第二十一章 正比例函数与反比例函数
22．2比例的合比、分比和等比性质
教学目的：
1、 掌握比例的合比、分比和等比性质；
2、 能用比例的性质化简及求值。
教学重点：
熟悉并掌握比例的性质。
教学难点：
灵活运用比例的性质来解决问题。
教学过程：
1、 复习旧知识：
1、 比例的基本性质：比例的内项积等于外项积。
2、 设“k”法
例1、 已知：2x – 5y = 0，求（1）x ：y；（2）（x+y） ：y；（3）（x－y） ：（x+y）；
（4）（3x+y） ：（4x-3y）
解：（1）由已知得2x＝5y
∴x ：y＝5 ：2
（2）由（1）得x = 5k，y=2k
则（x+y） ：y＝7k ：2k = 7 ：2
（3）由（1）得x = 5k，y=2k
则（x－y） ：（x+y）＝3k ：7k = 3 ：7
（4）由（1）得x = 5k，y=2k
则（3x+y） ：（4x-3y）＝17k ：14k = 17 ：14
练习：（1）已知，求（i）；（ii）的值
（2）已知，求：的值。
解：（1）（i）设，
则 解得：
∴
（ii）∵
∴a = 2k，b = 6k，c = 5k
∴
（2）设
则
（1）＋（2）＋（3）得 x+y+z＝2k(x+y+z)
当x+y+z≠0时，k＝，∴；
当x+y+z＝0时，x+y＝－z，k＝，∴；
2、 新课讲解：
我们学习比例的其他几个性质：
1、 合比性质：
证明：
2、 等比性质：
证明：设，则a = bk，c = dk，……，m=nk
例2、 已知：，求证：
证明：
例3、 已知：，b+d+f=4，求a+c+e
解：
b+d+f=4
练习：
（1） 已知：，求
（2） 已知：，求证：（i）；（ii）
解：（1）
证明：（2）（i）
（ii）
3、 小结：
1、 比例中常见的设“k”法
2、 比例的三条性质：合（和）、分（差）及等比性质
4、 作业：
1、 B册/21.2
2、 一课一练
3、 同步第二十一章 正比例函数与反比例函数
21.1比例的意义与性质
教学目的：
1、 理解比例的意义，掌握比例的有关概念（如比例的项，比例内项、外项、中项等）；
2、 掌握比例的基本性质，并能由此判断四个数是否成比例。
教学重点：
比例的概念
教学难点：
比例的基本性质
教学过程：
1、 复习旧识：
1、 什么是比？
两数相除叫做两数的比。
如 150 ：30 = 5
150叫做比的前项，30叫做比的后项，5叫做比值；“：”叫做比号
2、 举几个比值相等的比。
3、 填空：
（1）2：5＝6：（ ）； （2）3a：（ ）＝a：
（3）0.01：10＝0.1：（ ）
解：（1）15；（2）1.5a；（3）100
2、 新课讲解：
1、 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
如：15：5＝9：3
15和3叫做比例的外项，5和9叫做比例的内项；15叫做第一比例项，5叫做第二比例项；9叫做第三比例项；3叫做第四比例项。
2、 比例的基本性质：
比例的两个外项的积等于两个内项的积。
即：
例1、 判断2，，，4能不能成比例？
解：
由比例的基本性质得：
*判断四个数是否成比例，只要先把这四个数按大小顺序排列，再分别计算最大与最小的数的积与中间两个数的积，如果这两个积相等，那么这四个数能成比例，反之不成比例。
思考：这样的比例式可以写出几个？
结论：的八种不同形式：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
练习：P36/2，61/3
例2、 根据可以写出多少种不同的比例式？
（1）；（2）；（3）；（4）
3、比例中项：
在比例中，如果两个外项或内项相等，即（或），我们称b为a与c的比例中项。
例3、 （1）如果a＝5，c＝9，b是a与c的比例中项，求b
（2）如果a＝5，b＝9，b是a与c的比例中项，求c
解：（1） （2）
又 又
例4、 由下列各式求x：y
（1） 5x = 2y； （2）6 ：y = 7 ：x； （3）a ：x = b ：y；
（4）4 ：y = 3 ：x； （4）3x – 5y = 0； （6）（2x + y） ：y = 3 ：2
解：（1）x ：y = 2 ：5； （2）x ：y = 7 ：6；
（3）x ：y = a ：b； （4）x ：y = 3 ：4；
（5）3x = 5y （6）4x +2y = 3y
x ：y = 5 ：3； 4x = y
x ：y = 1 ：4；
三、小结：
1、比例的意义，比的外项、内项及中项的概念
2、比例的基本性质：比例的内项积等于外项积。
3、判定四个数是否成比例
4、比例的八种表示形式
四、作业
1、A册/21.1（1）
2、同步
3、一课一练二、正比例函数余反比例函数
21.4 正比例函数的图像与性质
教学目的：
1、 正确做出正比例函数的图像
2、 掌握正比例函数的图像特征和性质
3、 运用正比例函数的图像的性质解题
教学重点：
掌握正比例函数的图像的性质
教学难点：
灵活应用正比例函数图像的性质解题
教学过程：
1、 复习引入：
1、 什么是正比例函数？什么是比例系数？
函数y = kx（）叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数。
2、 直角坐标平面内的任一点如何表示？
直角坐标平面内的点可以用有序数对来表示。、
3、 如何在直角坐标平面内画二元一次方程的图像？
做图像的步骤是：列表、描点、连线。
画二元一次方程的图像只要选取两个满足方程的解写成坐标绘成点后的直线。
2、 新课讲解
1、 正比例函数的图像
我们也采取列表、描点、连线方法观察正比例函数的图像是什么？
例1、 在同一直角坐标平面内分别画出y = 3x，y = x，的图像。
分析：由于正比例函数y = kx可看做关于x，y的二元一次方程，因此正比例函数的图像也应该是一条直线，因此画正比例函数图像时，只要找两个点即可。
解：先取O（0，0）和A（1，3）
过OA两点就得出函数y = 3x的图像
同理，取O（0，0）和B（1，1）
过OB两点就得出函数y = x的图像
取O（0，0）和C（2，1）
过OC两点就得出函数的图像
（1） 通常选取O（0，0）和A（1，k）
这两点。当然为了使画出的图形
精准些，我们通常取整数点，
且第二点离原点不要太近。
（2） 画图象时选取的点的坐标和函数
的解析式要在图上标明。
（3） 正比例函数的图象是
一条经过原点的直线，因此要
向两方无限延伸。
练习：在同一直角坐标平面内分别画出y = – 3x，y = – x，的图像。
解：先取O（0，0）和A（– 1，3）
过OA两点就得出函数y = – 3x的图像
同理，取O（0，0）和B（– 1，1）
过OB两点就得出函数y = – x的图像
取O（0，0）和C（– 2，1）
过OC两点就得出函数的图像
2、 正比例函数的图象性质
观察例1和练习中六个正比例函数的图象
讨论正比例函数的图象的性质。
（1） 由于正比例函数的自变量的取值范围是一切实数，
因此函数的图象是一条直线（而非线段或射线）
（2） 图象都是经过O（0，0）和A（1，k）的一条直线
（3） 当k >0时，图象都经过第一、三象限和坐标原点；
当k <0时，图象都经过第二、四象限和坐标原点；
（4） 当k >0时，直线从左往右是上升的直线，说明y随着x的增大而增大；
当k <0时，直线从左往右是下降的直线，说明y随着x的增大而减小；
（5）| k |越大，直线越靠近y轴；| k |越大，直线越靠近x轴；
*一般地，我们讨论一个函数的图象的性质从形状，经过的象限范围，增减性考虑。
3、正比例函数图象的性质的应用
例2、已知正比例函数
（1） 当m为何值时，函数的图象经过第二、四象限？
（2） 当m为何值时，y随着x的增大而增大？
解：（1）∵函数为正比例函数
∴ 解得
∴当m=±1时，函数为正比例函数。
当m = – 1时，函数为，函数的图象经过第二、四象限。
当m = 1时，函数为，y随着x的增大而增大。
练习：书P46/1，2，3
3、 小结
1、 画正比例函数的图象的方法及注意点。
描两点的方法，注意取O（0，0）点和第二点，一般取（1，k）点
2、 正比例函数的图象的性质：
经过O（0，0）和A（1，k）的一条直线，分k > 0 和k < 0讨论增减性及所属的象限。
3、 直角坐标平面内四个象限点的特点。
4、 作业：
1、 B册/21.4
2、 同步
3、 一课一练二、正比例函数与反比例函数
21.3正比例函数
教学目的：
1、 理解正比例函数及正比例的意义；
2、 根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；
3、 识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
教学重点：
理解正比例和正比例函数的意义
教学难点：
判定两个变量之间是否存在正比例的关系
教学过程：
1、 新课引入 ：
回答下列问题：
（1） 汽车在公路上以每小时100千米的速度行驶，怎样表示它走过的路程S（千米）随行驶时间t（小时）变化的关系？
（2） 圆的周长C与半径r之间的关系是什么？
（3） 某水厂以每分钟20升的速度向一个空水池放水，怎样表示水池的蓄水量Q（升）与时间t（小时）之间的关系？
解：（1）S = 100t
（2）C=2πr
（3）Q=20t
二、新课讲解：
1、常量、变量，函数的描述性定义
我们研究其中第（1）个问题：
在计算汽车在不同时间内所行驶的路程时，t与S可以取不同的数值，而汽车的速值总是保持不变，可成下表：
t（小时） … 1 1.5 2 2.5 3 …
S（千米） … 100 150 200 250 300 …
常量：在某个问题的研究过程中，始终保持不变的量叫做常量
如（1）中的速度；（2）中的圆周率；（3）中放水的速度
变量：在某个问题的研究过程中可以取不同数值的量叫做变量
如（1）中的S，t；（2）中的C，r；（3）中的Q，t
函数：在某个问题中，几个变量之间满足一定的对应关系，我们称之为函数。
如：（1）中对于时间t的每一个确定的值，路程都有唯一确定的值与之对应，那么我们说S是t的函数，其中变量t是自变量，变量S叫做应变量，S与t之间的对应关系可以用数学式子S = 100t来表示，这种表示S和t之间关系的式子称为函数关系式或函数解析式。
学生模仿练习说明（2）（3）中的函数，自变量，应变量，函数关系式分别是什么？
（2）中C是r的函数，r是自变量，C是应变量，函数关系式是C=2πr；
（3）中Q是t的函数，t是自变量，Q是应变量，函数关系式是Q=20t；
2、正比例函数的定义
观察（1）中S与t的不同取值之间有什么共同之处？
（1）中S与t的对应值的比值（）总是一个常数（100）
在速度不变的运动中，路程S与时间t的比值是一定的，我们说S与t成正比例。
学生模仿练习说明（2）（3）有没有成正比例的？
（2）中C与r的比值是2π是一个常量，所以C与r成正比例；
（3）中Q与t的比值是20是一个常量，所以Q与t成正比例；
正比例函数：一般地，如果变量x，y有关系y =-kx（k是一个不等于0的常数），那么变量x，y成正比例，函数y = kx（）叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数，自变量x的取值范围是一切实数，比例系数不能为零。
学生模仿练习说出（1），（2），（3）中的比例系数
（1）中的比例系数为100；（2）中的比例系数为2π；（3）中的比例系数为20；
三、习题讲解：
例1、判断下列各式中变量x与变量y是否存在正比例函数关系，是，请说出它的比例系数。
（1）y = – 7 不是
（2） 是，比例系数是
（3） 不是
（4）y = – x 是，比例系数是– 1
（5）y = x+1 不是
（6） 是，比例系数是
（7） 不是
（8） 不是
（9） 是，比例系数是
（10） 不是（自变量x的取值不为零，而正比例函数中取值为一切实数）
例2、判断下列关系是否成正比例？为什么？
（1）正方形的周长与它的边长；
（2）圆的面积与它的半径；
（3）要走50公里的路程，车速v（公里/小时）与行走的时间t（小时）；
（4）矩形的长为5，它的面积与宽；
（5）矩形的长为5，它的周长与宽；
解：（1）C = 4a 正方形的周长与它的边长成正比例
（2） （不是常量），圆的面积与它的半径不成正比例
（3）vt = 50 不是常量，车速v，与行走的时间t，不成正比例
（4）S =5b ，矩形的面积与宽成正比例
（5）C=2（5+b）不是常量，矩形的周长与宽不成正比例
例3、已知y与 x成正比例，且当x = 3时，y＝18，求y与x之间的关系式。
解：∵ y与 x成正比例
∴
把x = 3，y = 18代入得
18 = 3k， k = 6
∴y与x之间的关系式为y = 6x
*要确定一个正比例函数的解析式时，只要确定比例系数k即可，所以求正比例函数的关系式就是转化成解一元一次方程。
学生练习书P43/1，2，3，4
拓展练习：
（1）已知：函数是正比例函数，求这个函数的解析式。
（2）已知y与x成正比例，并且当时，y = 5，求当x = – 3时，y的值。
（3）已知y+3与x成正比例，且x = 4时，y = – 1，求y与x之间的函数关系式。
（4）已知y与x成正比例，z与y也成正比例，且当x = – 3时，y = 6；当y = 时，z = 3，
求z与x之间的函数关系式。
解：（1）∵函数是正比例函数
解得：
∴这个函数的解析式为y = 5x
（2）∵y与x成正比例，∴设
把，y = 5代入得，解得k = 10
∴ y = 10x
把x = – 3代入得y =– 30
∴当x = – 3时，y的值是– 30。
（3）∵y+3与x成正比例，∴设
把x = 4，y = – 1代入得，解得k =
∴ y+3= x
∴y与x之间的函数关系式为y =x – 3。
（4）∵y与x成正比例，z与y也成正比例
∴设，，则
把x = – 3，y = 6代入得，解得：；
把y = ，z = 3代入得，解得：；
把，代入得
四、小结：
1、常量、变量，函数的意义
2、正比例函数的定义及如何判定两个变量是否成正比例关系
3、正比例函数解析式的确定即为比例系数k的确定，注意k≠0
五、作业：
1、B册/21.3
2、一课一练
3、同步
4、复习初一学过的二元一次方程的图象与画法第二十一章 正比例函数与反比例函数
21．1（2）解比例
教学目的：
正确熟练地解比例
教学重点：
解比例
教学过程：
1、 复习引入：
1、 判断下列各组数是否成比例？
（1）6，7，14，3
（2），4，3，2
（3）3，6，12，6
（4）8，9，10，11
解：（1）
6 ：14 = 3 ：7
（2））
（3）
6 ：12 = 3 ：6
（4）
2、 根据下列各式求a ：b
（1） 3a = 4b； （2）；
（3）7：a = 4：b； （4）3 ：2 = b：a
解：（1）a ：b = 4 ：3；
（2）a ：b = 5 ：7；
（3）a ：b = 7 ：4；
（4）a ：b = 2 ：3；
3、化简下列各式：
（1）； （2）
解：（1）原式=
（2）原式=
4、求下列两数或两式的比例中项：
（1）8和2； （2）5和9； （3）
解：设比例中项为x
（1） （2） （3）
2、 新课讲解：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出最后一个未知项
解比例：求比例中的未知数，就叫做解比例。
例1、 解比例
（1）4 ：x = 3 ：5； （2）（x + 2） ：x = 11 ：9
（3） （4）
解：（1） 3x = 20 （2） 11x =9x+18
x = 2x = 18
x = 9
（3） （4）
3x =4 x =（a – 3）（a – 2）
x = x =
练习：书P38
例2、 给a – 2b，，1再配上一个代数式，使它们组成比例。
解：设这个代数式为A，
则（a – 2b） ：（）=1 ：A
（a – 2b）A =（a – 2b）（a – 3b）
A = a – 3b
所以 这个代数式为 a – 3b
例3、 把下列各式按要求写成比例式：
（1）（x为第四比例项） （2）（x为第三比例项）
（3）（x为第二比例项） （4）（x为第一比例项）
解：（1） （2）
（3） （4）
（3）
3、 小结：
1、 比例的基本性质
2、 解比例
4、 作业：
1、 A册/21.1（2）
2、 同步
3、 一课一练三 函数
21.7函数的表示法
教学目的：
1、 理解函数的三种表示法
2、 按已知条件求函数的解析式
教学重点：
用待定系数法求函数的解析式
教学难点：
按已知条件选择合适的方法表示函数的解析式
教学过程：
1、 复习引入
1、我们已经学习了三种特殊的函数，它们分别是什么？图象又是什么？
（1）正比例函数 一般式：y = kx（k≠0）图像是一条经过O（0，0）和A（1，k）的直线
（2）反比例函数 一般式：图象是双曲线
（3）常值函数 一般式：图象是过（0，c）且平行于x轴的直线
2、函数的定义是什么？
一般地，在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定的值，，按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，其中x的某个允许取值范围就叫做函数的定义域，y的唯一确定的值称为函数值。
2、 新课讲解：
1、两个变量之间的函数表示，常用的有如下三种表示法：
（1）解析式法：
象用y = kx（k≠0），这样的数学式子来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。如：，，式子中有两个变量，一个变量随着另一个变量的取值得到相应的值。
（2） 图象法：
正比例函数的图像是一条经过O（0，0）和A（1，k）的直线
反比例函数的图象是双曲线
这是用图象来表示函数关系的方法叫做图象法，如说到双曲线，我们就知道这个函数是反比例函数，说道抛物线，我们就知道是二次函数
（3） 列表法：
用列表来表示两个变量之间的函数关系，如每个时间的温度用列表的方式表示出来。
有些函数我们不是很了解它，一般我们用列表、描点和连线来画出它的图象，然后研究它的性质，与解析式中的系数的关系。函数的三种方法是共同使用的。
例1、 研究函数y = x+3的性质
分析：函数y = x+ 3也可以看作是一个二元一次方程，而二元一次方程的图象上一条直线，所以我们画这个函数的图象时，只需找到两个点即可。
解：列表：
x … 0 – 3 …
y … 3 0 …
建立直角坐标平面并描点（0，3）和（– 3 ，0），将这两个点连成一条直线，这条直线就是函数y = x+3的图象。
从图中可知函数y = x+3，定义域是x取一切实数，y随着x的增大而增大
*画函数图象的三个步骤：
（1）列表：把自变量x与函数y的每组对应的值列表。（如果肯定是直线，一般画两个点，若不知道什么形状，要画八个点以上）
（2）描点：把自变量x和函数y的每组对应的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角平面内找到相应的点
（3）连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线或直线把所描的点连接起来
2、求函数的解析式：
例2、已知y = ，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x = 3时，y = 23，当x = 4时，y = 33，求y与x之间的函数解析式。
解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例
∴ y1 = k1x（k1≠0）
∵y =
（1）
把x = 3，y = 23和x = 4，y = 33分别代入（1）
解得：
∴y与x之间的函数解析式为
用待定系数法求函数解析式的步骤：
（1） 写出函数的一般形式，即例题中的（1）式，其中包括未知的系数（需要确定的系数，如例题中的k1，k2）
（2） 把自变量与函数的对应值代入到需要待定系数的函数解析式中，得到关于未知系数的方程或方程组
（3） 解这个方程（组），求出未知的系数，从而得到函数的解析式。
练习书P57
3、 小结：
1、 函数的三种表示方法：解析式法，图象法和列表法
三种方法不是独立的，可有机结合使用
2、 用待定系数法求函数的解析式
4、 作业：
1、 A册/21.7
2、 同步
3、 一课一练
4、 补充练习
（1） 在等腰三角形ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，取BC所在的直线为x轴，且以点B为坐标原点，求⊿ABC三个顶点的坐标。
（2） 根据下列函数关系式填写下列表格，并画出相应的图象
x … – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 …
y=x-1 … …
y=|x| … …
… …
（3） 已知：y = ，y1与x成正比例，y2与x – 3成反比例，且当x = 4时，y =3，当x = 1时，y = 3，求x=9时y的值。
（4） 画出有等式xy – y = 1确定的函数的图象，并研究在x取什么范围内的数时，使得y的值随着x的增大而增大。三 函数
21.6函数（一）
教学目的：
1、 理解函数的意义；
2、 掌握函数的表示法
3、 会判断变量之间的变化关系是否函数关系
教学重点：
函数的定义及对应法则
教学难点“
判断变量之间的变化关系是否函数关系
教学过程：
1、 新课导入：
1、你能说出正比例函数及反比例函数的解析式吗？
正比例函数：y = kx（k≠0）
反比例函数：
2、观察下列几个式子中x与y的变化关系：
（1）y = x + 3
（2）
（3）
（i）思考式子中的x的取值范围是什么？
（1）中x取任何实数；（2）中x取大于或等于0.5的实数；（3）中x取不等于负5的任何实数。
（ii）对于每一个x的允许的取值范围内的值，y有多少个值与之对应？
这三个式子在x的允许的取值范围内的值，y都只有唯一的值和它对应。
2、 新课讲解：
1、 函数的定义：
一般地，设在某个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定值，按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
特别注意定义中的两个地方：
（1） 在x的某个允许取值范围中的每一个确定的值。
（2） y都有唯一确定的值与之对应
例1、 下列各组对应中，x表示自变量，y表示对应的值，判断y是不是x的函数，为什么？
（1）x y （2）x y （3）x y （4）x y （5）x y
1 3 1 π – 2 4 1 1 3 9
2 6 2 4π – 1 – 1 2
3 9 3 9π 0 1 4 2 1 4
4 12 4 16π 1 – 2 0 1
2 0
（1）（2）（3）中y是x的函数，（4）中y不是x的函数，因为y都有两个值与x对应
（5）中y不是x的函数，因为x中的1没有y的值和它对应。
2、函数的表示方法：
y是x的函数，通常我们用y = f（x）来表示，括号内的x表示自变量，括号外的f表示两个变量之间的对应法则，这种用y = f（x）来表示“y是x的函数”的方法叫做函数关系式
例2、 已知某物体运动中路程s与速度v和时间t之间有关系s = vt
（1） 如果速度不变，这个式子中哪一个量是自变量，哪一个量是函数？并指明它是什么类型的函数？
（2） 如果时间不变呢？
（3） 如果路程保持不变，怎样表示速度是时间的函数，并指明它又是什么类型的函数？
解：（1）t是自变量，s是t的函数，它是正比例函数
（2）v是自变量，s是v的函数，它是正比例函数
（3），它是反比例函数
例3、把下列关于x，y的关系式改写成函数关系式y = f（x）的形式
（1）x + 2y + 3 = 0
（2）
（3）
分析：本题就相当于解一个关于y的字母方程
解：（1） 2y = – 3 – x （2）10xy – 2y + 15x – 3 =3y – 1 （3）
10xy – 5y = 2 – 15x
3、 小结：
1、 本节课的两个概念：函数的意义及函数的关系式
2、 函数的定义中注意两个问题：定义域和y的唯一对应
3、 函数关系式的表示法的实质是解字母方程
4、 作业
1、 B册/21.6（1）
2、 同步
3、 一课一练二、正比例函数与反比例函数
21．5反比例函数的图像与性质
教学目的：
1、 掌握反比例及及反比例函数概念；
2、 根据已知条件确定比例系数k
3、 用描点法做出反比例函数图像并总结出图像的性质
教学重点：
掌握反比例函数定义及图像特征、性质
教学难点：
根据正、反比例函数性质综合灵活解题
教学过程：
1、 复习旧知识：
如图：⊿ABC，AD⊥BC，BC=4cm，AD=xcm，⊿ABC的面积为ycm2，
试求y与x的函数关系式。
解：
y = 2x
1、什么是正比例函数？
函数y = kx（k≠0）叫做正比例函数。
2、正比例函数的图象是什么？有哪些性质？
正比例函数的图象是经过点O（0，0）和点A（1，k）的一条直线
正比例函数y = kx（k≠0）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当 | k |越大，函数图象越靠近y轴。
2、 新课引入：
如图：⊿ABC，AD⊥BC，BC=ycm，AD=xcm，⊿ABC的面积为4cm2，
试求y与x的函数关系式。
解：
形如这样的函数是正比例函数吗？不是，那是什么函数呢？
3、 新课讲解：
1、 反比例
如果两个变量x，y的积是一个常量，那么我们就说x，y成反比例。
例1、 指出下列哪两个量成正比例，哪两个量成反比例，哪些两者都不是。
（1） 梯形的上底a和高h一定时，它的面积s与下底b
（2） 圆锥体的底面半径r一定时，它的体积和圆锥的高h
（3） 拖拉机开始工作时，油箱中有油40公斤，如果每小时耗油3.5公斤，那么油箱中的余油量y（公斤）与它工作的时间t（小时）
（4） 三角形一边a上的高h一定时，三角形的面积s与这条边a
（5） 当水池的容量v一定时，每小时的灌入的水量y和灌满水池所需要的时间t
（6） 当货物的总价a一定时，单价y和货物的数量x
（7） 正方形的周长l和边长a
（8） 圆的面积s与圆的半径
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2、反比例函数
函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，自变量x取不为零的任何实数
例2、 下列哪些是反比例函数？如果是，请说出比例系数。
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）
解：（2）、（4）（5）（8）是反比例函数，比例系数依次为，，3，
比较正比例和反比例函数解析式的异同
相同之处：比例系数都是k≠0；都没有后缀
不同之处：自变量的指数 正比例函数为1，反比例函数为– 1；
自变量的取值范围 正比例函数为一切实数，反比例函数为不为零的任何实数
例3、 已知变量y与x成反比例，且当x = 2时，y = 9
（1） 写出y与x之间的函数解析式
（2） 当x = 3时，求y的值
（3） 当y = 5时，求x的值
解：（1）设
把x = 2，y = 9代入得k = 18
y与x之间的函数解析式为
（2）把x = 3代入得
（3）把y = 5代入得
先设函数解析式，然后通过代入求得比例系数的方法我们称之为待定系数法
3、反比例函数的图象及性质
例4、在同一直角坐标平面内画出函数的图象。
解：用描点法画的图象
列表：
x … – 8 –4 –2 –1 1 2 4 8 …
y … –1 –2 –1 –8 8 4 2 1 …
在直角坐标平面内描出这几个点，并用光滑的曲线连接它们，得到的图象。
列表：
x … – 8 –4 –2 –1 1 2 4 8 …
y … 1 2 1 8 –8 –4 –2 –1 …
在直角坐标平面内描出这几个点，并用光滑的曲线连接它们，得到的图象。
反比例函数的图象有两支，我们称之为双曲线。
4、 反比例函数图象的性质
（1） 反比例函数有两个分支，
当k.>0时，图象分别在第一、三象限；当k < 0时，图象分别在第二、四象限
（2） 双曲线的两支无限延伸，无限地接近x，y轴，但永远不会和x，y轴相交
（3） 当k > 0时，在各自的象限内，y随着x的增大而减小；
当k > 0时，在各自的象限内，y随着x的增大而增大；
（4） 当| k |越小，双曲线越接近坐标轴。
*性质（3）中，特别注意“在各自的象限内”，如的图象在第三象限到第一象限跨越时，横坐标x由负变正在增加，纵坐标y也由负变正即在增加，不符合y随x的增大而减小了。
例5、简答题：
（1） 反比例函数的图象在第一、三象限，求a的取值范围。
（2） 反比例函数的图象与正比例函数y = 2x的图象相交于A点，且A点的横坐标为
求反比例函数的解析式。
（3） 已知函数
（i） 当m为何值时，为正比例函数，并说明其增减性
（ii） 当m为何值时，为反比例函数，并说明其增减性
解：（1）由题意得： a – 3 > 0，解得 a >3
当a >3时反比例函数的图象在第一、三象限。
（2）把x=代入y = 2x得y = 1
设：
把x=， y = 1代入得k=
反比例函数的解析式为
（3）（i）函数为正比例函数
解得m = – 1
正比例函数解析式 y = – 2x，y随着x的增大而减小。
（ii）函数为反比例函数
解得m = – 2
正比例函数解析式 y = ，在各自的象限内，y随着x的增大而增大。
练习：
1、 反比例函数上任一点向x轴，y轴引垂线所成的矩形面积为8
求这个反比例函数的解析式
2、 正比例函数y = mx（m≠0）与反比例函数何时有交点，如果有交点，有几个，它们之间什么关系？
解：（1）设这个点的坐标为（x，y），则由题意得：| x | | y | = 8
| xy | = 8，∵ xy = k，∴| k | = 8 解得k = ±8
∴这个反比例函数的解析式为或
*反比例函数上任一点向x轴，y轴引垂线所成的矩形面积为 | k |
（2）当m与k同号时，正比例和反比例函数的图象位于相同的象限，此时它们的图象有交点；
由于双曲线是关于原点对称的，因此有交点的话，一定有两个交点，且它们关于原点对称。
4、 小结：
1、 反比例及反比例函数
如果两个变量x，y的积是一个常量，那么我们就说x，y成反比例。
函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，自变量x取不为零的任何实数
2、 反比例函数的图象及其性质
反比例函数的图象有两支，我们称之为双曲线。
从函数位于的象限，增减性等三方面表示反比例函数的图象的性质
3、 待定系数法求反比例函数的解析式
5、 作业
1、 A册/21.5
2、 同步
3、 一课一练三、函数
21.6（2）函数的定义域
教学目的：
1、 掌握函数的定义域及函数值的定义，并能确定函数的定义域；
2、 已知自变量的值能正确地计算函数的值；
3、 理解常值函数的意义
教学重点：
确定函数的定义域及已知自变量的值求函数的值
教学难点：
函数的定义域
教学过程：
1、 复习引入：
函数的意义：
对于自变量x在某个允许取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应。
在定义中，“x在某个允许取值范围内”这个就是我们今天学的内容：定义域
2、 新课讲解：
1、 定义域
函数自变量的允许取值范围叫做这个函数的定义域。
例1、 求下列各函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）
分析：函数的定义域是函数自变量的允许取值范围，在初中阶段式子中对字母有取值要求的有三处（1）分母的取值不能为零；（2）偶次方根的被开方数不能取负数；（3）零指数幂的底数不能取零。
解：（1）x取任何实数，∴函数的定义域是x取一切实数
（2）x + 2 ≠ 0 解得x ≠– 2∴函数的定义域是x 取不等于负2的一切实数
（3）x – 3 ≥0 解得 x≥3∴函数的定义域是x 取大于或等于3的一切实数
（4）解得 ∴函数的定义域是
例2、把一块边长为20cm的正方形铁皮四角各截去边长为
xcm的小正方形（如图），按虚线折起来成一个无盖的盒子，
求这个盒子的容积V关于x的函数解析式，并说明x的取值范围。
分析：本题是与实际有关的问题，则自变量的取值范围除了刚才
提到的三种情况外，还要使实际有意义，即盒子的长宽及高必须是正数
解：V = （20 –2x）（20 – 2x）x
解得：0∴这个盒子的容积V关于x的函数解析式（0确定函数的定义域一般根据如下两种情况分析：
（1） 根据实际问题中自变量所表示的实际意义；
（2） 直接根据函数解析式自变量的允许取值范围
（i） 函数解析式是整式，自变量可以取一切实数；
（ii） 函数解析式是分式，自变量可以取分母不为零的一切实数；
（iii） 函数的解析式中有偶次根式，则被开方数必须取大于或等于零的实数
（iv） 函数的解析式中有零指数幂，则底数取不为零的数；
（v） 函数的解析式中有如上几种情况的话，自变量则取它们的公共部分
2、 函数值与值域
当自变量在定义域内取某一个确定的值，应变量都有唯一确定的值与它对应，这个值就叫做函数值。
例3、已知：，求
分析，本题只要用0，– 1，，a（a≠1）代替x代入函数解析式，就可以求出相应的值。
解： ，，
3、 常值函数：
形如（常数）的函数叫做常值函数。
如：函数，当x取不同的值时，y的值始终是3，没有变化，因此常值函数的图象是过（0，3）且平行于x轴的一条直线。
3、 习题精练：
1、 求下列函数定义域
（1）； （2）
（3） （4）
2、已知，求
解：1、（1）x取任何实数，∴函数的定义域是x取一切实数
（2）3x + 2 > 0 解得x >–∴函数的定义域是x 取大于负的一切实数
（3）解得 ∴函数的定义域是x取等于零且不等于负的一切实数
（4）解得 ∴函数的定义域是x取大于等于2且不等于3的一切实数
2、 ，，
，
4、 小结：
1、 函数的定义域：自变量在某一个允许取值范围
2、 函数的值
3、 常值函数
5、 回家作业：
1、 B册/21.6（2）
2、 一课一练
3、 同步
