【初数补题北师八下】利用平移、轴对称、旋转设计图案
一、填空题
1．如图所示的是某煤气公司的商标图案，图案的外层可看成是利用图形的 设计而成的，内层可看成是利用图形的 设计而成的，既形象又美观．
2．（2017·浙江模拟）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”。对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，其中一定是“同步变换”的有 （填序号）。
3．如果 ，那么 .
4．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上
（1）线段AB的长度＝ ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在∠ABC的平分线上找一点P，在BC上找一点Q，使CP+PQ的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 ▲ （不要求证明）.
5．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点 均为格点，点 为线段 上的动点，且满足 .
（Ⅰ）当点Q为线段 中点时 的长度等于 ▲ .
（Ⅱ）当线段 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的.
6．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序实数对表示，如A点为(5，1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是 （请填写正确答案的序号）
①黑(1，5)，白(5，5)；②黑(3，2)，白(3，3)；③黑(3，3)，白(3，1)；④黑(3，1)，白(3，3)
7．（2020七下·李沧期末）如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有 种不同的涂法．
8．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和 等。
9．如图： 为五个等圆的圆心，且 在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 .
10．把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影，现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得 种轴对称图形.
二、解答题
11．（2021九上·哈尔滨月考）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个锐角 ，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个钝角 ，使其面积为6．
12．认真观察下列4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.
13．已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）.
14．
（1）请用学习过的数学基本作图，运用平移、旋转、对称等设计一个有寓意的图案.
（2）结合生活实例编写一道关于一元一次不等式的应用题或者关于分式方程的应用问题.
（温馨提示：选做一个即可）
15．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角.
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整.
16．（2021·双阳模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，线段 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）
（1）在图1中，画出一个以 、 、 为顶点的三角形，且这个三角形的面积为6， 为格点．
（2）在图2中，画出一个以 、 、 为顶点的三角形，且 ，点 为格点．
（3）在图3中，画出一个既是中心对称，又是轴对称，且以 、 、 ， 为顶点的四边形，其邻边之比为 ， ， 为格点．
17．在图中的空白正方形内部设计一个图案，使得设计的图案和正方形构成的整体是一个既中心对称又轴对称的图案，并说明你所设计图案的含义.
18．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
19．在一块长16m.宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半. 下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等. 通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m.
小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同.
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由.
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）.
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明.
20．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
（1）
在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）
在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上.
答案解析部分
1．【答案】旋转(或中心对称)；轴对称
【知识点】生活中的轴对称现象；图形的旋转
【解析】【解答】由题图可得图案的外层可看成是利用图形的旋转(或中心对称) 设计而成的，
内层可看成是利用图形的轴对称设计而成的.
故答案为旋转(或中心对称)；轴对称
【分析】根据旋转的定义及轴对称的定义可得出答案。
2．【答案】①
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质及“同步变换”的定义，可知，平移是“同步变换”.
故填①.
【分析】此题考查平移、旋转、轴对称的定义及其性质，根据题干“同步变换”的定义和平移、旋转、轴对称的定义及其性质对比判断即可.
3．【答案】
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：由题意可知，先旋转了
，上半部分再作轴对称变换，可得图形：
故答案为：
.
【分析】根据旋转、轴对称都不会改变图形的大小及形状，但能改变图形的方向，据此结合图形进行解答.
4．【答案】（1）5
（2）解：构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）
，
故答案为：5；
【分析】（1）直接根据勾股定理进行计算就可得到AB的值；
（2）构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求.
5．【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）线段 取得最小值时，点P，Q必在线段AB的高线的垂足的两侧，并关于垂足对称，即离垂足的距离为0.5.所以先找到点C关于AB的对称点，首先先找垂线，因为AB是3×4的格点矩形的对角线，所以只需过点C作3×4的格点矩形的对角线CH即可满足CH⊥AB垂足为O，下一步找距离相等.可找到D点，构成3×4的格点矩形的对角线CD，则有CD∥AB，且BD=3，同样找到格点N，L使其为3×4的格点矩形的对角线端点，且BN=3，则有LN与CD到AB的距离相等且平行，延长LN则与CH相交R，则交点即为C关于AB的对称点.现要保证OQ=0.5，则只需在LR上找到点T，CD上找到点G，使得RT=CG=1，则四边形RCGT为矩形.因为CD=5，则只需找到CD的五等分点，找到格点E，F，使CF=1，DE=4，且CF∥ED，则CD与EF的交点为G.因为在LR上找的点T不能直接找到，我们可以过点H作AB的平行线HI，并在HI上找到点M使得HM=1，则MG与LR 的交点即为T点，且OT=1.则易找到格点I使得HI∥AB，同E，F的找法，找到格点J，K，连接JK交HI 于点M ，则HM=1，连接MG交LR于点T，再连接TC与AB的交点为Q，则点Q即为所求.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中 ， ，
∴AB= =5
∵点Q为线段AB中点
∴ ；
故答案为： ；
【分析】（1）首先根据勾股定理求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算；
（2）取格点D、E、F，连接CD、EF，它们相交于点G，取格点H、I、J、K，连接HI、JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L、N，连接LN并延长，交GM于点T，连接TC交AB于点Q，则点Q即为所求.
6．【答案】④
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：如图所示，再摆一黑一白两枚棋子：黑（3，1），白（3，3），即可使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形.
故答案为：④.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此一一判断即可得出答案.
7．【答案】3
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，
故有种不同3的涂法．
故答案为：3．
【分析】根据轴对称图形的定义和图形求解即可。
8．【答案】旋转
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】几何变换包括：平移、轴对称、旋转．
故答案为：旋转．
【分析】熟练掌握几种几何变换的类型即可作出回答．
9．【答案】D和Q3
【知识点】平行四边形的判定与性质；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：点D恰好是平行四边形
的中心，则这里过D和O3即可.
故答案为：D和Q3.
【分析】分5个圆，那么每份应是2.5个圆，由过平行四边形中心的任意直线都能平分平行四边形的面积，应先画出平行四边形O1O2O4O5，找出平行四边形的中心，然后连接该中心与点O3即可.
10．【答案】6
【知识点】轴对称图形；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：∵把六个等边三角形分别经过旋转、翻折或平移可以得到的轴对称图形有：
∴共可得到6种轴对称图形
故答案是：6.
【分析】根据旋转、平移、翻折变换分别画出对应的图形，然后找出其中的轴对称图形即可.
11．【答案】（1）解：以AB为底，设高为h，则 ，解得 ，如图所示；
（2）解：当 时， ， ，如图所示，
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）先求出 当 时， ， ， 再求解即可。
12．【答案】（1）解：特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形；
特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及阴影部分的面积之间的关系进行解答；
（2）只要画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形即可．
13．【答案】解：如图所示，借助轴对称、平移设计出一个完整的花边图案即可
答案不唯一.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及轴对称图形、平移、旋转的性质，综合性较强，关键是需要学生熟练掌握基础知识.
14．【答案】（1）解：作图如下所示：
设计意图：由一个基本图案通过旋转等方法可以变换出旋转对称图形.
（2）解：某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？
解：设需租用40座的客车x辆，
依题意，得：40x+50×2≥330，
解得： .
又∵x为正整数，
∴x的最小值为6.
答：至少需要租用6辆40座的客车.
【知识点】一元一次不等式的应用；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）先利用线段、角等基本图形，画出一个平行四边形，然后根据旋转图形的特点，绕点O顺（或逆）时针旋转90°画出一个平行四边形，再旋转90°画出一个平行四边形，再旋转90°画出一个平行四边形，即可成为一个美丽的图案；
（2）某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？解：设需租用40座的客车x辆，则40座的客车可乘坐的人数为40x，50座的客车可乘坐的人数为50×2，然后根据总人数列出不等式，求解即可.
15．【答案】（1）B
（2）(1)(3)(5)
（3）C
（4）解：图形如图所示：
【知识点】旋转对称图形；中心对称及中心对称图形；利用旋转设计图案；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形.
故答案为：B；
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5).
故答案为：(1)(3)(5)；
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形，故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形，故命题③正确；
即命题中①③正确，
故答案为：C；
【分析】（1）当一个旋转对称图形的旋转角是180°的时候 能与自身重合 ，这个旋转对称图形就是中心对称图形，故中心对称图形是旋转对称图形的特殊情况，据此判断得出答案；
（2）首先根据旋转对称图形的概念找出属于旋转对称图形的图形，然后结合旋转的知识求出旋转角，据此判断；
（3）根据中心对称图形、旋转对称图形的概念可判断①；根据等腰三角形的旋转以及旋转对称图形的概念可判断②；根据旋转对称图形的概念以及对圆的认识可判断③；
（4）根据旋转角依次画出每次旋转后的图形即可.
16．【答案】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：如图所示即为所求：
（3）解：如图所示即为所求：
．
【知识点】尺规作图的定义；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据锐角三角函数值作图即可；
（3）根据中心对称和轴对称图形的定义，再结合题意作图即可。
17．【答案】解：图案如图所示：
代表一个风车.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题是一道开放性的题目，主要考查了利用旋转设计图案和利用轴对称设计图案，正确理解中心对称图形和轴对称图形的定义是关键；把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此即可作出图形.
18．【答案】（1）解：轴对称图形如图1所示.
（2）解：中心对称图形如图2所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，故画出一个大等边三角形即可；
（2）把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，故画出一个平行四边形即可.
19．【答案】（1）解：设小路的宽为xm，则
（16－2x）（12－2x）= ×16×12，
解得：x=2，或x=12（舍去）.
∴x=2，故小明的结果不对.
（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm，
故有 = ×16×12，
解得：r≈5.5m.
（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案.
【知识点】菱形的判定与性质；利用轴对称设计图案；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小路的宽为xm，则花园的长为(16-2x)，宽为(12-2x)，然后根据花园所占面积为荒地面积的一半结合矩形的面积计算方法列出方程，求解即可；
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm，然后根据圆的面积公式结合花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，求解即可；
（3）依此连结各边的中点可得设计方案.
20．【答案】（1）解：如图1所示，四边形ABCD即为所求，
BD＝ ＝4 ；
（2）解：如图2，四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）作一边长为5的菱形即可得；（2）作一边长为5、且这条边上的高为2的平行四边形可得.
1 / 1【初数补题北师八下】利用平移、轴对称、旋转设计图案
一、填空题
1．如图所示的是某煤气公司的商标图案，图案的外层可看成是利用图形的 设计而成的，内层可看成是利用图形的 设计而成的，既形象又美观．
【答案】旋转(或中心对称)；轴对称
【知识点】生活中的轴对称现象；图形的旋转
【解析】【解答】由题图可得图案的外层可看成是利用图形的旋转(或中心对称) 设计而成的，
内层可看成是利用图形的轴对称设计而成的.
故答案为旋转(或中心对称)；轴对称
【分析】根据旋转的定义及轴对称的定义可得出答案。
2．（2017·浙江模拟）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”。对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，其中一定是“同步变换”的有 （填序号）。
【答案】①
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质及“同步变换”的定义，可知，平移是“同步变换”.
故填①.
【分析】此题考查平移、旋转、轴对称的定义及其性质，根据题干“同步变换”的定义和平移、旋转、轴对称的定义及其性质对比判断即可.
3．如果 ，那么 .
【答案】
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：由题意可知，先旋转了
，上半部分再作轴对称变换，可得图形：
故答案为：
.
【分析】根据旋转、轴对称都不会改变图形的大小及形状，但能改变图形的方向，据此结合图形进行解答.
4．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上
（1）线段AB的长度＝ ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在∠ABC的平分线上找一点P，在BC上找一点Q，使CP+PQ的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 ▲ （不要求证明）.
【答案】（1）5
（2）解：构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）
，
故答案为：5；
【分析】（1）直接根据勾股定理进行计算就可得到AB的值；
（2）构造边长为5的菱形ABKD，连接BD，射线BD为∠ABC的平分线，构造△CEF≌△CAB，作直线CF交BD于P，交AB于Q′，再作点P关于直线BC的对称点J，连接PJ交BC于点Q，点P、Q即为所求.
5．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点 均为格点，点 为线段 上的动点，且满足 .
（Ⅰ）当点Q为线段 中点时 的长度等于 ▲ .
（Ⅱ）当线段 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的.
【答案】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）线段 取得最小值时，点P，Q必在线段AB的高线的垂足的两侧，并关于垂足对称，即离垂足的距离为0.5.所以先找到点C关于AB的对称点，首先先找垂线，因为AB是3×4的格点矩形的对角线，所以只需过点C作3×4的格点矩形的对角线CH即可满足CH⊥AB垂足为O，下一步找距离相等.可找到D点，构成3×4的格点矩形的对角线CD，则有CD∥AB，且BD=3，同样找到格点N，L使其为3×4的格点矩形的对角线端点，且BN=3，则有LN与CD到AB的距离相等且平行，延长LN则与CH相交R，则交点即为C关于AB的对称点.现要保证OQ=0.5，则只需在LR上找到点T，CD上找到点G，使得RT=CG=1，则四边形RCGT为矩形.因为CD=5，则只需找到CD的五等分点，找到格点E，F，使CF=1，DE=4，且CF∥ED，则CD与EF的交点为G.因为在LR上找的点T不能直接找到，我们可以过点H作AB的平行线HI，并在HI上找到点M使得HM=1，则MG与LR 的交点即为T点，且OT=1.则易找到格点I使得HI∥AB，同E，F的找法，找到格点J，K，连接JK交HI 于点M ，则HM=1，连接MG交LR于点T，再连接TC与AB的交点为Q，则点Q即为所求.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中 ， ，
∴AB= =5
∵点Q为线段AB中点
∴ ；
故答案为： ；
【分析】（1）首先根据勾股定理求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算；
（2）取格点D、E、F，连接CD、EF，它们相交于点G，取格点H、I、J、K，连接HI、JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L、N，连接LN并延长，交GM于点T，连接TC交AB于点Q，则点Q即为所求.
6．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序实数对表示，如A点为(5，1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是 （请填写正确答案的序号）
①黑(1，5)，白(5，5)；②黑(3，2)，白(3，3)；③黑(3，3)，白(3，1)；④黑(3，1)，白(3，3)
【答案】④
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：如图所示，再摆一黑一白两枚棋子：黑（3，1），白（3，3），即可使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形.
故答案为：④.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此一一判断即可得出答案.
7．（2020七下·李沧期末）如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有 种不同的涂法．
【答案】3
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，
故有种不同3的涂法．
故答案为：3．
【分析】根据轴对称图形的定义和图形求解即可。
8．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和 等。
【答案】旋转
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】几何变换包括：平移、轴对称、旋转．
故答案为：旋转．
【分析】熟练掌握几种几何变换的类型即可作出回答．
9．如图： 为五个等圆的圆心，且 在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 .
【答案】D和Q3
【知识点】平行四边形的判定与性质；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：点D恰好是平行四边形
的中心，则这里过D和O3即可.
故答案为：D和Q3.
【分析】分5个圆，那么每份应是2.5个圆，由过平行四边形中心的任意直线都能平分平行四边形的面积，应先画出平行四边形O1O2O4O5，找出平行四边形的中心，然后连接该中心与点O3即可.
10．把18个边长都为1的等边三角形如图拼接成平行四边形，且其中6个涂上了阴影，现在，可以旋转、翻折或平移某一个阴影等边三角形到某一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案是轴对称图形，共可得 种轴对称图形.
【答案】6
【知识点】轴对称图形；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：∵把六个等边三角形分别经过旋转、翻折或平移可以得到的轴对称图形有：
∴共可得到6种轴对称图形
故答案是：6.
【分析】根据旋转、平移、翻折变换分别画出对应的图形，然后找出其中的轴对称图形即可.
二、解答题
11．（2021九上·哈尔滨月考）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个锐角 ，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个钝角 ，使其面积为6．
【答案】（1）解：以AB为底，设高为h，则 ，解得 ，如图所示；
（2）解：当 时， ， ，如图所示，
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）先求出 当 时， ， ， 再求解即可。
12．认真观察下列4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.
【答案】（1）解：特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形；
特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及阴影部分的面积之间的关系进行解答；
（2）只要画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形即可．
13．已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）.
【答案】解：如图所示，借助轴对称、平移设计出一个完整的花边图案即可
答案不唯一.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及轴对称图形、平移、旋转的性质，综合性较强，关键是需要学生熟练掌握基础知识.
14．
（1）请用学习过的数学基本作图，运用平移、旋转、对称等设计一个有寓意的图案.
（2）结合生活实例编写一道关于一元一次不等式的应用题或者关于分式方程的应用问题.
（温馨提示：选做一个即可）
【答案】（1）解：作图如下所示：
设计意图：由一个基本图案通过旋转等方法可以变换出旋转对称图形.
（2）解：某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？
解：设需租用40座的客车x辆，
依题意，得：40x+50×2≥330，
解得： .
又∵x为正整数，
∴x的最小值为6.
答：至少需要租用6辆40座的客车.
【知识点】一元一次不等式的应用；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）先利用线段、角等基本图形，画出一个平行四边形，然后根据旋转图形的特点，绕点O顺（或逆）时针旋转90°画出一个平行四边形，再旋转90°画出一个平行四边形，再旋转90°画出一个平行四边形，即可成为一个美丽的图案；
（2）某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？解：设需租用40座的客车x辆，则40座的客车可乘坐的人数为40x，50座的客车可乘坐的人数为50×2，然后根据总人数列出不等式，求解即可.
15．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角.
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整.
【答案】（1）B
（2）(1)(3)(5)
（3）C
（4）解：图形如图所示：
【知识点】旋转对称图形；中心对称及中心对称图形；利用旋转设计图案；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形.
故答案为：B；
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5).
故答案为：(1)(3)(5)；
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形，故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形，故命题③正确；
即命题中①③正确，
故答案为：C；
【分析】（1）当一个旋转对称图形的旋转角是180°的时候 能与自身重合 ，这个旋转对称图形就是中心对称图形，故中心对称图形是旋转对称图形的特殊情况，据此判断得出答案；
（2）首先根据旋转对称图形的概念找出属于旋转对称图形的图形，然后结合旋转的知识求出旋转角，据此判断；
（3）根据中心对称图形、旋转对称图形的概念可判断①；根据等腰三角形的旋转以及旋转对称图形的概念可判断②；根据旋转对称图形的概念以及对圆的认识可判断③；
（4）根据旋转角依次画出每次旋转后的图形即可.
16．（2021·双阳模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，线段 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）
（1）在图1中，画出一个以 、 、 为顶点的三角形，且这个三角形的面积为6， 为格点．
（2）在图2中，画出一个以 、 、 为顶点的三角形，且 ，点 为格点．
（3）在图3中，画出一个既是中心对称，又是轴对称，且以 、 、 ， 为顶点的四边形，其邻边之比为 ， ， 为格点．
【答案】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：如图所示即为所求：
（3）解：如图所示即为所求：
．
【知识点】尺规作图的定义；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据锐角三角函数值作图即可；
（3）根据中心对称和轴对称图形的定义，再结合题意作图即可。
17．在图中的空白正方形内部设计一个图案，使得设计的图案和正方形构成的整体是一个既中心对称又轴对称的图案，并说明你所设计图案的含义.
【答案】解：图案如图所示：
代表一个风车.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】此题是一道开放性的题目，主要考查了利用旋转设计图案和利用轴对称设计图案，正确理解中心对称图形和轴对称图形的定义是关键；把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此即可作出图形.
18．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）解：轴对称图形如图1所示.
（2）解：中心对称图形如图2所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】（1）把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，故画出一个大等边三角形即可；
（2）把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，故画出一个平行四边形即可.
19．在一块长16m.宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半. 下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等. 通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m.
小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同.
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由.
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）.
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明.
【答案】（1）解：设小路的宽为xm，则
（16－2x）（12－2x）= ×16×12，
解得：x=2，或x=12（舍去）.
∴x=2，故小明的结果不对.
（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm，
故有 = ×16×12，
解得：r≈5.5m.
（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案.
【知识点】菱形的判定与性质；利用轴对称设计图案；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小路的宽为xm，则花园的长为(16-2x)，宽为(12-2x)，然后根据花园所占面积为荒地面积的一半结合矩形的面积计算方法列出方程，求解即可；
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm，然后根据圆的面积公式结合花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，求解即可；
（3）依此连结各边的中点可得设计方案.
20．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
（1）
在图1中画一个以线段AC为对角线、周长为20的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上，并求出BD的长；
（2）
在图2中画一个以线段AC为对角线、面积为10的四边形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上.
【答案】（1）解：如图1所示，四边形ABCD即为所求，
BD＝ ＝4 ；
（2）解：如图2，四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）作一边长为5的菱形即可得；（2）作一边长为5、且这条边上的高为2的平行四边形可得.
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