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专题12 匀强电场中的“点线面迹”模型
[模型导航]
【模型一】孤立点电荷的电场模型 1
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型 8
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型 13
【模型四】电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型 17
[模型分析]
【模型一】孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
(4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝.
(5)等势面是球面
当空气中电场的电场强度大小超过E0时，空气会被击穿。孤立导体球壳充电后，球壳所带电荷量为Q，已知静电力常量为k，则为了保证空气不被击穿，球壳半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，一固定的不带电金属球壳接地，半径为R，球心为A，将一带电量为+q的点电荷固定在离球心为2R的B点，D、E是AB连线上的两点，BD＝BE，BC与球壳相切于C点，球壳静电平衡时，C点的场强EC，下列说法正确的是（ ）
A．C点电势低于A点
B．D点电势低于E点
C．A点的场强
D．球上的感应电荷在C处的场强大小
半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
静电现象在生活中广泛存在，如图所示为半径为R的均匀带电球体，以球心O点为坐标原点建立x坐标轴，a、b、c三点均在x轴上，b点在球体表面处，ab＝bc。已知均匀带电球壳内任一点的电场强度均为0，则a、b、c三点电场强度大小的比值Ea：Eb：Ec为（ ）
A．4：9：8 B．9：9：4 C．9：18：8 D．9：72：32
甲和乙图分别是半径为R、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是O1和O2。已知O1点的电场强度大小为E0，则O2点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着正电荷，在过球心O的直线上有A、B、C三个点，OB＝BA＝R，CO＝2R。若以OB为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为Vπr3，则A、C两点的电场强度大小之比为（ ）
A．9：25 B．25：9 C．175：207 D．207：175
如图所示，水平面内三点A、B、C为等边三角形的三个顶点，三角形的边长为L，O点为AB边的中点。CD为光滑绝缘细杆，D点在O点的正上方，且D点到A、B两点的距离均为L。在A、B两点分别固定点电荷，电荷量均为﹣Q。现将一个质量为m、电荷量为+q的中间有细孔的小球套在细杆上，从D点由静止释放。已知静电力常量为k、重力加速度为g、且kmg，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．固定在A、B处两点电荷的合电场在C、D两点的场强相同
B．小球在D点刚释放时的加速度大小为（）g
C．小球到达C点的速度大小为
D．小球将在D、C两点之间做往复运动
（多选）如图（a），场源点电荷固定在真空中O点，从与O相距r0的P点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的负离子，经一定时间，离子运动到与O相距rN的N点。用a表示离子的加速度，用r表示离子与O点的距离，作出其a图象如图（b）。静电力常量为是k，不计离子重力，规定由O指向P为正方向。由此可以判定（ ）
A．场源点电荷带负电
B．场源点电荷的电荷量为
C．离子在P点的加速度大小为
D．离子在P点受到的电场力大小为
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向
等势面
等量异种 等量同种
中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。
如图所示，电荷量为+q和﹣q的点电荷分别位于边长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为（ ）
A．0 B． C． D．
如图所示，真空中A、B、C三点构成一等腰直角三角形，AC和BC之间的距离均为d＝4m，在A、B点分别固定等量同种点电荷，电荷量为q＝8×10﹣9C，已知静电力常量k＝9.0×109N m2/C2，重力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．AB之间的库仑力方向沿连线向内
B．AB之间的库仑力大小为1.44×10﹣7N
C．C点处的电场强度方向竖直向下
D．C点处的电场强度大小为
（多选）如图甲，同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为，O为水平连线AB的中点，M、N在AB连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（Q＞0），以O为原点、竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为零电势点，则ON上的电势φ随位置x的变化关系如图乙所示。一电荷量为Q（Q＞0）的小球以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，且在N点的加速度大小为2g，g为重力加速度，k为静电力常量，则（ ）
A．小球在M点的加速度为零
B．从O点到N点场强逐渐增大
C．从M点到N点过程中，电场力对小球先做负功后做正功
D．从O点到N点小球的动能增加了
（2023 全国）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为q、﹣q的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为Δl。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（ ）
A．恰为2Δl B．大于2Δl但小于4Δl
C．恰为4Δl D．大于4Δl
（多选）真空中A、B两个异种点电荷，带电量分别为qA＝2Q、qB＝﹣Q，固定光滑水平桌面的相距为L的两处．下列分析正确的是（ ）
A．A、B两个点电荷之间的库仑力大小为
B．A、B两个点电荷连线之间的电场方向是由A指向B
C．A、B两个点电荷连线中垂线OO1上各位置的电场强度方向都是与AB平行指向B侧
D．在BA连线的延长线上、点电荷A的左侧静止释放一负点电荷，它一定加速向A靠近
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（ ）
A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0
C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
如图所示，空间有两个相距为d的等量异种电荷，以两电荷连线的中点为坐标原点O，建立如图所示坐标系。在x轴上有一坐标为（l，0）的点A，在y轴上有一坐标为（0，l）的点B。若d l，则（ ）
A．A、B两点电场强度大小相等
B．A点电场强度大小是B点的两倍
C．在A点由静止释放的负点电荷将作简谐振动
D．在B点由静止释放的正点电荷将作上下振动
某次雷雨天，在避雷针附近产生了如图所示的电场，其等势面的分布如虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．A、B、C三点中，A点场强最小
B．B、C两点的电势差UBC＝﹣2kV
C．电子在B点比在C点电势能小
D．电荷由B移到C，电势能减少2keV
（多选）两带电金属板竖直放置且两板始终与电源的正、负极相连，如图所示，在电场中的O点，用一根绝缘细线悬挂一带负电荷的小球，小球静止在细线与竖直方向夹角为θ的位置，现将两金属板绕各自的中心转轴旋转一定的角度，两转轴在同一水平线上且旋转过程中两金属板始终保持平行，如图中虚线所示，则（ ）
A．两板间匀强电场的场强将变小
B．细线对小球的拉力将变大
C．小球静止时细线与竖直方向夹角θ将变小
D．小球静止时细线与竖直方向夹角θ将变大
如图所示，a、b、c为匀强电场中一条直线上的三点，ab＝bc＝l，一个带电荷量大小为q的负点电荷，在电场力的作用下，以某一初速度从a点运动到c点的过程中电势能增加W，则（ ）
A．负点电荷从a点运动到c点的过程中一定经过b点
B．负点电荷从a点运动到b点电场力做的功大于b点到c点电场力做的功
C．匀强电场的电场强度最小值为
D．若a点的电势为φa，则b点的电势为
【模型四】电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型
1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况
①确定受力方向的依据
a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧；
b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反；
c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。
②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密 E越大 F＝qE越大 a＝越大。
③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。
2.分析电场的特点和性质问题的一般思路
(1)电场强度
①根据电场线的疏密程度进行判断。
②根据等差等势面的疏密程度进行判断。
③根据E＝k结合矢量合成进行判断或计算。
(2)电势
①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。
②根据φ＝进行判断或计算。
③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。
(3)电势能
①根据Ep＝φq进行判断或计算。注意判断或计算时Ep、φ、q均带正、负号，且Ep、φ的正、负号表示大小。
②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且WAB＝－ΔEp。
③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之则增加，且ΔEk＝－ΔEp。
19．如图所示，曲线为一带负电的粒子在某点电荷产生的电场中的部分运动轨迹，P点为轨迹的最低点，以P点为坐标原点建立直角坐标系，粒子的运动轨迹关于y轴对称，Q点是第Ⅰ象限内轨迹上的一点。粒子只受电场力的作用。下列说法正确的是（ ）
A．点电荷一定带负电
B．点电荷一定在y轴负半轴上的某处
C．Q点的电势一定比P点的电势高
D．粒子在P、Q两点的动能与电势能之和一定相等
一试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线NPM所示，设P、M两点的电势分别为
φP、φM，此试探电荷在P、M两点的动能分别为Ekp、EkM，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度方向一定水平向右
B．该试探电荷在P点受到的电场力沿OP方向
C．φP＞φM
D．Ekp＜EkM
（多选）21．匀强电场中，一带电粒子受重力和电场力作用在竖直平面内的运动轨迹如图所示。若粒子在M点的速度方向与加速度方向垂直，P点的速度方向与重力方向垂直，M和N点电势相等，则（ ）
A．从M点运动到N点的过程中，粒子速率先减小后增大
B．从M点运动到P点的过程中，粒子电势能减小
C．从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功，再做负功
D．粒子在P、N两点的机械能相等
22．A、B两个点电荷周围产生的电场线分布如图所示，一个离子从两点电荷连线的中垂线上的一点a射入，轨迹如图中的ab所示，b为两点电荷连线上的一个点，忽略离子的重力，则可以判断（ ）
A．射入的离子带正电荷
B．A、B两小球带等量异种电荷
C．在a点时，A、B对离子的作用力大小相等
D．离子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R点在等势面b上，据此可知（ ）
A．带电质点在P点的加速度比在Q点的加速度小
B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C．带电质点在P点的动能大于在Q点的动能
D．三个等势面中，c的电势最高
（2023 乙卷）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球（ ）
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
如图，质量为m、电荷量为+q的小球从A点以水平初速度v0平抛，小球A恰好沿B点的切线方向进入竖直平面内半径为R的光滑绝缘圆弧形轨道BCD。在D点右侧存在方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出），电磁场中竖直平面内有一半径也为R的理想圆形屏蔽区，其圆心到D点的距离为2R，屏蔽区的圆心O与水平线BD等高。小球在电磁场区域做匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力，不计小球运动引起的电磁场变化。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球A经过轨道最低点C时对轨道的压力大小；
（3）为使小球A能进入电磁场屏蔽区，磁感应强度的最小值为多大？
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专题12 匀强电场中的“点线面迹”模型
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【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型 8
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【模型一】孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
(4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝.
(5)等势面是球面
当空气中电场的电场强度大小超过E0时，空气会被击穿。孤立导体球壳充电后，球壳所带电荷量为Q，已知静电力常量为k，则为了保证空气不被击穿，球壳半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：均匀带电球壳对壳外某点产生的电场强度，可以看作集中在球壳中心的点电荷对球外某点的场强的大小，由
可得，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，一固定的不带电金属球壳接地，半径为R，球心为A，将一带电量为+q的点电荷固定在离球心为2R的B点，D、E是AB连线上的两点，BD＝BE，BC与球壳相切于C点，球壳静电平衡时，C点的场强EC，下列说法正确的是（ ）
A．C点电势低于A点
B．D点电势低于E点
C．A点的场强
D．球上的感应电荷在C处的场强大小
【解答】解：A、处于静电平衡状态的导体是等势体，所以C点和A点电势相等，故A错误；
B、DE两点到+q的距离相等，则+q在DE两点的电势相等，D点到金属球壳的距离更小，由于金属球壳发生感应起电，金属球壳带负电，则感应电荷在D点的电势更低，则D点的电势低于E点，故B正确；
C、处于静电平衡状态得导体内部场强处处为零，故C错误；
D、由几何关系得，BC间的距离rR
点电荷+q在C点的场强大小E＝k
球壳是等势体，表面为等势面，则球壳表面的合场强垂直于球壳的切面，沿半径指向A，如图：
由几何关系得，感应电荷在C处的场强为E感
故D错误。
故选：B。
半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
【解答】解：因为电荷在细圆环上均匀分布，所以弧长为ΔL的小圆弧上所带电荷量为：Q'
在ΔL足够小时，可以将取走的部分看作点电荷，细圆环带正电，根据圆环的对称性，可以得到取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷后，细圆环在O点产生的电场如图：
因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为120°，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得，故ABC错误，D正确；
故选：D。
静电现象在生活中广泛存在，如图所示为半径为R的均匀带电球体，以球心O点为坐标原点建立x坐标轴，a、b、c三点均在x轴上，b点在球体表面处，ab＝bc。已知均匀带电球壳内任一点的电场强度均为0，则a、b、c三点电场强度大小的比值Ea：Eb：Ec为（ ）
A．4：9：8 B．9：9：4 C．9：18：8 D．9：72：32
【解答】解：设均匀带电球体带电总量为Q，则b点电场强度大小为Eb＝k，点电场强度大小为Ec＝k，a点电场强度大小为Ea＝k，Q'Q，联立可得Ea，所以a、b.c三点电场强度大小的比值为Ea：Eb：Ec：1：9：18：8，故C正确，ABD错误；
故选：C。
甲和乙图分别是半径为R、带电均匀的六分之四圆环和半圆环（两环的材料和横截面积相同），带有同种电荷，且两环上单位长度所带电荷量相等，它们的圆心分别是O1和O2。已知O1点的电场强度大小为E0，则O2点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
根据图甲可知，E0＝2Ecos30°
在图乙中，E′＝E+2Ecos60°
联立解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着正电荷，在过球心O的直线上有A、B、C三个点，OB＝BA＝R，CO＝2R。若以OB为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为Vπr3，则A、C两点的电场强度大小之比为（ ）
A．9：25 B．25：9 C．175：207 D．207：175
【解答】解：设半径为R的均匀带电体带电量为q，由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生场强为：E整＝k
割出的小球半径为 ，因为电荷均匀分布，根据球的体积公式可知，其带电荷量为
则割出的小球在未割前在A点产生的场强为：E割＝kk
所以挖走一球形空腔后剩余部分电荷在A点产生的场强为：E剩A＝E整﹣E割＝k
同理，在C点处产生的场强为：E剩B＝kkk
所以A、C两点的电场强度大小之比为：175：207，故C正确，ABD错误；
故选：C。
如图所示，水平面内三点A、B、C为等边三角形的三个顶点，三角形的边长为L，O点为AB边的中点。CD为光滑绝缘细杆，D点在O点的正上方，且D点到A、B两点的距离均为L。在A、B两点分别固定点电荷，电荷量均为﹣Q。现将一个质量为m、电荷量为+q的中间有细孔的小球套在细杆上，从D点由静止释放。已知静电力常量为k、重力加速度为g、且kmg，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．固定在A、B处两点电荷的合电场在C、D两点的场强相同
B．小球在D点刚释放时的加速度大小为（）g
C．小球到达C点的速度大小为
D．小球将在D、C两点之间做往复运动
【解答】解：A、C、D两点到A、B两点电荷的距离相等，根据点电荷的场强公式，以及场强的叠加知，固定在A、B处两点电荷在C、D两点产生的场强大小相等，方向不同，故A错误；
B、两点电荷在D点对小球的库仑引力的合力：，
根据几何关系得，CD与水平面的夹角为45°，
根据牛顿第二定律得，小球在D点的瞬时加速度：
a，故B错误；
C、A、B两点的点电荷为等量的同种电荷，可知C、D两点电势相等，由于在C、D两点电势能相等，则小球从D到C，电场力不做功，根据动能定理得：
，
根据几何关系得：h，
解得：，故C正确；
D、在两点间做往复运动的前提是在两点速度为零，由C选项可知，在C点有速度，所以小球不会在C、D两点之间做往复运动，故D错误。
故选：C。
（多选）如图（a），场源点电荷固定在真空中O点，从与O相距r0的P点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的负离子，经一定时间，离子运动到与O相距rN的N点。用a表示离子的加速度，用r表示离子与O点的距离，作出其a图象如图（b）。静电力常量为是k，不计离子重力，规定由O指向P为正方向。由此可以判定（ ）
A．场源点电荷带负电
B．场源点电荷的电荷量为
C．离子在P点的加速度大小为
D．离子在P点受到的电场力大小为
【解答】解：A．场源电荷不论正负，带电粒子加速度加速度大小都随r平方的倒数增大而增大，由图知r平方的倒数增大，r减小，靠近场源电荷，加速度为正其方向由O指向P为，可知库仑力为斥力，场源电荷带负电，故A正确；
B．在N点，由库仑定律及牛顿第二定律：aN
解得：Q，故B错误；
CD．在P点时，由库仑定律及牛顿第二定律：aP
离子在P点受到的电场力大小为：FP＝maP
故C错误，D正确。
故选：AD。
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向
等势面
等量异种 等量同种
中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。
如图所示，电荷量为+q和﹣q的点电荷分别位于边长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：将图中两组对角线上的电荷产生的场强合成即为中心O点的场强（另外两对角线上的正电荷在O点的合场强为零），如图所示
根据电场强度的叠加有：
由几何关系可知，两场强夹角的一半θ，则s
则O点合场强：，故B正确，ACD错误。
故选B。
如图所示，真空中A、B、C三点构成一等腰直角三角形，AC和BC之间的距离均为d＝4m，在A、B点分别固定等量同种点电荷，电荷量为q＝8×10﹣9C，已知静电力常量k＝9.0×109N m2/C2，重力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．AB之间的库仑力方向沿连线向内
B．AB之间的库仑力大小为1.44×10﹣7N
C．C点处的电场强度方向竖直向下
D．C点处的电场强度大小为
【解答】解：A、根据同种电荷互相排斥可知AB之间的库仑力方向沿连线向外，故A错误；
B、AC和BC之间的距离均为d＝4m，则AB之间的距离为：r4m
根据库仑定律可得AB之间的库仑力大小为：F库N＝1.8×10﹣8N，故B错误；
CD、根据电场强度的叠加可知C点处的电场强度方向与水平方向成45°角指向左下方，如下图所示；
则有：EV/mV/m，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）如图甲，同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为，O为水平连线AB的中点，M、N在AB连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（Q＞0），以O为原点、竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为零电势点，则ON上的电势φ随位置x的变化关系如图乙所示。一电荷量为Q（Q＞0）的小球以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，且在N点的加速度大小为2g，g为重力加速度，k为静电力常量，则（ ）
A．小球在M点的加速度为零
B．从O点到N点场强逐渐增大
C．从M点到N点过程中，电场力对小球先做负功后做正功
D．从O点到N点小球的动能增加了
【解答】解：A、M、N两点的电场强度等大反向，M点的电场强度方向竖直向上，N点的电场强度方向竖直向下。小球在N点的加速度大小为2g，可知在此处电场力等于小球的重力，则在M点小球受到的电场力竖直向上与小球的重力平衡，则小球在M点的加速度为0，故A正确；
B、根据φ﹣x斜率代表电场强度可知从O到N的场强先增大后减小，故B错误；
C、从M点到O点的过程中，电场线方向向上，小球受到的电场力方向向上，电场力做负功，从O到N点过程中，小球受到的电场力方向向下，电场力对小球做正功，故C正确；
D、设小球的质量为m，小球在M点的加速度为零，A、B距O点的距离均为，则AM＝2L，则有： cos45°×2＝mg，解得：mg；
小球从O点到N点由动能定理有：Q（φO﹣φN）+mg L＝ΔEk，根据图线可知：φO，φN
联立解得小球动能增加：ΔEk，故D正确。
故选：ACD。
（2023 全国）如图，两根相同的橡皮筋各有一端系于固定的挡板，另一端分别与带电量为q、﹣q的小球连接，小球静止在光滑水平绝缘板上，两橡皮筋位于同一水平直线上，橡皮筋的伸长量均为Δl。若缓慢地增加两球的电荷量，当电荷量增加至原来2倍时（两小球不会相碰），恰好平衡。则每条橡皮筋的伸长量（ ）
A．恰为2Δl B．大于2Δl但小于4Δl
C．恰为4Δl D．大于4Δl
【解答】解：设初始时带电量为q、﹣q的小球之间的距离为l，由于小球处于平衡状态，则有橡皮筋弹力等于小球之间的库仑力，即对任意小球有：
kΔl＝k
电荷量增大为原来的2倍时，设两个小球之间的距离为l′，橡皮筋的伸长量变为Δl′，当小球再次处于平衡状态时，对任意小球有：
kΔl′＝k4k
又因为小球相互吸引，相互靠近，所以两个小球之间的距离会小于初始距离，即：
l′＜l
因此：kΔl′＝4k4k4kΔl
所以：Δl′＞4Δl，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（多选）真空中A、B两个异种点电荷，带电量分别为qA＝2Q、qB＝﹣Q，固定光滑水平桌面的相距为L的两处．下列分析正确的是（ ）
A．A、B两个点电荷之间的库仑力大小为
B．A、B两个点电荷连线之间的电场方向是由A指向B
C．A、B两个点电荷连线中垂线OO1上各位置的电场强度方向都是与AB平行指向B侧
D．在BA连线的延长线上、点电荷A的左侧静止释放一负点电荷，它一定加速向A靠近
【解答】解：A、根据库仑定律可得A、B两个点电荷之间的库仑力大小为，故A错误；
B、在A、B两个点电荷连线之间，点电荷A产生的电场由A指向B，点电荷B产生的电场由A指向B，结合电场的叠加原理，合电场由A指向B，故B正确；
C、两个点电荷A、B连线中垂线OO1上各位置到A、B两个点电荷的距离相等，根据结合电场强度的叠加可知，中垂线OO1上，AB连线上方电场线方向是偏向右上方，AB连线下方电场线方向是偏向右下方，故C错误；
D、在BA连线的延长线上、点电荷A的左侧某处的负点电荷，点电荷A的负点电荷的电场力F1向右，点电荷B的负点电荷的电场力F2向左，且F1＞F2，负点电荷受到的合电场力向右，它向右做加速运动，故D正确。
故选：BD。
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（ ）
A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0
C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
【解答】解：a为匀强电场，电场强度处处相等，方向相同，设场强大小为E，两个正电荷所受电场力之和为2Eq，方向竖直向上，负电荷所受电场力大小为2Eq，方向竖直向下，所以整个系统所受合力为零；b为非匀强电场，电场强度不相等，方向不同，所以两个正电荷所受电场力与负电荷所受电场力的合力不为零，整个系统的合力不为零，故ACD错误，B正确。
故选：B。
如图所示，空间有两个相距为d的等量异种电荷，以两电荷连线的中点为坐标原点O，建立如图所示坐标系。在x轴上有一坐标为（l，0）的点A，在y轴上有一坐标为（0，l）的点B。若d l，则（ ）
A．A、B两点电场强度大小相等
B．A点电场强度大小是B点的两倍
C．在A点由静止释放的负点电荷将作简谐振动
D．在B点由静止释放的正点电荷将作上下振动
【解答】解：AB．根据题意，由点电荷场强公式及电场叠加原理可得，A点的电场强度为：
由于l d，利用近似处理，忽略的大小，则有
B点的电场强度大小为：
同理，忽略的大小，则有
所以A点电场强度大小是B点的两倍，故A错误，B正确；
C．根据题意，如果在A点由静止释放的负点电荷将作简谐振动，那么O点为平衡位置，则电场力提供回复力，点电荷在O点右侧x处时，规定x轴正方向为正方向，则
因为不满足回复力与位移关系F＝﹣kx
所以负点电荷的运动不是简谐运动，故C错误；
D．根据电场叠加的原理可知，B点电场方向水平向左，则正点电荷的受力方向向左，因此在B点由静止释放的正点电荷将向左运动，故D错误。
故选：B。
某次雷雨天，在避雷针附近产生了如图所示的电场，其等势面的分布如虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．A、B、C三点中，A点场强最小
B．B、C两点的电势差UBC＝﹣2kV
C．电子在B点比在C点电势能小
D．电荷由B移到C，电势能减少2keV
【解答】解：A、等势面的密集程度可以代表场强大小，则C点电场强度小于A点，故A错误；
B、BC两点的电势差UBC＝φB﹣φC＝7kV﹣9kV＝﹣2kV，故B正确；
C、因为C点的电势高于B点，负电荷在电势低的位置电势能较大，所以电子在B点比在C点电势能大，故C错误；
D、由于电荷的电性和电量未知，无法计算电势能的减少量，故D错误；
故选：B。
（多选）两带电金属板竖直放置且两板始终与电源的正、负极相连，如图所示，在电场中的O点，用一根绝缘细线悬挂一带负电荷的小球，小球静止在细线与竖直方向夹角为θ的位置，现将两金属板绕各自的中心转轴旋转一定的角度，两转轴在同一水平线上且旋转过程中两金属板始终保持平行，如图中虚线所示，则（ ）
A．两板间匀强电场的场强将变小
B．细线对小球的拉力将变大
C．小球静止时细线与竖直方向夹角θ将变小
D．小球静止时细线与竖直方向夹角θ将变大
【解答】解：A、旋转后板间距离变小，两板间电势差不变，根据U＝Ed知，电场强度变大，故A错误；
B、旋转过程，电场力大小变大，方向发生变化，且与重力夹角减小，则这两力合力增大，故绳拉力增大，故B正确；
CD、根据平行四边形定则知小球静止时细线与竖直方向夹角θ将变小，故C正确，D错误。
故选：BC。
如图所示，a、b、c为匀强电场中一条直线上的三点，ab＝bc＝l，一个带电荷量大小为q的负点电荷，在电场力的作用下，以某一初速度从a点运动到c点的过程中电势能增加W，则（ ）
A．负点电荷从a点运动到c点的过程中一定经过b点
B．负点电荷从a点运动到b点电场力做的功大于b点到c点电场力做的功
C．匀强电场的电场强度最小值为
D．若a点的电势为φa，则b点的电势为
【解答】解：A．由于电场力和速度方向均未知，因此点电荷有可能做曲线运动，可以不经过b点，故A错误；
B．由于点电荷不一定经过b点，因此并不一定存在点电荷从a点到b点电场力做的功，且即使经过b点，由于b是ac中点，此时从a点到b点电场力做的功也等于b点到c点电场力做的功，故B错误；
C．设电场力方向和ac方向夹角为α，则电场力对点电荷做的功为W＝qE 2lcosα
因此当cosα＝1时，电场强度最小，最小值为
方向为由a到c，故C正确；
D．从a点到c点，根据电势能定义W＝﹣q（φc﹣φa）
解得
因此，b点的电势为
故D错误。
故选：C。
【模型四】电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型
1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况
①确定受力方向的依据
a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧；
b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反；
c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。
②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密 E越大 F＝qE越大 a＝越大。
③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。
2.分析电场的特点和性质问题的一般思路
(1)电场强度
①根据电场线的疏密程度进行判断。
②根据等差等势面的疏密程度进行判断。
③根据E＝k结合矢量合成进行判断或计算。
(2)电势
①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。
②根据φ＝进行判断或计算。
③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。
(3)电势能
①根据Ep＝φq进行判断或计算。注意判断或计算时Ep、φ、q均带正、负号，且Ep、φ的正、负号表示大小。
②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且WAB＝－ΔEp。
③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之则增加，且ΔEk＝－ΔEp。
19．如图所示，曲线为一带负电的粒子在某点电荷产生的电场中的部分运动轨迹，P点为轨迹的最低点，以P点为坐标原点建立直角坐标系，粒子的运动轨迹关于y轴对称，Q点是第Ⅰ象限内轨迹上的一点。粒子只受电场力的作用。下列说法正确的是（ ）
A．点电荷一定带负电
B．点电荷一定在y轴负半轴上的某处
C．Q点的电势一定比P点的电势高
D．粒子在P、Q两点的动能与电势能之和一定相等
【解答】解：AB．粒子做曲线运动，根据曲线运动的受力特点可知，粒子受到的静电力总是指向轨迹凹侧，根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引和“对称性”可知，若点电荷在带负电，一定在y轴的负半轴某处；若点电荷在带正电，一定在y轴的正半轴某处，故A、B错误；
C．沿着电场线，电势逐渐降低，若点电荷带正电，由于无法判断Q点和P点到正点电荷的距离大小，因此无法判断Q点与P点电势的高低，故C错误；
D．由于在整个运动过程中，只有电场力做功，粒子在P点和Q点的动能与电势能之和保持不变，故D正确。
故选：D。
一试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线NPM所示，设P、M两点的电势分别为
φP、φM，此试探电荷在P、M两点的动能分别为Ekp、EkM，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度方向一定水平向右
B．该试探电荷在P点受到的电场力沿OP方向
C．φP＞φM
D．Ekp＜EkM
【解答】解：AB、该试探电荷做曲线运动，受到的电场力方向指向轨迹弯曲的内侧，试探电荷的电性不确定，所以电场强度的方向也无法确定．AB错误；
CD、该试探电荷从P点运动到M点，电场力做正功，所以动能增大，电势能减小，即EkP＜EkM，由于电场强度方向无法确定，所以电势高低也无法判断，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）21．匀强电场中，一带电粒子受重力和电场力作用在竖直平面内的运动轨迹如图所示。若粒子在M点的速度方向与加速度方向垂直，P点的速度方向与重力方向垂直，M和N点电势相等，则（ ）
A．从M点运动到N点的过程中，粒子速率先减小后增大
B．从M点运动到P点的过程中，粒子电势能减小
C．从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功，再做负功
D．粒子在P、N两点的机械能相等
【解答】解：M和N点电势相等，所以匀强电场方向垂直MN连线；粒子在M点的速度方向与加速度方向垂直，则粒子在M点的受力如图所示，F为电场力和重力的合力。
A．由图可知，从M点运动到N点的过程中，F与速度方向夹角为锐角，合力对粒子做正功，粒子速率增大，故A错误；
B．由图可知，从M点运动到P点的过程中，电场力与速度方向的夹角为锐角，对粒子做正功，则粒子电势能减小，故B正确；
C．由图可知，从M点运动到N点的过程中，电场力与速度方向的夹角先是锐角，所以先做正功；结合M与N的电势相等，可知电场力之后再做负功，故C正确；
D．粒子从P到N，电场力做的总功为负功，所以机械能减小，故D错误。
故选：BC。
22．A、B两个点电荷周围产生的电场线分布如图所示，一个离子从两点电荷连线的中垂线上的一点a射入，轨迹如图中的ab所示，b为两点电荷连线上的一个点，忽略离子的重力，则可以判断（ ）
A．射入的离子带正电荷
B．A、B两小球带等量异种电荷
C．在a点时，A、B对离子的作用力大小相等
D．离子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
【解答】解：A、不知道电场线的方向，所以不能判断粒子的电性，故A错误；
B、等量异种点电荷的电场线是关于它们连线的垂直平分线对称的，该图中B处的电场线密，可知B处的电荷量大，故B错误；
C、A、B到a的距离是相等的，B处的电荷量大，根据库仑定律可知，B处点电荷对离子的作用力大，故C错误；
D、根据曲线运动的特点可知，该离子受到的电场力的方向向右，则从a到b的过程中电场力对离子做正功，离子的电势能减小，所以离子在a点的电势能一定大于在b点的电势能，故D正确。
故选：D。
如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R点在等势面b上，据此可知（ ）
A．带电质点在P点的加速度比在Q点的加速度小
B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C．带电质点在P点的动能大于在Q点的动能
D．三个等势面中，c的电势最高
【解答】解：A、等差等势面P处密，P处电场强度大，电场力大，加速度大。故A错误；
BCD、根据轨迹弯曲的方向和电场线与等势线垂直可知负电荷所受的电场力应向下，所以电场线向上。故c点电势最高。
利用推论：负电荷在电势高处电势能小，知道P点电势能大。
负电荷的总能量守恒，即带电质点在P点的动能与电势能之和不变，P点电势能大则动能小。故BC错误，D正确。
故选：D。
（2023 乙卷）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球（ ）
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
【解答】解：ABC、由题可知，OP＞OM，OM＝ON，则根据点电荷的电势分布情况可知
φM＝φN＞φP
则点负电的小球运动过程中，电势能先减小后增大，且
EpP＞EpM＝EpN
故带负电的小球在M点机械能等于在N点机械能，故A错误，BC正确；
D、从M点到N点的过程中，根据电场力与运动方向的夹角，当开始夹角为锐角，做正功；后变为钝角，做负功，故电场力先做正功后做负功，故D错误。
故选：BC。
如图，质量为m、电荷量为+q的小球从A点以水平初速度v0平抛，小球A恰好沿B点的切线方向进入竖直平面内半径为R的光滑绝缘圆弧形轨道BCD。在D点右侧存在方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出），电磁场中竖直平面内有一半径也为R的理想圆形屏蔽区，其圆心到D点的距离为2R，屏蔽区的圆心O与水平线BD等高。小球在电磁场区域做匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力，不计小球运动引起的电磁场变化。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球A经过轨道最低点C时对轨道的压力大小；
（3）为使小球A能进入电磁场屏蔽区，磁感应强度的最小值为多大？
【解答】解：（1）小球在电磁场区域做匀速圆周运动，有mg＝qE，解得：E
（2）小球A恰好沿B点的切线方向进入圆形轨道可知，小球A在B点的速度大小为：vB
小球A由B到C，根据动能定理可得：mg（R﹣Rsin45°）
小球A在C点受力分析可知：N﹣mg＝m
根据牛顿第三定律可得：N＝N′
整理得：N′＝（9﹣3）mg
（3）依题意得：3mg＝qE
故小球在电磁场中做匀速圆周运动，由机械能守恒定律可知：vB4＝vB2
在电磁场中对小球B受力分析可得：qvB4B＝mB
如图所示，
由几何关系根据余弦定理可得：r2+（2R）2﹣2r（2R）cos45°＝（r﹣R）2
解得：B
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