贵州省卓越发展计划2022-2023学年高二下学期6月测试数学试题（Word版含答案）

贵州省卓越发展计划2022-2023学年高二下学期6月测试
数学2023.6
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求：
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴虚线框”内，若没有条形码，可以填涂准考证号的方式。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，，（i为虚数单位），则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，最小正周期为的偶函数是
A. B.
C. D.
4.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则
A.0.1 B.0.9 C.0.45 D.0.05
5.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则
A.12 B.16 C.24 D.39
6.在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是
A. B. C.6 D.8
7.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.有4名大学生参加了冬奥会新闻中心志愿者服务，下列说法正确的是
A.将4名志愿者每人都安排一项工作（一共4项不同的工作）的不同方法数为24种
B.将4名志愿者分配到3个采访场馆，每个采访场馆至少分配一名志愿者，所有分配方案共有72种
C.将4名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，不同的安排方法有140种
D.将4名志愿者分配到记者招待会、集体采访2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，不同的分配方案共有14种
8.已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分。）
9.已知是定义在上的奇函数，图象关于直线对称，且在区间内的图象如图所示，下列说法正确的是
A. B.
C.直线是函数的一条对称轴 D.点为函数的一个对称中心
10.已知向量，，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C. 的最大值为 D. 的取值范围是
11.如图，在直棱柱中，E是AC的中点，D，E分别是BC与AC上的任一点，，，，则下列结论正确的是
A.存在，使得
B.平面平面ABC
C.若平面，则
D.若，则平面BDE与平面所成的夹角的余弦值为
12.已知实数a，b满足，且，则
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 展开式的常数项是__________；（用数字作答）
14.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________；
15.椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为________；
16.已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为____________.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）
17.请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题.
①.
②.
③.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________________
（1）求A；
（2）若，点D在线段BC上，且，求AD的最大值.
18.牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
牛排种类 菲力牛排 肉眼牛排 西冷牛排 T骨牛排
数量/盒 20 30 20 30
（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望.
19.2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，.
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
附表及公式：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）求的值.
（2）现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率.
20.如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.
（1）证明：；
（2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.
21.设抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.
（1）求C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN， AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.
22.已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，证明：.
贵州省卓越发展计划2022-2023学年高二下学期6月测试
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C B D C ACD AD ABD ABD
3.【解析】因为，函数的周期为，显然是非奇非偶函数，A不正确；
因为，函数的周期为，B不正确；
因为，函数的周期为，是偶函数，C正确；
因为，函数的周期为，是奇函数，D不正确；故选：C
5.【解析】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知.故选：C
7.【解析】对于A，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错误；对于B，将4名同学按2，1，1分成3组有种方法，再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种，则所有分配方案共有（种），B错误；
对于C，由题可知，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有种，C错误；
对于D，先将4名志愿者分成2组，每组2个人或者一组3人，一组1人，若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法，若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法，因此不同的分配方案共14种，D正确.
8.【解析】构造函数，因为，所以，可知函数在上单调递增，，不等式化为，即，由单调递增可得，即，故选C.
9.【解析】已知函数是奇函数且图象关于直线对称，可知函数的周期为4，由在区间内的图象可知函数对称轴为，，对称中心为，.所以，，A正确；如果，则，周期为5，所以B错误；直线是函数的一条对称轴，C正确；点为函数的一个对称中心，D正确，故选ACD.
10.【解析】对于A：当时，，
此时，故，即A正确；
对于B：若，则，所以，所以，，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：因为，，所以，，
所以，
因为，所以，所以，故D正确；
故选：AD
11.【解析】对于A，当时，E为AC中点，
∵，∴在等腰三角形ABC中，，
又在直三棱柱中，面ABC且BE在面ABC内，
∴且，，AC在面内，
∴面且在面内，∴，A正确；
对于B，在直三棱柱中，面ABC且在面内，
∴面面ABC，B正确；
对于C，若平面，易得且，C错误；
对于D，如图建系，设，
则，，，
设平面的法向量为
由，得，取
则平面BDE与平面所成的夹角的余弦值为，D正确.
故选ABD.
12.【详解】ABD因为，且，可得，
对于选项A：∵∴故A正确；
对于选项B：因为，即，
解得，所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
可得，所以，故C错误；
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，所以，即，D正确；
13.24；【解析】
14. ；【解析】
15. ；【解析】
16. ；6.（第一空2分，第二空3分）
【解析】在数列中，，由得：，而，
于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以数列的通项公式为；
显然，，
则，
由得：，即，令，则，即数列是递增数列，
由，得，而，因此，，从而得，，
所以满足不等式的的最小值为6.
故答案为：；6
17.解：若选择①：由已知条件及正弦定理，得，
即.整理得.
由余弦定理，得.
又因为，
所以.
若选择②：因为，由正弦定理得，
所以，
所以，又
所以，因为，
所以；
若选择③：因为，
所以根据余弦定理，可得，
所以，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以，当且仅当时取等号；
又因为且
所以，
故的最大值为.
18解：用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则；
（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量满足，
，，
，.
19.解：（1）完成列联表如图所示：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
，
由题意可得，解得，
又因，所以；
（2）由（1）得了解中国航天事业的学生有人，
其中男生有30人，女生有20人，
则所抽取5人中男生人，设为A，B，C，女生人，设为a，b，
从5人中再抽取3人的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，
其中符合男生至少2人的基本事件有：，，，，，，共7种，
则至少有2名男生被第二次调查的概率.
20.（1）∵由图一得：，，且，
∴在图2中平面，是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，且N是BC的中点，，
又平面BCF，平面BCF，可得，而，
∴平面ABCD，而平面，∴.
（2）因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设
∴，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线BM与平面ADE所成角为，
∴，
∴，∴或.
21.（1）抛物线的准线为，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）设，，，，直线：，
由可得，，，
由斜率公式可得，，
直线：，代入抛物线方程可得，
，，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，，所以，
若要使最大，则，设，则
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线：，
代入抛物线方程可得，
，，所以，
所以直线：.
22.（1）因为函数，所以，
∴，∴
函数在处的切线方程
（2）设，.则，
所以在单调递增，在单调递减，
由得，即当时，（*）
令，，
，令得
当即时，，有在上单调递减
所以
当即时，有在单调递增，在递减
所以
令，
所以在单调递增，有，所以
故时，对恒成立，即
对恒成立
由（*）可知
因此，当时，.