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专题08 水平面内的圆周运动模型
[模型导航]
【模型一】圆锥摆模型 1
【模型二】锥形、球形容器模型 6
【模型三】火车转弯模型 9
【模型四】水平路面转弯模型 10
【模型五】圆盘模型 10
[模型分析]
【模型一】圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
4.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，小球仍在水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小分别为ω1、a1、F1和ω2、a2、F2。则（ ）
A．ω1＝ω2 B．a1＞a2 C．F1＝F2 D．F1＞F2
如图所示，一光滑细杆以角速度ω绕竖直轴旋转，杆的一端固定在轴上O点，杆与轴的夹角为α。一质量为m的小球套在杆上，在距离O点L处刚好随杆一起在水平面上做匀速圆周运动。若杆的角速度ω稍增大了一点，并随即以新的角速度匀速转动，则关于小球接下来的运动情况，下列说法正确的是（ ）（重力加速度为g）
A．小球仍将在原位置做匀速圆周运动，加速度为a＝gtanα
B．小球将沿杆向上滑动，最后在某位置相对杆静止
C．小球将沿杆向上滑动，直至从上端飞出
D．小球相对杆滑动时机械能不变
如图所示。质量均为m的a、b两小球用不可伸长的长度均为L的轻质细绳悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球b在水平面内做匀速圆周运动的周期为T＝2π
B．小球a摆动到最低点时，绳子的拉力为2mg（1﹣cosθ）
C．a、b两小球做圆周运动的半径之比为cosθ
D．小球a运动到最高点时受到的绳子拉力为mgsinθ
2022年北京冬奥会上，有一项技术动作叫双人螺旋线，如图（a）所示，以男选手成为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景做如图（b）所示的抽象：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。若小球（可视为质点）质量为m，细线AC长度为l，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
A．若图（b）中小球做匀速圆周运动时，细线与竖直方向所成夹角为θ，则小球受重力、细线的拉力和向心力作用
B．若图（b）中θ＝53°，则小球做匀速圆周运动的角速度为
C．图（c）中用一根更长的细线AB系一质量更大的小球（可视为质点），保持B、C两球在同一水平面内绕竖直杆做匀速圆周运动，则ωB＞ωC
D．若小球在空中旋转的角速度ω小于时，细线会像图（d）那样缠绕在竖直杆上，最后随细杆转动
（多选）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为m＝0.5kg，绳长为l＝0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动。若绳子与竖直方向夹角θ＝37°，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列说法正确的是（ ）
A．配重做匀速圆周运动的半径为0.6m
B．配重的线速度大小为m/s
C．细绳对配重的拉力大小为6.25N
D．若细绳不慎断裂，配重将做自由落体运动
（多选）如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为L的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化关系如图2所示。重力加速度g取10m/s2，由图2可知（ ）
A．绳长为L＝2m
B．小球质量为0.5kg
C．母线与轴线之间夹角θ＝300
D．小球的角速度为2rad/s时，小球已离开锥面
如图所示，两根轻细线上端固定在S点，下端分别连一小铁球A、B，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，SO的高度为h，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、细线拉力和向心力作用
B．如果两个小球的质量相等，则两条细线受到的拉力相等
C．球A运动的周期大于球B运动的周期
D．A、B做圆周运动的角速度均为
（多选）如图甲所示，倾角45°斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量为2m，滑块能恰好静止在粗糙的斜面上．在图乙中，换成让小球在水平面上做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，且转动逐渐加快，θ≤45°．在图丙中，两个小球对称在水平面上做圆周运动，每个小球质量均为m，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，在θ≤45°过程中，三幅图中，斜面都静止，且小球未碰到斜面，不考虑滑轮及空气阻力，则以下说法中正确的是（ ）
A．甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向左
B．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下
C．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能为零
D．丙图小球转动的过程中滑块一定沿斜面向上运动
【模型二】锥形、球形容器模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，让两个质量相同的小球A和小球B，紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．A球的线速度一定大于B球的线速度
B．A球的角速度一定大于B球的角速度
C．A球的向心加速度一定大于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力一定大于B球对筒壁的压力
（多选）如图所示，水平地面上固定着三个内壁光滑的容器甲、乙、丙，它们的中心轴线均和水平地面垂直。其中甲的内表面为圆锥面，乙的内表面为半球面，丙的内表面为旋转抛物面（将抛物线绕其对称轴旋转一周所得到的曲面），三个容器中均有两个小球贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．甲容器中A球的线速度比B球大
B．乙容器中A球的角速度比B球大
C．丙容器中两球角速度大小相等
D．丙容器中A球的角速度比B球小
半球形碗固定在水平面上，物块（可看作质点）以某一竖直向下的初速度从碗口左边缘向下滑，物块与碗壁间的动摩擦因数是变化的，因摩擦作用，物块下滑过程中速率不变，则（ ）
A．物块下滑的过程中加速度不变
B．物块下滑的过程所受摩擦力大小不变
C．物块下滑过程中所受合外力方向始终指向圆心
D．物块滑到最低点时对碗壁的压力等于物块的重力
如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
【模型三】火车转弯模型
在倾斜轨道上转弯：
①设计时速v：mgtanθ=mv2/R得：。因为θ角很小，所以tanθ=sinθ=h/l，则
②若火车经过弯道时的速度 ，外轨将受到挤压。
③若火车经过弯道时的速度 ，内轨将受到挤压。
铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的。已知铁轨平面与水平面的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．火车受铁轨的支持力大小为mgcosθ
B．v
C．若火车速度小于v，外轨将受到侧压力作用
D．若火车速度大于v，内轨将受到侧压力作用
（多选）火车轨道转弯处外轨比内轨高，在某一弯道处内外轨相当于处在倾角为θ的斜面上，如图所示，当火车以规定速度通过弯道时，内、外轨道对火车的轮缘均不会有挤压作用，关于火车转弯，下列说法正确的是（ ）
A．当火车的速度大于规定速度时，火车轮缘将挤压内轨
B．当火车的速度小于规定速度时，火车轮缘将挤压内轨
C．火车以规定速度通过弯道时，向心力由重力和支持力的合力提供
D．火车转弯时的规定速度由火车质量、转弯半径和坡面倾角θ共同决定
【模型四】水平路面转弯模型
(1).汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。
(2).最大安全转弯速度vm：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mvm2/r，得 vm=。
(3).当速度小于vm时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mvm2/r。
如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．转弯时自行车和人所受支持力和重力是一对平衡力
B．转弯时车受到地面的静摩擦力方向一定垂直于速度方向指向轨迹内侧
C．转弯时车受到地面的静摩擦力大小定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越大
场地自行车比赛中某段圆形赛道如图所示，赛道与水平面的夹角为θ，某运动员骑自行车在该赛道上做水平面内的匀速圆周运动。当自行车的速度为v0时，自行车不受侧向摩擦力作用；当自行车的速度为v1（v1＞v0）时，自行车受到侧向摩擦力作用。不考虑空气阻力。重力加速度为g。已知自行车和运动员的总质量为m。则（ ）
A．速度为v0时，自行车所受的支持力大小为mgcosθ
B．速度为v0时，自行车和运动员的向心力大小为mgsinθ
C．速度为v1时，自行车和运动员的向心力大于mgtanθ
D．速度为v1时，自行车所受的侧向摩擦力方向沿赛道向外
（多选）2022年北京冬奥会雪车比赛赛道有16个倾斜度各异的弯道。其中某一弯道是半径为R的部分圆弧，O为该弯道圆心，A为该弯道的最高点，该弯道的倾斜度（弯道平面与水平的夹角）α为15°，A处轨道的切面视为倾角为45°的斜面，如图甲所示。某次比赛中，总质量为m的运动员和雪车（可视为质点）以某一速度通过A点时雪车横向（与运动方向垂直的方向）摩擦力为零，如图乙所示。重力加速度为g，则雪车通过A点时（ ）
A．向心加速度为
B．角速度为
C．受到轨道的支持力为
D．受到的合外力为
现将等宽双线在水平面内绕制成如图所示轨道，两段半圆形轨道半径均为Rm，两段直轨道AB、A′B′长度均为l＝1.35m。在轨道上放置一个质量m＝0.1kg的小圆柱体，如图所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角θ为120°，如图所示。两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为μ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计。初始时小圆柱位于A点处，现使之获得沿直轨道AB方向的初速度v0。求：
（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f1、f2的大小；
（2）当v0＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N1、N2的大小；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0的最大值，以及在v0取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s。
【模型五】圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（多选）如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，细线刚好拉直，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为r、2r，A、B与盘间的动摩擦因数μ相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
B．绳子的最大张力为T＝2μmg
C．A与转盘的摩擦力先增大后减小
D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B的质量分别为3m、2m，A与B、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B离转台中心的距离都为r，重力加速度为g，设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．A对B的摩擦力沿水平方向指向圆心O点
B．物块B对物块A的摩擦力一定为3μmg
C．转台对物块B的摩擦力的大小一定为5mω2r
D．转台的角速度一定满足：
如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B（均视为质点）分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来，A比B先滑动的条件是（ ）
A．μArA＜μBrB B．μArB＜μBrA
C． D．
（多选）如图所示，三个完全相同的物体A、B和C放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧且共线，用两根不可伸长的轻绳相连。物块质量均为1kg，与圆心距离分别为rA、rB和rC，其中rA＜rC且rA＝1.5m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度绕轴OO'匀速转动时，A、B绳中弹力T1和B、C绳中弹力T2随ω2的变化关系如图所示，取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物体与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2
B．物体B与圆心距离rB＝1m，rC＝2m
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对A的静摩擦力方向背离圆心
D．当角速度为rad/s时，A、B恰好与圆盘发生滑动
如图所示，一半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕着竖直轴OO'转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1m的细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接。现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始终处于水平转盘的边缘处与转盘相对静止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，细线与竖直方向的夹角θ；
（2）在满足（1）中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图中画出f﹣ω2图像（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向）；
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的数据：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
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专题08 水平面内的圆周运动模型
[模型导航]
【模型一】圆锥摆模型 1
【模型二】锥形、球形容器模型 10
【模型三】火车转弯模型 14
【模型四】水平路面转弯模型 16
【模型五】圆盘模型 17
[模型分析]
【模型一】圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
4.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，小球仍在水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小分别为ω1、a1、F1和ω2、a2、F2。则（ ）
A．ω1＝ω2 B．a1＞a2 C．F1＝F2 D．F1＞F2
【解答】解：A、对小球受力分析，如下图所示：
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2R＝mω2htanθ，解得，仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度h不变，则角速度不变，即ω1＝ω2，故A正确；
B、F合＝mgtanθ＝ma，a＝gtanθ，由于增加了绳长而高度h不变，即增大了角度θ，则加速度变大，a1＜a2，故B错误；
CD、根据受力分析可知，θ增大则F增大，有F1＜F2，故C错误；故D错误。
故选：A。
如图所示，一光滑细杆以角速度ω绕竖直轴旋转，杆的一端固定在轴上O点，杆与轴的夹角为α。一质量为m的小球套在杆上，在距离O点L处刚好随杆一起在水平面上做匀速圆周运动。若杆的角速度ω稍增大了一点，并随即以新的角速度匀速转动，则关于小球接下来的运动情况，下列说法正确的是（ ）（重力加速度为g）
A．小球仍将在原位置做匀速圆周运动，加速度为a＝gtanα
B．小球将沿杆向上滑动，最后在某位置相对杆静止
C．小球将沿杆向上滑动，直至从上端飞出
D．小球相对杆滑动时机械能不变
【解答】解：小球受重力，杆的支持力作用，如图所示
由牛顿第二定律可得，FNsinα＝mg，
当ω稍增大了一点，杆的支持力变大，竖直方向分力大于重力，小球沿杆上滑，作圆周运动的半径增大，导致杆的支持力继续变大，直至从上端飞出，故AB错误，C正确；
D．小球相对杆向上滑动时动能增大，重力势能增大，所以机械能变大，故D错误。
故选：C。
如图所示。质量均为m的a、b两小球用不可伸长的长度均为L的轻质细绳悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球b在水平面内做匀速圆周运动的周期为T＝2π
B．小球a摆动到最低点时，绳子的拉力为2mg（1﹣cosθ）
C．a、b两小球做圆周运动的半径之比为cosθ
D．小球a运动到最高点时受到的绳子拉力为mgsinθ
【解答】解：A、小球b在水平面内做匀速圆周运动，重力和拉力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mLsinθ
解得：T＝2π
故A正确；
B、小球a摆动到最低点时，对球受力分析，由牛顿第二定律得：F﹣mg＝m
从最高点到最低点的过程中，由动能定理得：mg（L﹣Lcosθ）mv2
联立解得：F＝（3﹣2cosθ）mg
故B错误；
C、a、b两小球做圆周运动的半径之比为Ra：Rb＝L：Lsinθ＝1：sinθ
故C错误；
D、小球a运动到最高点时速度为0，所需要的向心力为0，将重力分解到沿绳方向和垂直于绳方向，拉力为F′＝mgcosθ
故D错误。
故选：A。
2022年北京冬奥会上，有一项技术动作叫双人螺旋线，如图（a）所示，以男选手成为轴心，女选手围绕男选手旋转。将这一情景做如图（b）所示的抽象：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。圆锥摆是研究水平面内质点做匀速圆周运动动力学关系的典型特例。若小球（可视为质点）质量为m，细线AC长度为l，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
A．若图（b）中小球做匀速圆周运动时，细线与竖直方向所成夹角为θ，则小球受重力、细线的拉力和向心力作用
B．若图（b）中θ＝53°，则小球做匀速圆周运动的角速度为
C．图（c）中用一根更长的细线AB系一质量更大的小球（可视为质点），保持B、C两球在同一水平面内绕竖直杆做匀速圆周运动，则ωB＞ωC
D．若小球在空中旋转的角速度ω小于时，细线会像图（d）那样缠绕在竖直杆上，最后随细杆转动
【解答】解：A、图（b）中小球做匀速圆周运动时，小球受重力和细线的拉力，由重力和细线拉力的合力提供向心力，故A错误；
B、图（b）中小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω2lsinθ，解得角速度，故B错误；
C、图（c）中满足mgtanθ＝mω2lsinθ，设悬点A到小球所在水平面的高度为h，则，可知B、C两球到各自所在水平面的高度相同，所以角速度相同，故C错误；
D、由此可知，当θ＝0°时，故角速度ω小于时，细线会像图（d）那样缠绕在竖直杆上，最后随细杆转动，故D正确。
故选：D。
（多选）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为m＝0.5kg，绳长为l＝0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动。若绳子与竖直方向夹角θ＝37°，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列说法正确的是（ ）
A．配重做匀速圆周运动的半径为0.6m
B．配重的线速度大小为m/s
C．细绳对配重的拉力大小为6.25N
D．若细绳不慎断裂，配重将做自由落体运动
【解答】解：A、已知悬挂点P到腰带中心点O的距离为r＝0.2m，则配重做匀速圆周运动的半径为R＝r+lsinθ＝0.2m+0.5×sin37°m＝0.5m
B、配重随短杆做水平匀速圆周运动，受力如图所示，由牛顿第二定律得：mgtan37°＝m，解得vm/s，故B正确；
C、细绳对配重的拉力大小为TN＝6.25N，故C正确；
D、若细绳不慎断裂，由于惯性，配重具有水平速度，所以配重将做平抛运动，故D错误。
故选：BC。
（多选）如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为L的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化关系如图2所示。重力加速度g取10m/s2，由图2可知（ ）
A．绳长为L＝2m
B．小球质量为0.5kg
C．母线与轴线之间夹角θ＝300
D．小球的角速度为2rad/s时，小球已离开锥面
【解答】解：ABC、设静止时绳子拉力为F1，刚要离开锥面时绳子拉力为F2，对小球受力分析，静止时由平衡条件得：
F1＝mgcosθ
小球刚要离开锥面时，竖直方向上由平衡条件得：
F2cosθ＝mg
水平方向上，由牛顿第二定律得：
联立并代入图像对应点数据解得小球质量为：m＝0.5kg，绳长为：L＝2m，母线与轴线间夹角为：θ＝37°，故AB正确，C错误。
D、由图像可知，当小球刚要离开锥面时，角速度为：
当ω＝2时，ω＜ω0，故小球仍在锥面上，D错误。
故选：AB。
如图所示，两根轻细线上端固定在S点，下端分别连一小铁球A、B，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，SO的高度为h，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、细线拉力和向心力作用
B．如果两个小球的质量相等，则两条细线受到的拉力相等
C．球A运动的周期大于球B运动的周期
D．A、B做圆周运动的角速度均为
【解答】解：A.向心力是根据作用效果命名的力，匀速圆周运动的向心力是由物体所受各力的合力提供的，小球做匀速圆周运动时，受到重力、绳子的拉力，其合力充当向心力，故A错误；
B.对其中一个小球受力分析，小球受到重力、绳子的拉力，在竖直方向上，由平衡条件得：Tcosθ＝mg，得：，由于θB＞θA，如果两个小球的质量相等，则在图乙中两条细线受到的拉力应该是A细线受到的拉力大，故B错误；
CD.小球受力分析如图所示：
根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω2r
根据几何关系得：tanθ
联立解得：ω，根据，解得：，两球运动平面距离悬挂点高度差相同，可以得到：A、B两球的角速度和周期均相同。故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）如图甲所示，倾角45°斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量为2m，滑块能恰好静止在粗糙的斜面上．在图乙中，换成让小球在水平面上做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，且转动逐渐加快，θ≤45°．在图丙中，两个小球对称在水平面上做圆周运动，每个小球质量均为m，轻绳与竖直方向的夹角θ，且转动逐渐加快，在θ≤45°过程中，三幅图中，斜面都静止，且小球未碰到斜面，不考虑滑轮及空气阻力，则以下说法中正确的是（ ）
A．甲图中斜面受到地面的摩擦力方向水平向左
B．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能沿斜面向下
C．乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能为零
D．丙图小球转动的过程中滑块一定沿斜面向上运动
【解答】解：A、以甲图中小球为研究对象，小球受到的重力与绳子的拉力是一对平衡力，所以绳子的拉力大小T等于小球的重力；以斜面和滑块组成的整体为研究对象受力分析，水平方向：f＝Tcosθ，方向水平向左，故A正确；
BC、以乙图中小球为研究对象，小球受到的重力与绳子的拉力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则：T′，当θ＝45°时绳子拉力最大为Tmmg；所以绳子的拉力范围为T′mg；以滑块为研究对象，滑块受到重力、绳子的拉力、斜面的支持力和摩擦力；当摩擦力恰好为零时，绳子拉力为：T＝2mgcos45°mg；由于绳子的拉力范围为：T′mg，所以乙图小球转动的过程中滑块受到的摩擦力可能为零、可能沿斜面向上，故B错误，C正确；
D、以丙图中小球为研究对象，小球受到的重力与绳子的拉力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则：T″＝2T′＝2，当θ＝45°时绳子拉力最大为：Tm＝2mg；
滑块与斜面间的最大静摩擦力为：fm＝2mgcos45°﹣mg＝（1）mg，当滑块沿斜面上滑时绳子拉力大小为：T＝2mgcos45°+fm＝（21）mg＜Tm，丙图小球转动的过程中滑块一定沿斜面向上运动，故D正确。
故选：ACD。
【模型二】锥形、球形容器模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，让两个质量相同的小球A和小球B，紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．A球的线速度一定大于B球的线速度
B．A球的角速度一定大于B球的角速度
C．A球的向心加速度一定大于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力一定大于B球对筒壁的压力
【解答】解：A、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图
根据牛顿第二定律，有：
F＝mgtanθ＝mamω2r，
解得：v，a＝gtanθ，ω．A的半径大，则A的线速度大，角速度小，向心加速度相等。故A正确，BC错误。
D、因为支持力N，支持力等于球对筒壁的压力，知球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力。故D错误。
故选：A。
（多选）如图所示，水平地面上固定着三个内壁光滑的容器甲、乙、丙，它们的中心轴线均和水平地面垂直。其中甲的内表面为圆锥面，乙的内表面为半球面，丙的内表面为旋转抛物面（将抛物线绕其对称轴旋转一周所得到的曲面），三个容器中均有两个小球贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．甲容器中A球的线速度比B球大
B．乙容器中A球的角速度比B球大
C．丙容器中两球角速度大小相等
D．丙容器中A球的角速度比B球小
【解答】解：如下图所示：
三个容器中都是重力和支持力的合力提供向心力，设支持力与竖直方向的夹角为θ，则合力都可以写成mgtanθ。
A、甲容器中A球和B球所受支持力与竖直方向的夹角一样大，则向心力一样大，根据牛顿第二定律得mgtanθ，由于A球圆周运动的半径大，所以甲容器中A球的线速度比B球大，故A正确；
B、设乙容器半球的半径为R，根据几何知识，两球圆周运动的半径r＝Rsinθ，有mgtanθ＝mω2Rsinθ，ω，由于A球受支持力与竖直方向的夹角大，则乙容器中A球的角速度比B球大，故B正确；
CD、根据数学导数知识，抛物线在某点的斜率与横坐标成正比，由于支持力与接触的切面垂直，根据几何可知，切面与水平面的夹角等于支持力与竖直方向的夹角θ，所以mgtanθ＝mgkx＝mω2r，又r＝x，所以ω，k是常数，与两球高度无关，所以丙容器中两球角速度大小相等，故C正确，D错误。
故选：ABC。
半球形碗固定在水平面上，物块（可看作质点）以某一竖直向下的初速度从碗口左边缘向下滑，物块与碗壁间的动摩擦因数是变化的，因摩擦作用，物块下滑过程中速率不变，则（ ）
A．物块下滑的过程中加速度不变
B．物块下滑的过程所受摩擦力大小不变
C．物块下滑过程中所受合外力方向始终指向圆心
D．物块滑到最低点时对碗壁的压力等于物块的重力
【解答】解：C．物块下滑的过程中做的是匀速圆周运动，受到的合力提供物体的向心力，大小不变，方向始终指向圆心，故C正确；
A．物体的合外力产生加速度，所以物体的加速度大小不为零，其大小不变，但方向时刻在变化，故A错误；
B．物块在下滑的过程中，速度的大小不变，所以沿切线方向上合力为零，重力在切线方向上的分力与摩擦力大小相等，重力在切线方向上的分力减小，摩擦力减小，故B错误；
D．物块滑到最低点时碗壁对物块的支持力和重力的合力提供向心力，碗壁对物块的支持力不等于重力，所以物块对碗壁的压力不等于物块的重力，故D错误。
故选：C。
如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
【解答】解：对静止时的小球进行受力分析，小球受到自身重力，杆的支持力，以及弹簧沿杆向上的弹力，将重力正交分解，可得到沿杆方向的平衡关系式：
mgsin37°＝F弹＝kΔx＝0.5kL，得到劲度系数k；
弹簧原长时，小球只受重力与支持力，合力指向水平方向的圆心，其受力分析示意图如下：
则向心力为F＝mgtan37°＝0.75mg，对小球列圆周运动的牛顿第二定律：0.75mg＝mω2r，其中r＝Lcos37°＝0.6L，将其代入求得：ω0。
答：（1）弹簧劲度系数为k；
（2）弹簧为原长时，小球的角速度ω0。
【模型三】火车转弯模型
在倾斜轨道上转弯：
①设计时速v：mgtanθ=mv2/R得：。因为θ角很小，所以tanθ=sinθ=h/l，则
②若火车经过弯道时的速度 ，外轨将受到挤压。
③若火车经过弯道时的速度 ，内轨将受到挤压。
铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的。已知铁轨平面与水平面的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．火车受铁轨的支持力大小为mgcosθ
B．v
C．若火车速度小于v，外轨将受到侧压力作用
D．若火车速度大于v，内轨将受到侧压力作用
【解答】解：A、重力和支持力合力提供水平方向向心力如图所示：
可知火车受铁轨的支持力为，故A错误；
B、由牛顿第二定律得：
解得：，故B正确；
CD、当速度小于v时，向心力减小，内轨有侧压力，反之外轨有侧压力，故CD错误。
故选：B。
（多选）火车轨道转弯处外轨比内轨高，在某一弯道处内外轨相当于处在倾角为θ的斜面上，如图所示，当火车以规定速度通过弯道时，内、外轨道对火车的轮缘均不会有挤压作用，关于火车转弯，下列说法正确的是（ ）
A．当火车的速度大于规定速度时，火车轮缘将挤压内轨
B．当火车的速度小于规定速度时，火车轮缘将挤压内轨
C．火车以规定速度通过弯道时，向心力由重力和支持力的合力提供
D．火车转弯时的规定速度由火车质量、转弯半径和坡面倾角θ共同决定
【解答】解：受力示意图，力的矢量三角形，如图所示，当火车按照规定速度转弯时，向心力由重力与弹力的合力提供，大小为mgtanθ，
则mgtanθ＝m，v，此时火车既不挤压内轨也不挤压外轨，如果火车速度大于规定速度，需要的向心力大于mgtanθ，
重力与弹力的合力不足以提供火车需要的向心力，此时火车挤压外轨，反之火车挤压内轨，故BC正确，AD错误。
故选：BC。
【模型四】水平路面转弯模型
(1).汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。
(2).最大安全转弯速度vm：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mvm2/r，得 vm=。
(3).当速度小于vm时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mvm2/r。
如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．转弯时自行车和人所受支持力和重力是一对平衡力
B．转弯时车受到地面的静摩擦力方向一定垂直于速度方向指向轨迹内侧
C．转弯时车受到地面的静摩擦力大小定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越大
【解答】解：A、转弯时，自行车和人的重力与支持力二力平衡，摩擦力提供向心力，故A正确；
B、转弯时车匀速转弯时，所受地面摩擦力垂直速度直线轨迹内侧，如果转弯的速度变化，地面摩擦力沿前进方向的分量与速度方向相同，地面摩擦力指向轨迹内侧与前进方向成锐角，地面摩擦力沿前进方向的分量与速度方向相反，地面摩擦力指向轨迹内侧与前进方向成钝角，故B错误；
C、转弯过程中，向心力来源于摩擦力，又车与地面发生相对运动趋势，其中的静摩擦最大值应为μMg，故C错误；
D、地面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，设车所在平面与地面的夹角为θ，则，又f＝M，解得：，转弯速度越大，车所在平面与地的夹角越小，故D错误。
故选：A。
场地自行车比赛中某段圆形赛道如图所示，赛道与水平面的夹角为θ，某运动员骑自行车在该赛道上做水平面内的匀速圆周运动。当自行车的速度为v0时，自行车不受侧向摩擦力作用；当自行车的速度为v1（v1＞v0）时，自行车受到侧向摩擦力作用。不考虑空气阻力。重力加速度为g。已知自行车和运动员的总质量为m。则（ ）
A．速度为v0时，自行车所受的支持力大小为mgcosθ
B．速度为v0时，自行车和运动员的向心力大小为mgsinθ
C．速度为v1时，自行车和运动员的向心力大于mgtanθ
D．速度为v1时，自行车所受的侧向摩擦力方向沿赛道向外
【解答】解：AB、速度为v0时，对人和自行车受力分析，如图所示：
自行车所受的支持力N，向心力Fn＝mgtanθ，故AB错误；
CD、速度为v1时，v1＞v0，速度变大，所需向心力变大，重力和支持力的合力不足以提供向心力，自行车应受到沿赛道向内的摩擦力，故C正确，D错误。
故选：C。
（多选）2022年北京冬奥会雪车比赛赛道有16个倾斜度各异的弯道。其中某一弯道是半径为R的部分圆弧，O为该弯道圆心，A为该弯道的最高点，该弯道的倾斜度（弯道平面与水平的夹角）α为15°，A处轨道的切面视为倾角为45°的斜面，如图甲所示。某次比赛中，总质量为m的运动员和雪车（可视为质点）以某一速度通过A点时雪车横向（与运动方向垂直的方向）摩擦力为零，如图乙所示。重力加速度为g，则雪车通过A点时（ ）
A．向心加速度为
B．角速度为
C．受到轨道的支持力为
D．受到的合外力为
【解答】解：CD、运动员和雪车以某一速度通过A点时雪车横向（与运动方向垂直的方向）摩擦力为零，则重力和支持力的合力指向圆心，提供向心力，对运动员和雪车在A点受力分析如图所示
由正弦定理得：
sin75°＝sin（45°+30）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°
解得雪车在A点受到的支持力N
重力和支持力的合力F合，因雪车与轨道在运动方向存在摩擦力，故受到的合外力不等于。
故C正确，D错误；
A、根据重力和支持力的合力F合提供向心力，a
故A正确；
B、根据a＝ω2R得，角速度大小ω
故B错误；
故选：AC。
现将等宽双线在水平面内绕制成如图所示轨道，两段半圆形轨道半径均为Rm，两段直轨道AB、A′B′长度均为l＝1.35m。在轨道上放置一个质量m＝0.1kg的小圆柱体，如图所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角θ为120°，如图所示。两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为μ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计。初始时小圆柱位于A点处，现使之获得沿直轨道AB方向的初速度v0。求：
（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f1、f2的大小；
（2）当v0＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N1、N2的大小；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0的最大值，以及在v0取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s。
【解答】解：（1）圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面面圆心O连线的夹角θ为120°，由平衡条件及对称性可知，内外轨道对小圆柱的弹力大小均与小圆柱的重力相等为1N，则内外轨道对小圆柱的摩擦力为：
f1＝f2＝μN＝0.5×1N＝0.5N；
（2）当v0＝6m/s，对小圆柱由A到B点的过程，根据动能定理得：
﹣（f1+f2）l
代入数据解得：vB＝3m/s
在B点对小圆柱受力分析，水平方向上根据牛顿第二定律得：
N1sin60°﹣N2sin60°＝m
竖直方向上由平衡条件得：
N1cos60°+N2cos60°＝mg
联立解得：N1＝1.3N，N2＝0.7N；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，当内侧轨道对小圆柱的弹力恰好为零时，v0取得最大值（设为vm）。设此时在B点外轨对小圆柱的弹力为N1′，则有：
N1′sin60°＝m，N1′cos60°＝mg
根据动能定理可得：
﹣（f1+f2）l
联立解得：vmm/s
小圆柱在圆弧轨道上始终满足：N1cos60°+N2cos60°＝mg
在圆弧轨道上所受摩擦力：f′＝μ（N1+N2）
解得：f′＝1N
可知f′＝f，根据动能定理得：
fs
解得：s＝2.85m
答：（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f1、f2的大小均为0.5N；
（2）外轨和内轨对小圆柱的压力N1、N2的大小分别为1.3N，0.7N；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0的最大值为m/s，以及在v0取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s为2.85m。
【模型五】圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（多选）如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，细线刚好拉直，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为r、2r，A、B与盘间的动摩擦因数μ相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
B．绳子的最大张力为T＝2μmg
C．A与转盘的摩擦力先增大后减小
D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
【解答】解：对两个物块的受力进行分析：
第一阶段，两物块在随转盘一起转动的过程中，仅由摩擦力提供向心力，方向指向各自做圆周运动的圆心，因此有f＝mω2r
分析可知物块B做圆周运动的半径更大，故物块B的摩擦力先达到最大静摩擦μmg，此时A受到的静摩擦力为。
第二阶段，物块B在摩擦力达到最大的瞬间将要开始滑动，但通过细绳与A相连，此时绳子上开始产生张力，随着转盘角速度的增大，所需向心力也逐渐增大，而物块B所受摩擦力在达到最大后保持不变，绳子上的张力开始增大，B需要的向心力始终是A的2倍，由于TA＝TB，所以这个过程中A受到的摩擦力逐渐减小，直至为零。
第三阶段，当A受到的摩擦力减为零，而转速继续增大时，A受到的摩擦力方向将发生变化，背离圆心，且摩擦力逐渐增大，直至增大到最大静摩擦，之后继续增加转速，A、B将相对转盘发生滑动。
A、当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变，故A正确；
B、两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，对两物块有分别有，
又因为TA＝TB
解得TA＝TB＝3μmg
故B错误；
C、A与转盘的摩擦力先增大后减小到零然后反向增大，故C错误；
D、开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力，只有当B的摩擦力达到最大时，绳子上才开始出现拉力，故D正确。
故选：AD。
如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B的质量分别为3m、2m，A与B、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B离转台中心的距离都为r，重力加速度为g，设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．A对B的摩擦力沿水平方向指向圆心O点
B．物块B对物块A的摩擦力一定为3μmg
C．转台对物块B的摩擦力的大小一定为5mω2r
D．转台的角速度一定满足：
【解答】解：A.对A进行受力分析，A在水平方向只受到B给的摩擦力，所以是B给的摩擦力来提供向心力，B给A的摩擦力指向圆心，所以A给B的摩擦力是背离圆心方向，故A错误；
B.由于AB之间是静摩擦力，静摩擦力的大小需要根据物体的运动情况来计算，不一定是最大值，故B错误；
C.对AB整体进行受力分析，在水平方向只受到转台给的摩擦力，根据圆周运动的牛顿第二定律可得，f＝（2m+3m）ω2r，故C正确；
D.当AB与转台之间的摩擦力达到最大值就是两物体滑动的临界状态，此时有：μ×5mg＝5mω2r，求得，故D错误。
故选：C。
如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B（均视为质点）分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来，A比B先滑动的条件是（ ）
A．μArA＜μBrB B．μArB＜μBrA
C． D．
【解答】解：由牛顿第二定律与圆周运动规律，当A刚要相对圆盘滑动时摩擦力提供向心力，则：
解得
当B刚要相对圆盘滑动时
解得
当A比B先滑动时，则有vA＜vB
即
化简可得μArA＜μBrB，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）如图所示，三个完全相同的物体A、B和C放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧且共线，用两根不可伸长的轻绳相连。物块质量均为1kg，与圆心距离分别为rA、rB和rC，其中rA＜rC且rA＝1.5m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度绕轴OO'匀速转动时，A、B绳中弹力T1和B、C绳中弹力T2随ω2的变化关系如图所示，取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物体与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2
B．物体B与圆心距离rB＝1m，rC＝2m
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对A的静摩擦力方向背离圆心
D．当角速度为rad/s时，A、B恰好与圆盘发生滑动
【解答】解：A、由题图可知，拉力T1与角速度的关系为：
则当时，A、B间绳刚要有拉力，对物体A有
代入数据解得：μ＝0.1
故A错误；
B、由题图可知，拉力T2与角速度的关系为：
则当时，B、C间绳刚要有拉力，对物体C，有
代入数据解得：rC＝2m
当时，A、B间绳和B、C间绳的拉力均为1N，对物体B只有摩擦力提供向心力，有
代入数据解得：rB＝1m
故B正确；
C、当角速度为1rad/s时，对物体A受力分析，由牛顿第二定律得：
代入数据解得：fA＝0.5N
方向指向圆心，故C错误；
D、由图像可以得出当角速度为时，T1＝4N
T2＝3N
对物体A有
代入数据解得：fA2＝1N＝μmg
对物体C有
代入数据解得：fC2＝1N＝μmg
说明此刻A、B恰好与圆盘发生滑动，故D正确。
故选：BD。
如图所示，一半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕着竖直轴OO'转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1m的细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接。现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始终处于水平转盘的边缘处与转盘相对静止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，细线与竖直方向的夹角θ；
（2）在满足（1）中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图中画出f﹣ω2图像（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向）；
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的数据：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
【解答】解：（1）对小球A受力分析如下图所示，并将拉力与重力合成，合力水平：
根据合力提供向心力有：mgtanθ＝mω2rA，rA＝（L﹣R）sinθ，将ω、g、L、R代入得，cosθ，则θ＝37°；
（2）在满足（1）中的条件下，即绳的拉力F大小不变，根据对小球A的分析，F；
对B物体受力分析，拉力和摩擦力的合力提供向心力，由于水平转盘中心O处的小孔光滑，拉力也等于F，当水平转盘角速度取最小ωB1时，B物体有向内运动的趋势，则摩擦力沿半径向外并且静摩擦力达到最大值，有：F，将F、μ、R代入解得ωB1＝2rad/s；
当水平转盘角速度取最大ωB2时，B物体有向外运动的趋势，则摩擦力沿半径向内并且静摩擦力达到最大值，有：F，将F、μ、R代入解得ωB2＝4rad/s；
所以ωB的取值范围是2rad/s≤ωB≤4rad/s；
规定沿半径指向圆心为正方向，则向心力表达式为F+f，则f＝﹣F（﹣2.5+0.25ω2）N，根据这个函数表达式以及角速度的极值画出出f﹣ω2图像如下图所示：
（3）由于某种原因细线突然断裂，小球A和小物块B做平抛运动，小球A的初速度vA＝ωrA＝5×0.5×sin37°m/s＝1.5m/s
小物块B的初速度vB＝RωB2＝0.5×4m/s＝2m/s，设经过t时间A的速度与水平方向成角度为α，这时B的速度与竖直方向成角度也为α，这时A和B的速度相互垂直，有tanα，代入数据解得t。
答：（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，细线与竖直方向的夹角为37°；
（2）ωB的取值范围是2rad/s≤ωB≤4rad/s；
画出出f﹣ω2图像如下图所示：
（3）经过0.17s时间A和B的速度相互垂直。
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