2)求出两圆的圆心坐标及半径r1,r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论：
④ 圆和圆内切
⑤ 圆和圆内含
典例分析
y
x
A
B
C2
C1
圆③直线有什么关系？
典例分析
问题3：画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？并求出圆C1与圆C2的交点坐标.
③
解：两相交圆方程相减得公共弦方程
将 式代入①，并整理，得 ④
③
解得：x1=-1，x2=3.
得 y1=1，y2=-1.
点A（-1，1），B（3，-1）.
当两圆相交时，两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程.
A
B
典例分析
y
x
A
B
C2
C1
思考
问题4：如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？ 当 <0时，两圆是什么位置关系
还要根据两圆的半径与圆心距作进一步判断.
当 ＝0时, 方程组只有一组解, 此时两圆相切, 但不能确定两圆是内切还是外切.
若d=R+r，则两圆外切；
若d=|R-r| ，则两圆内切；
当 < 0时, 方程组没有解, 此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.
若d>R+r ，则两圆外离；
若0≤d<|R-r| ，则两圆内含．
例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
P
x
y
O
A
B
M
解: 如图所示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0).
把
如何分析解决这个问题？
所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半
径为 的一个圆.
变式训练
解: 把圆C2方程化成标准方程，得
∴圆C1与圆C2外切.
课堂小结
1.判断圆和圆的位置关系——几何法、代数法
2.圆与圆相交时的公共弦
3.满足某种几何条件的动点的轨迹——坐标法
1、复习本节课内容;
2、完成课本P98练习题第2题；
3、思考：圆与圆相交时的公共弦长如何求，
并求出例5两圆相交的公共弦长.
作业
教学阐释
C
ONTENTS
目录
01 |
教材分析
02 |
学情分析
03 |
目标分析
04 |
重点难点
05 |
教法分析
06 |
教学过程
教材分析
《圆与圆的位置关系》是在研究“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”的基础上通过类比进行研究学习的，是前面所学知识的延续；
本节课在研究“圆与圆的位置关系”时主要运用几何法，重在培养学生数形结合的数学思想。
学情分析
授课对象：高二学生
学生已经学习了：
● 圆与圆的位置关系（初中）；
● 点与圆、直线与圆的位置关系及其判断方法；
● 学生具备基本的数学思维和思想方法：观察、类比、归纳、概括、表达等能力。
班级情况：学生基础差、底子薄、缺乏学习的主动性，在解析几何的学习上难度较大，但渴望进步。
目标分析
知识与技能：
● 理解圆与圆的五种位置关系，掌握其判断方法；
● 掌握两圆相交时的公共弦问题；
过程与方法：
● 培养学生用解析法观察、发现、研究和解决几何问题的能力；
情感态度价值观：
● 激发学生自主探究问题的兴趣；
●学生类比能力及数形结合思想的培养。
重点难点
重点：
● 圆与圆的位置关系的判定方法，两圆相交时的公共弦；
难点：
● 圆与圆位置关系的研究。
教法分析
教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，站在学生思维的最近发展区上启发诱导。
教学过程
复习回顾，引入新课
直线与圆的位置关系的判断
1.几何法 2.代数法
教学过程
合作探究，获得新知
1.复习初中所学习圆与圆之间的位置关系；
2.类比直线与圆的位置关系的判断得到圆与圆的位置关系的判断方法；
3.思考如何去求两圆相交时的公共弦所在的直线；
4.思考用代数法求圆与圆的位置关系时有什么局限性。
教学过程
典例分析，当堂训练
1.例5 圆与圆的位置关系；
2.例5 圆与圆相交时的公共弦问题；
3.例6 动点的轨迹、圆与圆的位置关系;
4.当堂训练。
教学过程
课堂小结，反思提高
1.知识方面：圆与圆的位置关系、两圆相交时的公共弦问题；
2.方法方面：几何法、代数法；
3.思想方面：类比推理、数形结合的思想。
教学过程
布置作业，分层落实
1.复习：本节课内容；
2.巩固：课本P98练习题第2题，思考两圆相交时的公共弦长如何求。
感谢聆听！
