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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型
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【知识分析】带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法 1
【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 2
【模型二】平行边界磁场模型 2
【模型三】圆形边界磁场模型 5
【模型四】环形磁约束模型 9
【模型五】三角形或四边形边界磁场模型 11
【模型六】数学圆模型在电磁学中的应用 14
1、“放缩圆”模型的应用 16
2、“旋转圆”模型的应用 17
3、“平移圆”模型的应用 19
4、“磁聚焦”模型 20
[模型分析]
【知识分析】带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
如图，虚线MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在图示平面内两比荷相同的带正电粒子a、b从MN上的同一点沿不同方向射入匀强磁场后，又从MN上的同一点射出磁场。已知a粒子初速度的方向垂直虚线MN，粒子的重力和粒子间的相互作用忽略不计，则下列描述两粒子速度大小的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝20cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝10cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm
如图所示，x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的正负电荷（不计重力）以相同速度从O点先后射入磁场，最终均从x轴离开磁场。不计两电荷间的相互作用，关于两电荷在磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．两电荷所受洛伦兹力的大小一定相同
B．两电荷在磁场中的运动时间一定相等
C．两电荷重新回到x轴时的速度不相同
D．正电荷从x轴上O点左侧射出磁场，负电荷从x轴上O点右侧射出磁场
如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷的带电粒子，以相同的速率经小孔P垂直磁场边界MN，进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界MN射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示，不计粒子所受重力及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．甲粒子带负电荷，乙粒子带正电荷
B．甲粒子的质量大于乙粒子的质量
C．两带电粒子受到的洛伦兹力大小不等
D．两带电粒子在磁场中运动的时间相等
（多选）如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中（磁场空间足够大、图中未画出），磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
【模型二】平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
（2023 乙卷）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，L1和L2为两条平行的磁场边界线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里，范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，L1和L2之间无磁场；A、B两点是L2上相距一定距离的两点。带电粒子从A点以初速度v0与L2成30°角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子一定是带正电
B．该粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度相同
C．若只稍微增大该粒子在A点的初速度，它将仍可能经过B点
D．若只将该粒子在A点的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，它将不可能经过B点
真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力）从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，当再次从MN边界射出磁场时与MN夹角为30°，则（ ）
A．粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60°
B．粒子在磁场中转过的角度为60°
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子能从PQ边界射出磁场时的速度大于
如图所示，AB平行于CD，相距为d，两边之间有垂直直面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m，电荷量为q的电子在AB边某点与AB边成30°角方向入射，与CD边成60°角出射，下列选项正确的是（ ）
A．电子运动的轨道半径为
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子的入射速度
D．仅改变入射方向，使电子刚好不从右边界射出，则AB边界上的入射点与出射点间的距离为
原子核衰变时放出肉眼看不见的射线。为探测射线威耳曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹，为了研究径迹，我们将其抽象成如图甲、乙所示的情景：一静止的氡核Rn置于真空区域匀强磁场的边界y轴上的O点，氡核放出一个水平向右的初速度为v0、质量为m、电量为q的X粒子后衰变成一个质量为M的钋核Po。设真空中的光速为c，不计粒子的重力，衰变放出的核能全部转变成钋核和X粒子的动能。
（1）写出该衰变的核反应方程式并计算衰变过程的质量亏损Δm；
（2）若甲图中两个磁场区域的磁感应强度分别为B和2B，间距均为d，求X粒子离开磁场的位置坐标；
（3）若磁场左边界为y轴，磁感应强度为B，X粒子在磁场中运动受到与速度方向相反、大小不变的阻力f，且恰好不从能y轴飞出磁场，求X粒子运动到y轴的时间t及阻力f。
【模型三】圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
2． 圆形有界磁场问题（2）
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形
（多选）O为圆心的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场，已知∠AON＝60°，粒子重力不计，以下说法正确的是（ ）
A．甲粒子带正电荷
B．甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙小
C．乙粒子的比荷比甲大
D．甲粒子在磁场中运动时间比乙长
（多选）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面
B．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面
C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面
D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面
（多选）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该点电荷带负电
B．该点电荷在磁场中作圆周运动的半径为R
C．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间为
如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A． B．
C． D．
如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，、分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
【模型四】环形磁约束模型
【模型构建】
临界圆
临界半径 勾股定理(R2-R1)2=R12+r2 解得：
利用磁场可以屏蔽带电粒子。如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为B，横截面如图所示。一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场。已知该粒子的比荷为k，重力不计。为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为（ ）
A．kBr B．2kBr C．3kBr D．4kBr
如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿与PO连线成θ角（θ＞45°）以速度v1射入磁场，恰好不进入小圆；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆，则v1：v2至少为（ ）
A．3（1） B． C．5：1 D．1：5
如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界），两圆的半径分别为R、3R，圆心为O．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1：v2至少为（ ）
A． B． C． D．2
如图所示，三个同心圆将空间分隔成四个区域，圆I的半径为R；圆II的半径为2R，在圆I与圆Ⅱ间的环形区域内存在垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场；圆Ⅲ是一绝缘圆柱形管，半径为4R，在圆Ⅱ与圆Ⅲ间存在垂直于纸面向里的匀强磁场B1．在圆心O处有一粒子源，该粒子源可向各个方向射出速率相同、质量为m、带电荷量为q的粒子，粒子重力不计．假设粒子每一次经过圆Ⅱ且与该圆相切时均进入另一磁场．粒子源所射出的粒子刚好沿圆II的切线方向进入匀强磁场B1．
（1）求粒子的速度大小；
（2）若进入匀强磁场B1的粒子刚好垂直打在圆Ⅲ的管壁上，求B1的大小（可用B表示）；
（3）若打在圆Ⅲ管壁上的粒子能原速率反弹，求粒子从O点开始到第一次回到O点所经历的时间．
如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场。电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速。已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e。忽略相对论效应。取tan22.5°＝0.4。
（1）当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。
【模型五】三角形或四边形边界磁场模型
如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为
（多选）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
（多选）如图所示，边长为L的正方形ABCD内存在垂直于平面向里的匀强磁场，AB、BC、CD边放有挡板，粒子打到挡板上时会被挡板吸收，在BC中点O有一粒子发射源，可以沿着正方形所在平面朝各个方向发射速率为v0的同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为+q。已知垂直BC射入的带电粒子恰好从D点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，以下说法正确的是（ ）
A．磁场的磁感应强度大小为
B．从D点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
C．有粒子打到B点
D．刚好从A点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动的速度大小为
C．从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
【模型六】数学圆模型在电磁学中的应用
1、“放缩圆”模型的应用
适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，直线边界PMN上方有足够大的匀强磁场B，方向垂直纸面向外，边界P点有一粒子源，以与竖直方向成θ角的不同速率向磁场中射入两个相同的粒子甲和乙，粒子甲、乙经磁场偏转后分别从边界上M、N点出磁场。已知PM＝MN，粒子重力不计，则甲、乙在磁场中运动的速度大小之比和甲、乙在磁场中运动的时间之比分别为（ ）
A．1：4，1：1 B．1：4，1：4 C．1：2，1：1 D．1：2，1：4
（多选）如图，半径为R的半圆形区域内（含边界）有方向垂直面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN为位于磁场下边界的粒子收集板，磁场左侧边界与MN相距处有一粒子源S，以不同速率沿平行于MN的方向射入大量质量均为m、电荷量均为q的粒子，部分粒子能够打收集板上。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子带正电
B．到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为30°
C．到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．到达收集板的粒子的速度最大值为
（多选）如图所示，三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其中∠O＝90°，OQ＝OP＝2d，S为OP的中点，S处的粒子发射源以垂直OP的方向发射一系列速率不同的电子，电子的比荷为k，已知磁场的磁感应强度大小为B，忽略电子的重力以及电子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．电子的速率为v＝Bkd时，电子从OQ上距离Q点d处离开磁场
B．从PQ边离开的电子的最小速率为νBkd
C．从OP边离开的电子的最大速率为νBkd
D．从OP边离开的电子，速率越大在磁场中运动的时间越短
如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a沿垂直于bc边的方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从图中的d、e、c点离开磁场（d、e为ac边的三等分点）。不考虑三个粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子3的轨迹半径等于三角形abc的边长
B．粒子1、2、3进入磁场的速度之比为3：2：1
C．粒子3的速度偏转角最大，粒子1的速度偏转角最小
D．若仅将磁场的磁感应强度变为原来的，粒子2将从顶点c离开磁场
2、“旋转圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向（垂直于MN）的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：5 C．2：3：4 D．3：4：5
如图1所示的坐标系内，在x0（x0＞0）处有一垂直x轴放置的挡板。在y轴与挡板之间的区域内存在一个与xoy平珏垂直且指向纸内的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2T．位于坐标原点O处的粒子源向xoy平面内发射出大量同种带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均为v0＝1.0×106m/s，方向与x轴正方向的夹角为θ，且0≤θ≤90°．该粒子的比荷为1.0×108C/kg，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上后均被挡板吸收。
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径R：
（2）如图2所示，为使沿初速度方向与x轴正方向的夹角θ＝30°射出的粒子不打到挡板上，则x0必须满足什么条件？该粒子在磁场中运动的时间是多少？
（3）若x0＝5.0×10﹣2m，求粒子打在挡板上的范围（用y坐标表示），并用“”图样在图3中画出粒子在磁场中所能到达的区域：
3、“平移圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
（多选）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B．现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t（不计重力）。则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为5t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1：t2为（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：2 D．：
4、“磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后会聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，圆形区域圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N离开磁场。已知∠AON＝60°，粒子重力不计，以下说法正确的是（ ）
A．甲粒子带负电荷
B．甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙小
C．乙粒子的比荷比甲大
D．乙粒子在磁场中运动时间比甲长
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC是圆O的水平直径，P是圆周上的一点，P点离AC的距离为R，一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子以一定的速度从A点沿AC方向射入，粒子在磁场中运动的偏向角为90°，保持粒子的速度大小、方向不变，让粒子从P点射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在x轴的上方存在一个垂直xoy平面向里、半径为R的有界匀强圆磁场，磁场的直径在y轴上，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一粒子源，可沿与x轴正方向成30°～150°范围内垂直磁场方向均匀发射速度大小相等、质量为m、带电量为e的电子，这些电子都能够打到右侧与y轴平行放置的屏MN上，被屏反弹后以原速率沿原方向返回，其中沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，屏的横坐标为。不计电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间。
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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型
[模型导航]
【知识分析】带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法 1
【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 2
【模型二】平行边界磁场模型 2
【模型三】圆形边界磁场模型 8
【模型四】环形磁约束模型 16
【模型五】三角形或四边形边界磁场模型 22
【模型六】数学圆模型在电磁学中的应用 29
1、“放缩圆”模型的应用 35
2、“旋转圆”模型的应用 36
3、“平移圆”模型的应用 42
4、“磁聚焦”模型 45
[模型分析]
【知识分析】带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
如图，虚线MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在图示平面内两比荷相同的带正电粒子a、b从MN上的同一点沿不同方向射入匀强磁场后，又从MN上的同一点射出磁场。已知a粒子初速度的方向垂直虚线MN，粒子的重力和粒子间的相互作用忽略不计，则下列描述两粒子速度大小的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：两粒子均在磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
设a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为ra，rb，两粒子初速度间的夹角为θ，两粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
ra＝rbcosθ
又因为
两粒子比荷相同，故有
即va＝vbcosθ，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝20cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝10cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm
【解答】解：电子从b点射出后在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则可知，电子在磁场沿顺时针方向做匀速圆周运动，ab间的距离d＝20cm＝2r
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a点，一个打在C点，打在C点的电子轨迹恰好与板相切，过b点做MN的垂线bD，过O1做bD垂线O1E。
由几何知识可得：bD＝absin53°＝20sin53°cm＝16cm
又因DE＝O1C＝10cm
所以bE＝bD﹣DE＝16cm﹣10cm＝6cm
可得CD＝O1E，代入数据解得：CD＝8cm
所以MN上被电子打中的区域的长度为aC＝aD+CD＝abcos53°+CD＝20cos53°cm+8cm＝20cm，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，两个比荷相同的正负电荷（不计重力）以相同速度从O点先后射入磁场，最终均从x轴离开磁场。不计两电荷间的相互作用，关于两电荷在磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．两电荷所受洛伦兹力的大小一定相同
B．两电荷在磁场中的运动时间一定相等
C．两电荷重新回到x轴时的速度不相同
D．正电荷从x轴上O点左侧射出磁场，负电荷从x轴上O点右侧射出磁场
【解答】解：A、电荷所受洛伦兹力大小F＝qv0B，两电荷的比荷相同，进入磁场的速度相同，两电荷的电荷量大小不一定相等，两电荷所受洛伦兹力的大小不一定相同，故A错误；
BC、电荷在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B＝m，解得：r
电荷在磁场中做匀速圆周运动的周期T
两电荷的比荷相同，进入磁场的速度v0相同，则两电荷在磁场中的轨迹半径相等，在磁场中的周期相等；电荷在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
正电荷在磁场中的运动时间为：t1T，负电荷在磁场中的运动时间为：t2，由于不知θ大小，无法判断电荷在磁场中的运动时间关系，两电荷在磁场中的运动时间不一定相等；两电荷重新回到x轴的速度大小均为v0，方向均与+x轴方向成θ角，则两电荷重新回到x轴的速度一定相同，故BC错误；
D、根据左手定则可知，正电荷在磁场做逆时针方向的圆周运动，负电荷在磁场中做顺时针方向的圆周运动，故正电荷从x轴上O点左侧射出磁场，负电荷从x轴上O点右侧射出磁场，故D正确。
故选：D。
如图所示，甲、乙两个带等量异种电荷的带电粒子，以相同的速率经小孔P垂直磁场边界MN，进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，并垂直磁场边界MN射出磁场，运动轨迹如图中虚线所示，不计粒子所受重力及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．甲粒子带负电荷，乙粒子带正电荷
B．甲粒子的质量大于乙粒子的质量
C．两带电粒子受到的洛伦兹力大小不等
D．两带电粒子在磁场中运动的时间相等
【解答】解：A．在P点，速度向下，磁场向外，甲受向左的洛伦兹力，乙受到向右的洛伦兹力，根据左手定则，甲带正电荷，乙带负电荷，故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有qvB＝m，故R，由于q、v、B均相同，甲的轨道半径大，说明甲的质量也大，故B正确；
C．根据洛伦兹力的计算公式可得：F＝qvB，由于q、v、B均相同，则两带电粒子受到的洛伦兹力大小相等，故C错误；
D．粒子运动的周期T，由于tT，故t，由于v大小相同，甲的轨迹半径大于乙的轨迹半径，故甲运动时间大于乙运动的时间，故D错误。
故选：B。
（多选）如图，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中（磁场空间足够大、图中未画出），磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°发射的粒子恰好经过N点，。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
【解答】解：A、粒子轨迹如图1所示
由几何关系可知，可得粒子的轨迹半径为：R＝a，故A错误；
B、当轨迹刚好与MN相切时，粒子能打到板上最大长度，如图轨迹2，设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得
可得，则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为；故B错误；
C、要使粒子打在右侧，有两个临界条件，如图中的轨迹1、3，由几何关系可知1、3的初速度夹角为α＝60°
则粒子能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的，故C正确；
D．如上图粒子1打在MN上的点与O1N组成顶角为60°的等腰三角形，所以由几何关系可知板的右侧被粒子击中的竖直长度为y＝R＝a，故D正确。
故选：CD。
【模型二】平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
（2023 乙卷）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：未加电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，做其运动轨迹如图：
设SP与x轴正方向夹角为θ，则cosθ
θ＝60°
粒子做圆周运动转过的圆心角也为60°，由几何关系得：r﹣a＝rcosθ
解得：r＝2a
粒子做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
在磁场中加匀强电场，粒子做匀速直线运动，受力平衡：qvB＝qE
联立解得：
故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，L1和L2为两条平行的磁场边界线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里，范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，L1和L2之间无磁场；A、B两点是L2上相距一定距离的两点。带电粒子从A点以初速度v0与L2成30°角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子一定是带正电
B．该粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度相同
C．若只稍微增大该粒子在A点的初速度，它将仍可能经过B点
D．若只将该粒子在A点的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，它将不可能经过B点
【解答】解：AB．粒子在磁场中的运动轨迹的可能情况如下图所示
由粒子运动轨迹可知，粒子可能带正电也可能带负电，且粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相等，而速度方向可能相同，也可能不同，故AB错误；
C．若只稍微增大该粒子在A点的初速度，但保持方向不变，粒子仍可能经过B点，故C正确；
D．设L1与L2之间的距离为d，则A到B的距离为
若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，经过多个周期后仍有可能经过B点，故D错误。
故选：C。
真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力）从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，当再次从MN边界射出磁场时与MN夹角为30°，则（ ）
A．粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60°
B．粒子在磁场中转过的角度为60°
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子能从PQ边界射出磁场时的速度大于
【解答】解：ABC、粒子带正电，根据左手定则判断粒子在磁场中逆时针方向的匀速圆周运动，圆周轨迹恰好与PQ边界相切，粒子运动轨迹如下图所示：
由几何关系可知粒子在磁场运动时入射角等于出射角，则粒子进入磁场时速度方向与MN边界夹角为30°，则运动轨迹的圆心角等于360°﹣2×30°＝300°，即粒子在磁场中转过的角度为300°。
由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m，运动周期T
则运动时间：tT。
故ABC错误；
D、由几何关系可得：r+rcos30°＝L，解得：rL
由qvB＝m，解得：v
可知刚好没有从PQ边界射出磁场时临界速度大小为，粒子能从PQ边界射出磁场时的速度应大于此值，故D正确。
故选：D。
如图所示，AB平行于CD，相距为d，两边之间有垂直直面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m，电荷量为q的电子在AB边某点与AB边成30°角方向入射，与CD边成60°角出射，下列选项正确的是（ ）
A．电子运动的轨道半径为
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子的入射速度
D．仅改变入射方向，使电子刚好不从右边界射出，则AB边界上的入射点与出射点间的距离为
【解答】解：ABC．做出电子在磁场中的运动轨迹如图所示
由图可得
解得
由洛伦兹力提供向心力解得
解得
电子在磁场中运动的时间为
，故ABC错误；
D．仅改变入射方向，使电子刚好不从右边界射出，如图2所示
由图中几何关系可得，AB边界上的入射点与出射点间的距离为
，故D正确。
故选：D。
原子核衰变时放出肉眼看不见的射线。为探测射线威耳曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹，为了研究径迹，我们将其抽象成如图甲、乙所示的情景：一静止的氡核Rn置于真空区域匀强磁场的边界y轴上的O点，氡核放出一个水平向右的初速度为v0、质量为m、电量为q的X粒子后衰变成一个质量为M的钋核Po。设真空中的光速为c，不计粒子的重力，衰变放出的核能全部转变成钋核和X粒子的动能。
（1）写出该衰变的核反应方程式并计算衰变过程的质量亏损Δm；
（2）若甲图中两个磁场区域的磁感应强度分别为B和2B，间距均为d，求X粒子离开磁场的位置坐标；
（3）若磁场左边界为y轴，磁感应强度为B，X粒子在磁场中运动受到与速度方向相反、大小不变的阻力f，且恰好不从能y轴飞出磁场，求X粒子运动到y轴的时间t及阻力f。
【解答】解：（1）根据质量数和核电荷数守恒，可得→
由动量守恒可知
其中，ΔE＝Δmc2＝EkM+Ekm
联立可得质量亏损为
（2）根据洛伦兹力提供向心力
可得半径为，
运动过程如图所示
由几何关系可知
解得θ＝30°
根据几何关系y＝R1+R1（1﹣cosθ）
X粒子离开磁场的位置坐标为（0，）；
（3）X粒子恰好不能从磁场中飞出，即到达y轴时速度沿y轴负方向。可见粒子转过的角度
由向心力公式可知
X粒子运动到磁场左边界的时间
粒子受到大小恒定的阻力，即切向加速度
速率均匀减小，角速度不变，转动半径均匀减小，粒子在xoy平面内做螺旋运动。任取时间△t，减小的半径
转过的角度
则有
可见：该螺旋线上任意一点的曲率中心在一个半径为r0的基圆上移动（类似于绳子绕木桩）当X粒子到达y轴时，曲率半径等于r0，即有
可得f
【模型三】圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
2． 圆形有界磁场问题（2）
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形
（多选）O为圆心的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场，已知∠AON＝60°，粒子重力不计，以下说法正确的是（ ）
A．甲粒子带正电荷
B．甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙小
C．乙粒子的比荷比甲大
D．甲粒子在磁场中运动时间比乙长
【解答】解：AB、甲、乙粒子的运动轨迹如图所示：
根据左手定则判断可知甲粒子带正电荷，并且甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙大，故A正确，B错误；
C、乙粒子在磁场中做圆周运动半径比甲小，甲、乙两个粒子的速率相等，根据半径公式知，乙粒子的比荷比甲大，故C正确；
D、设圆形区域的半径为R，根据几何关系可知甲做圆周运动的半径为r2＝Rtan60°，甲粒子在磁场中运动时间为
乙做圆周运动的半径为r1＝Rtan30°，乙粒子在磁场中运动时间为
可知t乙＜t甲，即乙粒子在磁场中运动时间比甲短，故D正确。
故选：ACD。
（多选）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O为地球球心、R为地球半径。地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可以到达地面
B．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均无法到达地面
C．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面
D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面
【解答】解：AB、若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有
解得，若粒子的射入方向在正对O处以上，根据左手定则可知，其粒子的轨迹为向上偏转，则入射到磁场的粒子均不可能到达地面，故A错误，B正确；
C、若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有
解得r＝R；若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示：
设该轨迹半径为r1，由几何关系可得
解得
故C错误；
D、若粒子速率为，由洛伦兹力提供向心力得qv'B＝m
解得r'
由几何关系可知，射入方向在地心以下的粒子都可以到达地面。当粒子正对着O处入射时，轨迹如图所示
由几何关系得：OBr'＝R
则轨迹与地球表面相切。可知射入方向在地心以上的粒子都不可以到达地面。综上所述，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地。故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计电荷的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该点电荷带负电
B．该点电荷在磁场中作圆周运动的半径为R
C．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间为
【解答】解：A．根据电荷偏转方向，结合左手定则可判定该电荷带负电。故A正确；
B．如图所示，点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出轨迹为：
设轨迹圆的半径为r，可得
故B错误；
C．点电荷受到的洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：，故C正确；
D．该点电荷在磁场中的运动时间为：
，故D错误。
故选：AC。
如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：电子的速率最大时，运动轨迹如图，此时电子的运动轨迹与磁场边界相切，
根据得：
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得
解得：
则最大速率为：
，故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，、分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
【解答】解：AB．甲图中，由于带电粒子在电场中受到向下的电场力，故粒子带正电；乙图中，由左手定则可知粒子带正电荷，故AB错误；
C．甲图中带电粒子做类平抛运动，由类平抛运动规律可知，粒子经过M点时速度方向的反向延长线与过P点的水平距离的交点为水平位移的中点，即交点与P点的距离为x1，如果经过圆心O，则要求水平方向的位移应为x＝2R，明显PM两点间的水平位移xPM＜2R，所以假设不成立，故C错误；
D．乙图中粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动，设粒子的轨迹半径为R，半圆的半径为r，粒子从M′射出的速度为v2，运动轨迹如图所示
因P′O1＝M′O1＝R，O′P′＝O′M′＝r，O′O1为公共边，所以ΔO1P′O′≌ΔO1M′O′
因P′点的速度v的方向沿P′O′指向O′，且O1P′⊥v，所以O1P′⊥P′O′，即∠O1P′O′＝90°，因此∠O1MO′＝90°，即O1M′⊥M′O′，又因为O1M′⊥v2，所以v2与O′M′共线，即粒子经过M′点的速度方向的反向延长线一定过圆心O′，故D正确。
故选：D。
【模型四】环形磁约束模型
【模型构建】
临界圆
临界半径 勾股定理(R2-R1)2=R12+r2 解得：
利用磁场可以屏蔽带电粒子。如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为B，横截面如图所示。一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场。已知该粒子的比荷为k，重力不计。为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为（ ）
A．kBr B．2kBr C．3kBr D．4kBr
【解答】解：带电粒子只受洛伦兹力做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，解得：v
可知最大速度对应最大半径，依题意半径最大的轨迹圆弧与半径为r的磁场圆形边界相切，如下图所示：
由几何关系：（R+r）2＝R2+（3r）2 解得：R＝4r
则：vm4kBr 故ABC错误，D正确
故选：D。
如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿与PO连线成θ角（θ＞45°）以速度v1射入磁场，恰好不进入小圆；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆，则v1：v2至少为（ ）
A．3（1） B． C．5：1 D．1：5
【解答】解：粒子在磁场中做圆周运动，由余弦定理可得：
（r1+R）2＝r12+（2R）2﹣2r1×2Rcos（90°﹣θ）
解得r1
根据洛伦兹力提供向心力可得：r1
v1∝r1；
当粒子竖直向上射入磁场时，如果粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域，
粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径：r2，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv2B＝m，
解得：v2∝r2；
所以，由于θ＞45°，θ＝45°时v1：v2最小，故
3（1），故A正确、BCD错误。
故选：A。
如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界），两圆的半径分别为R、3R，圆心为O．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1：v2至少为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：粒子在磁场中做圆周运动，由几何知识得：r1，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv1B＝m，
解得：v1，
当粒子竖直向上射入磁场时，如何粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域，
粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径：r2＝R，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv2B＝mm，
解得：v2，则：v1：v2，故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图所示，三个同心圆将空间分隔成四个区域，圆I的半径为R；圆II的半径为2R，在圆I与圆Ⅱ间的环形区域内存在垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场；圆Ⅲ是一绝缘圆柱形管，半径为4R，在圆Ⅱ与圆Ⅲ间存在垂直于纸面向里的匀强磁场B1．在圆心O处有一粒子源，该粒子源可向各个方向射出速率相同、质量为m、带电荷量为q的粒子，粒子重力不计．假设粒子每一次经过圆Ⅱ且与该圆相切时均进入另一磁场．粒子源所射出的粒子刚好沿圆II的切线方向进入匀强磁场B1．
（1）求粒子的速度大小；
（2）若进入匀强磁场B1的粒子刚好垂直打在圆Ⅲ的管壁上，求B1的大小（可用B表示）；
（3）若打在圆Ⅲ管壁上的粒子能原速率反弹，求粒子从O点开始到第一次回到O点所经历的时间．
【解答】解：（1）粒子的运动轨迹如图所示
由牛顿第二定律得：Bqv
由几何关系得：r12+R2＝（2R﹣r1）2
解得：v
（2）由牛顿第二定律得B1qv
由几何关系得：r22+（4R）2＝（2R+r2）2
解得：B1
（3）由几何关系得：圆心角θ1＝127°
圆心角θ2＝53°
粒子运动的第一段弧长：l1
粒子运动的第二段弧长：l2
由几何关系知粒子第一次回到O点运动的时间：vt＝2（l1+l2+R）
解得：t
答：（1）求粒子的速度大小为．
（2）若进入匀强磁场B1的粒子刚好垂直打在圆Ⅲ的管壁上，B1的大小为．
（3）若打在圆Ⅲ管壁上的粒子能原速率反弹，则粒子从O点开始到第一次回到O点所经历的时间为．
如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场。电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速。已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e。忽略相对论效应。取tan22.5°＝0.4。
（1）当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。
【解答】解：（1）设电子进入Ⅰ区的速度大小为v1，电子从P到进入Ⅰ区过程中，根据动能定理可得：2eU
解得：v1＝2
设电子在Ⅰ区运动轨迹半径为r，电子在Ⅰ区运动情况如图1所示；
根据图中几何关系可得：tan22.5°，解得：r＝0.4R
根据洛伦兹力提供向心力可得：ev1B1＝m
解得Ⅰ区的磁感应强度大小B1；
粒子在Ⅰ区运动的周期T，
粒子轨迹对应的圆心角为：α＝360°﹣（180°﹣45°）＝225°
电子在Ⅰ区磁场中的运动时间t
整理可得：t
从开始运动到从Q点射出，根据动能定理可得电子在Q点出射时的动能为：EkⅠ＝8eU；
（2）电子在Ⅰ区运动的轨迹恰好与边界相切时，k值最大，电子在Ⅰ区运动轨迹如图2所示；
根据几何关系可得：r′2+R2，解得：r′R
根据洛伦兹力提供向心力可得r′
由此可得：r′∝v，r′2∝Ek，
如果k＝0，则粒子在Ⅰ区运动的轨迹半径r0＝r＝0.4R
所以有：
且有：
解得：k，所以要保证电子从出射区域出射，k的最大值为。
答：（1）当Ek0＝0时，Ⅰ区的磁感应强度大小为、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间为、在Q点出射时的动能为8eU；
（2）当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，k的最大值为。
【模型五】三角形或四边形边界磁场模型
如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由题意可知粒子在磁场中顺时针偏转，由左手定则判断可知粒子带负电，故A错误；
B、根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示：
由图中几何关系可得：r1＝r2
解得粒子在磁场中运动得半径之比：r1：r2＝3：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力充当向心力有：，解得粒子在磁场中运动时的速度：
由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C正确；
D、根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，速率为v1时粒子在场中偏转了30°，速率为v2时粒子在磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期相同均为：，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D错误。
故选：C。
如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为
【解答】解：AB、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是t0T，则得周期T＝4t0
则粒子又回到AB边处磁场时，其运动时间最长，在磁场中运动的最长时间为2t0；结合周期公式可得磁感应强度，故AB错误；
C、如果粒子带的是负电，粒子向上偏转，以B点为圆心，转过的圆心角为的粒子垂直BC边射出磁场，故C错误；
D、若有粒子能再次回到AB边，转过的圆心角为π，最长半径如图所示
由几何关系可得最大半径为
解得：，故D正确。
故选：D。
（多选）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【解答】解：A、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动轨迹为圆周，运动时间是周期。
由洛伦兹力提供向心力得：qvB，周期T
可得：，解得：，故A正确；
B、设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有：
，解得150°
画出该粒子的运动轨迹如下图所示，其轨迹与AB边相切。
设轨道半径为R，由几何知识得：
可得，故B错误；
C、粒子射入磁场的速度大小为：，故C正确；
D、射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为（图中阴影部分），故D正确。
故选：ACD。
（多选）如图所示，边长为L的正方形ABCD内存在垂直于平面向里的匀强磁场，AB、BC、CD边放有挡板，粒子打到挡板上时会被挡板吸收，在BC中点O有一粒子发射源，可以沿着正方形所在平面朝各个方向发射速率为v0的同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为+q。已知垂直BC射入的带电粒子恰好从D点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，以下说法正确的是（ ）
A．磁场的磁感应强度大小为
B．从D点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
C．有粒子打到B点
D．刚好从A点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为
【解答】解：A．由运动轨迹可得，如图所示：
由几何知识
解得
由于
解得：
则，故A正确；
B．从D点射出磁场的粒子，由几何关系可知
解得：
由几何关系可知
解得：
又cos2β＝1﹣2sin2β
解得：
又α＝2β，即α＝53°
运动时间为：
解得：，故B错误；
C．由偏转方向可知，不可能有粒子打到B点，故C错误；
D．从A点射出磁场的粒子对应的弦与从D点射出磁场的粒子弦长相等，故经历的时间相等，即，故D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动的速度大小为
C．从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
【解答】解：A、速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，可知粒子做顺时针方向偏转，由左手定则判断，粒子带负电，故A正确；
B、速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如下图：
由几何关系可知，α＝60°，可得粒子做圆周运动的半径r＝d
由洛伦兹力提供向心力得：
解得粒子运动的速度大小为：，故B正确；
C、粒子从AD边离开时的运动轨迹都是劣弧，由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此从AD边离开的粒子在磁场中运动的轨迹越短，即该轨迹对应的弦越短，时间越短。O点到AD的最短距离为EO，即从E点射出的粒子在磁场中运动时间最短，此轨迹的圆心角为60°，因此最短时间等于六分之一周期，由周期，可得最短时间，故C错误；
D、如下图所示，由运动半径r＝d，可得粒子水平向左由O点飞入时恰好从A点离开磁场，当粒子竖直向上由O点飞入时，恰好从D点飞出磁场，从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域的面积为图中弧AO、弧OD与AD边围成的区域面积。
该区域面积为：，故D错误。
故选：AB。
【模型六】数学圆模型在电磁学中的应用
1、“放缩圆”模型的应用
适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角决定，即；
方法一：设半圆的半径为R，采用放缩法如图所示：
粒子垂直ac，则圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大，在r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当0.5R＜r＜1.5R时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从π逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即；
方法二：O点为半圆弧的圆心，过c点做半圆弧的切线，与圆弧相切与e点，由于co＝2R，oe＝R，且ce⊥eo，故∠oce＝30°，因为只有ce与圆弧相切时，∠oce为最大，如果不相切，∠oce小于30°，ce为轨迹圆的一条弦，则此时弦切角最大为90°+30°＝120°，根据圆心角等于弦切角的2倍，所以最大圆心角为θ＝2×120°＝240°；
即，粒子运动最长时间为，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，直线边界PMN上方有足够大的匀强磁场B，方向垂直纸面向外，边界P点有一粒子源，以与竖直方向成θ角的不同速率向磁场中射入两个相同的粒子甲和乙，粒子甲、乙经磁场偏转后分别从边界上M、N点出磁场。已知PM＝MN，粒子重力不计，则甲、乙在磁场中运动的速度大小之比和甲、乙在磁场中运动的时间之比分别为（ ）
A．1：4，1：1 B．1：4，1：4 C．1：2，1：1 D．1：2，1：4
【解答】解：如图所示，粒子进入磁场时速度的垂线与PM的垂直平分线的交点为粒子甲在磁场中做匀速圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与PN的垂直平分线的交点为粒子乙在磁场中做匀速圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径之比R1：R2＝
1：2，由R可知，甲乙的速度之比为1：2；
由于粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期均为T，且两粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹所对应的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，甲乙在磁场中运动时间之比为1：1，这样看来，ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）如图，半径为R的半圆形区域内（含边界）有方向垂直面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN为位于磁场下边界的粒子收集板，磁场左侧边界与MN相距处有一粒子源S，以不同速率沿平行于MN的方向射入大量质量均为m、电荷量均为q的粒子，部分粒子能够打收集板上。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（ ）
A．粒子带正电
B．到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为30°
C．到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．到达收集板的粒子的速度最大值为
【解答】解：A.粒子平行于MN的方向射入磁场后，根据题意可知，粒子向下偏转，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
B.粒子源S距离MN相距，可知SO与水平面的夹角为30°，
根据几何关系可知到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为60°，故B错误；
C.到达收集板在磁场中运动的最长时间的粒子在磁场中的偏转角最大，由几何关系可知，偏转角最大的为π，故到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为
t
又T
解得：t
故C正确；
D.带点粒子在磁场中运动有
qvB＝m
解得：v
到达收集板的粒子的速度最大值对应的轨道半径最大，即到达N的离子速度最大，由几何关系得
r2＝（r） 2+（R+Rcos30°）2
联立解得：v，
即到达收集板的粒子的速度最大值为，故D正确，
故选：CD。
（多选）如图所示，三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其中∠O＝90°，OQ＝OP＝2d，S为OP的中点，S处的粒子发射源以垂直OP的方向发射一系列速率不同的电子，电子的比荷为k，已知磁场的磁感应强度大小为B，忽略电子的重力以及电子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．电子的速率为v＝Bkd时，电子从OQ上距离Q点d处离开磁场
B．从PQ边离开的电子的最小速率为νBkd
C．从OP边离开的电子的最大速率为νBkd
D．从OP边离开的电子，速率越大在磁场中运动的时间越短
【解答】解：A.电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则由
qvB＝m
可得r
当电子的速率为
v＝Bkd
时，电子的轨迹半径为r1＝d
轨迹如图中曲线2所示，则电子从距离Q点处离开磁场。故A正确；
B.作出电子刚好不从PQ边离开磁场时的运动轨迹，即轨迹与PQ相切，如图中曲线3所示，由几何关系可知
r2+d
可得
r2＝（1）d
电子从PQ离开时轨迹半径r＞（1）d，所以从PQ边离开的电子最小速率一定大于（1）Bkd，故B错误；
C.若要使电子从OP边离开，则从O点离开的电子的轨迹半径最大，最大半径为，如图中曲线1，因此最大速率为
vmax
故C正确；
D.电子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
T
根据几何关系可知，电子从OP边离开时偏转角均为180°，则从OP边离开磁场的电子在磁场中运动的时间均为
t
故D错误。故选：AC。
如图所示，等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），三个完全相同的重力不计的带电粒子1、2、3以不同的速度由顶点a沿垂直于bc边的方向射入磁场，结果粒子1、2、3分别从图中的d、e、c点离开磁场（d、e为ac边的三等分点）。不考虑三个粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子3的轨迹半径等于三角形abc的边长
B．粒子1、2、3进入磁场的速度之比为3：2：1
C．粒子3的速度偏转角最大，粒子1的速度偏转角最小
D．若仅将磁场的磁感应强度变为原来的，粒子2将从顶点c离开磁场
【解答】解：AC、粒子运动的轨迹如图所示：粒子由顶点a沿垂直于bc边的方向射入磁场，进入磁场的瞬间粒子速度与ac边的夹角为30°，在同一直线边界，根据对称性，可知粒子射出磁场的速度与ac边的夹角也为30°，因而运动轨迹所对应的圆心角为60°，圆心，入射点以及出射点的连线构成等边三角形，可判断出三个粒子的速度偏转角相等，粒子3的轨迹半径等于三角形abc的边长，故A正确，C错误；
B、假设三角形abc的边长为L，则粒子1，2，3的轨迹半径分别为，，L，根据洛伦兹力提供向心力，则，解得r，则粒子进入磁场的速度之比为1：2：3，故B错误；
D、由，解得r，若仅将磁场的磁感应强度变为原来的，则粒子的轨迹半径变为原来的3倍，可知粒子2的轨迹半径变为2L，粒子2将从bc之间的某点离开磁场，故D错误；
故选：A。
2、“旋转圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向（垂直于MN）的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：5 C．2：3：4 D．3：4：5
【解答】解粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB＝m，
解得：
r，
由题意可知，三个粒子为同种粒子、粒子射入磁场时的速率v相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r相等，粒子在磁场做做圆周运动的运动轨迹如图所示：
由图示可知：
Oq＝2r，
由题意可知：p是Oq的中点，则：
Op＝Oq＝r，
三粒子做圆周运动的轨迹半径相等，则△OPO1、△OPO3都是等边三角形，则粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角：
θ1＝60°，θ2＝180°，θ3＝300°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期相等：
T，
粒子在磁场中的运动时间：
t，
粒子在磁场中的运动时间之比：
t1：t2：t3＝θ1：θ2：θ3＝60°：180°：300°＝1：3：5，
故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图1所示的坐标系内，在x0（x0＞0）处有一垂直x轴放置的挡板。在y轴与挡板之间的区域内存在一个与xoy平珏垂直且指向纸内的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2T．位于坐标原点O处的粒子源向xoy平面内发射出大量同种带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均为v0＝1.0×106m/s，方向与x轴正方向的夹角为θ，且0≤θ≤90°．该粒子的比荷为1.0×108C/kg，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上后均被挡板吸收。
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径R：
（2）如图2所示，为使沿初速度方向与x轴正方向的夹角θ＝30°射出的粒子不打到挡板上，则x0必须满足什么条件？该粒子在磁场中运动的时间是多少？
（3）若x0＝5.0×10﹣2m，求粒子打在挡板上的范围（用y坐标表示），并用“”图样在图3中画出粒子在磁场中所能到达的区域：
【解答】解：（1）由牛顿第二定律得
5.0×10﹣2m
（2）如图所示，设粒子的运动轨迹恰与挡板相切，由几何关系得：x0＝R+Rsinθ
X0＝7.5×10﹣2m
为使该粒子不打到挡板上，x0≥7.5×10﹣2m
粒子在磁场中运动的周期为T
Tπ×10﹣7s
该粒子在磁场中运动的时间
（3）若x0＝5.0×10﹣2m，则x0＝R
当粒子沿着﹣y方向入射时，将打在挡板上的A点
其纵坐标yA＝﹣R＝500×10﹣2m
当粒子沿着+x方向入射时，粒子的运动轨迹恰好与挡板相切于B点
其纵坐标yB＝R＝5.0×10﹣2m
则粒子打在挡板上的范围为﹣500×10﹣2m≤y＜5.0×10﹣2m
粒子在磁场中所能到达的区域如图所示
答：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R是5.0×10﹣2m；
（2）为使该粒子不打到挡板上，x0≥7.5×10﹣2 m，该粒子在磁场中运动的时间是。
（3）粒子打在挡板上的范围为﹣5.0×10﹣2 m≤y＜5.0×10﹣2 m
3、“平移圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
（多选）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠B．现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t（不计重力）。则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为5t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
【解答】解：A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中轨迹的圆心角为，运动的时间为，即：tT，则得周期为T＝4t，故A错误；
B．根据周期公式：T，结合T＝4t，解得：B，故B正确；
C．如图，轨迹和BC边相切时，运动时间最长，
设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有：
tT
解得：
设轨道半径为r，由几何知识得：
d，
解得：
r
C错误；
D．根据洛伦兹力提供向心力可知：qvB
解得：
v
将r代入解得：v
故D正确；
故选：BD。
如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1：t2为（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：2 D．：
【解答】解：由带电粒子从A点沿AB方向射入磁场可知粒子做圆周运动的圆心在AD及其延长线上，又有粒子恰好从C点飞出磁场，故可得：粒子运动半径为L，粒子从A到C转过的中心角θ＝90°；
那么，从P点入射的粒子圆心在AD延长线上距D点处，那么粒子转过的中心角为：
；
所以，t1：t2＝θ：θ′＝3：2，故C正确，ABD错误；
故选：C。
4、“磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后会聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：带电粒子流射入磁场后做匀速圆周运动，要使带电粒子流射入该磁场后会聚于坐标原点O，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径等于磁场半径r。粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得磁感应强度大小：B，故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图所示，圆形区域圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径。从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N离开磁场。已知∠AON＝60°，粒子重力不计，以下说法正确的是（ ）
A．甲粒子带负电荷
B．甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙小
C．乙粒子的比荷比甲大
D．乙粒子在磁场中运动时间比甲长
【解答】解：A、如图所示，甲粒子所受的洛伦兹力方向由A→O2，根据左手定则判断可知甲粒子带正电荷，故A错误；
B、画出两个粒子的运动轨迹，如图所示，可知甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙大，故B错误；
C、乙粒子在磁场中做圆周运动半径比甲小，甲、乙两个粒子的速率相等，根据半径公式r知，乙粒子的比荷比甲大，故C正确；
D、设圆形区域的半径为R，根据几何关系可知，甲做圆周运动的半径为r2＝Rtan60°，甲粒子在磁场中运动时间为t甲
乙做圆周运动的半径为r1＝Rtan30°，乙粒子在磁场中运动时间为t乙，可知t乙＜t甲，即乙粒子在磁场中运动时间比甲短，故D错误。
故选：C。
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC是圆O的水平直径，P是圆周上的一点，P点离AC的距离为R，一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子以一定的速度从A点沿AC方向射入，粒子在磁场中运动的偏向角为90°，保持粒子的速度大小、方向不变，让粒子从P点射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子两种情况下的运动轨迹如图所示（红色为从A点入射，黑色为从P点入射）：
根据题意可知，从A点入射的粒子在磁场中的偏向角为90°，则粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为：θ＝90°，根据几何知识可知，粒子做圆周运动的半径为：r＝R。
保持速度的大小和方向不变，从P点入射时，做匀速圆周运动的半径不变，由磁聚焦的原理，负粒子一定从D点射出场区，由几何关系可知，∠POA＝30°，偏向角α＝90°+30°＝120°。所以时间t，故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图所示，在x轴的上方存在一个垂直xoy平面向里、半径为R的有界匀强圆磁场，磁场的直径在y轴上，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一粒子源，可沿与x轴正方向成30°～150°范围内垂直磁场方向均匀发射速度大小相等、质量为m、带电量为e的电子，这些电子都能够打到右侧与y轴平行放置的屏MN上，被屏反弹后以原速率沿原方向返回，其中沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，屏的横坐标为。不计电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间。
【解答】解：（1）当沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，根据圆周运动的特点画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示：
由几何关系可得：r＝R
根据牛顿第二定律可得：
解得：v
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心分布在以O点为圆心，R为半径的圆上。电子以任意速度方向射入磁场时，其在磁场中的运动轨迹如图所示：
根据几何关系可知，电子离开磁场时的速度方向始终保持不变，为水平向右的方向，当一电子以与x轴成θ方向射入磁场，如图：
其水平射出磁场后打在MN屏上的纵坐标为
y＝R﹣Rcosθ
当θ＝30°时，电子打在MN屏的最低点，代入数据解得：
当θ＝150°时，电子打在MN屏的最高点，代入数据解得：
由此可知，电子打到屏上的长度为：
（3）当电子从O点到返回磁场右边界的哭成最短时，电子从O点出发到返回磁场右边界的时间最短。当一电子以与x轴成θ方向射入磁场到返回到磁场右边界的路程为
s＝θR+2（R﹣Rsinθ）
对上式求导可得：
s'＝R﹣2Rcosθ
令s'＝0，可得当θ时，s最小，代入数据解得：
smin
故电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间为
答：（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度为；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间为。
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