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专题03 与斜面有关的模型
[模型导航]
【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型 1
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型 6
【模型三】物体在斜面上自由运动的性质 11
【模型四】斜面模型的衍生模型——“等时圆”模型 15
1.“光滑斜面”模型常用结论 15
2.“等时圆”模型及其等时性的证明 15
【模型五】功能关系中的斜面模型 19
[模型分析]
【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型
【模型构建】1.如图所示，一个质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上。
1.试分析m受摩擦力的大小和方向
【解析】：假设斜面光滑，那么物体将在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。说明物体有沿斜面向下运动的趋势，物体一定受到沿斜面向上的静摩擦力作用。由平衡条件易得：
2.若斜面上放置的物体沿着斜面匀速下滑时，判断地面对静止斜面有无摩擦力。
【解析】：因地面对斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面体水平方向合力是否为零即可。斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物体A对斜面的压力N和摩擦力f。若设物体A的质量为m，则N和f的水平分量分别为
，方向向右，，方向向左。
可见斜面在水平方向所受合力为零。无左右运动的趋势，地面对斜面无摩擦力作用。
3.如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。
设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。
.当时斜面对物块无静摩擦力
.当时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最大值F1时，由平衡条件可得：F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).当时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0时突变为(2)中的情形，随着F的减小静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最小值F2时，由平衡条件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=( F2-F1)/2.
如图甲所示，倾角为α的斜面固定在水平地面上，斜面上一木块受到与斜面底边平行的力F的作用，当力F逐渐增大时，木块所受的摩擦力f和力F的大小关系如图乙所示。若木块的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中f1、f2、F1均为已知量，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．木块的质量可表示为
B．木块与斜面间的动摩擦因数可表示为tanα
C．F小于F1时木块所受的摩擦力与斜面底边垂直且沿斜面向上
D．F大于F1后木块做直线运动
【解答】解：A、将木块所受重力分解为垂直于斜面方向和沿斜面方向的两个分力，木块在斜面平面内的受力有：沿斜面向下的下滑分力mgsinα、水平方向的力F和斜面给木块的静摩擦力，根据平衡条件得：f，当F＝0时，由题图乙可知：f1＝mgsinα，所以木块的质量：m，故A错误；
B、当木块刚要运动时，静摩擦力达到最大静摩擦力，有：f2＝μmgcosα，则：μ，又：m，所以：μ，故B正确；
C、F小于F1时，摩擦力小于最大静摩擦力，则木块保持静止状态，静摩擦力方向与F和重力的下滑分力mgsinα的合力方向相反，不与斜面底边垂直，故C错误；
D、F大于F1后木块将运动，所受滑动摩擦力方向与木块运动方向相反，不会改变速度方向；重力下滑分力mgsinα大小不变，但力F一直增大，所以F与重力下滑分力mgsinα的合力方向不断变化，造成其方向与速度方向不在一条直线上，木块做曲线运动，故D错误。
故选：B。
顶端装有滑轮的粗糙斜面固定在地面上，A、B两物体通过细绳如图连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于悬挂的物体B上，使其缓慢拉动一小角度，发现A物体仍然静止。则在此过程中说法不正确的是（ ）
A．水平力F一定变大
B．物体A所受斜面给的摩擦力一定变大
C．物体A所受斜面给的支持力一定不变
D．细绳对物体A的拉力一定变大
【解答】解：AD、对物块B受力分析，如图所示，
由平衡条件得：F＝mgtanθ
T
当B被拉动一个小角度后，θ增大，则力F增大，T增大，则细绳对物体A的拉力T增大，故AD正确；
B、A受到斜面的摩擦力根据初始状态的不同，可能增大也可能减小，故B错误；
C、对A物体受力分析，由平衡条件得，斜面对A的支持力等于重力垂直于斜面方向的分析，缓慢拉动物体B，对A所受的支持力没有影响，支持力不变，故C正确；
本题要求选错误的，
故选：B。
如图所示，顶端装有定滑轮的粗糙斜面体放在水平地面上，A、B两物体跨过滑轮通过轻绳连接，整个装置处于静止状态（不计轻绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于物体A上，缓慢拉动A，最终左侧的细线与竖直方向的夹角为30°，斜面体与物体B一直保持静止。下列说法一定正确的是（ ）
A．上述过程中，地面对斜面体的作用力一直保持不变
B．上述过程中，拉力F和轻绳对物体A的拉力一直变大，斜面体受到地面的摩擦力和B受到斜面体的摩擦力也一直增大
C．上述过程中，当与A相连的绳子与竖直方向的夹角为30°时，改变拉力F，使拉力F的方向沿顺时针方向缓慢转动90°并维持A静止，这个过程中地面对斜面体的摩擦力和支持力一直减小
D．上述过程中，当与A相连的绳子与竖直方向的夹角为30°时，改变拉力F，使拉力F的方向沿顺时针方向缓慢转动90°并维持A静止，这个过程中拉力F一直减小
【解答】解：A．设左侧细线与竖直方向夹角为θ，细绳拉力为T，对物体A受力分析，设物体A质量为m，根据平衡条件，，F＝mgtanθ
随θ增大，拉力F和轻绳对物体A的拉力一直变大
对斜面体和物体A、B构成的整体受力分析，设AB整体质量为m总，根据平衡条件
斜面体受到地面的支持力FN＝m总g
斜面体受到地面的摩擦力f＝F
拉力一直变大，斜面体受到地面的摩擦力也一直在增大，地面对斜面体的作用力为支持力和摩擦力的合力，故地面对斜面体的作用力增大，故A错误；
B．对物体B受力分析，由于物体AB质量关系不确定，初始时物体B受到斜面的摩擦力的大小和方向不确定，B与斜面体之间的摩擦力变化情况也不确定，故B错误；
C．当与A相连的绳子与竖直方向的夹角为30°时，改变拉力F，使拉力F的方向沿顺时针方向缓慢转动90°的过程中，设转动的角度为α
对斜面体、物体A、B的整体受力分析，由平衡条件
Fcosα＝f
FN＝m总g﹣Fsinα
随α的增大，地面对斜面体的摩擦力和支持力一直减小，故C正确；
D．该过程中，对物体A受力分析，其所受的重力、细绳的拉力、拉力F应能构成矢量三角形，如图
由此可知这个过程中拉力F先减小后增大，故D错误。
故选：C。
（多选）如图所示，A是一质量为m的盒子，B的质量为，它们间用轻绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为α＝15°的斜面上，B悬于斜面之外，整个系统处于静止状态。现在向A中缓慢地加入沙子，直至A将要滑动的过程中（ ）
A．绳子拉力逐渐增大
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力逐渐增大
D．A所受的摩擦力先减小后反向增大
【解答】解：A、对B受力分析，根据平衡条件得，绳上拉力Tmg，向A中缓慢地加入沙子，绳子拉力保持不变，故A错误；
B、对A和沙子受力分析，设沙子的质量为m′，由平衡条件得：N＝（m+m′）gcosα
由牛顿第三定律得，A对斜面的压力N′＝N＝（m+m′）gcosα
随沙子的质量增大，A对斜面的压力逐渐增大，故B正确；
CD、未加入沙子时，绳上拉力mg＞mgsin15°，A受到沿斜面向上的摩擦力，加入沙子后，由平衡条件得：（m+m′）sin15°+f＝T
随沙子质量增大，摩擦力逐渐减小，减到零后反向增大，达到最大静摩擦力后，A相对斜面发生滑动，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，物体A、B的质量分别为mA、mB，且mA＞mB．二者用细绳连接后跨过定滑轮，A静止在倾角θ＝30°的斜面上，B悬挂着，且斜面上方的细绳与斜面平行．若将斜面倾角θ缓慢增大到45°，物体A仍保持静止．不计滑轮摩擦．则下列判断正确的是（ ）
A．物体A受细绳的拉力可能增大
B．物体A受的静摩擦力可能增大
C．物体A对斜面的压力可能增大
D．物体A受斜面的作用力减小
【解答】解：A、斜面倾角增大过程中，物体B始终处于平衡状态，因此绳子拉力大小始终等于物体B重力的大小，而定滑轮不省力，则物体A受细绳的拉力保持不变，故A错误。
B、由题可知，开始时A静止在倾角为30°的斜面上，A重力沿斜面的分力可能大于绳子的拉力，摩擦力沿斜面向上，随着角度增大，重力沿斜面的分力逐渐增大，而绳子拉力不变，A受到的静摩擦力将增大，故B正确；
C、物体A对斜面的压力为：FN＝mAgcosθ，随着θ的增大，cosθ减小，因此物体A对斜面的压力将减小，故C错误。
D、A受到三个力的作用而平衡，分别是重力、绳子的拉力和斜面的作用力（是支持力和静摩擦力的合力），重力和拉力不变，当θ不断变大时，重力和拉力的合力变小，故物体A受斜面的作用力减小。故D正确。
故选：BD。
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型
【模型要点】1.质点系牛顿定律
加速度不同时整体法的应用，大多数情况下，当两物体加速度相同时才考虑整体法，加速度不同时，考虑隔离法。实际上加速度不同时，也可以用整体法，只是此时整体法的含义有所改变。当两个或两个以上物体以不同形式连接，构成一个系统，且系统内各物体加速度不相同时，牛顿第二定律照样能应用于整体。若质量为m1，m2，…，mn的物体组成系统，它们的加速度分别为a1，a2，…，an，牛顿第二定律可写为
或
其意义为系统受的合外力等于系统内的每一个物体受的合外力的矢量和，或某个方向上，系统受的合外力等于系统内的每一个物体在这个方向上受的合外力的矢量和。
2.自由释放的滑块能在斜面上匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．
3．自由释放的滑块在斜面上：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零；
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．
4．自由释放的滑块在斜面上匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零．
5．悬挂有物体的小车在斜面上滑行：
(1)向下的加速度a＝gsin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上；
(3)向下的加速度a＜gsin θ时，悬绳将偏离垂直方向向下．
（2023 全国）如图，在置于水平地面的楔状物体P的斜面上有一小物块Q，Q受水平外力F的作用。已知P和Q始终保持静止，则（ ）
A．增加P的质量，P与地面间摩擦力的大小一定增加
B．增加外力F的大小，P与地面间摩擦力的大小一定增加
C．增加Q的质量，P与Q间摩擦力的大小一定增加
D．增加外力F的大小，P与Q间摩擦力的大小一定增加
【解答】解：AB、P和Q始终保持静止，根据整体法，整体受力如图：
水平方向平衡，f＝F，故增加P的质量，P与地面间摩擦力的大小不变，增加外力F的大小，P与地面间摩擦力的大小一定增加，故A错误，B正确；
CD、由于不确定F沿斜面向上分量与Q的重力沿斜面向下分量的关系，故P与Q间摩擦力的大小变化不能确定，故CD错误。
故选：B。
（多选）如图，一倾角α＝37°的直角斜面体固定在水平面上，AB面光滑，AC面粗糙。一不可伸长的轻绳一端与静止在斜面AC上、质量为M的物体Q相连，另一端跨过光滑定滑轮与AB面上的轻弹簧相连，弹簧处于原长，绳与两斜面均平行。现将一质量为m的球P与弹簧下端相连，并由静止释放，小球在ab间运动，当小球运动到b点时，物体Q受到的摩擦力恰好为零。重力加速度g取10m/s2，物体Q始终处于静止状态，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列判断正确的是（ ）
A．2M＝3m
B．M＝3m
C．小球由静止释放到回到a的过程中，物体Q受到的摩擦力一直减小
D．小球在a点时Q受的摩擦力大小等于0.8Mg，方向沿斜面向上
【解答】解：AB、根据小球的受力特点可知小球在ab间做简谐运动，在a点对小球分析可知，小球的回复力为F＝mgsin37°，当小球运动到点时，设此时弹簧的弹力为FT，根据对称性，对小球分析有FT﹣mgsin37°＝mgsin37°，对物体Q，根据平衡条件有FT＝Mgsin53°，联立解得2M＝3m，故A正确，B错误；
CD、根据题意，对物块Q分析，小球在a点时Q受的摩擦力大小：f＝Mgsin53°＝0.8Mg，方向沿斜面向上；
当小球运动起来后，有FT'+f'＝Mgsin53°，则小球由静止释放达到b的过程中，弹簧弹力逐渐增大，当小球运动到b点时，物体Q受到的摩擦力恰好为零，此过程中Q受到的摩擦力逐渐减小；小球有b到a运动过程中，弹簧弹力逐渐减小，则Q受到的摩擦力逐渐增大。
由此可知，小球由静止释放到回到a的过程中，物体Q受到的摩擦力先减小后增大，故C错误、D正确。
故选：AD。
如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一质量为m的小车在沿斜面向下的外力F作用下沿斜面下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球（质量也为m）的轻绳恰好水平。则外力F的大小为（重力加速度为g）（ ）
A．mg B．2mg C．2.5mg D．3mg
【解答】解：小车和小球一起沿斜面加速下滑，二者有相同的加速度。
对小球进行受力分析，小球受到水平拉力、重力的作用，如图所示，
其合力一定沿斜面向下，且大小 F合2mg
对小球，根据牛顿第二定律有 F合＝ma，得 a＝2g
对整体进行受力分析，在沿斜面方向上由牛顿第二定律可得：F+2mgsin30°＝2ma
可得：F＝3mg，故D正确，ABC错误。
故选：D。
如图所示，固定在水平面上的斜面体C放有一个斜劈A，A的上表面水平且放有物块B．若AB运动中始终保持相对静止。以下说法正确的是（ ）
A．若C斜面光滑，A和B由静止释放，在向下运动时，B物块可能只受两个力作用
B．若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B处于超重状态
C．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B受水平向左的摩擦力
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B处于超重状态
【解答】解：A、若C斜面光滑，A和B由静止释放，在向下运动时，B物块的加速度方向沿斜面向下，故合力方向沿斜面向下，故B受支持力，重力和摩擦力三个力作用，故A错误；
B、若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑时，B物块的加速度方向沿斜面向下，处于失重状态，故B错误；
C、若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B受的合力方向沿斜面向下，故B受到水平向左的摩擦力，故C正确；
D、若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B受的合力方向沿斜面向下，加速度方向沿斜面向下，则B处于失重状态，故D错误；
故选：C。
（多选）如图所示，静止在水平地面上倾角为θ上表面光滑的斜面体上，有一斜劈A，A的上表面水平且放有一斜劈B，B的上表面上有一物块C，A、B、C一起沿斜面匀加速下滑。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．A、B间摩擦力为零
B．C可能只受两个力作用
C．A加速度大小为gsinθ
D．斜面体受到地面的摩擦力为零
【解答】解：A、对B、C整体受力分析，受重力、支持力，B、C沿斜面匀加速下滑，则A、B间摩擦力不为零，BC在水平方向有向左的加速度，则B受A对它的向左的摩擦力，故A错误；
BC、选A、B、C整体为研究对象，根据牛顿第二定律可知3mgsinθ＝3ma，解得A加速度大小为：a＝gsin θ；
取C为研究对象，当斜劈B的倾角也为θ时，C只受重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律可知加速度为ac＝gsinθ，故物块C可能只受两个力作用，故BC正确
D、斜面对A的作用力垂直斜面向上，则A对斜面的作用力垂直斜面向下，这个力可分解为水平和竖直的两个分力，故斜面具有向右相对运动的趋势，斜面受到地面的摩擦力水面向左，故D错误。
故选：BC。
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B处于超重状态
【模型三】物体在斜面上自由运动的性质
斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。
对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力、支持力、动摩擦力，由于支持力，则动摩擦力，而重力平行斜面向下的分力为，所以当时，物体沿斜面匀速下滑，由此得，亦即。
1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。
当时，物体沿斜面加速速下滑，加速度；
当时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；
当时，物体若无初速度将静止于斜面上；
2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：
3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：
上冲过程加速度大小为：
如图（a），一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v t图线如图（b）所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则不可求出（ ）
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
【解答】解：由图b可知，物体先向上减速到达最高时再向下加速度；图象与时间轴围成的面积为物体经过的位移，故可出物体在斜面上的位移；
图象的斜率表示加速度，上升过程及下降过程加速度均可求，上升过程有：mgsinθ+μmgcosθ＝ma1；下降过程有：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma2；两式联立可求得斜面倾角及动摩擦因数；
但由于m均消去，故无法求得质量；因已知上升位移及夹角，则可求得上升的最大高度；
本题选择不能求出的；故选：B。
一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：向上运动的末速度等于0，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，设加速度的大小为a1，则：x
设向下运动的加速度的大小为a2，则向下运动的过程中：x
由于知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，即t2＝3t1。
联立可得：a1＝9a2
对物块进行受力分析，可知向上运动的过程中：ma1＝mgsinθ+μmgcosθ
向下运动的过程中：ma2＝mgsinθ﹣μmgcosθ
联立得：μ，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，粗糙斜面的倾角为θ，一质量为m的物块由斜面底端以初速度v0沿斜面上滑到最高点后又沿斜面下滑返回到斜面底端。下列说法正确的是（ ）
A．上滑的合外力比下滑的合外力小
B．上滑的时间比下滑的时间长
C．物块与斜面间的动摩擦因数大于tanθ
D．物块返回斜面底端的速度小于v0
【解答】解：A、上滑的合外力大小为：F合1＝mgsinθ+μmgcosθ
下滑的合外力大小为：F合2＝mgsinθ﹣μmgcosθ
则知上滑的合外力比下滑的合外力大，故A错误；
B、根据牛顿第二定律得：
上滑过程 mgsinθ+μmgcosθ＝ma1
下滑过程 mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma2
可得 a1＞a2。
上滑过程的逆运动是初速度为零的匀加速直线运动，根据x，a1＞a2，上滑与下滑位移大小x相等，则有t1＜t2，即上滑的时间比下滑的时间短，故B错误；
C、由于物块到达最高点后能下滑，则有：mgsinθ＞μmgcosθ，则有：μ＜tanθ，故C错误；
D、设物块返回斜面底端的速度为v。物块上滑过程，有：x，下滑过程有：x，由于t1＜t2，则v＜v0，故D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，在倾角为θ＝53°的足够长固定斜面底端，一质量m＝1kg的小物块以某一初速度沿斜面上滑，一段时间后返回出发点．物块上滑所用时间t1和下滑所用时间t2大小之比为t1：t2：，则（ ）
A．物块由斜面底端上滑时初速度v1与下滑到底端时速度v2的大小之比为：
B．物块上滑时的初速度α1与下滑的加速度的α2大小之比为：
C．物块和斜面之间的动摩擦因数为0.5
D．物块沿斜面上滑和下滑的过程中，系统机械能的改变量相同
【解答】解：A、物块向上做匀减速直线运动，向下做初速度为零的匀加速直线运动，它们的位移大小相等；物块由斜面底端上滑时初速度大小v1＝2，下滑到底端时速度大小v2＝2，，故A正确；
B、由加速度的定义式得：a1，a2，则，故B错误；
C、由牛顿第二定律得：
物块上滑时：mgsin37°+μmgcos37°＝ma1，
物块下滑时：mgsin37°﹣μmgcos37°＝ma2，
解得：μ＝0.5；故C正确；
D、物块沿斜面上滑和下滑的过程中，系统机械能的改变量都等于克服摩擦力做的功，而两个过程克服摩擦力做的功相等，所以机械能的改变量相同，故D正确。
故选：ACD。
如图所示，足够大的粗糙斜面倾角为θ，小滑块以大小为v0的水平初速度开始沿斜面运动，经过一段时间后，小滑块速度大小为v、方向与初速度垂直。此过程小滑块加速度的最大值为a1、最小值为a2。已知小滑块与斜面动摩擦因数μ＝tanθ，则（ ）
A．v＝v0 B．v＞v0 C． D．
【解答】解：AB．小滑块在斜面上滑动，摩擦力力大小始终不变为f＝μmgcosθ＝mgsinθ，其大小与重力沿着斜面向下的分力大小相等，对整个运动过程根据动能定理可得：
其中，y为垂直初速度方向滑块沿斜面下滑的长度，s为滑块运动轨迹的长度，因为s＞y，可知v＜v0，故AB错误；
CD．摩擦力速度的方向始终与滑块相对斜面的速度方向相反，可知f的方向与重力沿斜面向下的分力的方向mgsinθ的夹角为90°到180°，根据几何关系可知合力的大小范围为：
结合牛顿第二定律F合＝ma
由此可得
则；a2＝0，故D正确，C错误。
故选：D。
【模型四】斜面模型的衍生模型——“等时圆”模型
1.“光滑斜面”模型常用结论
如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：
(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。
关系式为t＝ 。
(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。
关系式为v＝。
2.“等时圆”模型及其等时性的证明
1．三种模型(如图)
2．等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝dsin α，所以运动时间为t0＝＝＝。
即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
（多选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，已知在同一时刻，甲、乙两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点，丙球由C点自由下落到M点，有关下列说法正确的是（ ）
A．甲球下滑的加速度大于乙球下滑的加速度
B．丙球最先到达M点
C．甲、乙、丙球同时到达M点
D．甲、丙两球到达M点时的速率相等
【解答】解：A、设光滑倾斜轨道与水平面的夹角为θ，则加速度a，可知乙球的加速度大于甲球的加速度。故A错误。
B、对于AM段，位移x1，加速度，则根据得，。
对于BM段，位移x2＝2R，加速度a2＝gsin60°，t2。
对于CM段，位移x3＝R，加速度a3＝g，则．知t3最小，故B正确，C错误。
D、根据动能定理得，mgh，知甲丙高度相同，则到达M的速率相等。故D正确。
故选：BD。
如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为（ ）
A．α＝θ B．α C．α D．α＝2θ
【解答】解：如图所示：
在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切与D点，
根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，
将木板下端B点与D点重合即可，
而角COD为θ，所以
故选：B。
如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点。B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（ ）
A．tA＜tC＜tB
B．tA＝tC＜tB
C．tA＝tC＝tB
D．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系
【解答】解：对于AM段，位移，加速度，根据得，。
对于BM段，位移x2＝2R，加速度，由得，。
对于CM段，同理可解得。
故选：B。
（多选）如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则分别固定在仓库侧壁，三块滑板与水平面的夹角依次为30°、45°、60°．若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（ ）
A．a处小孩最先到O点 B．b处小孩最先到O点
C．c处小孩最先到O点 D．a、c处小孩同时到O点
【解答】解：斜面上的加速度：a，
小孩的位移，
根据x，解得t。
当θ＝30°和θ＝60°时，t相等，大小为t，即a、c处小孩同时到达O点。
当θ＝45°时，t′t，可知b处小孩最先到O点。故B、D正确，A、C错误。
故选：BD。
如图所示，在竖直墙面上有A、B两点，离地面的高度分别为HA＝8m和HB＝4m，现从A、B两点与地面上的某个位置C之间架设两条光滑的轨道，使小滑块从A、B两点由静止开始下滑到地面所用的时间相等，那么位置C离墙角O点的距离为（ ）
A．4m B．4m C．2m D．6m
【解答】解：设AC、BC与OC的夹角分别为α和β，由牛顿第二定律可得加速度分别为a1＝gsinα，a2＝gsinβ，
由几何关系可得lAC，lBC，
由运动学公式可得lACa1t2，lBCa2t2，
联立解得sinαsinβ，即，解得lBClAC，
设CO的距离为x，由勾股定理得HA2+x2＝lAC2，HB2+x2＝lBC2，
联立方程，解得x＝4m，故ACD错误，B正确
故选：B。
【模型五】功能关系中的斜面模型
物体在平行于斜面向上的拉力作用下，分别沿倾角不同斜面的底端，匀速运动到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ）
A．沿倾角较大的斜面拉，克服重力做的功较多
B．沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较多
C．无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同
D．无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同
【解答】解：A、重力做功为：WG＝﹣mgh，质量m和高度h均相同，则重力做功相同，克服重力做功相同，故A错误；
BC、设斜面倾角为θ，斜面高度h，斜面长度L，物体匀速被拉到顶端，根据动能定理得：
WF﹣mgh﹣μmgcosθ L＝0，得：拉力做功 WF＝mgh+μmgcosθ L＝mgh+μmgcosθ mgh+μmg
则h相同时，倾角较小，拉力做的功较多，故B正确，C错误；
D、克服摩擦力做的功：Wf＝μmgcosθ L＝μmgcosθ μmg ，所以倾角越大，摩擦力做功越小，故D错误。
故选：B。
（多选）如图所示，质量均为M的b、d两个光滑斜面静止于水平面上，底边长度相等，b斜面倾角为30°，d斜面倾角为60°．质量均为m的小物块a和c分别从两个斜面顶端由静止自由滑下，下滑过程中两斜面始终静止。小物块到达斜面底端的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两物块运动时间相同
B．两物块到达底端时的速率相同
C．两斜面对地面压力均小于（m+M）g
D．地面对两斜面的摩擦力均向左
【解答】解：A、设斜面的底边长度为L，则斜边长度s，小滑块下滑的加速度a＝gsinθ，再根据sat2可得下滑的时间为：t，当斜面倾角分别为30°和60°时，可得两滑块运动的时间相同，故A正确；
B、根据速度—时间关系可得：v＝at＝gtsinθ，两滑块运动的时间相同，b滑块达到底部的速度大，故B错误；
C、竖直方向，因滑块下滑时加速度有竖直向下的分量，可知滑块失重，则两斜面对地面压力均小于（m+M）g，故C正确；
D、当物块加速下滑时，加速度有水平向右的分量，则对滑块和斜面的整体而言，由牛顿第二定律可知，地面对两斜面的摩擦力均向右，故D错误。
故选：AC。
一倾角可改变的光滑斜面固定在水平地面上，现有一质量为m的箱子（可看作质点）在斜面顶端由静止释放，如图所示。斜面底边长度为L，斜面倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．箱子滑到底端时重力的功率
B．箱子滑到底端时重力的功率
C．保持斜面的底边长度L不变，改变斜面的倾角θ，当θ＝30°时，箱子从斜面顶端自由下滑到底端所用的时间最短
D．保持斜面的底边长度L不变，改变斜面的倾角θ。当θ＝60°时，箱子从斜面顶端自由下滑到底端所用的时间最短
【解答】解：AB．箱子从顶端运动到底端过程中，只有重力做功，由动能定理可得
0①
箱子滑到底端时重力的功率为PG＝mgvsinθ②
联立①②解得，故A正确；故B错误；
CD．箱子下滑过程中，受到竖直向下的重力和垂直于斜面向上的支持力，由牛顿第二定律可得
mgsinθ＝ma③
箱子沿斜面做匀加速直线运动，可得④
联立③④解得t
改变斜面的倾角θ，当sin2θ＝1即θ＝45°时，箱子从斜面顶端自由下滑到底端所用的时间t最短，故CD错误。
故选：A。
如图，小物块P置于倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，轻质定滑轮固定在斜面顶端，Q和P用跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连，轻绳恰好和斜面平行。t＝0时将P由静止释放，此时Q的加速度大小为。t0时刻轻绳突然断裂，之后P能达到的最高点恰与Q被释放时的位置处于同一高度。取t＝0时P所在水平面为零势能面，此时Q的机械能为E。已知0～2t0内Q未落地，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q质量之比为1：2
B．时Q的机械能为
C．时P的重力势能为E
D．2t0时P重力的功率为
【解答】解：A、将P由静止释放，此时Q的加速度大小为，对P、Q整体，根据牛顿第二定律可得，解得mP：mQ＝1：1，故A错误；
BC、t0时刻P、Q的速度为，P、Q运动的位移大小为x1
绳子断后P沿斜面做减速运动，根据牛顿第二定律可知mgsinθ＝ma1，解得
P还能沿斜面运动的时间为t1
P在t1时间内运动的位移为x2
即在时间为时P运动到最高点。
设P、Q质量为m，根据题意取t＝0时P所在水平面为零势能面，此时Q的机械能为E，可知
E＝mg（x1+x2）sinθ
解得
在时P运动到与Q被释放时的位置处于同一高度，所以此时P的机械能为E，即重力势能为E。由于P，Q组成的系统机械能守恒，即此时Q的机械能等于零，故B错误，C正确；
D、在时P上升到最高点，此后P以的加速度向下做初速度为零的匀加速运动，在2t0时P的速度为v′，所以重力的功率P＝mgv′sinθ，解得，故D错误。
故选：C。
如图甲所示，物体以一定初速度从倾角α＝37°的斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为3.0m。选择地面为参考平面，上升过程中，物体的机械能E机随高度h的变化如图乙所示。g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（ ）
A．物体的质量m＝0.67kg
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5
C．物体上升过程的加速度大小a＝12m/s2
D．物体回到斜面底端时的动能Ek＝20J
【解答】解：A、物体到达最高点时，机械能为：E＝EP＝mgh。由图知：EP＝30J，得：mkg＝1kg，故A错误；
B、物体上升过程中，克服摩擦力做功，机械能减少，且减少的机械能等于克服摩擦力做的功，有ΔE＝﹣μmgcosα，由图知ΔE＝30J﹣50J＝﹣20J，h＝3m，解得：μ＝0.5，故B正确；
C、物体上升过程中，由牛顿第二定律得：mgsinα+μmgcosα＝ma，得：a＝gsinα+μgcosα＝（10×0.6+0.5×10×0.8）m/s2＝10m/s2，故C错误；
D、由图象可知，物体上升过程中摩擦力做功为：W＝ΔE＝﹣20J，在整个过程中由动能定理得：Ek﹣Ek0＝2W，则有：Ek＝Ek0+2W＝50J+2×（﹣20J）＝10J，故D错误。
故选：B。
如图所示，两倾角均为θ的光滑斜面对接后固定在水平地面上，O点为斜面的最低点。一个小物块从右侧斜面上高为H处由静止滑下，在两个斜面上做往复运动。小物块每次通过O点时都会有动能损失，损失的动能为小物块当次到达O点时动能的10%。小物块从开始下滑到停止的过程中运动的总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：小物块第一次到达O点，获得的动能Ek1＝mgH，运动的路程s1；
小物块第一次通过O点损失的动能为0.1mgH，滑上左侧斜面到最高点H1＝0.9H，
第二次到达O点运动的路程s2；
小物块第二次通过O点损失的动能为0.1mgH1，滑上斜面最高点H2＝0.9H1＝0.92H，
第三次到达O点的路程s3；
当小物块第n次到达O点时刚好静止，则在整个过程中的路程：
sn
根据等比数列求和公式可得sn
当n趋于无穷大时有sn。故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为m的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．x3﹣x2＝x2﹣x1
C．物块的最大动能为ma1（x1+x2）
D．弹簧的最大弹性势能为ma1（x3﹣x1）
【解答】解：A、设斜面倾角为θ，在0﹣x1内，物块做匀加速直线运动，加速度为a1，根据牛顿第二定律得：mgsinθ＝ma1
当位移为x2时，物块的加速度为零，处于平衡状态，则有k（x2﹣x1）＝mgsinθ，联立解得弹簧的劲度系数为，故A错误；
B、从初始位置到x2的过程中动能改变量大小等于从x2到x3过程中动能改变量大小。从初始位置到x2的过程中动能改变量大小
从x2到x3过程中动能改变量大小，可见x3﹣x2≠x2﹣x1，故B错误；
C、当位移为x2时，动能最大，最大动能为，结合，解得Ekmma1（x1+x2），故C正确；
D、根据系统机械能守恒可知，弹簧的最大弹性势能为Epm＝mgx3sinθ＝ma1x3，故D错误。
故选：C。
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专题03 与斜面有关的模型
[模型导航]
【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型 1
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型 4
【模型三】物体在斜面上自由运动的性质 7
【模型四】斜面模型的衍生模型——“等时圆”模型 9
1.“光滑斜面”模型常用结论 9
2.“等时圆”模型及其等时性的证明 10
【模型五】功能关系中的斜面模型 12
[模型分析]
【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型
【模型构建】1.如图所示，一个质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上。
1.试分析m受摩擦力的大小和方向
【解析】：假设斜面光滑，那么物体将在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。说明物体有沿斜面向下运动的趋势，物体一定受到沿斜面向上的静摩擦力作用。由平衡条件易得：
2.若斜面上放置的物体沿着斜面匀速下滑时，判断地面对静止斜面有无摩擦力。
【解析】：因地面对斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面体水平方向合力是否为零即可。斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物体A对斜面的压力N和摩擦力f。若设物体A的质量为m，则N和f的水平分量分别为
，方向向右，，方向向左。
可见斜面在水平方向所受合力为零。无左右运动的趋势，地面对斜面无摩擦力作用。
3.如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。
设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。
.当时斜面对物块无静摩擦力
.当时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最大值F1时，由平衡条件可得：F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).当时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0时突变为(2)中的情形，随着F的减小静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最小值F2时，由平衡条件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=( F2-F1)/2.
如图甲所示，倾角为α的斜面固定在水平地面上，斜面上一木块受到与斜面底边平行的力F的作用，当力F逐渐增大时，木块所受的摩擦力f和力F的大小关系如图乙所示。若木块的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，图中f1、f2、F1均为已知量，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．木块的质量可表示为
B．木块与斜面间的动摩擦因数可表示为tanα
C．F小于F1时木块所受的摩擦力与斜面底边垂直且沿斜面向上
D．F大于F1后木块做直线运动
顶端装有滑轮的粗糙斜面固定在地面上，A、B两物体通过细绳如图连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于悬挂的物体B上，使其缓慢拉动一小角度，发现A物体仍然静止。则在此过程中说法不正确的是（ ）
A．水平力F一定变大
B．物体A所受斜面给的摩擦力一定变大
C．物体A所受斜面给的支持力一定不变
D．细绳对物体A的拉力一定变大
如图所示，顶端装有定滑轮的粗糙斜面体放在水平地面上，A、B两物体跨过滑轮通过轻绳连接，整个装置处于静止状态（不计轻绳与滑轮间的摩擦）。现用水平力F作用于物体A上，缓慢拉动A，最终左侧的细线与竖直方向的夹角为30°，斜面体与物体B一直保持静止。下列说法一定正确的是（ ）
A．上述过程中，地面对斜面体的作用力一直保持不变
B．上述过程中，拉力F和轻绳对物体A的拉力一直变大，斜面体受到地面的摩擦力和B受到斜面体的摩擦力也一直增大
C．上述过程中，当与A相连的绳子与竖直方向的夹角为30°时，改变拉力F，使拉力F的方向沿顺时针方向缓慢转动90°并维持A静止，这个过程中地面对斜面体的摩擦力和支持力一直减小
D．上述过程中，当与A相连的绳子与竖直方向的夹角为30°时，改变拉力F，使拉力F的方向沿顺时针方向缓慢转动90°并维持A静止，这个过程中拉力F一直减小
（多选）如图所示，A是一质量为m的盒子，B的质量为，它们间用轻绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为α＝15°的斜面上，B悬于斜面之外，整个系统处于静止状态。现在向A中缓慢地加入沙子，直至A将要滑动的过程中（ ）
A．绳子拉力逐渐增大
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力逐渐增大
D．A所受的摩擦力先减小后反向增大
（多选）如图所示，物体A、B的质量分别为mA、mB，且mA＞mB．二者用细绳连接后跨过定滑轮，A静止在倾角θ＝30°的斜面上，B悬挂着，且斜面上方的细绳与斜面平行．若将斜面倾角θ缓慢增大到45°，物体A仍保持静止．不计滑轮摩擦．则下列判断正确的是（ ）
A．物体A受细绳的拉力可能增大
B．物体A受的静摩擦力可能增大
C．物体A对斜面的压力可能增大
D．物体A受斜面的作用力减小
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型
【模型要点】1.质点系牛顿定律
加速度不同时整体法的应用，大多数情况下，当两物体加速度相同时才考虑整体法，加速度不同时，考虑隔离法。实际上加速度不同时，也可以用整体法，只是此时整体法的含义有所改变。当两个或两个以上物体以不同形式连接，构成一个系统，且系统内各物体加速度不相同时，牛顿第二定律照样能应用于整体。若质量为m1，m2，…，mn的物体组成系统，它们的加速度分别为a1，a2，…，an，牛顿第二定律可写为
或
其意义为系统受的合外力等于系统内的每一个物体受的合外力的矢量和，或某个方向上，系统受的合外力等于系统内的每一个物体在这个方向上受的合外力的矢量和。
2.自由释放的滑块能在斜面上匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．
3．自由释放的滑块在斜面上：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零；
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．
4．自由释放的滑块在斜面上匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零．
5．悬挂有物体的小车在斜面上滑行：
(1)向下的加速度a＝gsin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上；
(3)向下的加速度a＜gsin θ时，悬绳将偏离垂直方向向下．
（2023 全国）如图，在置于水平地面的楔状物体P的斜面上有一小物块Q，Q受水平外力F的作用。已知P和Q始终保持静止，则（ ）
A．增加P的质量，P与地面间摩擦力的大小一定增加
B．增加外力F的大小，P与地面间摩擦力的大小一定增加
C．增加Q的质量，P与Q间摩擦力的大小一定增加
D．增加外力F的大小，P与Q间摩擦力的大小一定增加
（多选）如图，一倾角α＝37°的直角斜面体固定在水平面上，AB面光滑，AC面粗糙。一不可伸长的轻绳一端与静止在斜面AC上、质量为M的物体Q相连，另一端跨过光滑定滑轮与AB面上的轻弹簧相连，弹簧处于原长，绳与两斜面均平行。现将一质量为m的球P与弹簧下端相连，并由静止释放，小球在ab间运动，当小球运动到b点时，物体Q受到的摩擦力恰好为零。重力加速度g取10m/s2，物体Q始终处于静止状态，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列判断正确的是（ ）
A．2M＝3m
B．M＝3m
C．小球由静止释放到回到a的过程中，物体Q受到的摩擦力一直减小
D．小球在a点时Q受的摩擦力大小等于0.8Mg，方向沿斜面向上
如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一质量为m的小车在沿斜面向下的外力F作用下沿斜面下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球（质量也为m）的轻绳恰好水平。则外力F的大小为（重力加速度为g）（ ）
A．mg B．2mg C．2.5mg D．3mg
如图所示，固定在水平面上的斜面体C放有一个斜劈A，A的上表面水平且放有物块B．若AB运动中始终保持相对静止。以下说法正确的是（ ）
A．若C斜面光滑，A和B由静止释放，在向下运动时，B物块可能只受两个力作用
B．若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B处于超重状态
C．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B受水平向左的摩擦力
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B处于超重状态
（多选）如图所示，静止在水平地面上倾角为θ上表面光滑的斜面体上，有一斜劈A，A的上表面水平且放有一斜劈B，B的上表面上有一物块C，A、B、C一起沿斜面匀加速下滑。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．A、B间摩擦力为零
B．C可能只受两个力作用
C．A加速度大小为gsinθ
D．斜面体受到地面的摩擦力为零
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B处于超重状态
【模型三】物体在斜面上自由运动的性质
斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。
对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力、支持力、动摩擦力，由于支持力，则动摩擦力，而重力平行斜面向下的分力为，所以当时，物体沿斜面匀速下滑，由此得，亦即。
1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。
当时，物体沿斜面加速速下滑，加速度；
当时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；
当时，物体若无初速度将静止于斜面上；
2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：
3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：
上冲过程加速度大小为：
如图（a），一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v t图线如图（b）所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则不可求出（ ）
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，粗糙斜面的倾角为θ，一质量为m的物块由斜面底端以初速度v0沿斜面上滑到最高点后又沿斜面下滑返回到斜面底端。下列说法正确的是（ ）
A．上滑的合外力比下滑的合外力小
B．上滑的时间比下滑的时间长
C．物块与斜面间的动摩擦因数大于tanθ
D．物块返回斜面底端的速度小于v0
（多选）如图所示，在倾角为θ＝53°的足够长固定斜面底端，一质量m＝1kg的小物块以某一初速度沿斜面上滑，一段时间后返回出发点．物块上滑所用时间t1和下滑所用时间t2大小之比为t1：t2：，则（ ）
A．物块由斜面底端上滑时初速度v1与下滑到底端时速度v2的大小之比为：
B．物块上滑时的初速度α1与下滑的加速度的α2大小之比为：
C．物块和斜面之间的动摩擦因数为0.5
D．物块沿斜面上滑和下滑的过程中，系统机械能的改变量相同
如图所示，足够大的粗糙斜面倾角为θ，小滑块以大小为v0的水平初速度开始沿斜面运动，经过一段时间后，小滑块速度大小为v、方向与初速度垂直。此过程小滑块加速度的最大值为a1、最小值为a2。已知小滑块与斜面动摩擦因数μ＝tanθ，则（ ）
A．v＝v0 B．v＞v0 C． D．
【模型四】斜面模型的衍生模型——“等时圆”模型
1.“光滑斜面”模型常用结论
如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：
(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。
关系式为t＝ 。
(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。
关系式为v＝。
2.“等时圆”模型及其等时性的证明
1．三种模型(如图)
2．等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝dsin α，所以运动时间为t0＝＝＝。
即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
（多选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，已知在同一时刻，甲、乙两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点，丙球由C点自由下落到M点，有关下列说法正确的是（ ）
A．甲球下滑的加速度大于乙球下滑的加速度
B．丙球最先到达M点
C．甲、乙、丙球同时到达M点
D．甲、丙两球到达M点时的速率相等
如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为（ ）
A．α＝θ B．α C．α D．α＝2θ
如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点。B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（ ）
A．tA＜tC＜tB
B．tA＝tC＜tB
C．tA＝tC＝tB
D．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系
（多选）如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则分别固定在仓库侧壁，三块滑板与水平面的夹角依次为30°、45°、60°．若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（ ）
A．a处小孩最先到O点 B．b处小孩最先到O点
C．c处小孩最先到O点 D．a、c处小孩同时到O点
如图所示，在竖直墙面上有A、B两点，离地面的高度分别为HA＝8m和HB＝4m，现从A、B两点与地面上的某个位置C之间架设两条光滑的轨道，使小滑块从A、B两点由静止开始下滑到地面所用的时间相等，那么位置C离墙角O点的距离为（ ）
A．4m B．4m C．2m D．6m
【模型五】功能关系中的斜面模型
物体在平行于斜面向上的拉力作用下，分别沿倾角不同斜面的底端，匀速运动到高度相同的顶端，物体与各斜面间的动摩擦因数相同，则（ ）
A．沿倾角较大的斜面拉，克服重力做的功较多
B．沿倾角较小的斜面拉，拉力做的功较多
C．无论沿哪个斜面拉，拉力做的功均相同
D．无论沿哪个斜面拉，克服摩擦力做的功相同
（多选）如图所示，质量均为M的b、d两个光滑斜面静止于水平面上，底边长度相等，b斜面倾角为30°，d斜面倾角为60°．质量均为m的小物块a和c分别从两个斜面顶端由静止自由滑下，下滑过程中两斜面始终静止。小物块到达斜面底端的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两物块运动时间相同
B．两物块到达底端时的速率相同
C．两斜面对地面压力均小于（m+M）g
D．地面对两斜面的摩擦力均向左
一倾角可改变的光滑斜面固定在水平地面上，现有一质量为m的箱子（可看作质点）在斜面顶端由静止释放，如图所示。斜面底边长度为L，斜面倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．箱子滑到底端时重力的功率
B．箱子滑到底端时重力的功率
C．保持斜面的底边长度L不变，改变斜面的倾角θ，当θ＝30°时，箱子从斜面顶端自由下滑到底端所用的时间最短
D．保持斜面的底边长度L不变，改变斜面的倾角θ。当θ＝60°时，箱子从斜面顶端自由下滑到底端所用的时间最短
如图，小物块P置于倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，轻质定滑轮固定在斜面顶端，Q和P用跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连，轻绳恰好和斜面平行。t＝0时将P由静止释放，此时Q的加速度大小为。t0时刻轻绳突然断裂，之后P能达到的最高点恰与Q被释放时的位置处于同一高度。取t＝0时P所在水平面为零势能面，此时Q的机械能为E。已知0～2t0内Q未落地，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q质量之比为1：2
B．时Q的机械能为
C．时P的重力势能为E
D．2t0时P重力的功率为
如图甲所示，物体以一定初速度从倾角α＝37°的斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为3.0m。选择地面为参考平面，上升过程中，物体的机械能E机随高度h的变化如图乙所示。g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（ ）
A．物体的质量m＝0.67kg
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5
C．物体上升过程的加速度大小a＝12m/s2
D．物体回到斜面底端时的动能Ek＝20J
如图所示，两倾角均为θ的光滑斜面对接后固定在水平地面上，O点为斜面的最低点。一个小物块从右侧斜面上高为H处由静止滑下，在两个斜面上做往复运动。小物块每次通过O点时都会有动能损失，损失的动能为小物块当次到达O点时动能的10%。小物块从开始下滑到停止的过程中运动的总路程为（ ）
A． B． C． D．
如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为m的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．x3﹣x2＝x2﹣x1
C．物块的最大动能为ma1（x1+x2）
D．弹簧的最大弹性势能为ma1（x3﹣x1）
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