第二十章 二次根式
20.5（2）二次根式的混合运算
教学目标：
1、 熟练地把分母中含有两个根式的和与差的分母有理化；
2、 在二次根式的混合运算中，合理运用因式分解，约分某技巧使计算简便。
教学重点：
熟练地进行二次根式的计算。
教学过程：
1、 新课引入：
1、 有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式。
例1、 找出下列各根式的有理化因式：
，，，，，
解：的有理化因式是（）；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是（）；
的有理化因式是；
2、 分母有理化：
化简一个式子时，如果分母是二次根式，就需要分母有理化
例2、 将下列各分母有理化：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；
解：（1）原式 = ；
（2）原式 = ；
（3）原式 = ；
（4）原式 =；
（5）原式 =.
思考：将分母有理化
本题的分母有理化可采用因式分解的方法解决。
解：原式=
2、 新课讲解：
二次根式的除法：利用分数与除法的关系，将除法写成分数形式，然后再分母有理化。
例3、 计算：
解：原式 =
3、 例题精讲：
1、 计算：
2、 计算：
3、 计算：
4、 的整数部分为a，小数部分为b，求。
5、 求当时，的值。
6、 求当时，的值。
7、 解方程：
解：（1）原式 =
（2）原式 =
（3）原式 =
（4）的整数部分为1，小数部分为
=
（5）原式=
当时
原式=
（6）=
当时，原式=
（7）
4、 小结：
1、 有理化因式与分母有理化
2、 二次根式的除法
3、 二次根式混合运算的综合运用
5、 作业：
1、 B册/20.5(2)
2、 同步
3、 一课一练第二十一章 正比例函数与反比例函数
21.1比例的意义与性质
教学目的：
1、 理解比例的意义，掌握比例的有关概念（如比例的项，比例内项、外项、中项等）；
2、 掌握比例的基本性质，并能由此判断四个数是否成比例。
教学重点：
比例的概念
教学难点：
比例的基本性质
教学过程：
1、 复习旧识：
1、 什么是比？
两数相除叫做两数的比。
如 150 ：30 = 5
150叫做比的前项，30叫做比的后项，5叫做比值；“：”叫做比号
2、 举几个比值相等的比。
3、 填空：
（1）2：5＝6：（ ）； （2）3a：（ ）＝a：
（3）0.01：10＝0.1：（ ）
解：（1）15；（2）1.5a；（3）100
2、 新课讲解：
1、 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
如：15：5＝9：3
15和3叫做比例的外项，5和9叫做比例的内项；15叫做第一比例项，5叫做第二比例项；9叫做第三比例项；3叫做第四比例项。
2、 比例的基本性质：
比例的两个外项的积等于两个内项的积。
即：
例1、 判断2，，，4能不能成比例？
解：
由比例的基本性质得：
*判断四个数是否成比例，只要先把这四个数按大小顺序排列，再分别计算最大与最小的数的积与中间两个数的积，如果这两个积相等，那么这四个数能成比例，反之不成比例。
思考：这样的比例式可以写出几个？
结论：的八种不同形式：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
练习：P36/2，61/3
例2、 根据可以写出多少种不同的比例式？
（1）；（2）；（3）；（4）
3、比例中项：
在比例中，如果两个外项或内项相等，即（或），我们称b为a与c的比例中项。
例3、 （1）如果a＝5，c＝9，b是a与c的比例中项，求b
（2）如果a＝5，b＝9，b是a与c的比例中项，求c
解：（1） （2）
又 又
例4、 由下列各式求x：y
（1） 5x = 2y； （2）6 ：y = 7 ：x； （3）a ：x = b ：y；
（4）4 ：y = 3 ：x； （4）3x – 5y = 0； （6）（2x + y） ：y = 3 ：2
解：（1）x ：y = 2 ：5； （2）x ：y = 7 ：6；
（3）x ：y = a ：b； （4）x ：y = 3 ：4；
（5）3x = 5y （6）4x +2y = 3y
x ：y = 5 ：3； 4x = y
x ：y = 1 ：4；
三、小结：
1、比例的意义，比的外项、内项及中项的概念
2、比例的基本性质：比例的内项积等于外项积。
3、判定四个数是否成比例
4、比例的八种表示形式
四、作业
1、A册/21.1（1）
2、同步
3、一课一练第二十章 二次根式
20．3 最简根式
教学目的：
1、 掌握最简二次根式的定义；
2、 能将所给的二次根式化为最简二次根式。
教学重点：
准确地领会最简二次根式定义的两个条件；
教学难点：
在化简二次根式过程中逐步掌握化简的方法并从中找出规律。
教学过程：
1、 导入新课：
分数的运算结果是最简分数，分式的运算结果是最简分式，那么二次根式的运算结果是什么？
2、 新课讲解：
1、 最简二次根式：
满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：
（1） 被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2） 被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1、 判断下列各式中，哪些是最简二次根式？
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7） （8）
解：（1）（4）（7）是最简二次根式；（2）（3）（5）（6）（8）不是最简二次根式。
（3）（6）不是的理由是不满足最简二次根式的条件一；（2）（5）不是的理由不满足最简二次根式的条件二；（8）不是的理由因为它不是二次根式。
2、化简二次根式：
（1）若被开方数是整式或整数，把它先分解因式或因数，根据积的正的平方根的性质（被开方数中有两个因数或因式相同，可以开出一个来），把开得尽方的因式或因数开出来，移到根号外来。
（2）被开方数是分式或分数，可利用商的正的平方根的性质把开得尽方的因式或因数移到根号外，在将分母化去（利用分数或分式的基本性质）。
例2、化简下列根式为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=；
（6）原式=
*被开方数中的小数一般先化成分数，带分数也先化成假分数后再分解因数化简；
*分母中的因式或因数移到根号外仍应放在分母上。
三、小结：
1、最简二次根式的定义及它的两个条件；
2、化简二次根式为最简二次根式的方法。
四、作业：
1、B册20.3
2、同步
3、一课一练第二十章 二次根式的复习
复习要求：
1、 掌握二次根式的定义及性质，能进行简单的化简计算；
2、 掌握最简二次根式，同类二次根式的定义及化简的方法，分母有理化；
3、 正确进行二次根式的加减乘除及混合运算。
教学重点：
1、 化简二次根式；
2、 熟练地进行二次根式的加减乘除运算。
教学难点：
1、 二次根式中字母的取值范围；
2、 二次根式的化简。
教学过程：
1、 本章概念：
1、 二次根式：一般地，式子（a≥0）叫做二次根式。
2、 最简二次根式：满足（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式是最简二次根式。
3、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
4、 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式。
2、 本章技能：
1、 二次根式的加减
（1） 把各个二次根式化成最简二次根式；
（2） 把同类二次根式分别合并
2、 二次根式的乘除：
（1）系数和被开方数分别相乘除
（2）利用多项式的乘法公式和分母有理化
3、二次根式的混合运算
三、典型题型：
1、计算P55/4，P57/4
*合并同类二次根式
*二次根式的乘除
*乘法公式
*分母有理化
（1）的有理化因式为
（2）的有理化因式为
注意结果分母中不含二次根式，且二次根式中不含分母，且为最简二次根式。
2、化简
* 已知x、y的值，求关于x、y的代数式的值
* 的整数部分x，小数部分为y，求关于x，y的代数式的值。
* 求含二次根式的方程或不等式
例1、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5） （6）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=；
（5）原式=
（6）原式=
=
例2、化简：
（1）； （2）； （3）；
解：（1）=
（2）=
（3）
3、简答题：
（1）若x=，y=，求的值。
（2）a、b分别表示的整数部分与小数部分，求2a – b的值。
解：（1）x=，y=
（2）a = 4，b =，则2a – b =第二十章 二次根式
20．2二次根式的乘除法
教学目的：
1、 利用积的正的平方根的性质进行简单的二次根式的乘法计算；
2、 熟练地进行二次根式的化简和乘法运算。
教学重点：
类比多项式的乘法熟练地进行二次根式的乘法运算
教学难点：
二次根式乘除运算的结果要求最简。
教学过程：
1、 新课导入：
我们已学过积的正的平方根的性质是：
那么这个性质反过来，成立吗？即：
例如：
这就是我们这节课研究的二次根式的乘法
2、 新课讲解：
1、 二次根式乘法的法则：
例1、 计算：
（1）； （2）； （3）
（4）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=
（4）原式=
2、二次根式除法的法则：
例2、 计算：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=.
3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
例3、化去分母中的根号：
（1）； （2）； （3）； （4）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=
或原式=
一般地，分母有理化时，利用分数的基本性质，分子分母都乘以同一个不为零的适当的代数式，使分母不含根号，一般我们利用使分母有理化。
例4、化去下列各式中根号内的分母：
（1）； （2）； （3）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
4、二次根式乘除混合运算：
例5、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解：（1）原式=；
（2）原式=
（3）原式=；
（4）原式=
5、讨论类的题型：
例6、化简：
（1）； （2）
解：（1）由题意得：b < 0
原式=；
（2）由题意得：x < 0，x – y < 0
原式=
3、 小结：
1、 二次根式的乘除法法则：
，
2、 分母有理化与化去根号中的分母：利用
3、 字母取负值时的处理
4、 作业：
1、 B册/20.2
2、 一课一练
3、 同步第二十章 二次根式
20.5 二次根式的混合运算
教学目的：
1、 能运用实数的运算律、运算性质和运算顺序进行二次根式的混合运算。
2、 在运算中能合理运用乘法公式，使运算简便。
教学重点：
正确熟练地进行二次根式的混合运算。
教学难点：
根据题目特点寻找合适的方法使运算简便。
教学过程：
1、 复习引入：
已知：如图求“？”是多少？
分析：大正方形的面积是6，则边长为“”，
小正方形的面积是3，则边长为“”，
则小长方形的长为“”，宽为“”，
解一、S = a b = （）
解二、S = S大 – S小= – 3
2、 新课讲解：
1、 二次根式的混合运算：
例1、 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
*二次根式的混合运算与多项式的乘法法则相同
*有同类二次根式或同类项的要合并
2、运用乘法公式的二次根式的混合运算：
例2、计算；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
（7）原式=
（8）原式=
*乘法公式包括平方差公式，完全平方公式，立方和差公式，幂的四种运算
3、有理化因式：
如：；
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。
常见的有理化因式有两类：
（1）型的，它的有理化因式就是它本身。如的有理化因式为，
的有理化因式为
（2）型的，它的有理化因式为它的共扼因式，如的有理化因式是
三、小结：
1、实数的运算律，运算顺序、运算性质在二次根式的混合运算中仍然适用。
2、乘法公式及幂的运算在二次根式的混合运算中可以使运算简便。
3、有理化因式的两种类型。
四、作业：
1、B册/20.5
2、同步
3、一课一练第二十章 二次根式
20．4 二次根式的加减法
教学目的：
1、 理解同类二次根式概念；
2、 掌握二次根式加减法法则，先把各个因式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
教学重点：
正确熟练地合并同类二次根式。
教学难点：
化简二次根式并正确地找到同类二次根式合并。
教学过程：
1、 导入新课：
1、 类比思考：
化简：
解：原式=（5 + 2 – 4）
什么叫同类项（字母相同且相同字母的指数也相同的项）？什么叫做合并同类项（将同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变）？
化简：
解：原式=（5 + 2 – 4）
2、 化简下列各式：
，，，，，，
解：； ； ；
； ；
；
2、 新课讲解：
1、 同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
*同类二次根式和符号和系数无关，与是否为最简二次根式，被开方数和根指数2有关。
例1、，，，，，，中是同类二次根式有哪些？
解：和是同类二次根式。、和是同类二次根式。和 是同类二次根式。
2、 二次根式的加减：
例2：计算：
（1）； （2）
（3）
（4）
（5）；
（6）
解：（1）原式=；
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）原式=
（6）原式=
总结：二次根式加减法的步骤：
1、 把根式化简成最简二次根式。
*小数化分数，带分数化假分数后再化简；
*分母中含开得尽方的数或式子，开出根号后也应在分母上；
*注意去括号的法则，括号前是负号，去掉括号和负号，括号内各项要变号。
2、合并同类二次根式。
*系数写成假分数；
*系数值为零，结果为零，系数为1或– 1时可省略不写；
*不是同类二次根式的不要合并。
例3、若最简二次根式和是同类二次根式，求 a，b的值。
解：由题意得： 解得：
∴ a的值是1，b的值是4
练习：已知最简二次根式和是同类二次根式，求a，b的值。
略解：a的值是2，b的值是2.
3、 小结：
1、 同类二次根式的概念。（注意前提是最简二次根式）
2、 合并同类二次根式。（注意只是系数的合并）
4、 作业：
1、 A册/20.4
2、 一课一练
3、 同步第二十章 二次根式
20．1 二次根式
教学目的：
1、 理解二次根式的概念；
2、 能讨论简单的二次根式中字母的取值范围；
3、 掌握二次根式的两个简单性质并会运用性质进行计算。
教学重点：
1、 二次根式的概念；
2、 二次根式中的字母的取值范围。
教学难点：
二次根式中的两个简单性质及其应用。
教学过程：
1、 新课引入：
1、 叙述平方根的定义：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
2、16，0，5，a的正的平方根是什么？
16的正的平方根是4，0的正的平方根是0，5的正的平方根是，a的正的平方根是
2、 新课讲解：
1、 一般地，式子叫做二次根式。
二次根式的两个特征：
（1） 根指数为2；（2）被开方数大于等于0；
例、判断下列各式哪些是二次根式？
，，，，，，
是二次根式的是：
2、 思考：x是怎样的实数时，式子有意义？
解：x – 3≥0，解得：x≥3
当x≥3时，式子有意义。
那么呢？呢？
解：当x≥– 1 时，式子有意义。
当x > 1时，式子有意义。
*要使一个式子有意义，必须满足三个条件：
（1）偶次方根的被开方数必须大于等于零；
（2）分母不等于零；
（3）零指数幂的底数不为零。
练习：当字母取何值时，下列各式有意义。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
解：（1）x取任何实数。
（2）x取任何实数。
（3）x > 0。
（4）x >
（5）x≤且x≠
书P19/1
3、 二次根式的两个简单性质：
（1）是一个什么数？
当a > 0时，>0，当a = 0时，=0
结论：是一个非负数。≥0（a≥0）
（2）
注意：不要出现的错误。
例1、 求值：
（1）；（2）；（3）
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
练习P19/2
反过来：a =（）2（a≥0）
我们可以把一个非负数写成一个数的平方的形式。
例2、 把0.49，16，3和写成一个数的平方的形式。
解：；；；
（3）
如：
例3、 计算：
（1）；（2）
解：（1）原式= 1.5；
（2）原式 = 3 – a
反过来，a = （a≥0）
例4、 把9，，7和写成带“”形式：
解：；；，
练习：P16/3，4，5
例5、 将下列各式在实数范围内分解：
（1）； （2）； （3）； （4）
解：（1）原式=（x + 3）（x–3）
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
三、小结：
1、二次根式的概念：（两个特征）
2、二次根式中字母的取值范围：被开方数大于等于0，
3、二次根式的两个简单性质：
（1）
（2）
4、两个简单性质的应用：
（1）把一个非负数写成某数的平方的形式；
（2）把一个非负数写成带“”的形式。
四、作业：
1、A册/20.1（1）
2、同步
3、一课一练第二十章 二次根式
20．1（2）积、商的正的平方根
教学目的：
1、 掌握积与商的正的平方根的性质；
2、 利用积与商的正的平方根的性质化简二次根式。
教学重点：
积与商的正的平方根的性质
教学难点：
应用积与商的正的平方根的性质化简二次根式。
教学过程：
1、 复习提问：
1、 二次根式的两个简单性质：
（1）；（2）.
2、计算：
（1）； （2）； （3）； （4）.
解：（1）原式=； （2）原式 =；
（3）原式 =； （4）原式 =.
比较（1）（2）和（3）（4），可以得到什么结论？
=，=
2、 新课讲解：
1、 积的正的平方根的性质：
积的正的平方根等于积中各因式的正的平方根的积。（注意公式中对字母的要求）
推广：（）
2、 利用积的正的平方根性质化简二次根式：
例1、化简：
（1）； （2）； （3）； （4）
解：（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=.
例2、化简：
（1）； （2）； （3）
解：（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=.
3、商的正的平方根的性质：
例3、化简：
（1）；（2）；（3）；（4）（5）
解：（1）原式=； （2）；
（3）原式=；
（4）原式=
（5）原式=
4、两个正的平方根性质的应用：
例4、（1）等式成立的条件是什么？
（2）等式成立的条件是什么？
解：（1） 解得：，即x≥2
所以当x≥2时，等式成立。
（2） 解得：，即x>7
所以当x>7时，等式成立。
例5、若是整数，求最小正整数a
解：2007=，，a最小为223。
若题中2007改成1996，则答案为什么？（6）
3、 小结：
本节课学习了积与商的正的平方根的性质。并能利用性质化简二次根式，请注意性质中字母的取值条件，为下节课学习二次根式的乘除打下了基础。
4、 作业：
1、 A册/20.1（2）
2、 一课一练
3、 同步
