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专题07 抛体运动模型
[模型导航]
【平抛运动模型的构建及规律总结】 1
【模型一】三类常见的平抛与斜面的结合 2
【模型二】半圆平抛运动 9
【模型三】平抛与圆相切 15
【模型四】台阶平抛运动 19
【模型五】生活中平抛运动的临界问题 23
【模型六】对着竖直墙壁的平抛 27
【模型七】 平抛运动中的相遇问题 31
【模型八】斜抛运动问题 34
[模型分析]
【平抛运动模型的构建及规律总结】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
（多选）将一小球从距地面h高处以初速度v0水平抛出，小球落地时的竖直分速度为vy。则下列关于计算小球在空中飞行时间t的表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、根据h得，平抛运动的时间t，故A正确。
BC、根据vy＝gt得，，故BC错误。
D、根据h得，t，故D正确。
故选：AD。
如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（ ）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
【解答】解：设释放第一颗炸弹的时刻为t01，击中山坡上A点的时刻为tA，释放第二颗炸弹的时刻为t02，击中山坡上B点的时刻为tB，释放第三颗炸弹的时刻为t03，击中山坡上C点的时刻为tC，由于炸弹在空中下落过程，战斗机一直处于炸弹的正上方，根据水平方向上的运动特点可得：
xAB＝v0（tB﹣tA）＝v0t1
xBC＝v0（tC﹣tB）＝v0t2
由于xAB＝xBC
可得：t1＝t2
设三颗炸弹在空中下落的高度分别为hA、hB、hC；因为平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，则三颗炸弹在空中的下落时间分别为：
则有
由图可知下落高度关系为：hB略小于hA，hC比hB小得多；由此可知Δt1＜Δt2，故B正确，ACD错误；
故选：B。
一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s
B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s
C．O、P两点的水平距离为0.8m
D．在P点处，小球对轨道的压力为N
【解答】解：AC、根据平抛运动的规律可知：
vy＝v0tan53°＝3m/s＝4m/s
在竖直方向上：
根据几何关系可得：
联立解得：y＝0.8m；x＝1.2m；t＝0.4s；
即op间的水平距离为1.2m，竖直距离为0.8m，
小球沿光滑轨道下滑到P点，根据动能定理可得：
解得：v＝4m/s，故A正确，C错误；
B、若OP轨道为光滑倾斜轨道，由匀加速直线运动的规律可得：
解得：t'，由于轨道为圆形轨道，所以所以小球从O点下滑到P点的时间大于0.4s，故B错误；
D、在P点对小球进行受力分析，如图所示：
当小球平抛时：
当小球滑到P点时，根据牛顿第二定律可得：
解得在P点处，小球对轨道的压力为：
，故D正确。
故选：D。
如图所示，将小球从倾角为θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度h＝5m，g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度为m/s2
B．小球做平抛运动，运动轨迹为抛物线
C．小球到达B点时的速度大小为10m/s
D．小球从A点运动到B点所用的时间为1s
【解答】解：小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律得，小球沿斜面下滑的加速度为：
agsinθ＝10×5m/s2＝5m/s2，
根据位移—时间关系可得：
代入数据解得：t＝2s
沿斜面方向的速度大小为：vy＝at＝5×2m/s＝10m/s
则到达B点时的速度大小vm/s＝10m/s，故C正确、ABD错误。
故选：C。
【模型一】三类常见的平抛与斜面的结合
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，
则tan θ＝＝，t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝.
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝＝，得t＝.
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝，y＝xtan θ ①
y＝gt′2 ②
x＝v0t′ ③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B间的距离s＝＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（ ）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时、速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
【解答】解：A、物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，则位移与水平面之间的夹角为θ，这个合位移可以分解为竖直方向的位移y以及水平方向的位移x，设初速度为v0，则有tanθ，解得t，由于θ值以及g值一定，所以物体在空中运动的时间与初速度成正比，故A正确；
B、落到斜面上时，设速度方向与水平面的夹角为α，tanα，把t值代入得，tanα＝2tanθ，由于θ值一定，α也一定，与初速度无关，故B错误；
C、抛出点和落点之间的距离即合位移大小，设为l，l，把t值代入得l，抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比错误，而不是和初速度成正比，故C错误；
D、可以把初速度和重力加速度分解来求解物体在空中运动过程中离斜面的最远距离，v0分解为垂直于斜面的速度v1和沿着斜面的速度v2，其中v1＝v0sinθ，重力加速度分解为垂直斜面的加速度g1和沿着斜面的加速度g2，其中g1＝gcosθ，在垂直斜面方向上速度减为0距离斜面最远，设最远距离为d，d，物体在空中运动过程中离斜面的最远距离与初速度平方成正比，故D错误。
故选：A。
如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，把物体的速度分解如图所示，
由图可知，此时物体的竖直方向上的速度的大小为
vy
由vy＝gt可得，运动的时间为：
。故ABC错误，D正确。
故选：D。
2022年2月8日，谷爱凌勇夺北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌．如图是运动员某次训练时的示意图，她从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如果其在空中运动过程中与斜面间的最大距离为m，斜坡与水平方向的夹角为30°，重力加速度取10m/s2．则其从a处飞出时的速度大小为（ ）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
【解答】解：将在a处的速度分解为垂直斜面和沿斜面方向的速度，则沿垂直斜面方向当到达距离斜面最大高度时，根据速度—位移公式可得：
解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（多选）2022年北京张家口冬季奥运会跳台滑雪比赛将在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行如图（a）所示，在跳台滑雪场地测试赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v﹣t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则下列说法正确的是（ ）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【解答】解：A、根据图象与时间轴所围图形的面积表示竖直方向上位移的大小可知，第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，故A错误；
B、由图象知，第二次的运动时间大于第一次运动的时间，由于第二次竖直方向下落距离大，合位移方向不变，所以第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，故B正确；
C、由图象知，第二次滑翔时的竖直方向末速度小，运动时间长，据加速度的定义式可知其平均加速度小，故C错误；
D、当竖直方向速度大小为v1时，第一次滑翔时图象的斜率大于第二次滑翔时图象的斜率，而图象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔时速度达到v1时加速度大于第二次时的加速度，据mg﹣f＝ma可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔时的加速度小，故其所受阻力大，故D正确。
故选：BD。
如图甲所示，水平地面上有一个底端固定、倾角α可调的斜面，右侧在D点与一个水平平台相接。固定在平台上的弹射装置可以将小球以不同水平初速度v0弹出、改变斜面倾角α使小球每次均垂直落到斜面上，图线如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则平台高度H为（ ）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【解答】解：固定在平台上的弹射装置可以将小球以不同水平初速度v0弹出、改变斜面倾角α使小球每次均垂直落到斜面上，根据几何关系可知小球末速度的方向与竖直方向夹角为α，
则①
②
x＝v0t③
台高为：H＝h+xtanα④
①②③④联立解得：
结合图乙可得：
2gH
解得：H＝2m
故ABC错误，D正确；
故选：D。
如图所示，在倾角为θ且足够长的固定斜面上，从斜面顶端水平向右分别以v0、3v0同时抛出小球A、B（两小球互相不干扰），不计空气的阻力，重力加速度为g，则A、B两球落在斜面上的时间间隔是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设小球A、B在空中做平抛运动的时间分别为t1和t2。
A球落在斜面上，有tanθ，解得：t1
B球落在斜面上，有tanθ，解得：t2
则A、B两球落在斜面上的时间间隔是，故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶端，斜面足够长，倾角为θ，则下面的说法正确的是（ ）
A．小球落至斜面所需的时间为2
B．小球落至斜面所需的时间为
C．小球落至斜面C点与B点的距离为4Ltanθ
D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L
【解答】解：AB．小球AB过程，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律有，，解得；小球BC过程做平抛运动，根据平抛运动规律有，解得，所以从A点静止释放小时下落时间应包括AB过程所用时间，所以小球落至斜面所需的时间大于t，故AB错误；
CD．小球BC过程做平抛运动，有，小球落至斜面C点与B点的距离为，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P点的时间是
B．Q点在P点的下方
C．v1＞v2
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
【解答】解：A、以水平速度v1从O点抛出小球，O、P的连线正好与斜面垂直，由平抛运动的规律和几何关系得：，解得：，故A正确；
B、以水平速度v2从O点抛出小球，小球正好与斜面在Q点垂直相碰，速度与斜面垂直，由平抛运动的规律和几何关系得：，解得：，故OQ连线与竖直方向夹角满足tanα＝2tanθ，而OP连线与竖直方向夹角为θ，则α＞θ，故Q点在P点上方，故B错误；
C、Q点在P点上方，则球以速度v1抛出下落的高度大于以速度v2抛出下落的高度，由得：t，则t2＜t1
又水平位移x2＞x1，由得，v2＞v1，故C错误；
D、落在P点的时间与落在Q点的时间之比：t1：t2：2v1：v2，故D正确。
故选：AD。
【模型二】半圆平抛运动
在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，联立两方程可求t或v0。
如图所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道，A、B为水平直径的两端点，O为圆心。现将半径远小于轨道半径、质量为m的小球从O点以初速度v水平向右抛出，小球落在圆周上某一点，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球落在圆周上时的动能为（ ）
A．mgR B．mgR C．（1）mgR D．mgR
【解答】解：设小球下落的时间为t，根据平抛运动的规律有：x＝vt，y，
根据几何关系有：x2+y2＝R2，
代入数据解得：y，
根据动能定理得：，
解得小球落在圆周上的动能：，故A正确，B、C、D错误。
故选：A。
在一个半径为R的圆弧的圆心处，质量为m的小球，以大小不同的初动能水平抛出，如图所示，不计空气阻力。当小球落在圆弧上的动能最小时，对应的初动能为（g表示当地的重力加速度）（ ）
A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR
【解答】解：设水平抛出的初速度为v0，平抛下落的高度是h，
根据平抛运动的规律得出平抛水平位移大小x＝v0t＝v0，
根据几何关系得出R2＝h2+x2＝h2，
，
根据动能定理得出Ekmmgh
Ekmgh
根据数学关系得出当时，即hR时，末动能最小，此时对应的初动能为mmgR。故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为半圆形，ab为沿水平方向的直径，在a点分别以初速度v0（已知）、2v0、3v0沿ab方向抛出三个石子并击中坑壁，且以v0、2v0抛出的石子做平抛运动的时间相等。设以v0和3v0抛出的石子做平抛运动的时间分别为t1和t3，击中坑壁瞬间的速度分别为v1和v3，则（ ）
A．不可以求出t1和t3
B．只能求出t1和t3的比值
C．可以求出v1和v3
D．不能求出v1和v3，但能求出它们的比值
【解答】解：做平抛运动的物体在任意时间的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图1所示：
做平抛运动的物体在任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。
以v0、2v0抛出的石子做平抛运动的时间相等，说明竖直分位移相等，设分别落在A、B点，如图2所示：
以3v0抛出的石子其运动轨迹与AB延长线的交点在b点的正下方。根据几何关系有ABab。对于落在A点的石子，设ab＝2R，根据几何关系可求得竖直位移与水平位移之比，根据上述推论求竖直分速度与水平分速度之比，从而求出竖直分速度，再合成求出v1，由公式vy＝at求t1。以3v0抛出的石子落在c点，根据数学知识可写出其轨迹方程和圆方程，再求得c点的坐标，与落在A点的石子下落位移比较，可求得落在c点时的竖直分速度，从而求出v3。由公式vy＝at求t3，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，水平地面固定半径为5m的四分之一圆弧ABC，O为圆心。在圆心O右侧同一水平线上某点水平向左抛出一个小球，可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D点，D点到水平地面的高度为2m，取g＝10m/s2，则小球的抛出速度是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：小球撞到D点，下降的高度：h＝R﹣H＝5﹣2m＝3m，
到达D点的竖直分速度：，
小球垂直撞在D点，设速度与竖直方向的夹角为α，则cosα，tanα，
又，解得：，故C正确，A、B、D错误。
故选：C。
如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（ ）
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
【解答】解：将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上。
若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故C正确，ABD错误。
故选：C。
【模型三】平抛与圆相切
如图所示，一小球从半径为R的固定半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，关于小球的运动，以下说法正确的是（ ）
A．抛出点与B点的距离为2R
B．小球自抛出至B点的水平射程为1.6R
C．小球抛出时的初速度为
D．小球白抛出至B点的过程中速度变化量为2
【解答】解：AB、由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为 x＝R+Rcos60°R，小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度与水平方向的夹角为30°，则tan30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tanθ，可得竖直位移为：yxRR，根据勾股定理得抛出点与B点的距离为：s，故AB错误；
C、根据竖直方向上的运动学公式得：vy2＝2gy，解得：vy．由tan30°，解得v0，故C正确。
D、速度变化量△v＝gt＝vy，故D错误。
故选：C。
（多选）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ）
A．t B．t C．t D．t
【解答】解：小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出后做平抛运动，将其沿水平和竖直方向分解，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。设小球到达Q点时的速度v，竖直速度为vy，则由题设及几何知识得，小球从P到Q在水平方向上发生的位移为x＝Rsinθ，速度v的方向与水平方向的夹角为θ，于是，根据运动规律得：vy＝gt，x＝v0t，联立以上各式解得：，或。
故选：BC。
如图所示，某游戏中有一隧道跟半径为R＝125m的圆形桥在M点相接，M为桥的顶点，桥上N点与圆心O的连线跟M0的夹角为37°，与MON在同一竖直面的平台上边缘P点比M点高h＝20m。当玩具小车从M越过N点后，从P点水平射出的速度多大都不能直接击中它。为了使发射的小球能击中桥上的小车，速度v0的取值范围是（不计空气阻力，sin37°＝0.6，g取10m/s2）（ ）
A．v0＜30m/s B．v0＞40m/s
C．22.5m/s≤v0≤40m/s D．22.5m/s≤v0≤30m/s
【解答】解：为了使发射的小球能击中桥上的小车，小球只能落在MN段圆弧上。当小球的轨迹与N点相切时，即末速度与N点切线，小球落在MN段的高度范围为 h～h1。
水平位移范围 xM～xN。
由几何关系可得
h1＝h+R（1﹣cos37°）＝45m
落在M点时间为tM，则
h，得 tM＝2s
落在N点时间为tN，则
h1，得 tN＝3s
小球的轨迹与N点相切时，利用平抛的速度角与位移角的关系可得
tanβ
得 xN120m
xM＝xN﹣Rsin37°＝45m
落在M点的速度 vM22.5m/s
落在N点的速度 vN40m/s
所以有 22.5m/s≤v0≤40m/s。故C正确。
故选：C。
（多选）如图所示，半径R＝1m且竖直放置的圆盘O正按顺时针方向匀速转动，在圆盘的边缘上有一点Q，当Q点向上转到竖直位置时，在其正上方h＝0.25m处的P点以v0m/s的初速度向右水平抛出一个小球（可看作质点），小球飞行一段时间后恰能从圆盘上的Q点沿切线方向飞出，g取10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在这段飞行时间内下落的高度为0.75 m
B．小球完成这段飞行所用的时间为 s
C．圆盘转动的角速度ω一定等于 rad/s
D．小球沿圆盘切线方向飞出时的速度大小为2 m/s
【解答】解：ABD、设小球在平抛运动的过程中，QO转过的最小角度为α．根据平抛运动的规律得：
竖直方向有：h+R（1﹣cosα）
水平方向有：Rsinα＝v0t
联立解得：α，ts
小球在这段飞行时间内下落的高度为：H＝h+R（1﹣cosα）＝0.75m
小球沿圆盘切线方向飞出时速率为：v2m/s，故AD正确，B错误。
C、根据圆周运动的周期性可得：2πn+α＝ωt，n＝0，1，2，…
解得：ω＝（n）rad/s，n＝0，1，2，…．故C错误。
故选：AD。
【模型四】台阶平抛运动
方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法
示意图
如图，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球从第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3s，每级台阶的宽度和高度均为18cm．小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，重力加速度g＝10m/s2．
（1）求第一次落点与小球抛出点间的水平距离和竖直距离；
（2）分析说明小球是否能够与第5级台阶相撞．
【解答】解：（1）设台阶宽度与高度均为L，则 L＝18cm＝0.18m
设小球从出发点到第1台阶的时间为t1，从第1台阶到第3台阶的时间t2，则 t2＝0.3s．
水平方向有 2L＝v0t2，
代入数据解得 v0＝1.2m/s
设小球从出发点到第1台阶的竖直速度：vy＝gt1
从第1台阶到第3台阶，竖直方向：
解得 vy＝1.2m/s，t1＝0.12s
第一次落点与小球抛出点间的水平距离 x＝v0t＝0.144m，竖直距离
（2）小球到达第3台阶时的竖直速度为：
小球离开第3台阶后再运动0.3s，这一过程中的水平位移x'＝v0t＝0.36m
竖直位移：
所以小球不能到达第5台阶．
接下来考虑小球是否先与第4台阶相撞，t＝0.15s时小球竖直位移 ，故小球不会与第4级台阶相撞．
答：（1）第一次落点与小球抛出点间的水平距离是0.144m，竖直距离是0.072m；
（2）小球不能够与第5级台阶相撞．
（多选）某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离s＝40cm，高度h＝20cm。台阶的侧视图如图乙所示，总共6级阶梯，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。每次与台阶或地面碰撞时，竖直方向的速度大小都变为原来的0.5倍，方向与原方向相反；水平方向的速度不变。下列说法正确的是（ ）
A．要使小球首先落到第1级台阶上，初速度v最大为1.5m/s
B．若v＝3m/s，小球首先撞到第3级台阶上
C．若v＝7m/s，小球从抛出到与台阶或地面第3次碰撞所经历的总时间为s
D．多次抛出小球，使其恰好打在各级阶梯边缘，每次小球落点的速度方向相同
【解答】解：A．s＝40cm＝0.4m，高度h＝20cm＝0.2m，小球落到第1级台阶边缘时，初速度最大，竖直方向
水平方向s＝vt
代入数据联立解得v＝2m/s
故A错误；
B．如图作一条连接各端点的直线，只要小球越过该直线，则小球落到台阶上。设小球落到斜线上的时间t1，水平方向x＝vt1
竖直方向
且
代入数据联立解得t1＝0.3s
相应的水平距离
x＝vt1＝3×0.3m＝0.9m
则台阶数n2.25
知小球抛出后首先落到的台阶为第3级台阶，故B正确；
C．当小球直接击中B点时，则有竖直方向
水平方向6s＝v1t2
代入数据解得
因为
小球直接落到地面上。落地时，竖直分速度为
vy1＝gt2＝10m/s＝2m/s
每次与台阶或地面碰撞时，竖直方向的速度大小都变为原来的0.5倍，从第一次碰撞到第二次碰撞，有
代入数据解得
从第二次碰撞到第三次碰撞，有
代入数据解得
代入数据可得总时间为
t总＝t4+t2+t3ssss
故C正确；
D．根据平抛运动规律可得，小球位移方向有
tanθ
多次抛出小球，使其恰好打在各级阶梯边缘，在小球每次的落点都在虚线AB上，则tanθ是固定值，则速度的方向
tanα2tanθ
即多次抛出小球，使其恰好打在各级阶梯边缘，每次小球落点的速度方向相同，故D正确。
故选：BCD。
质量为m＝0.5kg、可视为质点的小滑块，从光滑斜面上高h0＝0.6m的A点由静止开始自由滑下．已知斜面AB与水平面BC在B处通过一小圆弧光滑连接．长为x0＝0.5m的水平面BC与滑块之间的动摩擦因数μ＝0.3，C点右侧有4级台阶（台阶编号如图所示），D点右侧是足够长的水平面．每级台阶的高度均为h＝0.2m，宽均为L＝0.4m．（设滑块从C点滑出后与地面或台阶碰撞后不再弹起）．求：
（1）滑块经过B点时的速度vB；
（2）滑块从B点运动到C点所经历的时间tBC；
（3）小球从C点抛出后直接落在P点，P点在哪个台阶上？平抛运动的时间t及水平距离xCP分 别时多少？
【解答】解：（1）物体在斜面AB上下滑，机械能守恒：
代入数据解得：vB．
（2）根据动能定理得：
，
代入数据解得：vC＝3m/s，
根据牛顿第二定律得：μmg＝ma
则有：a＝μg＝0.3×10m/s2＝3m/s2．
所以滑块从B到C的时间为：．
（3）根据tanθ，又，
则有：t，
则水平位移为：x＝vCt＝3×0.3m＝0.9m，
2L＜x＜3L，可知小球落在第三个台阶．
根据得：
．
水平位移xCP＝vCt′＝3×0.346m＝1.038m．
答：（1）滑块经过B点时的速度为m/s．
（2）滑块从B点运动到C点所经历的时间为0.155s．
（3）P点在第三个台阶上，水平距离为1.038m．
【模型五】生活中平抛运动的临界问题
1． 平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据，可得比值：
（多选）如图所示，为冬奥会单板滑雪大跳台项目简化模型。运动员以水平初速度v0从P点冲上半径为R的六分之一光滑圆弧跳台，离开跳台经最高点M后落在倾角为θ的斜坡上，落点距Q点的距离为L，若忽略一切阻力并将其看成质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在最高点M的速度为0
B．最高点M距水平面PQ的竖直距离为
C．运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间
D．运动员落在斜面时的速度大小为
【解答】解：A、运动员离开跳台后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，所以运动员在最高点M有水平方向的速度，故A错误；
B、根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角为θ＝60°运动员从开始沿圆弧运动到离开跳台，只有重力做功，有动能定理可知：
解得：
运动员从离开圆弧到最高点的过程中，
则最高点M点距水平面PQ的竖直距离为H＝h+R（1﹣cosθ）
解得：，故B正确；
CD、运动员从开始运动到落到斜面上时，只有重力做功，
解得：
运动员落在斜面上时竖直分速度大小为：
即
则运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间为：，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别斜向上打在水平横梁上的a、b两点，a为横梁中点，如图所示，已知足球被踢出时的速度大小相等，不计空气的作用效果，则足球（ ）
A．从射出到打到a、b两点的时间一定是ta＜tb
B．从射出到打到a、b两点的时间可能是ta＞tb
C．到达a、b两点瞬间速度大小va＞vb
D．到达a、b两点瞬间速度大小va＝vb
【解答】解：CD．足球被踢出时的速度大小相等，重力做功相等，根据动能定理可知，到达a、b两点瞬间速度va＝vb
故D正确，C错误；
AB．由几何关系可知：到达b点的足球水平位移较大，到达a、b两点竖直位移相等，若从射出到打到a、b两点的时间ta＞tb，根据竖直方向做竖直上抛运动：
到达a点足球竖直初速度较小，根据运动的合成，水平方向初速度较大，水平方向根据x＝vxt
水平位移较大，与题意矛盾，也不可能是时间相等
假设时间相等，则竖直方向分速度与水平方向分速度均相等，水平方向位移也相等，与题意矛盾，所以一定满足ta＜tb，故A正确，B错误。
故选：AD。
极限运动是结合了一些难度较高，且挑战性较大的组合运动项目的统称，如图所示的雪板就是极限运动的一种。图中AB是助滑区、BC是起跳区、DE是足够长的着陆坡（认为是直线斜坡）。极限运动员起跳的时机决定了其离开起跳区时的速度大小和方向。忽略空气阻力，运动员可视为质点。若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则运动员（ ）
A．飞行的最大高度越大
B．在空中运动的加速度越大
C．在空中运动的时间越短
D．着陆点距D点的距离一定越远
【解答】解：A、若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则竖直分速度越大，则飞行的最大高度越大，故A正确；
B、运动的加速度为重力加速度，是不变的，故B错误；
CD、竖直分速度越大，运动时间越长，但水平分速度越小，则着陆点距D点的距离不一定越远，故CD错误。
故选：A。
【模型六】对着竖直墙壁的平抛
1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
2.撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h= gt2.
3.撞墙平抛运动的推论
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
如图所示是中国航天科工集团研制的一种投弹式干粉消防车。灭火车出弹口到高楼水平距离为x，在同一位置灭火车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v0，v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h1、h2，空中飞行时间分别为t1。灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．高度之比
B．时间之比
C．两枚灭火弹的发射角满足θ1+θ2＝90°
D．水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x＝2gt1t2
【解答】AB.竖直方向的初速度分别为vy1＝v0sinθ1 vy2＝v0sinθ2
根据2gh
可得
根据vy＝gt
可得
故AB错误；
C.水平方向x＝v0cosθ1v0cosθ2
可得sin2θ1＝sin2θ2＝sin（90°﹣2θ2）
结合数学关系可得θ1+θ2＝90°
故C正确；
D.水平方向x＝v0cosθ1 t1
竖直方向v0sinθ2＝gt2
结合θ1+θ2＝90°
可得sinθ2＝cosθ1
可得x＝gt1t2
故D错误。
故选：C。
定点投篮时，第一次出手位置较高，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为60°；第二次出手位置较低，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为30°。已知两次出手的位置在同一竖直线上，结果篮球都正好垂直撞到篮板上的同一点P，如图所示。不计空气阻力，则前、后两次投出的篮球在从出手到撞板的过程中（ ）
A．撞击篮板时的速率相等
B．出手时的速率相等
C．运动的时间的比值为1：3
D．上升的高度的的比值为：3
【解答】解：D、设投篮处与篮板的水平距离为x，根据做平抛运动的物体任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，所以有：tan60°、tan30°，从而得到，故D错误；
C、在竖直方向上可以认为是自由落体运动，所以，故C错误；
A、水平速度v0x1，v0x2，由于上述结论t1，那么v01x，所以撞击篮板的速度不相等，故A错误；
B、出手速度v1 v2，结合上一问结论有：v1＝v2，故B正确。
故选：B。
（多选）图（a）为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO'在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成θ角后由静止释放，杆在配重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直放置的靶，打到靶心上方的“6”环处，如图（b）所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有（ ）
A．仅增大石子的质量
B．仅增大配重的质量
C．仅增大投石机到靶的距离
D．仅增大θ角
【解答】解：A．仅增大石子的质量，根据机械能守恒定律，石子平抛的初速度变小，抛物线向下偏移，可以击中靶心，故A正确；
B．仅增大配重的质量，根据机械能守恒定律，石子平抛的初速度变大，抛物线向上偏移，不能击中靶心，故B错误；
C．仅增大投石机到靶的距离，抛物线向左偏移，可以击中靶心，故C正确；
D．仅增大θ角，配重升高，根据机械能守恒定律，石子平抛的初速度变大，抛物线向上偏移，不能击中靶心，故D错误。
故选：AC。
【模型七】平抛运动中的相遇问题
平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速
x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y: gt2+v2t- gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1v4； x:l=(v1-t2)t; y:t=
如图所示，A，B两小球分别从距地面高度为h、3h处以速度vA、vB水平抛出，均落在水平面上CD间的中点P，它们在空中运动的时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列结论正确的是（ ）
A．tA：tB＝1：3 B．tA：tB＝3：1 C．vA：vB＝1： D．vA：vB：1
【解答】解：A、B.由于A、B两小球做平抛运动，
A球：
B球：
联立以上解得：，故A、B错误；
C、D.由于P为CD间的中点，所以A、B两球的水平位移相等，
所以vAtA＝vBtB，
解得，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，竖直平面内A、B、C三点在同一条直线上，甲、乙、丙三小球分别从A、B、C三点水平抛出，若三小球同时落在水平面上的D点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．丙小球先从C点抛出，甲小球最后从A点抛出
B．三小球在空中的运动时间一定是t甲＞t乙＞t丙
C．三小球抛出时的初速度大小一定是v甲＜v乙＜v丙
D．甲、乙、丙三小球落在D点的速度方向与水平方向的夹角一定是θ甲＜θ乙＜θ丙
【解答】解：AB、根据h得：t，A球平抛运动的高度最大，C球平抛运动的高度最小，可知三球的运动时间关系：t甲＞t乙＞t丙，三球同时落在水平面上的D点，可知丙球最后抛出，甲球最先抛出，故A错误，B正确；
C、三球抛出的水平位移关系为：x丙＞x乙＞x甲，根据x＝v0t知，v甲＜v乙＜v丙，故C正确；
D、平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，三球中甲球位移方向与水平方向的夹角最大，丙球位移方向与水平方向的夹角最小，可知三球在D点速度方向与水平方向的夹角大小关系为：θ甲＞θ乙＞θ丙，故D错误。
故选：BC。
如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度之比为1：4
B．A、B两球的位移相同
C．若两球同时抛出，则落地的时间差为
D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
【解答】解：A、小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向：x＝vt
竖直方向：
联立解得，小球的初速度为
则A、B两球的初速度之比为
故A错误；
B、设A球的水平位移为x，B球的水平位移为2x，则A、B两球的位移分别为
则A、B两球的位移大小不一定相等，方向一定不同，故B错误；
CD、由得，A球的运动时间为
B球的运动时间为
若两球同时抛出，则落地的时间差为
若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
故C错误，D正确。
故选：D。
如图所示，A、B两小球从O点水平抛出，A球恰能越过竖直挡板P落在水平面上的Q点，B球抛出后与水平面发生碰撞，弹起后恰能越过挡板P也落在Q点，B球与水平面碰撞前后瞬间，水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变、方向相反。挡板高为h，不计空气阻力，则下列说法中不正确的是（ ）
A．A、B两小球从O点运动到Q点的时间相等
B．A球抛出时的速度是B球抛出时速度的3倍
C．A、B两小球经过P顶端时竖直方向的速度大小相等
D．抛出点O距离地面高度为h
【解答】解：AB.设O点高度为H，A、B球做平抛运动的时间为t，根据平抛运动规律，得；根据斜抛运动规律，则B球做斜抛运动的时间为2t，B球总共运动的时间为tB＝3t；设AB球的水平初速度分别为vA、vB，由题意vAt＝vB 3t，得vA＝3vB，故A错误，B正确。
C.A、B两球到达P顶端时，下降的高度相同，根据竖直方向上的运动规律知，竖直方向上的分速度相等，故C正确。
D.挡板为水平位移的中点，根据x＝vAt可知，A球从O运动到P的时间为，A球下落高度，又，所以，故D正确。
本题选说法不正确的选项。
故选：A。
【模型八】斜抛运动问题
1、运动规律
水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动
水平位移；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动
任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程
，是一条抛物线如图所示：
3、对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时，由 知，飞行时间
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
令y=0得落回抛出高度时的水平射程是
两条结论：
①当抛射角时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时
代入即得到抛体所能达到的最大高度
可以看出，当时，射高最大
（多选）如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为45°
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为30°
C．水平距离
D．水平距离
【解答】解：根据题意，篮球到达篮筐时，竖直速度为零。看成从篮筐处开始做平抛运动。设出手瞬时速度与水平方向夹角θ，由平抛运动规律可知：x＝vcosθ t
，，vy＝vsinθ
联立解得θ＝30°，，故BC正确，AD错误。
故选：BC。
如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则（ ）
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
【解答】解：A、乙球竖直方向为上抛运动，水平方向为匀速直线运动，根据运动的对称性，小球乙从M点出发到达最高点的时间是到达N点时间的一半，则小球乙到达N点的时间是小球甲到达最高点时间的一半，根据v＝gt，所以小球甲乙到达N点时，乙竖直方向的速度是甲球的2倍；而甲乙小球在水平方向上的位移相等，时间也相等，所以水平方向的速度vx相等。故两球相遇时，甲的速度大小不是乙的两倍。故A错误。
B、由前面的分析可知甲乙两球在水平方向都是匀速直线运动，且速度相等，甲球在p点与乙球在最高点时二者竖直方向的速度为零，只有水平速度，故此时二者速度相等。故B正确。
C、设乙球到达最高点所用的时间为t，则甲球到达N点的时间是2t，则乙球相对于M点上升的高度为：h乙
pM的高度为：h甲
则乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度的．故C错误。
D、两球相遇时，甲速度与水平方向的夹角为α，乙速度与水平方向的夹角为β，则有：
tanα
tanβ
所以tanα＝2tanβ，故相遇时甲的速度与水平方向的夹角不是乙的两倍，故D错误。
故选：B。
（多选）北京冬奥会报道中利用“AI+8K”技术，把全新的“时间切片”特技效果应用在8K直播中，精准清晰地抓拍运动员比赛精彩瞬间，给观众带来全新的视觉体验。“时间切片”是一种类似于多次“曝光”的呈现手法。图为我国运动员谷爱凌在自由式滑雪女子大跳台比赛中第三跳的“时间切片”特技图。忽略空气阻力的影响，其运动轨迹可近似为抛物线，a、c位置等高。已知起跳点a的速度大小为v，起跳点a与最高点b之间的高度差为h，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．运动员从b到c的时间为
B．运动员到达最高点时速度的大小为
C．运动员从a点到b点与从b点到c点的速度变化量不同
D．运动员做的是匀变速曲线运动
【解答】解：A.斜抛运动的下落阶段可以看出平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，得运动员从b到c的时间为，故A正确；
B.设运动员在最高点的速度为vx，根据动能定理，解得运动员在最高点的速度，故B正确；
C.根据对称性可知，从最高点往左右两边等高的位置的时间是相等的；忽略空气阻力的影响，运动员在运动过程中只受重力作用，速度的变化量Δv＝gΔt，由于运动员从a点到b点与从b点到c点运动的时间相等，因此运动员从a点到b点与从b点到c点的速度变化量相同，故C错误；
D.忽略空气阻力的影响，运动员在运动过程中只受重力作用，根据牛顿第二定律mg＝ma，因此斜抛运动的加速度恒为g，所以运动员做的是匀变速曲线运动，故D正确。
故选：ABD。
如图所示，某同学正对篮板起跳投篮，球出手后斜向上抛出，出手时速度v0的方向与水平方向的夹角θ＝53°，篮球恰好垂直击中篮板，反弹后速度沿水平方向，而后进入篮圈。球刚出手时，球心O点离地的高度h1＝2.25m，篮球击中篮板的位置离地的高度为h2＝3.5m、离篮圈的高度为h3＝0.45m，篮圈的直径d1＝0.45m，篮板与篮圈的最小距离l＝0.15m，篮球的直径d2＝0.24m，不考虑空气阻力和篮球的转动。已知篮板平面保持竖直且与篮圈所在平面垂直，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）篮球击中篮板时的速度大小；
（2）球在O点时的速度v0大小；
（3）要使篮球落入篮圈而进球（即球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触），球打板后反弹的速度范围。
【解答】解：（1）依题意，可以把篮球的运动看成平抛模型，有
又
解得vx＝3.75m/s
（2）根据
解得v0＝6.25m/s
（3）球打板后反弹，做平抛运动，有
篮球反弹速度最小时，有l＝vmint
篮球反弹速度最大时，有l+d1﹣d2＝vmaxt
球打板后反弹的速度范围为vmin≤v≤vmax
联立，可得0.5m/s≤v≤1.2m/s
答：（1）篮球击中篮板时的速度大小3.75m/s；
（2）球在O点时的速度v0大小6.25m/s；
（3）球打板后反弹的速度范围0.5m/s≤v≤1.2m/s。
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专题07 抛体运动模型
[模型导航]
【平抛运动模型的构建及规律总结】 1
【模型一】三类常见的平抛与斜面的结合 2
【模型二】半圆平抛运动 7
【模型三】平抛与圆相切 10
【模型四】台阶平抛运动 12
【模型五】生活中平抛运动的临界问题 14
【模型六】对着竖直墙壁的平抛 16
【模型七】 平抛运动中的相遇问题 18
【模型八】斜抛运动问题 20
[模型分析]
【平抛运动模型的构建及规律总结】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
（多选）将一小球从距地面h高处以初速度v0水平抛出，小球落地时的竖直分速度为vy。则下列关于计算小球在空中飞行时间t的表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（ ）
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2
一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s
B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s
C．O、P两点的水平距离为0.8m
D．在P点处，小球对轨道的压力为N
如图所示，将小球从倾角为θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度h＝5m，g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度为m/s2
B．小球做平抛运动，运动轨迹为抛物线
C．小球到达B点时的速度大小为10m/s
D．小球从A点运动到B点所用的时间为1s
【模型一】三类常见的平抛与斜面的结合
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，
则tan θ＝＝，t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝.
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝＝，得t＝.
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝，y＝xtan θ ①
y＝gt′2 ②
x＝v0t′ ③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B间的距离s＝＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（ ）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时、速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（ ）
A． B．2 C． D．
2022年2月8日，谷爱凌勇夺北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌．如图是运动员某次训练时的示意图，她从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如果其在空中运动过程中与斜面间的最大距离为m，斜坡与水平方向的夹角为30°，重力加速度取10m/s2．则其从a处飞出时的速度大小为（ ）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
（多选）2022年北京张家口冬季奥运会跳台滑雪比赛将在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行如图（a）所示，在跳台滑雪场地测试赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v﹣t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则下列说法正确的是（ ）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
如图甲所示，水平地面上有一个底端固定、倾角α可调的斜面，右侧在D点与一个水平平台相接。固定在平台上的弹射装置可以将小球以不同水平初速度v0弹出、改变斜面倾角α使小球每次均垂直落到斜面上，图线如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则平台高度H为（ ）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
如图所示，在倾角为θ且足够长的固定斜面上，从斜面顶端水平向右分别以v0、3v0同时抛出小球A、B（两小球互相不干扰），不计空气的阻力，重力加速度为g，则A、B两球落在斜面上的时间间隔是（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶端，斜面足够长，倾角为θ，则下面的说法正确的是（ ）
A．小球落至斜面所需的时间为2
B．小球落至斜面所需的时间为
C．小球落至斜面C点与B点的距离为4Ltanθ
D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L
（多选）一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P点的时间是
B．Q点在P点的下方
C．v1＞v2
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
【模型二】半圆平抛运动
在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，联立两方程可求t或v0。
如图所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道，A、B为水平直径的两端点，O为圆心。现将半径远小于轨道半径、质量为m的小球从O点以初速度v水平向右抛出，小球落在圆周上某一点，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球落在圆周上时的动能为（ ）
A．mgR B．mgR C．（1）mgR D．mgR
在一个半径为R的圆弧的圆心处，质量为m的小球，以大小不同的初动能水平抛出，如图所示，不计空气阻力。当小球落在圆弧上的动能最小时，对应的初动能为（g表示当地的重力加速度）（ ）
A．mgR B．mgR C．mgR D．mgR
如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为半圆形，ab为沿水平方向的直径，在a点分别以初速度v0（已知）、2v0、3v0沿ab方向抛出三个石子并击中坑壁，且以v0、2v0抛出的石子做平抛运动的时间相等。设以v0和3v0抛出的石子做平抛运动的时间分别为t1和t3，击中坑壁瞬间的速度分别为v1和v3，则（ ）
A．不可以求出t1和t3
B．只能求出t1和t3的比值
C．可以求出v1和v3
D．不能求出v1和v3，但能求出它们的比值
如图所示，水平地面固定半径为5m的四分之一圆弧ABC，O为圆心。在圆心O右侧同一水平线上某点水平向左抛出一个小球，可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D点，D点到水平地面的高度为2m，取g＝10m/s2，则小球的抛出速度是（ ）
A． B． C． D．
如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（ ）
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
【模型三】平抛与圆相切
如图所示，一小球从半径为R的固定半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，关于小球的运动，以下说法正确的是（ ）
A．抛出点与B点的距离为2R
B．小球自抛出至B点的水平射程为1.6R
C．小球抛出时的初速度为
D．小球白抛出至B点的过程中速度变化量为2
（多选）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ）
A．t B．t C．t D．t
如图所示，某游戏中有一隧道跟半径为R＝125m的圆形桥在M点相接，M为桥的顶点，桥上N点与圆心O的连线跟M0的夹角为37°，与MON在同一竖直面的平台上边缘P点比M点高h＝20m。当玩具小车从M越过N点后，从P点水平射出的速度多大都不能直接击中它。为了使发射的小球能击中桥上的小车，速度v0的取值范围是（不计空气阻力，sin37°＝0.6，g取10m/s2）（ ）
A．v0＜30m/s B．v0＞40m/s
C．22.5m/s≤v0≤40m/s D．22.5m/s≤v0≤30m/s
（多选）如图所示，半径R＝1m且竖直放置的圆盘O正按顺时针方向匀速转动，在圆盘的边缘上有一点Q，当Q点向上转到竖直位置时，在其正上方h＝0.25m处的P点以v0m/s的初速度向右水平抛出一个小球（可看作质点），小球飞行一段时间后恰能从圆盘上的Q点沿切线方向飞出，g取10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在这段飞行时间内下落的高度为0.75 m
B．小球完成这段飞行所用的时间为 s
C．圆盘转动的角速度ω一定等于 rad/s
D．小球沿圆盘切线方向飞出时的速度大小为2 m/s
【模型四】台阶平抛运动
方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法
示意图
如图，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球从第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3s，每级台阶的宽度和高度均为18cm．小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，重力加速度g＝10m/s2．
（1）求第一次落点与小球抛出点间的水平距离和竖直距离；
（2）分析说明小球是否能够与第5级台阶相撞．
（多选）某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离s＝40cm，高度h＝20cm。台阶的侧视图如图乙所示，总共6级阶梯，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。每次与台阶或地面碰撞时，竖直方向的速度大小都变为原来的0.5倍，方向与原方向相反；水平方向的速度不变。下列说法正确的是（ ）
A．要使小球首先落到第1级台阶上，初速度v最大为1.5m/s
B．若v＝3m/s，小球首先撞到第3级台阶上
C．若v＝7m/s，小球从抛出到与台阶或地面第3次碰撞所经历的总时间为s
D．多次抛出小球，使其恰好打在各级阶梯边缘，每次小球落点的速度方向相同
质量为m＝0.5kg、可视为质点的小滑块，从光滑斜面上高h0＝0.6m的A点由静止开始自由滑下．已知斜面AB与水平面BC在B处通过一小圆弧光滑连接．长为x0＝0.5m的水平面BC与滑块之间的动摩擦因数μ＝0.3，C点右侧有4级台阶（台阶编号如图所示），D点右侧是足够长的水平面．每级台阶的高度均为h＝0.2m，宽均为L＝0.4m．（设滑块从C点滑出后与地面或台阶碰撞后不再弹起）．求：
（1）滑块经过B点时的速度vB；
（2）滑块从B点运动到C点所经历的时间tBC；
（3）小球从C点抛出后直接落在P点，P点在哪个台阶上？平抛运动的时间t及水平距离xCP分 别时多少？
【模型五】生活中平抛运动的临界问题
1． 平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据，可得比值：
（多选）如图所示，为冬奥会单板滑雪大跳台项目简化模型。运动员以水平初速度v0从P点冲上半径为R的六分之一光滑圆弧跳台，离开跳台经最高点M后落在倾角为θ的斜坡上，落点距Q点的距离为L，若忽略一切阻力并将其看成质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在最高点M的速度为0
B．最高点M距水平面PQ的竖直距离为
C．运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间
D．运动员落在斜面时的速度大小为
（多选）足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别斜向上打在水平横梁上的a、b两点，a为横梁中点，如图所示，已知足球被踢出时的速度大小相等，不计空气的作用效果，则足球（ ）
A．从射出到打到a、b两点的时间一定是ta＜tb
B．从射出到打到a、b两点的时间可能是ta＞tb
C．到达a、b两点瞬间速度大小va＞vb
D．到达a、b两点瞬间速度大小va＝vb
极限运动是结合了一些难度较高，且挑战性较大的组合运动项目的统称，如图所示的雪板就是极限运动的一种。图中AB是助滑区、BC是起跳区、DE是足够长的着陆坡（认为是直线斜坡）。极限运动员起跳的时机决定了其离开起跳区时的速度大小和方向。忽略空气阻力，运动员可视为质点。若运动员跳离起跳区时速度大小相等，速度方向与竖直方向的夹角越小，则运动员（ ）
A．飞行的最大高度越大
B．在空中运动的加速度越大
C．在空中运动的时间越短
D．着陆点距D点的距离一定越远
【模型六】对着竖直墙壁的平抛
1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
2.撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h= gt2.
3.撞墙平抛运动的推论
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
如图所示是中国航天科工集团研制的一种投弹式干粉消防车。灭火车出弹口到高楼水平距离为x，在同一位置灭火车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v0，v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h1、h2，空中飞行时间分别为t1。灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．高度之比
B．时间之比
C．两枚灭火弹的发射角满足θ1+θ2＝90°
D．水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x＝2gt1t2
定点投篮时，第一次出手位置较高，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为60°；第二次出手位置较低，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为30°。已知两次出手的位置在同一竖直线上，结果篮球都正好垂直撞到篮板上的同一点P，如图所示。不计空气阻力，则前、后两次投出的篮球在从出手到撞板的过程中（ ）
A．撞击篮板时的速率相等
B．出手时的速率相等
C．运动的时间的比值为1：3
D．上升的高度的的比值为：3
（多选）图（a）为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO'在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成θ角后由静止释放，杆在配重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直放置的靶，打到靶心上方的“6”环处，如图（b）所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有（ ）
A．仅增大石子的质量
B．仅增大配重的质量
C．仅增大投石机到靶的距离
D．仅增大θ角
【模型七】平抛运动中的相遇问题
平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速
x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y: gt2+v2t- gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1v4； x:l=(v1-t2)t; y:t=
如图所示，A，B两小球分别从距地面高度为h、3h处以速度vA、vB水平抛出，均落在水平面上CD间的中点P，它们在空中运动的时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列结论正确的是（ ）
A．tA：tB＝1：3 B．tA：tB＝3：1 C．vA：vB＝1： D．vA：vB：1
（多选）如图所示，竖直平面内A、B、C三点在同一条直线上，甲、乙、丙三小球分别从A、B、C三点水平抛出，若三小球同时落在水平面上的D点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．丙小球先从C点抛出，甲小球最后从A点抛出
B．三小球在空中的运动时间一定是t甲＞t乙＞t丙
C．三小球抛出时的初速度大小一定是v甲＜v乙＜v丙
D．甲、乙、丙三小球落在D点的速度方向与水平方向的夹角一定是θ甲＜θ乙＜θ丙
如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度之比为1：4
B．A、B两球的位移相同
C．若两球同时抛出，则落地的时间差为
D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为
如图所示，A、B两小球从O点水平抛出，A球恰能越过竖直挡板P落在水平面上的Q点，B球抛出后与水平面发生碰撞，弹起后恰能越过挡板P也落在Q点，B球与水平面碰撞前后瞬间，水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变、方向相反。挡板高为h，不计空气阻力，则下列说法中不正确的是（ ）
A．A、B两小球从O点运动到Q点的时间相等
B．A球抛出时的速度是B球抛出时速度的3倍
C．A、B两小球经过P顶端时竖直方向的速度大小相等
D．抛出点O距离地面高度为h
【模型八】斜抛运动问题
1、运动规律
水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动
水平位移；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动
任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程
，是一条抛物线如图所示：
3、对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时，由 知，飞行时间
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
令y=0得落回抛出高度时的水平射程是
两条结论：
①当抛射角时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时
代入即得到抛体所能达到的最大高度
可以看出，当时，射高最大
（多选）如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的瞬时速度，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为45°
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为30°
C．水平距离
D．水平距离
如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则（ ）
A．两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍
B．甲球在P点速度与乙球在最高点的速度相等
C．乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度一半
D．两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍
（多选）北京冬奥会报道中利用“AI+8K”技术，把全新的“时间切片”特技效果应用在8K直播中，精准清晰地抓拍运动员比赛精彩瞬间，给观众带来全新的视觉体验。“时间切片”是一种类似于多次“曝光”的呈现手法。图为我国运动员谷爱凌在自由式滑雪女子大跳台比赛中第三跳的“时间切片”特技图。忽略空气阻力的影响，其运动轨迹可近似为抛物线，a、c位置等高。已知起跳点a的速度大小为v，起跳点a与最高点b之间的高度差为h，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．运动员从b到c的时间为
B．运动员到达最高点时速度的大小为
C．运动员从a点到b点与从b点到c点的速度变化量不同
D．运动员做的是匀变速曲线运动
如图所示，某同学正对篮板起跳投篮，球出手后斜向上抛出，出手时速度v0的方向与水平方向的夹角θ＝53°，篮球恰好垂直击中篮板，反弹后速度沿水平方向，而后进入篮圈。球刚出手时，球心O点离地的高度h1＝2.25m，篮球击中篮板的位置离地的高度为h2＝3.5m、离篮圈的高度为h3＝0.45m，篮圈的直径d1＝0.45m，篮板与篮圈的最小距离l＝0.15m，篮球的直径d2＝0.24m，不考虑空气阻力和篮球的转动。已知篮板平面保持竖直且与篮圈所在平面垂直，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）篮球击中篮板时的速度大小；
（2）球在O点时的速度v0大小；
（3）要使篮球落入篮圈而进球（即球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触），球打板后反弹的速度范围。
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