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专题09 竖直面内的圆周运动模型
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【知识分析】一般圆周运动的动力学 1
【模型一】绳、杆模型讨论 2
竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2
【模型二】过拱凹形桥 12
[模型分析]
【知识分析】一般圆周运动的动力学
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。
【模型一】绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为，要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑧
（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为M的⊥形支架。一质量为m的小球用长为l的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g。已知小球运动到最低点时速度大小为v，此时地面受到的正压力大小为（ ）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（多选）细线拉着一质量为m的带电小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，该区域内存在水平方向的匀强电场（图中未画出），小球所受电场力水平向右，大小是其重力的倍，圆周上A点在圆心的正上方，小球过A点时的速度大小为v0，方向水平向左，除受重力、电场力及细线的拉力外小球不受其他力的作用，重力加速度为g，在小球做圆周运动的过程中（ ）
A．小球最小速率为
B．小球速率最小时其电势能最大
C．若小球过A点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
D．若小球过A点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
【解答】解：A．如图
当小球到达B点时小球的速度最大，到达C点时速度最小，BC连线与竖直方向夹角为
tanθ，θ＝60°
由A到C根据动能定理：
解得
故A正确；
B．电场方向是水平方向，沿电场方向电势降低最快，故电势最高点和最低点应该在水平直径的两端，则C点不是电势能最大的位置，故B错误；
CD．若小球过A点时细线断开，之后小球电势能最大时水平速度减为零，时间
解得t
竖直方向做自由落体，则速率v＝vy＝gt
解得v
故C正确，D错误。
故选：AC。
如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度ω做匀速圆周运动．已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中向心加速度不变
B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为m
D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为2mLω2
【解答】解：A、小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向改变，故A错误；
B、因为不知道小球在最高点时线速度v＝Lω与的大小关系，所以不能判断杆对小球是支持力还是拉力，故B错误；
C、当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向分量应等于重力，水平方向分量提供向心力，故杆对小球的作用力，故C正确；
D、若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则有：
C点：
D点：，；
若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则有
C点：，
D点：，FN2﹣FN1＝2mg，故D错误．
故选：C。
一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
【解答】解：AB、由对称性可知，在最高点左右两侧对称位置，小球沿水平方向分速度相同，那么在小球达到最高点时，其前后对称时刻的小球的水平分速度相等且最高点时刻水平分速度为正，在题图乙中t1时刻满足要求，所以t1时刻小球通过最高点，同理t3时刻小球通过最低点，故A正确，B错误；
CD、从t2到t3，小球重力做正功，一直在加速，在最低点时，速度最大，沿水平方向分速度也最大，即v2＞v1，另外根据对运动过程分析可得：S1和S2分别表示从最低点到最左边点以及从最左边点到最高点的水平位移大小，它们相等，因此S1和S2的面积相等，故CD错误．
故选：A。
应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。关于苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．苹果先处于超重状态后处于失重状态
B．手掌对苹果的摩擦力越来越大
C．手掌对苹果的支持力越来越大
D．苹果所受的合外力保持不变
【解答】解：A、苹果做匀速圆周运动，从a到b的过程中，加速度在竖直方向上有向上的加速度，可知苹果处于超重状态，故A错误。
B、从a到b的过程中，加速度大小不变，加速度在水平方向上的分加速度逐渐增大，根据牛顿第二定律知，摩擦力越来越大，故B正确。
C、从a到b的过程中，加速度大小不变，加速度在竖直方向上的加速度逐渐减小，方向向上，则重力和支持力的合力逐渐减小，可知支持力越来越小，故C错误。
D、苹果做匀速圆周运动，合外力大小不变，方向始终指向圆心，方向时刻变化，故合外力一直变化，故D错误。
故选：B。
如图1所示，轻质杆的一端连接一个小球，绕套在固定光滑水平转轴O上的另一端在竖直平面内做圆周运动。小球经过最高点时的速度大小为v，杆对球的作用力大小为F，F﹣v2图象如图2所示。若图中的a、b及重力加速度g均为已知量，规定竖直向上的方向为力的正方向。不计空气阻力，由此可求得（ ）
A．小球做圆周运动的半径为
B．F＝0时，小球在最高点的动能为
C．v2＝2b时，小球对杆作用力的方向向下
D．v2＝2b时，杆对小球作用力的大小为a
【解答】解：A、在最高点，若v＝0，则F＝mg＝a；当F＝0时，则重力提供向心力，即：mg＝m，解得R，m，故A错误；
B、当F＝0时，则重力提供向心力，即：mg＝m，可得：，故B错误；
C、D、若v2＝2b，则F＜0，负号表示杆对小球的作用力的方向向下，所以小球对杆的作用力的方向向上；由牛顿第二定律：﹣F+mg＝m，解得：F＝﹣a＝﹣mg，负号表示方向向下，故C错误，D正确。
故选：D。
如图所示，长为L的轻杆，一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为m的小球。现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，重力加速度为g。某时刻杆对球的作用力方向恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足（ ）
A．sinθ B．tanθ C．sinθ D．tanθ
【解答】解：小球所受重力和杆子的作用力的合力提供向心力，受力如图所示；根据牛顿第二定律有：
mgsinθ＝mLω2
解得：sinθ
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v2图象如图乙所示。则（ ）
A．小球做圆周运动的半径R
B．当地的重力加速度大小g
C．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等
【解答】解：A、由图乙知，若v＝0，则F＝mg＝a．当F＝0时，v2＝b，则小球在最高点时，当F＝0，有：mg＝mm，联立解得R，故A正确；
B、v2＝0时，根据牛顿第二定律得：mg﹣F＝m0，则F＝mg＝a，所以：g．故B正确。
C、由图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；
D、若v2＝2b时。由牛顿第二定律有 F+mg＝mm，结合A项分析解得 F＝mg＝a，故D正确。
故选：ABD。
摆动是生活中常见的运动形式，秋千、钟摆的运动都是我们熟悉的摆动。摆的形状各异，却遵循着相似的规律。
（1）如图1所示，一个摆的摆长为L，小球质量为m，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为θ时将小球由静止释放，忽略空气阻力。
a．求小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小F。
b．如图2所示，当小球运动到摆线与竖直方向夹角为α（α＜θ）时，求此时小球的角速度大小ω1。
（2）如图3所示，长为L的轻杆，一端可绕固定在O点的光滑轴承在竖直平面内转动，在距O点为和L处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球，忽略轻杆的质量和空气阻力。
a．将杆与小球组成的系统拉到与竖直方向成θ角的位置由静止释放，当系统向下运动到与竖直方向夹角为α（α＜θ）时，求此时系统的角速度大小ω2。
b．若θ较小，系统的运动可看作简谐运动，对比ω2和ω1的表达式，参照单摆的周期公式T＝2π，写出此系统做简谐运动的周期的表达式，并说明依据。
【解答】解：（1）a.根据机械能守恒定律可得mgL （1﹣cosθ）mv2
在最低点根据牛顿第二定律F﹣mg＝m
解得F＝mg （3﹣2cosθ）
b.根据机械能守恒定律可得mgL （cosα﹣cosθ）mv12
角速度为ω1
联立解得ω1
（2）a.根据机械能守恒定律可得
mgL （cosα﹣cosθ）+mg （cosα﹣cosθ）mv22mv2′2
其中v2＝ω2L，v'2＝ω2
代入解得ω2
b.此系统做简谐运动的周期为T'＝2
对比ω2和ω1的表达式可得
α可以表示系统运动过程中的任意位置对应的角度，可知两个系统在运动过程中任意位置的角速度大小均满足
因此
可得T'T＝2
答：（1）a．小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小为mg （3﹣2cosθ）。
b.此时小球的角速度大小为。
（2）a．此时系统的角速度大小为。
b．此系统做简谐运动的周期的表达式为T'＝2，依据见解析。
【模型二】过拱凹形桥
拱形桥 圆轨外侧 凹形桥
示意图
作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在A点的速度必须大于
D．轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨
【解答】解：AB、铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，所以磁力和支持力都不能对小铁球做功，只有重力会对小铁球做功，所以小铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大。小铁球不可能做匀速圆周运动，故AB错误；
C、小铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，在最高点轨道对小铁球的支持力的方向可以向上，小铁球的速度只要大于0即可通过最高点，故速度不一定可能大于 ，故C错误；
D、由于小铁球在运动的过程中机械能守恒，所以小铁球在最高点的速度越小，则机械能越小，在最低点的速度也越小，根据：Fn，可知小铁球在最低点时需要的向心力越小；而在最低点小铁球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上。要使铁球不脱轨，轨道对铁球的支持力一定要大于0；所以铁球恰好不脱轨的条件是：小铁球在最高点的速度恰好为0，而且到达最低点时，轨道对铁球的支持力恰好等于0。
根据机械能守恒定律，小铁球在最高点的速度恰好为0，到达最低点时的速度满足：mg 2Rmv2
轨道对铁球的支持力恰好等于0，则磁力与重力的合力提供向心力，即：F﹣mg＝m
联立解得：F＝5mg
可知，要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，故D正确。
故选：D。
（多选）如图为某种秋千椅的示意图，“”形轻质钢制支架O1A1A2O2固定在竖直面内，A1A2沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链O1、O2悬挂长方形匀质椅板B1C1C2B2，竖直面内的O1B1C1、O2C2B2为等边三角形，并绕O1、O2沿图中虚线来回摆动。已知重力 加速度为g，椅板的质量为m，则椅板摆动到最低点时（ ）
A．B1、C1两点角速度相等
B．B2、C2两点线速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
【解答】解：A.B1C1为同轴传动，则角速度相同，故A正确；
B.B2C2两点的线速度大小一样，方向不同，故B错误；
C.D.板B1C1C2B2板子在运动到最低点时处于超重状态，合力向上，所以每根硬杆的拉力大于mg，故C错误，D正确。
故选：AD。
如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，平均摩擦力f1，到C点的速率v1；第二次由C滑到A，所用时间为t2，平均摩擦力f2，到A点的速率v2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（ ）
A．f1＞f2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．v1＞v2
【解答】解：ABC、在AB段，由牛顿第二定律得：mg﹣F，滑块受到的支持力：F＝mg，则速度v越大，滑块受支持力F越小，摩擦力f＝μF就越小，
在BC段，由牛顿第二定律得：F﹣mg，滑块受到的支持力：F＝mg，则速度v越大，滑块受支持力F越大，摩擦力f就越大，
由题意知从A运动到C相比从C到A，在AB段速度较大，在BC段速度较小，所以从A到C运动过程受摩擦力较小，用时短，故AB错误；
D、从A到C的过程和C到A的过程，通过同一点，在AB段，由牛顿第二定律知，径向的合力提供向心力，从A到B时速度较大，则支持力较小，摩擦力较小，在BC段，径向的合力提供向心力，从A到B，在BC段的速度较小，支持力较小，摩擦力较小，结合动能定理知，从A到C过程中克服摩擦力做功小于从C到A过程中克服摩擦力做功，知v1＞v2．故D正确；
故选：D。
（多选）如图，在一半径为R的球面顶端放一质量为m的物块，现给物块一初速度v0，则下列正确的是（ ）
A．若v0，则物块落地点离A点2R
B．若球面是粗糙的，当v0时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离球面
C．若v0，则物块落地点离A点为R
D．若v0，则物块落地点离A点至少为2R
【解答】解：AD、若v0，物体所受合力为F合＝mmg，此时物块只受重力，则物块做平抛运动，竖直方向：2R，水平方向：x＝v0t，联立解得x＝2R，平抛初速度越大，水平位移越大，故AD正确；
B、当v0时，在最高点时，根据牛顿第二定律得：mg﹣N＝m，N＞0，若物块受到的摩擦力足够大，物块可能滑行一端距离后停止，故B错误；
C、当v0时，若小球在到达与圆心O点等高处之前脱离球面做斜抛运动，在到达与O点等高时的水平位移大于R，落地时离A点的距离一定大于R，故C错误；
故选：AD。
（多选）如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动。当汽车通过拱桥最高点B时，速度大小为v，则此时（ ）
A．汽车速度越大，对拱形桥压力越小
B．在B点的速度最小值为
C．若汽车速度等于，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为R
D．若汽车对桥顶的压力为，汽车的速度大小为
【解答】解：A、当汽车通过拱桥最高点B时速度大小为v，设此时桥顶对车的支持力为N，据牛顿第二定律可得：mg﹣N＝m，可知，汽车速度越大，对拱形桥压力越小，故A正确；
B、当 v时，N＝0，即在B点的速度最大值为，故B错误；
C、若汽车速度等于，汽车与桥面无压力，将做平抛运动，下落至与圆心等高处满足 R，可得t，水平方向 x＝vt，故汽车越过桥后落地点与B点的水平距离为R，故C正确；
D、若汽车对桥顶的压力为mg 即汽车受到的支持力为，代入 mg﹣N＝m，解得汽车的速度大小为v，故D错误。
故选：AC。
（多选）如图所示，某水上项目，质量为m的充气船要过半径为R的浮于水面上方的半圆球顶部，充气船受到的阻力可忽略不计。当充气船在顶部的水平初速度为v0时，则充气船（ ）
A．立即离开半球做平抛运动
B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动
C．此后一直沿半圆球面下滑至M点
D．此后运动过程中的加速度不变
【解答】解：在最高点，根据牛顿第二定律得，mg﹣N＝m，v0时，解得N＝0，知物体在顶部仅受重力，有水平初速度，做平抛运动，加速度为g，保持不变，故AD正确，BC错误。
故选：AD。
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专题09 竖直面内的圆周运动模型
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【知识分析】一般圆周运动的动力学 1
【模型一】绳、杆模型讨论 2
竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2
【模型二】过拱凹形桥 8
[模型分析]
【知识分析】一般圆周运动的动力学
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。
【模型一】绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为，要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑧
（2023 全国）如图，水平地面上放有一质量为M的⊥形支架。一质量为m的小球用长为l的轻绳连接在支架顶端，小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g。已知小球运动到最低点时速度大小为v，此时地面受到的正压力大小为（ ）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（多选）细线拉着一质量为m的带电小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，该区域内存在水平方向的匀强电场（图中未画出），小球所受电场力水平向右，大小是其重力的倍，圆周上A点在圆心的正上方，小球过A点时的速度大小为v0，方向水平向左，除受重力、电场力及细线的拉力外小球不受其他力的作用，重力加速度为g，在小球做圆周运动的过程中（ ）
A．小球最小速率为
B．小球速率最小时其电势能最大
C．若小球过A点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
D．若小球过A点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度ω做匀速圆周运动．已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中向心加速度不变
B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为m
D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为2mLω2
一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点
C．v1大小一定大于v2大小，图乙中S1和S2的面积一定相等
D．v1大小可能等于v2大小，图乙中S1和S2的面积可能不等
应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。关于苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．苹果先处于超重状态后处于失重状态
B．手掌对苹果的摩擦力越来越大
C．手掌对苹果的支持力越来越大
D．苹果所受的合外力保持不变
如图1所示，轻质杆的一端连接一个小球，绕套在固定光滑水平转轴O上的另一端在竖直平面内做圆周运动。小球经过最高点时的速度大小为v，杆对球的作用力大小为F，F﹣v2图象如图2所示。若图中的a、b及重力加速度g均为已知量，规定竖直向上的方向为力的正方向。不计空气阻力，由此可求得（ ）
A．小球做圆周运动的半径为
B．F＝0时，小球在最高点的动能为
C．v2＝2b时，小球对杆作用力的方向向下
D．v2＝2b时，杆对小球作用力的大小为a
如图所示，长为L的轻杆，一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为m的小球。现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，重力加速度为g。某时刻杆对球的作用力方向恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足（ ）
A．sinθ B．tanθ C．sinθ D．tanθ
（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v2图象如图乙所示。则（ ）
A．小球做圆周运动的半径R
B．当地的重力加速度大小g
C．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等
摆动是生活中常见的运动形式，秋千、钟摆的运动都是我们熟悉的摆动。摆的形状各异，却遵循着相似的规律。
（1）如图1所示，一个摆的摆长为L，小球质量为m，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为θ时将小球由静止释放，忽略空气阻力。
a．求小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小F。
b．如图2所示，当小球运动到摆线与竖直方向夹角为α（α＜θ）时，求此时小球的角速度大小ω1。
（2）如图3所示，长为L的轻杆，一端可绕固定在O点的光滑轴承在竖直平面内转动，在距O点为和L处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球，忽略轻杆的质量和空气阻力。
a．将杆与小球组成的系统拉到与竖直方向成θ角的位置由静止释放，当系统向下运动到与竖直方向夹角为α（α＜θ）时，求此时系统的角速度大小ω2。
b．若θ较小，系统的运动可看作简谐运动，对比ω2和ω1的表达式，参照单摆的周期公式T＝2π，写出此系统做简谐运动的周期的表达式，并说明依据。
【模型二】过拱凹形桥
拱形桥 圆轨外侧 凹形桥
示意图
作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在A点的速度必须大于
D．轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨
（多选）如图为某种秋千椅的示意图，“”形轻质钢制支架O1A1A2O2固定在竖直面内，A1A2沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链O1、O2悬挂长方形匀质椅板B1C1C2B2，竖直面内的O1B1C1、O2C2B2为等边三角形，并绕O1、O2沿图中虚线来回摆动。已知重力 加速度为g，椅板的质量为m，则椅板摆动到最低点时（ ）
A．B1、C1两点角速度相等
B．B2、C2两点线速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，平均摩擦力f1，到C点的速率v1；第二次由C滑到A，所用时间为t2，平均摩擦力f2，到A点的速率v2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则（ ）
A．f1＞f2 B．t1＝t2 C．t1＞t2 D．v1＞v2
（多选）如图，在一半径为R的球面顶端放一质量为m的物块，现给物块一初速度v0，则下列正确的是（ ）
A．若v0，则物块落地点离A点2R
B．若球面是粗糙的，当v0时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离球面
C．若v0，则物块落地点离A点为R
D．若v0，则物块落地点离A点至少为2R
（多选）如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动。当汽车通过拱桥最高点B时，速度大小为v，则此时（ ）
A．汽车速度越大，对拱形桥压力越小
B．在B点的速度最小值为
C．若汽车速度等于，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为R
D．若汽车对桥顶的压力为，汽车的速度大小为
（多选）如图所示，某水上项目，质量为m的充气船要过半径为R的浮于水面上方的半圆球顶部，充气船受到的阻力可忽略不计。当充气船在顶部的水平初速度为v0时，则充气船（ ）
A．立即离开半球做平抛运动
B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动
C．此后一直沿半圆球面下滑至M点
D．此后运动过程中的加速度不变
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