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专题20 电磁感应中的双导体棒和线框模型
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【模型一】无外力等距双导体棒 1
【模型二】有外力等距双导体棒 2
【模型三】无外力不等距导轨双导体棒 8
【模型四】有外力不等距导轨双导体棒 15
【模型无】线框模型 22
[模型分析]
【模型一】无外力等距双导体棒
【模型如图】
1．电路特点
棒2相当于电源；棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.
2．电流特点：
随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度变小，回路中电流也变小。
时：电流最大，。 时：电流
3．两棒的运动情况
安培力大小：
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。
4．两个规律
(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,
系统动量守恒.
(2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）
两棒产生焦耳热之比：；
5．几种变化：
(1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3)两棒都有初速度（两棒动量守恒吗？）
(4)两棒位于不同磁场中（两棒动量守恒吗？）
如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
【解答】解：AB．两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b的动量改变量跟导体棒a的动量改变量总是大小相等、方向相反；根据能量守恒定律可知，a的动能减少量等于b的动能增加量与回路中产生的焦耳热之和，导体棒b的动能增加量小于导体棒a的动能减少量，故A、B错误；
CD．a、b两棒的速度最终相等，设为v，以向右为正方向，根据动量守恒定律可得2mv0＝（2m+m）v
解得：v
对b棒，由动量定理有
解得
根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为
故D错误，C正确。
故选：C。
如图所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，质量均为m、电阻分别为R、r的导体棒MN、PQ垂直静止于平行导轨上，与导轨构成矩形闭合回路，某时刻给导体棒MN一个水平向右的瞬时冲量I，不考虑导轨的电阻，则从此时至PQ达到最大速度的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．导体棒PQ做加速度增大的加速运动
B．通过导体棒MN的电量为
C．两导体棒的相对距离减小量为
D．导体棒MN产生的焦耳热为
【解答】解：A．依题意，当两导体棒速度相等时，导体棒PQ速度达最大，该过程中，导体棒PQ受到的安培力水平向右，根据安培力的计算公式可得：F安＝BIL；根据闭合电路的欧姆定律可得电流强度：，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势：E＝BLΔv，联立可得：，式中Δv为两导体棒在运动过程中的速度差，由于Δv逐渐减小，根据牛顿第二定律可得导体棒PQ加速度大小为：，所以可知做导体棒PQ做加速度逐渐减小的加速运动，直到PQ到达最大速度后，两导体棒一起做匀速直线运动，故A错误；
B．对导体棒MN，设其开始运动时的初速度大小为v0，两导体棒到达共速时速度大小为v，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝2mv
取向右为正方向，对MN根据动量定理可得：
其中：，I＝mv0
联立可求得，通过导体棒MN的电量为：，故B错误；
C．根据电荷量的计算公式可得：，其中：ΔΦ＝BΔS＝BLΔx，联立可求得两导体棒的相对距离减小量为：，故C正确；
D．从开始运动到两导体棒达到共速时，根据能量守恒定律有：
根据焦耳定律可得：QRQ
联立解得导体棒MN产生的焦耳热为：，故D错误。
故选：C。
如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（ ）
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
C．MN棒产生的焦耳热为
D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为
【解答】解：A．根据右手定则知，回路中产生沿NMPQN方向的感应电流，根据左手定则可知，MN棒受到的安培力水平向右，PQ棒受到的安培力也水平向右，且两棒受到的安培力大小相等，则两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相同，故A错误；
B．当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中感应电流为零时，两棒均做匀速运动，达到稳定状态，稳定时，有
Blv1＝Blv2
解得：v1＝v2
对PQ、MN棒分析，两者所受安培力始终大小相等，相同时间内MN棒减少的动量等于PQ棒增加的动量，则有：
mv0﹣mv1＝mv2
解得：v1＝v2
故B错误；
C．根据能量守恒定律得
2Q
解得MN棒产生的焦耳热为：Q
故C错误；
D．对PQ棒，根据动量定理得
Bl t＝mv2﹣0
通过PQ棒某一横截面的电荷量为
qt
联立解得：q
故D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，铜棒a，b的长度均等于导轨间距，a，b两棒的电阻不为零，质量均为m，铜棒平行放置在导轨上且始终与导轨接触良好。现给铜棒a一个平行导轨向右的初速度v0，下列说法正确的是（ ）
A．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则最终va＜vb
B．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则最终va＜vb
C．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则回路中产生的总焦耳热为
D．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则回路中产生的总焦耳热为
【解答】解：A、铜棒a向右切割磁感线产生感应电动势，回路中产生感应电流，根据安培力F＝BIL，和左手定则判断可知两棒所受安培力等大反向，a棒受到向左的安培力而减速运动，b棒受到向右的安培力而加速运动，回路中的感应电动势为E＝BL（va﹣vb），若不发生碰撞，当两棒的速度相等时感应电动势、感应电流为零，两棒所受安培力为零而做匀速直线运动。
以两棒组成的整体为研究对象，合外力为零，故整体满足动量守恒定律，以向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv0＝2mv，解得，故最终两棒以的速度在轨道上做匀速直线运动，故A错误；
C、若两棒不发生碰撞，回路中产生的总焦耳热为：，解得：，故C正确；
BD、即使两棒发生弹性碰撞，因两棒的质量相等，故碰撞时交换速度后，与A选项同理分析可知，最终两棒也会以的速度在轨道上做匀速直线运动。回路中产生的总焦耳热仍为，解得：，故D正确。
故选：CD。
如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。导轨间有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，金属杆M以初速度v0向右运动，金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M、N材料相同且粗细均匀，两金属杆的长度为L，质量均为m，每根金属棒的电阻都是R，导轨的电阻忽略不计，忽略感应电流产生的磁场，两金属杆始终未相撞。
（1）M、N的最终速度和金属棒M产生的焦耳热Q；
（2）M、N之间的最小距离x；
（3）若将金属杆M的质量变成原来的k倍，金属杆的材料和长度不变，仍在原位置以相同初速度v0向右运动，求M、N不相撞的最小距离x1。
【解答】解：（1）M、N之间动量守恒：mu0＝（m+m）v1
解得：v1
对M、M组成的系统，根据能量守恒有：
代入求解得到：
金属棒M产生的焦耳热：
（2）对N由动量定理：BIL t＝m0
又E＝BL（vM﹣vN）
由欧姆定律得：
两棒之间的相对位移：x＝∑（vM﹣vN） Δt
联立可得：
（3）由于金属棒的质量m1＝km
因此金属棒M′的体积变为原来的k倍，因此横截面积S1＝kS
由电阻的决定式：
可得：
M′与N之间由动量守恒定律可得：kmv0＝（k+1）mv2
对N棒由动量定理：
解得两棒的最小距离：
答：（1）M、N的最终速度和金属棒M产生的焦耳热Q为；
（2）M、N之间的最小距离x为；
（3）M、N不相撞的最小距离x1为。
【模型二】有外力等距双导体棒
【模型如图】
1．电路特点：棒2相当于电源，棒1受安培力而起动.
2．运动分析：某时刻回路中电流：
安培力大小：。棒1： 棒2：
最初阶段，, 只要,；；；；
当时，恒定，恒定，恒定，两棒匀加速
3．稳定时的速度差
，，，，
如图所示，两根足够长、电阻不计的竖直平行光滑金属导轨相距为L，金属棒M、N紧挨着，但不接触，初始时两棒在外力作用下垂直于导轨静止。金属棒的质量均为m，N棒的阻值为R，M棒的阻值为2R。整个装置处于水平向外的匀强磁场中，磁场范围足够大，磁感应强度大小为B。某时刻，突然撤掉初始外力，同时以向上的恒力F＝2mg拉M棒，并由静止释放N棒。当N棒运动的位移为H时，它的速度恰好达到稳定。设棒与导轨始终垂直并保持良好接触，重力加速度为g，在变速运动的过程中，问：
（1）上述过程中，通过N棒的某横截面的电量q；
（2）N棒的最大速度vm；
（3）上述过程中，整个电路产生的焦耳热Q。
【解答】解：（1）某时刻，突然撤掉初始外力，同时以向上的恒力F＝2mg拉M棒，并由静止释放N棒；此时M棒受到的合力大小为mg，方向向上，N棒受到的合力大小为mg，方向向下，可知两棒分别向上和向下做加速度减小的加速运动，由于两棒质量相同，且同一时刻受到的安培力大小相等，可知同一时刻，两棒的合力大小总是相等，加速度大小总是相等，速度大小总是相等，相同时间内两棒运动的位移大小相等；则有：q Δ
（2）当两棒速度达到稳定时，速度最大，则感应电动势最大：Em＝2BLvm
感应电流最大值：
安培力最大值：Fm＝BImL
以N棒为对象，根据受力平衡可得：Fm＝mg
联立解得：
（3）M棒增加的重力势能等于N棒减少的重力势能，根据能量守恒可得：
解得整个电路产生的焦耳热为：
答：（1）通过N棒的某横截面的电量q为；
（2）N棒的最大速度vm为；
（3）整个电路产生的焦耳热Q为（）。
（多选）如图所示，间距L＝0.5m的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，斜面倾角θ＝37°。区域Ⅰ、Ⅱ分别以PQ、MN为边界，均存在垂直于斜面向上的磁场，Ⅰ区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场，磁感应强度B2＝0.5T，PQ与MN之间为无磁场区域。质量m＝0.1kg、电阻R＝2Ω的导体棒垂直于导轨放置，从两磁场之间的无磁场区域由静止释放，经过t＝2s进入Ⅱ区恰好匀速下滑。运动中棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻不计。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6。则下列说法正确的是（ ）
A．进入Ⅱ区后，导体棒中的电流I＝2.4A
B．无磁场区域的面积至少为12m2
C．前2s导体棒产生的焦耳热Q＝3.24J
D．若Ⅰ区磁场面积为2m2，则Ⅰ区的磁感应强度随时间变化的表达式为B＝0.9t（T）
【解答】解：A、导体棒进入Ⅱ区恰好匀速下滑，则根据平衡条件有：mgsinθ＝B2IL。代入数据可得导体棒中的电流为：I＝2.4A，故A正确；
B、导体棒进入Ⅱ区域磁场的速度为：v＝at
根据牛顿第二定律：mgsin37°＝ma
导体棒在无磁场区域做匀加速直线运动，则有：v2＝2ax
无磁场区域的面积最小值为：Smin＝Lx
代入数据联立解得：，故B错误；
C、导体棒进入Ⅱ区域后，Ⅰ区中磁感应强度变化产生的感生电动势为E1，Ⅱ区域导体棒切割磁感线产生的动生电动势为E2，则由题设条件有：E1+E2＝E1+B2Lv＝IR
代入数据解得感生电动势为：E1＝1.8V
前2s导体棒未切割磁感线，则产生的焦耳热为：QJ＝3.24J，故C正确；
D、根据电磁感应定律：
若Ⅰ区磁场面积为2m2，Ⅰ区磁感应强度的变化率为：
由题意，Ⅰ区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，则Ⅰ区的磁感应强度随时间变化的表达式为：B＝0.9t（T），故D正确。
故选：ACD。
（多选）如图，固定在水平面上的两条足够长光滑平行金属导轨，导轨间的距离d＝1m，导轨电阻忽略不计。虚线MN与导轨垂直，其中MNPQ范围内有方向竖直向下、磁感应强度B＝1T的匀强磁场。质量m＝0.5kg，电阻R＝0.5Ω的两相同导体棒a与b相互靠近静止在磁场区域的左侧，某时刻给导体棒a施加水平向右的恒力F＝1N的作用，导体棒a进入磁场边界MN时，恰好做匀速运动，此时撤去a上的恒力F，同时将恒力F作用到导体棒b上，经0.3s时间a、b两导体棒相距最远。导体棒a、b与导轨始终垂直且接触良好，则（ ）
A．导体棒a距离磁场边界MN的距离为0.5m
B．导体棒a进入磁场时的速度为1m/s
C．a、b两导体棒相距最远时导体棒a的速度为0.5m/s
D．a、b两导体棒相距最远的距离为0.36m
【解答】解：AB．由导体棒切割磁场可知
导体棒在恒力作用下进入磁场的过程有
解得v0＝1m/s，x1＝0.25m
故A错误，B正确；
C．0.3s时间内导体棒b运动的位移为
代入数据解得：x2＝0.09m
t时刻导体棒b速度为
v＝0.6m/s
a、b两导体棒相距最远时va＝vb＝v
故C错误；
D．对导体棒a运用动量定理
其中
解得，速度相等时导体棒a的位移x3＝0.2m
最远距离Δx＝x3+x1﹣x2＝0.2m+0.25m﹣0.09m＝0.36m，故D正确。
故选：BD。
如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，间距为L，空间分布着磁感应强度大小为B，与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接。已知两棒的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，物块c的质量也为m，金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。
（1）将金属棒b锁定，释放金属棒a，求金属棒a的最终速度v1；
（2）物块c以2v1的速度竖直向下运动，同时释放金属棒a，求金属棒b的最终速度v2；
（3）在（2）问中，若a、b、c从开始运动经时间t到达稳定状态，求该过程中a、b产生的总焦耳热。
【解答】解：（1）金属棒b锁定，释放金属棒a，金属棒a沿轨道向下做加速运动，最终做匀速直线运动，
金属棒a做匀速直线运动时切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv1
由闭合电路的欧姆定律得I
金属棒a所受安培力F安培＝BIL
金属棒a做匀速直线运动，由平衡条件得：mgsinθ
解得：v1
（2）物块c向下运动过程，金属棒b沿导轨向上做减速运动，金属棒a向上做加速运动，最终金属棒a、b都做匀速直线运动
设金属棒a做匀速直线运动的速度为va，金属棒b做匀速直线运动的速度大小为v2，回路总感应电动势E总＝BLv2﹣BLa
由闭合电路的欧姆定律可知，回路电流I
对金属棒a，由平衡条件得：mgsinθ＝BIL
解得：v2﹣va，则v2﹣va＝v1
物块c、金属棒a、b组成的系统动量守恒，以平行于导轨向上为正方向，由动量守恒定律得：2m×2v1＝mva+2mv2
解得：va，v2
（3）以平行于斜面向上为正方向，从开始运动到达到稳定状态，对金属棒a，由动量定理得：BLt﹣mgsinθ×t＝mva﹣0
其中：qt，解得：xb﹣xa
对a、b、c组成的系统，由能量守恒定律得：mgxbmgxasinθ+mgxbsinθ+Q
解得：Q
答：（1）金属棒a的最终速度v1是；
（2）金属棒b的最终速度v2是；
（3）该过程中a、b产生的总焦耳热是。
如图所示，处于匀强磁场中水平放置的两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨MN和PQ相距L＝0.5m。导体棒ab、cd与轨道垂直并保持良好接触，它们分别在大小相等、方向垂直导体棒的外力F作用下，沿着导轨各自朝相反方向，以速度v0匀速运动。导轨上接就有阻值为1Ω的电阻R，在其两端接有电压表V，此时电压表V的读数为0.2V。已知导体棒ab、cd的电阻r均为0.5Ω，它们的质量m均为0.2kg，匀强磁场磁感应强度的大小B＝1T、方向与导轨平面垂直。
（1）问导体棒ab中的感应电流方向怎样？
（2）求导体棒ab两端的电压U；
（3）求外力F的功率P；
（4）问：若将作用在导体棒ab、cd上的外力F都撤去，则导体棒ab通过的最大位移s是多少？
【解答】解：（1）穿过abcda回路的磁通量向里增加，由楞次定律可知回路中有逆时针方向的感应电流，则导体棒ab中的感应电流方向由a指向b。
（2）对于R，有IA＝0.2A
对于abcda回路，由闭合电路欧姆定律有
解得导体棒ab产生的感应电动势：Eab＝0.2V
对于导体棒ab，有Uab＝Eab﹣Ir＝（0.2﹣0.2×0.5）V＝0.1V
（3）因为导体棒ab做匀速运动，所以有F＝F安
F安＝BIL＝1×0.2×0.5N＝0.1N，则F＝0.1N
对于导体棒ab产生的感应电动势，有Eab＝BLv0，解得v0＝0.4m/s
所以外力F的功率P＝Fv0＝0.1×0.4W＝0.04W
（4）撤去F后，ab棒水平方向仅受安培力F安作用，且安培力大小F安＝BL
对于ab棒在减速运动过程中的任一时刻，有F安＝ma，即
设从这一时刻起，ab棒运动了极短的时间Δt，则有 Δt＝ma Δt
因为Δs＝v Δt，Δv＝a Δt，可得m Δv
对于ab棒做减速运动的全过程，可以分割成一系列连续的在Δt1、Δt2、Δt3……时间内的运动，则有 m Δv1，m Δv2，m Δv3，……
推得m（Δv1+Δv2+Δv3+…）
即m（v0﹣0），解得
代入数据解得：s＝0.32m
答：（1）导体棒ab中的感应电流方向由a指向b。
（2）导体棒ab两端的电压U为0.1V；
（3）外力F的功率P是0.04W；
（4）导体棒ab通过的最大位移s是0.32m。
【模型三】无外力不等距导轨双导体棒
1、电流特点i=，随着棒1的减速、棒2的加速，回路中电流变小，最终当Bl1v1= Bl2v2时,电流为零,两棒都做匀速运动。
2、两棒的运动情况：棒1加速度变小的减速,最终匀速;棒2加速度变小的加速,最终匀速.
3、最终特征：回路中电流为零
3、两棒安培力不相等，动量不守恒。
对两棒分别用动量定理
对棒1：
对棒2：
4、结合，能量转化情况：
（多选）如图所示，两宽度不等的光滑平行金属导轨水平固定放置，窄轨间距为L、宽轨间距为2L，导体棒ab、cd分别垂直放置在两导轨上，质量均为m、电阻均为R。导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B.已知两导轨均足够长、电阻不计。现让两导体棒均以大小为v0的初速度平行于导轨水平向右运动，运动过程中棒始终与导轨垂直且接触良好，ab棒始终未滑离窄轨。在导体棒运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab的最大速度为
B．导体棒ab产生的焦耳热最多为
C．通过导体棒ab的电荷量最多为
D．回路中的最大电流为
【解答】解：A、两导体棒均以大小为v0的初速度向右运动，回路中产生逆时针方向的感应电流，cd棒受到向左的安培力而减速，ab棒受到向右的安培力而加速，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中没有感应电流，两棒不再受安培力，均做匀速运动，ab棒的速度达到最大，设此时ab棒的速度为v1，cd棒的速度为v2。取向右为正方向，根据动量定理得：
对ab棒，有 BL t＝mv1﹣mv0①
对cd棒，有﹣B 2L t＝mv2﹣mv0②
稳定时，有：BLv1＝B 2Lv2③
联立①②③解得：v1，v2④
则导体棒ab的最大速度为，故A正确；
B、导体棒ab产生的焦耳热最多为Q（2） ⑤
解得：Q，故B错误；
C、通过导体棒ab的电荷量最多为q t ⑥
由①④⑥解得：q⑦，故C正确；
D、开始时，回路感应电流最大，且为Imax，故D正确。
故选：ACD。
（多选）两根相互平行、足够长的光滑金属导轨ACD﹣A1C1D1固定于水平桌面上，左侧AC﹣A1C1轨道间距为L，右侧CD﹣C1D1轨道间距为2L，导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。如图所示，两横截面积相同、由同种金属材料制成的导体棒a、b分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒a的质量为m。某时刻导体棒a获得一个初速度v0开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a、b运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2：1
B．导体棒a、b运动稳定后的速度分别为，
C．从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到运动稳定的过程中，导体棒b产生的热量为
【解答】解：A、设导体棒a的电阻为R，则导体棒b的质量为2m、电阻为2R。导体棒a获得向右的速度后，回路产生感应电流，导体棒a受向左的安培力，开始向右做减速运动；导体棒b中电流方向与a相反，受到向右的安培力，开始向右做加速运动，同时产生与a相反的感应电动势，因此电路中总的感应电动势为：E＝BLva﹣2BLvb
当a、b产生的感应电动势大小相等时，即：BLva＝2BLvb，即：va＝2vb，电路中电流为零，此后导体棒a、b将分别以va、vb做匀速运动，达到稳定状态，两棒在相等时间内通过的位移之比是2：1，故A正确；
B、从a棒开始运动到两棒速度稳定过程中，取向右为正方向，根据动量定理，得
对导体棒a，有
对导体棒b，有
联立以上三式解得：，，故B错误；
C、由于通过导体棒的电荷量为：q，根据对a棒以上分析可得：﹣BqL＝mva﹣mv0，解得：，故C错误；
D、在整个过程中由能量守恒定律知，系统整个电路中产生的焦耳热为：Q
根据焦耳定律，由于a、b棒产生的热量之比为：，所以导体棒b产生的热量：，故D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中．质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒b稳定时的速度大小为
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
【解答】解：A、金属棒a开始向右做减速运动，金属棒b开始向右做加速运动，当两金属棒产生的感应电动势大小相等时，回路感应电流为零，金属棒不受安培力，金属棒做匀速直线运动。设达到稳定状态时，金属棒a与金属棒b的速度大小分别为v1和v2，金属棒切割磁感线产生的感应电动势，根据法拉第电磁感应定律可得：
B×2dv1＝Bdv2，解得：v2＝2v1
取向右为正方向，对a根据动量定理得：﹣B2dΔt＝2mv1﹣2mv0
对b根据动量定理得：BdΔt＝mv2
解得：v1v0，v2v0，故A错误；
B、设在两棒整个运动过程中流过金属棒a的电荷量为q。取向右为正方向，对a根据动量定理得：﹣B2dΔt＝2mv1﹣2mv0
其中：qΔt，
解得：q，故B正确；
C、设在两棒整个运动过程中，金属棒a、b在水平导轨间扫过的面积之差为ΔS，根据电荷量的计算公式可得：qt
结合B选项的结果解得：ΔS，故C错误；
D、设回路产生的总焦耳热是Q，a产生的焦耳热是Qa，由能量守恒定律得：
22Q，
两金属棒串联，根据焦耳定律可得：QaQ
解得：Qa，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成，窄轨和宽轨均处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置，a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动，且a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。下列判断正确的是（ ）
A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为
B．经过足够长的时间，a棒的速度为
C．整个过程中通过回路的电荷量为
D．整个过程中b棒产生的焦耳热为
【解答】解：A、a棒刚开始运动时，a棒产生的感应电动势为E＝B v0，由闭合电路欧姆定律得电路中的感应电流为I，
对b棒，根据牛顿第二定律得：BIL＝ma
解得b棒的加速度大小为a，故A正确；
BC、设经过足够长的时间，a、b棒的速度分别为va、vb。
经过足够长的时间，两棒产生的感应电动势大小相等，回路中没有感应电流，两棒不受安培力，均做匀速直线运动，则有B va＝BLvb
则得va＝2vb
对b棒，由动量定理得BLt＝mvb﹣0
对a棒，由动量定理得﹣Bt＝mva﹣mv0
由以上三式解得vav0，vbv0
整个过程中通过回路的电荷量为qt
联立可得q，故B正确、C错误；
D、整个过程中b棒产生的焦耳热为QbQ总
解得Qb，故D正确。
故选：ABD。
如图所示，固定光滑平行轨道abcd的水平部分处于磁感应强度大小为B方向竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为2L，cd段轨道宽度为L，bc段轨道和cd段轨道均足够长。质量为2m的导体棒P和质量为m的导体棒Q，有效电阻分别为2R和R，分别置于轨道上的ab段和cd段，且均与轨道垂直，金属棒Q原来处于静止状态。现让金属棒P从距水平轨道高为h处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其它电阻及阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）两金属棒稳定运动的速度以及通过金属棒Q的电荷量；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率。
【解答】解：（1）P棒下滑过程中，根据机械能守恒定律得
2mgh
解得P棒刚进入磁场时的速度为：v0
当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流，P棒受到向左的安培力而减速，Q棒受到向右的安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小，最终P、Q产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中的感应电流为零，两棒不再受安培力，均做匀速直线运动。
所以最终有：Ep＝EQ，即B 2LvP＝BLvQ
解得：vQ＝2vP
设P棒从进入水平轨道开始到两棒均做匀速运动所用的时间为t，取向右为正方向，对P、Q分别应用动量定理得：
对P棒：﹣（B 2L）t＝2mvp﹣2mv0
对Q棒：BL t＝mvQ﹣0
联立解得两金属棒稳定运动的速度分别为：vp，vQ
通过金属棒Q的电荷量为q t，结合BL t＝mvQ，解得：q
（2）当P、Q两棒的速度相等时，相距最近，设P棒从进入水平轨道开始到两棒共速经过的时间为t′，共同速度为v，取向右为正方向，对P、Q分别应用动量定理得：
对P棒：﹣（B 2L）t′＝2mv﹣2mv0
对Q棒：BL t′＝mv﹣0
联立解得：v
回路总的感应电动势为：E＝B 2Lv﹣BLv＝BLv＝BL
当两棒相距最近时，电路的热功率为P
解得：P
答：（1）P、Q两金属棒稳定运动的速度分别为、，通过金属棒Q的电荷量为；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率为。
【模型四】有外力不等距导轨双导体棒
某时刻两棒速度分别为，，加速度分别为，，安培力分别为，，导体长度分别为，，则， ，，经过一段时间后速度分别为，，此时电路中的电流为，从式子中可知当时，电流中电流为0，此时两导体各自匀加速。
（多选）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小
B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2
C．流过金属棒a的电流大小为
D．回路中的感应电动势保持不变大小为
【解答】解：AB、对a、b两棒整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定。设a、b两棒的加速度分别为aa、ab，则有E总＝B 2l（va+aaΔt）﹣Bl（vb+abΔt）
由于总电动势恒定，则对上式两边求变化率，有0＝2Blaa﹣Blab，则可得ab＝2aa，因此经过足够长时间后，金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2，故A错误，B正确；
C、根据受力分析，由牛顿第二定律得
对a棒有：F﹣F安a＝2maa
对B棒有：F安b＝mab
又F安b＝BIl，联立解得：。由于金属棒a，b串联，则流过a的电流大小也为，故C错误。
D、回路中的感应电动势保持不变大小为，故D正确。
故选：BD。
如图所示，M1M2与P1P2是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L1＝1m，M1M2P2P1区域内存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1T。N1N2与Q1Q2也是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L2＝0.5m，并用导线分别与M1M2、P2P1相连接，N1N2Q2Q1区域内存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2T．在M1M2P2P1区域放置导体棒G，其质量m1＝2kg、电阻R1＝1Ω、长度为L1＝1m，在N1N2Q2Q1区域内放置导体棒H，其质量m2＝1kg、电阻R2＝1Ω、长度为L2＝0.5m。刚开始时两棒都与导轨垂直放置，且导体棒H被锁定，两个区域导轨都足够长、不计电阻且棒始终与导轨接触良好。
（1）要想使导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，请写出力F与时间t的关系式；
（2）若在导体棒G上施加水平向右的F1＝5N的外力，在作用t1＝5s后达到最大速度，求此过程中导体棒G的位移大小；
（3）若导体棒G在水平向右的外力F作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，运动t2＝6s后将力F撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中导体棒H产生的热量；
（4）若开始时导体棒H即解除锁定，导体棒G一直在外力F作用下向右做a＝2m/s2的匀加速直线运动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式。
【解答】解：（1）导体棒G要做加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得
F﹣B1IL1＝m1a
由法拉第电磁感应定律得
E＝B1L1at
由闭合电路欧姆定律得
联立解得F＝t+4（N）
（2）拉力F1与安培力相等时，速度最大，设最大速度为vm，则有
F1＝B1ImL1
最大电动势为
Em＝B1L1vm
最大电流为
联立解得
vm＝10m/s
设在运动过程中平均电流为，取水平向右为正方向，对这一过程由动量定理可得
F1t1﹣B1L1t1＝m1vm
又知
由以上各式联立解得
x＝10m
（3）导体棒H解锁时导体棒G速度
v0＝at2＝2×6m/s＝12m/s
当导体棒H获得最大速度时，电路中电动势为零，则此时
B1L1v1＝B2L2v2
取水平向右为正方向，两棒组成系统动量守恒，有
m1v0＝m1v1+m2v2
电路中产生的热量
导体棒H产生的热量
联立各式代入数据可得QH＝24J
（4）当电路稳定时，电路中电流恒定，则电动势恒定，安培力恒定，两棒的加速度相同，
对导体棒H有
B2IL2＝m2a
又
联立解得
v1﹣v2＝4m/s
答：（1）力F与时间t的关系式为F＝t+4（N）；
（2）此过程中导体棒G的位移大小为10m；
（3）从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中导体棒H产生的热量为24J；
（4）电路稳定后两棒的速度满足的关系式为v1﹣v2＝4m/s。
如图甲，abcd和a′b′c′d′为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，ab段和a′b′段间距为2L，cd段和c′d′段间距为L、整个导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，bcc′b′左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，bcc′b′右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，图中t0为已知量，两根相同金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc′之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一不可伸长绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，重物离地面的高度为L，细绳处于伸直状态且与M杆垂直，t＝0时刻释放重物，同时在N杆中点处施加一水平拉力，使两杆在0～t0时间内均处于静止状态。已知M、N杆和重物的质量都为m，不计导轨电阻，重力加速度为g。
（1）求0～t0时间内回路的感应电动势E；
（2）求0～t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的函数关系式；
（3）从t0时刻开始，保持拉力F不变，若重物下落的过程中，回路产生的总热量为Q，求重物落地时N杆的速度大小v。
【解答】解：（1）0～t0时间内回路的感应电动势为
根据图乙可知
解得：
（2）根据图乙可知Bt
令0～t0时间内回路的感应电流为I，对M有：mg＝B0I 2L
对N有：F＝BIL
联立解得：Ft
（3）由Ft得，t0时刻的拉力大小
t0时刻之后，对M与重物整体受力分析有：mg﹣B0I 2L＝2ma1
t0时刻之后，对N受力分析有：F0﹣B0IL＝ma2
解得：
可知M、N的加速度大小相等，即M、N杆的速度在任意时刻大小均相等，则从t0时刻开始到重物落地的过程中有
解得：v
答：（1）0～t0时间内回路的感应电动势E为；
（2）0～t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的函数关系式为Ft；
（3）重物落地时N杆的速度大小v为。
如图所示，两根质量均为m＝2kg的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，左右两棒电阻之比为1：2，不计导轨电阻。现用250N的水平拉力F向右拉CD棒，CD棒运动s＝0.5m时其上产生的焦耳热为Q2＝30J，此时两棒速率之比为vA：vc＝1：2，现立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：
（1）在CD棒运动0.5m的过程中，AB棒上产生的焦耳热；
（2）撤去拉力F瞬间，两棒的速度大小vA和vc；
（3）撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度大小vA'和vc'。
【解答】解：（1）两棒的长度分别为l和2l，电阻分别为R和2R，由于电路在任何时刻电流均相等，根据焦耳定律Q＝I2Rt可得：
Q1：Q2＝1：2
所以AB棒的焦耳热为：Q1＝15J
（2）根据能量守恒定律有：FsQ1+Q2
又vA：vc＝1：2
联立解得：vA＝4m/s，vc＝8m/s
（3）撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，此时两棒的速度满足：BLvA′＝B 2Lvc′
即：vA′＝2vc′
取向右为正方向，对两棒分别应用动量定理，有：
Blt＝mvA′ mvA
B 2lt＝mvc′ mvc
则有：
联立以上各式解得：vA′＝6.4m/s，vc′＝3.2m/s
答：（1）在CD棒运动0.5m的过程中，AB棒上产生的焦耳热15J；
（2）撤去拉力F瞬间，AB棒的速度大小为4m/s，CD棒的速度大小为8m/s；
（3）撤去拉力F后，AB棒的速度大小为6.4m/s，CD棒的速度大小为3.2m/s。
【模型五】线框模型
如图甲所示，一正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，水平面内两条平行直线MN、QP间存在垂直水平面的匀强磁场，t＝0时，线框在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙实线所示，已知线框质量m＝1kg、电阻R＝2Ω，则（ ）
A．磁场宽度为3m
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．线框穿过QP的过程中产生的焦耳热等于4J
D．线框穿过MN的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为
【解答】解：A、t＝0时刻，F＝2N，此时线框中没有感应电流，受安培力，则线框的加速度为am/s2＝2m/s2，磁场的宽度等于线框在0﹣2s内通过的位移大小，为dm＝4m，故A错误；
B、当线框全部进入磁场的瞬间：F1﹣F安＝ma，而F安＝BI1L，I1，其中F1＝4N，t1＝1s，L，联立解得：BT，故B正确；
C、t2＝2s时，F2＝6N，此时线框的速度为v2＝at2＝2×2m/s＝4m/s。由上可得线框的边长L＝1m，设线框刚出磁场时速度为v3，则有2a（d+L），解得v3＝2m/s
设线框穿过QP的过程中F做功为W，因为在过程中F逐渐增大，F的平均值F2＝6N，则WL＞F2L＝6×1J＝6J
此过程中线框的动能增加量为ΔEkJ＝2J，则线框穿过QP的过程中产生的焦耳热Q＝W﹣ΔEk＞6J﹣2J＝4J，故C错误；
D、线框穿过MN的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为qt1CC，故D错误。
故选：B。
如图所示，纸面内的菱形金属线框ABCD以速度v0平行于AD方向匀速通过一有界的匀强磁场，磁场的边界PQ、MN相互平行，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。已知线框的电阻为R，线框的边长和磁场宽度均为L，∠A＝60°，AD⊥PQ，下列说法正确的是（ ）
A．A点离开磁场后线框内的感应电流沿顺时针方向
B．线框内感应电动势的最大值为
C．此过程中穿过线框的磁通量的最大值为
D．线框穿过磁场的整个过程中回路的最大热功率为
【解答】解：A、线框的A点离开磁场后，穿过线框的磁通量先增大后减小，磁场方向是垂直纸面向里，由楞次定律可知，线框中的感应电流的方向是先沿逆时针方向，后沿顺时针方向，故A错误；
B、从B点进入磁场到D点进入磁场的过程中线框内的感应电动势最大，感应电动势的最大值为，故B错误；
C、当线框到如图所示的位置时
穿过线框的磁通量最大，此时A点和C点到磁场边界MN和PQ的距离相等，所以穿过线框的磁通量的最大值，故C正确；
D、回路中感应电动势最大时热功率最大，有，故D错误；
故选：C。
如图所示，间距为d的两水平虚线之间有方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场，正方形金属线框abcd的边长为l（l＜d）。线框从ab边距磁场上边界h处自由下落，下落过程中线框始终在竖直平面内且ab边保持水平。已知ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间及dc边离开磁场瞬间线框的速度均相同。设线框进入磁场的过程中产生的热量为Q1，离开磁场的过程中产生的热量为Q2。不计空气阻力，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设正方形线框的质量为m，据题知，ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间线框的速度相同，由能量守恒定律知线框进入磁场的过程中产生的热量Q1＝mgl
又因为ab边进入磁场瞬间、dc边离开磁场瞬间线框的速度相同，由能量守恒定律知整个过程线框产生的热量为Q1+Q2＝mg（d+l）
联立解得Q2＝mgd，所以，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L。有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上下边界的距离、导线框竖直边长均为h。初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．导线框进入磁场时的速度为
B．导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，则加速度为ag
C．导线框穿出磁场时的速度为
D．导线框通过磁场的过程中产生的热量Q＝5mgh
【解答】解：A、线框进入磁场前，根据重物与线框组成的机械能守恒得（3mg﹣mg） 2h（3m+m）v2，解得线框进入磁场时的速度v，故A错误；
B、线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，对整体，根据牛顿第二定律得3mg﹣mg（3m+m）a，解得：ag，故B正确；
C、线框在磁场中匀速运动时，根据平衡条件得：3mg﹣mg＝F安，而F安，解得，线框进入磁场时的速度为：v，线框的高度与磁场的高度相等，线框达到匀速运动后直到离开磁场的过程都做匀速直线运动，所以线框穿出磁场时的速度为v，故C错误；
D、设线框通过磁场的过程中产生的热量为Q．对从静止到刚通过磁场的过程，根据能量守恒得：Q＝（3mg﹣mg） 4h（3m+m）v2，将v代入得：Q＝8mgh，故D错误。
故选：B。
（多选）如图甲所示，为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力刹车装置，磁性很强的钕磁铁安装在轨道上，正方形金属线框安装在过山车底部．过山车返回站台前的运动情况可简化为图乙所示的模型．初速度为v0的线框abcd沿斜面加速下滑s后，bc边进入匀强磁场区域，此时线框开始减速，bc边出磁场区域时，线框恰好做匀速直线运动．已知线框边长为l、匝数为n、总电阻为r，斜面与水平面的夹角为θ．过山车的总质量为m，所受摩擦阻力大小恒为f，磁场区域上下边界间的距离为l，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g．则下列说法正确的是（ ）
A．线框刚进入磁场时，从线框上方俯视，感应电流的方向为顺时针方向
B．线框刚进入磁场时，感应电流的大小为
C．线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为零
D．线框穿过磁场过程中产生的焦耳热为（mgsinθ﹣f）（s+2l）m
【解答】解：A、线框刚进入磁场上时，穿过线框的磁通量向上增加，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向（从斜面上方俯视线框），故A正确；
B、设线框刚进入磁场时的速度大小为v1，线框自由下滑过程中，根据动能定理可得：（mgsinθ﹣f）s；
线框刚进入磁场时，产生的感应电动势为E＝nBlv0，根据闭合电路的欧姆定律可得：I
联立解得：I，故B正确；
C、线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为q Δtn，因为线框穿过磁场的过程中，ΔΦ＝0，则通过线框横截面的电荷量为q＝0，故C正确；
D、线框离开磁场时的速度大小为v2，根据平衡条件可得：nBI′l＝mgsinθ﹣f
又I′
根据功能关系可得线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为：Q＝（mgsinθ﹣f）（s+2l）
联立解得：Q＝（mgsinθ﹣f）（2s+2l）m，故D错误。
故选：ABC。
如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L（d＜L＜2d）的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求
（1）ab边刚好进入分界面P时，a、b两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；
（2）ab边刚好到达分界面Q时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；
（3）要想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。
【解答】解：（1）导体棒切割磁感线：E＝BLv0
a点电势高于b点电势，则由串联电路电压的关系有：
根据欧姆定律：
所受安培力：F安＝BIL
根据牛顿第二定律：
解得：
（2）ab边从分界面P运动到分界面Q，由法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电动势：
根据欧姆定律：
对线框abcd由动量定理得：
又根据题意有：
而竖直方向上有：
所以下落的高度：
由于动能没增加，所以根据能量守恒定律得：Q＝mgh
解得：
（3）线框最终能竖直下落的临界条件为cd边运动到分界面N时水平速度为零，此时磁感应强度最小。从开始进入磁场到最终出磁场过程中，线圈中有感应电流的阶段为：
①ab边切割，运动的水平距离为d
②cd边切割，运动的水平距离为2d﹣L
③ab边、cd边都切割，运动的水平距离为L﹣d
④ab边切割，运动的水平距离为2d﹣L
⑤cd边切割，运动的水平距离为d
一个边切割的总水平距离为6d﹣2L，此过程中安培力的冲量为：I1；
两个边同时切割的总水平距离为L﹣d，此过程中安培力的冲量为：I2；
对线框abcd水平方向全程应用动量定理得：I1+I2＝0﹣mv0
解得：
答：（1）a、b两点间的电势差大小为，线框加速度的大小为；
（2）线框产生的焦耳热为（），以及下落的距离为（）；
（3）要想线框最终能竖直下落，磁感应强度的最小值为。
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专题20 电磁感应中的双导体棒和线框模型
[模型导航]
【模型一】无外力等距双导体棒 1
【模型二】有外力等距双导体棒 2
【模型三】无外力不等距导轨双导体棒 5
【模型四】有外力不等距导轨双导体棒 8
【模型无】线框模型 11
[模型分析]
【模型一】无外力等距双导体棒
【模型如图】
1．电路特点
棒2相当于电源；棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.
2．电流特点：
随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度变小，回路中电流也变小。
时：电流最大，。 时：电流
3．两棒的运动情况
安培力大小：
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。
4．两个规律
(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,
系统动量守恒.
(2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）
两棒产生焦耳热之比：；
5．几种变化：
(1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3)两棒都有初速度（两棒动量守恒吗？）
(4)两棒位于不同磁场中（两棒动量守恒吗？）
如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
如图所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，质量均为m、电阻分别为R、r的导体棒MN、PQ垂直静止于平行导轨上，与导轨构成矩形闭合回路，某时刻给导体棒MN一个水平向右的瞬时冲量I，不考虑导轨的电阻，则从此时至PQ达到最大速度的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．导体棒PQ做加速度增大的加速运动
B．通过导体棒MN的电量为
C．两导体棒的相对距离减小量为
D．导体棒MN产生的焦耳热为
如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（ ）
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
C．MN棒产生的焦耳热为
D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为
（多选）如图所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，铜棒a，b的长度均等于导轨间距，a，b两棒的电阻不为零，质量均为m，铜棒平行放置在导轨上且始终与导轨接触良好。现给铜棒a一个平行导轨向右的初速度v0，下列说法正确的是（ ）
A．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则最终va＜vb
B．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则最终va＜vb
C．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则回路中产生的总焦耳热为
D．若此后运动过程中两棒发生弹性碰撞，则回路中产生的总焦耳热为
如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。导轨间有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，金属杆M以初速度v0向右运动，金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M、N材料相同且粗细均匀，两金属杆的长度为L，质量均为m，每根金属棒的电阻都是R，导轨的电阻忽略不计，忽略感应电流产生的磁场，两金属杆始终未相撞。
（1）M、N的最终速度和金属棒M产生的焦耳热Q；
（2）M、N之间的最小距离x；
（3）若将金属杆M的质量变成原来的k倍，金属杆的材料和长度不变，仍在原位置以相同初速度v0向右运动，求M、N不相撞的最小距离x1。
【模型二】有外力等距双导体棒
【模型如图】
1．电路特点：棒2相当于电源，棒1受安培力而起动.
2．运动分析：某时刻回路中电流：
安培力大小：。棒1： 棒2：
最初阶段，, 只要,；；；；
当时，恒定，恒定，恒定，两棒匀加速
3．稳定时的速度差
，，，，
如图所示，两根足够长、电阻不计的竖直平行光滑金属导轨相距为L，金属棒M、N紧挨着，但不接触，初始时两棒在外力作用下垂直于导轨静止。金属棒的质量均为m，N棒的阻值为R，M棒的阻值为2R。整个装置处于水平向外的匀强磁场中，磁场范围足够大，磁感应强度大小为B。某时刻，突然撤掉初始外力，同时以向上的恒力F＝2mg拉M棒，并由静止释放N棒。当N棒运动的位移为H时，它的速度恰好达到稳定。设棒与导轨始终垂直并保持良好接触，重力加速度为g，在变速运动的过程中，问：
（1）上述过程中，通过N棒的某横截面的电量q；
（2）N棒的最大速度vm；
（3）上述过程中，整个电路产生的焦耳热Q。
（多选）如图所示，间距L＝0.5m的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，斜面倾角θ＝37°。区域Ⅰ、Ⅱ分别以PQ、MN为边界，均存在垂直于斜面向上的磁场，Ⅰ区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场，磁感应强度B2＝0.5T，PQ与MN之间为无磁场区域。质量m＝0.1kg、电阻R＝2Ω的导体棒垂直于导轨放置，从两磁场之间的无磁场区域由静止释放，经过t＝2s进入Ⅱ区恰好匀速下滑。运动中棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻不计。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6。则下列说法正确的是（ ）
A．进入Ⅱ区后，导体棒中的电流I＝2.4A
B．无磁场区域的面积至少为12m2
C．前2s导体棒产生的焦耳热Q＝3.24J
D．若Ⅰ区磁场面积为2m2，则Ⅰ区的磁感应强度随时间变化的表达式为B＝0.9t（T）
（多选）如图，固定在水平面上的两条足够长光滑平行金属导轨，导轨间的距离d＝1m，导轨电阻忽略不计。虚线MN与导轨垂直，其中MNPQ范围内有方向竖直向下、磁感应强度B＝1T的匀强磁场。质量m＝0.5kg，电阻R＝0.5Ω的两相同导体棒a与b相互靠近静止在磁场区域的左侧，某时刻给导体棒a施加水平向右的恒力F＝1N的作用，导体棒a进入磁场边界MN时，恰好做匀速运动，此时撤去a上的恒力F，同时将恒力F作用到导体棒b上，经0.3s时间a、b两导体棒相距最远。导体棒a、b与导轨始终垂直且接触良好，则（ ）
A．导体棒a距离磁场边界MN的距离为0.5m
B．导体棒a进入磁场时的速度为1m/s
C．a、b两导体棒相距最远时导体棒a的速度为0.5m/s
D．a、b两导体棒相距最远的距离为0.36m
如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，间距为L，空间分布着磁感应强度大小为B，与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接。已知两棒的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，物块c的质量也为m，金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。
（1）将金属棒b锁定，释放金属棒a，求金属棒a的最终速度v1；
（2）物块c以2v1的速度竖直向下运动，同时释放金属棒a，求金属棒b的最终速度v2；
（3）在（2）问中，若a、b、c从开始运动经时间t到达稳定状态，求该过程中a、b产生的总焦耳热。
如图所示，处于匀强磁场中水平放置的两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨MN和PQ相距L＝0.5m。导体棒ab、cd与轨道垂直并保持良好接触，它们分别在大小相等、方向垂直导体棒的外力F作用下，沿着导轨各自朝相反方向，以速度v0匀速运动。导轨上接就有阻值为1Ω的电阻R，在其两端接有电压表V，此时电压表V的读数为0.2V。已知导体棒ab、cd的电阻r均为0.5Ω，它们的质量m均为0.2kg，匀强磁场磁感应强度的大小B＝1T、方向与导轨平面垂直。
（1）问导体棒ab中的感应电流方向怎样？
（2）求导体棒ab两端的电压U；
（3）求外力F的功率P；
（4）问：若将作用在导体棒ab、cd上的外力F都撤去，则导体棒ab通过的最大位移s是多少？
【模型三】无外力不等距导轨双导体棒
1、电流特点i=，随着棒1的减速、棒2的加速，回路中电流变小，最终当Bl1v1= Bl2v2时,电流为零,两棒都做匀速运动。
2、两棒的运动情况：棒1加速度变小的减速,最终匀速;棒2加速度变小的加速,最终匀速.
3、最终特征：回路中电流为零
3、两棒安培力不相等，动量不守恒。
对两棒分别用动量定理
对棒1：
对棒2：
4、结合，能量转化情况：
（多选）如图所示，两宽度不等的光滑平行金属导轨水平固定放置，窄轨间距为L、宽轨间距为2L，导体棒ab、cd分别垂直放置在两导轨上，质量均为m、电阻均为R。导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B.已知两导轨均足够长、电阻不计。现让两导体棒均以大小为v0的初速度平行于导轨水平向右运动，运动过程中棒始终与导轨垂直且接触良好，ab棒始终未滑离窄轨。在导体棒运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab的最大速度为
B．导体棒ab产生的焦耳热最多为
C．通过导体棒ab的电荷量最多为
D．回路中的最大电流为
（多选）两根相互平行、足够长的光滑金属导轨ACD﹣A1C1D1固定于水平桌面上，左侧AC﹣A1C1轨道间距为L，右侧CD﹣C1D1轨道间距为2L，导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。如图所示，两横截面积相同、由同种金属材料制成的导体棒a、b分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒a的质量为m。某时刻导体棒a获得一个初速度v0开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a、b运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2：1
B．导体棒a、b运动稳定后的速度分别为，
C．从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到运动稳定的过程中，导体棒b产生的热量为
（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中．质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒b稳定时的速度大小为
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
（多选）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成，窄轨和宽轨均处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置，a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动，且a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。下列判断正确的是（ ）
A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为
B．经过足够长的时间，a棒的速度为
C．整个过程中通过回路的电荷量为
D．整个过程中b棒产生的焦耳热为
如图所示，固定光滑平行轨道abcd的水平部分处于磁感应强度大小为B方向竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为2L，cd段轨道宽度为L，bc段轨道和cd段轨道均足够长。质量为2m的导体棒P和质量为m的导体棒Q，有效电阻分别为2R和R，分别置于轨道上的ab段和cd段，且均与轨道垂直，金属棒Q原来处于静止状态。现让金属棒P从距水平轨道高为h处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其它电阻及阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）两金属棒稳定运动的速度以及通过金属棒Q的电荷量；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率。
【模型四】有外力不等距导轨双导体棒
某时刻两棒速度分别为，，加速度分别为，，安培力分别为，，导体长度分别为，，则， ，，经过一段时间后速度分别为，，此时电路中的电流为，从式子中可知当时，电流中电流为0，此时两导体各自匀加速。
（多选）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小
B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2
C．流过金属棒a的电流大小为
D．回路中的感应电动势保持不变大小为
如图所示，M1M2与P1P2是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L1＝1m，M1M2P2P1区域内存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1T。N1N2与Q1Q2也是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L2＝0.5m，并用导线分别与M1M2、P2P1相连接，N1N2Q2Q1区域内存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2T．在M1M2P2P1区域放置导体棒G，其质量m1＝2kg、电阻R1＝1Ω、长度为L1＝1m，在N1N2Q2Q1区域内放置导体棒H，其质量m2＝1kg、电阻R2＝1Ω、长度为L2＝0.5m。刚开始时两棒都与导轨垂直放置，且导体棒H被锁定，两个区域导轨都足够长、不计电阻且棒始终与导轨接触良好。
（1）要想使导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，请写出力F与时间t的关系式；
（2）若在导体棒G上施加水平向右的F1＝5N的外力，在作用t1＝5s后达到最大速度，求此过程中导体棒G的位移大小；
（3）若导体棒G在水平向右的外力F作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，运动t2＝6s后将力F撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中导体棒H产生的热量；
（4）若开始时导体棒H即解除锁定，导体棒G一直在外力F作用下向右做a＝2m/s2的匀加速直线运动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式。
如图甲，abcd和a′b′c′d′为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，ab段和a′b′段间距为2L，cd段和c′d′段间距为L、整个导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，bcc′b′左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，bcc′b′右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，图中t0为已知量，两根相同金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc′之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一不可伸长绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，重物离地面的高度为L，细绳处于伸直状态且与M杆垂直，t＝0时刻释放重物，同时在N杆中点处施加一水平拉力，使两杆在0～t0时间内均处于静止状态。已知M、N杆和重物的质量都为m，不计导轨电阻，重力加速度为g。
（1）求0～t0时间内回路的感应电动势E；
（2）求0～t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的函数关系式；
（3）从t0时刻开始，保持拉力F不变，若重物下落的过程中，回路产生的总热量为Q，求重物落地时N杆的速度大小v。
如图所示，两根质量均为m＝2kg的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，左右两棒电阻之比为1：2，不计导轨电阻。现用250N的水平拉力F向右拉CD棒，CD棒运动s＝0.5m时其上产生的焦耳热为Q2＝30J，此时两棒速率之比为vA：vc＝1：2，现立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：
（1）在CD棒运动0.5m的过程中，AB棒上产生的焦耳热；
（2）撤去拉力F瞬间，两棒的速度大小vA和vc；
（3）撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度大小vA'和vc'。
【模型五】线框模型
如图甲所示，一正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，水平面内两条平行直线MN、QP间存在垂直水平面的匀强磁场，t＝0时，线框在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙实线所示，已知线框质量m＝1kg、电阻R＝2Ω，则（ ）
A．磁场宽度为3m
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．线框穿过QP的过程中产生的焦耳热等于4J
D．线框穿过MN的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为
如图所示，纸面内的菱形金属线框ABCD以速度v0平行于AD方向匀速通过一有界的匀强磁场，磁场的边界PQ、MN相互平行，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里。已知线框的电阻为R，线框的边长和磁场宽度均为L，∠A＝60°，AD⊥PQ，下列说法正确的是（ ）
A．A点离开磁场后线框内的感应电流沿顺时针方向
B．线框内感应电动势的最大值为
C．此过程中穿过线框的磁通量的最大值为
D．线框穿过磁场的整个过程中回路的最大热功率为
如图所示，间距为d的两水平虚线之间有方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场，正方形金属线框abcd的边长为l（l＜d）。线框从ab边距磁场上边界h处自由下落，下落过程中线框始终在竖直平面内且ab边保持水平。已知ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间及dc边离开磁场瞬间线框的速度均相同。设线框进入磁场的过程中产生的热量为Q1，离开磁场的过程中产生的热量为Q2。不计空气阻力，则（ ）
A． B． C． D．
如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L。有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上下边界的距离、导线框竖直边长均为h。初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．导线框进入磁场时的速度为
B．导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为v，则加速度为ag
C．导线框穿出磁场时的速度为
D．导线框通过磁场的过程中产生的热量Q＝5mgh
（多选）如图甲所示，为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力刹车装置，磁性很强的钕磁铁安装在轨道上，正方形金属线框安装在过山车底部．过山车返回站台前的运动情况可简化为图乙所示的模型．初速度为v0的线框abcd沿斜面加速下滑s后，bc边进入匀强磁场区域，此时线框开始减速，bc边出磁场区域时，线框恰好做匀速直线运动．已知线框边长为l、匝数为n、总电阻为r，斜面与水平面的夹角为θ．过山车的总质量为m，所受摩擦阻力大小恒为f，磁场区域上下边界间的距离为l，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g．则下列说法正确的是（ ）
A．线框刚进入磁场时，从线框上方俯视，感应电流的方向为顺时针方向
B．线框刚进入磁场时，感应电流的大小为
C．线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为零
D．线框穿过磁场过程中产生的焦耳热为（mgsinθ﹣f）（s+2l）m
如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d，P、Q之间充满竖直向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。在分界面P的左侧有一边长为L（d＜L＜2d）的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为d。线框以水平初速度v0飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v0。已知线框由同种规格导线制成，总质量为m，总电阻为R，重力加速度为g。求
（1）ab边刚好进入分界面P时，a、b两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；
（2）ab边刚好到达分界面Q时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；
（3）要想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。
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