22.4（1)几何证明之角的相等[上学期]
文档属性
| 名称 | 22.4（1)几何证明之角的相等[上学期] |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 41.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-08-09 23:44:00 | ||
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文档简介
第二十二章 几何证明
22.4几何证明举例
教学目的：
1、 掌握几何证明的基本方法，学会分析、推理论证，强调每一步推理言必有据
2、 运用学过的平行线判定及性质，全等三角形判定性质，等腰三角形判定性质等进行正确的推理论证。
教学重点：掌握几何证明的推理方法，做到言必有据
教学难点：证明题目的思路
教学过程：
如何证明角相等？
例：与平行线有关的证明角相等。
1、已知：如图，∠1=∠2
求证：∠3=∠4
证明：∵∠1 = ∠2（已知）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等）
∵∠4=∠5（对顶角相等）
∴∠3=∠4（等量代换）
2、如图，已知⊿ABC的外角平分线AD∥BC
求证：∠B=∠C
证明：∵AD平分EAC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵AD∥BC（已知）
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠B=∠C（等量代换）
3、 如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D
求证：∠A=∠F
证明一：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等）
∴∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
∵∠D+∠F+∠3=180°，∠C+∠A+∠4=180°（三角形内角和180°）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠A=∠F（等式性质）
证明二：∵∠1=∠3（对顶角相等）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠3 （等量代换）
∴EC∥DB（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠5（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=∠D（已知）
∴∠5=∠D（等量代换）
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）
例：与全等有关的证明角相等。
1、如图，已知：点C，D在AB上，且AC=BD，DF∥EC，DF=CE
求证：∠E=∠F
证明：∵AC=BD（已知）
∴AC+CD=BD+CD（等式性质）
即AD=BC
∵DF∥CE（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
在⊿AFD和⊿BEC中，
∴⊿AFD≌⊿BEC（S.A.S）
∴∠E=∠F（全等三角形对应角相等）
2、如图，已知点D在线段AB上，CB，DE均垂直于AB，且AD=BC，DE=AB
求证：∠ACE=∠AEC
证明：∵CB⊥AB，DE⊥AB（已知）
∴∠CBA=∠ADE=90°（垂直定义）
在⊿ABC和⊿EDA中，
∴⊿ABC≌⊿EDA（S.A.S）
∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
∴∠ACE=∠AEC（等边对等角）
书上练习P63
（1）已知：如图直线AB、CD被直线EF、GH所截，∠1+∠2=180°
求证：∠3=∠4
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
（2）已知：如图AB=AD，BC=DC
求证：AE平分∠BAD
证明：在⊿ABC与⊿ADC中，
∴⊿ABC≌⊿ADE（S.S.S）
∴∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等）
即AE平分∠BAD
（3）已知：如图：BE=CF，∠ACB=∠DFE，AC=DF
求证：AB∥DE
证明：∵BE=CF（已知）
∴BE+EC=CF+EC（等式性质）
即BC=EF
在⊿ACB与⊿DFE中，
∴⊿ACB≌⊿DFE（S.A.S）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
（4）已知：如图AB=AC，∠BAO=∠CAO
求证：∠OBC=∠OCB
证明：在⊿BAO和⊿CAO中，
∴⊿BAO≌⊿CAO（S.A.S）
∴OB=OC（全等三角形对应边相等）
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）
总结：证明“角相等”的思考步骤：
第一层次：对顶角相等 （定理3）
角平分线定义
第二层次：同（等）角的雨（补）角相等 （定理1，2）
两直线平行，同位角相等 （公理4）
两直线平行，内错角相等 （定理12）
第三层次：在同一个三角形中，等边对等角 （定理17）
全等三角形对应角相等 （定理41）
等腰三角形底边上的中线（底边上的高）平分顶角 （定理18）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。（定理20）
在同（等）圆中，如果弦（弦心距，弧）相等，则所对的圆心角相等。
（定理25，26，27）
平行四边形对角相等 （定理36）
等式性质与等量代换
*一般需要证明的两个角在同一个三角形中，多用等边对等角；在不同的三角形中，多用全等三角形对应角相等；平行线较多，多用平行线的性质；直角比较多时，多用等角的余角相等。
习题精练：
1、已知：如图，AD=AC，BD=BC
求证：∠1=∠2
2、已知：⊿ABC的三个内角平分线相交于点O，过O作OG⊥BC垂足为G
求证∠BOD=∠COG
3、已知：等腰⊿ABC的底边BC上两点P、Q，按B，P，Q，C的顺序，取BP=QC，
在AB、AC上分别取D，E点，使AD=AE，DQ与EP交于点O
求证：AO平分∠BAC
4、 已知：∠BAD=∠CAD，DE∥AC交AB于E交AB于E，EF⊥AD交BC于F
求证：∠B=∠FAC
作业：
1、 A册/22.4（1）
2、 同步
3、 一课一练
22.4几何证明举例
教学目的：
1、 掌握几何证明的基本方法，学会分析、推理论证，强调每一步推理言必有据
2、 运用学过的平行线判定及性质，全等三角形判定性质，等腰三角形判定性质等进行正确的推理论证。
教学重点：掌握几何证明的推理方法，做到言必有据
教学难点：证明题目的思路
教学过程：
如何证明角相等？
例：与平行线有关的证明角相等。
1、已知：如图，∠1=∠2
求证：∠3=∠4
证明：∵∠1 = ∠2（已知）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等）
∵∠4=∠5（对顶角相等）
∴∠3=∠4（等量代换）
2、如图，已知⊿ABC的外角平分线AD∥BC
求证：∠B=∠C
证明：∵AD平分EAC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵AD∥BC（已知）
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠B=∠C（等量代换）
3、 如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D
求证：∠A=∠F
证明一：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等）
∴∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
∵∠D+∠F+∠3=180°，∠C+∠A+∠4=180°（三角形内角和180°）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠A=∠F（等式性质）
证明二：∵∠1=∠3（对顶角相等）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠3 （等量代换）
∴EC∥DB（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠5（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=∠D（已知）
∴∠5=∠D（等量代换）
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）
例：与全等有关的证明角相等。
1、如图，已知：点C，D在AB上，且AC=BD，DF∥EC，DF=CE
求证：∠E=∠F
证明：∵AC=BD（已知）
∴AC+CD=BD+CD（等式性质）
即AD=BC
∵DF∥CE（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
在⊿AFD和⊿BEC中，
∴⊿AFD≌⊿BEC（S.A.S）
∴∠E=∠F（全等三角形对应角相等）
2、如图，已知点D在线段AB上，CB，DE均垂直于AB，且AD=BC，DE=AB
求证：∠ACE=∠AEC
证明：∵CB⊥AB，DE⊥AB（已知）
∴∠CBA=∠ADE=90°（垂直定义）
在⊿ABC和⊿EDA中，
∴⊿ABC≌⊿EDA（S.A.S）
∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
∴∠ACE=∠AEC（等边对等角）
书上练习P63
（1）已知：如图直线AB、CD被直线EF、GH所截，∠1+∠2=180°
求证：∠3=∠4
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
（2）已知：如图AB=AD，BC=DC
求证：AE平分∠BAD
证明：在⊿ABC与⊿ADC中，
∴⊿ABC≌⊿ADE（S.S.S）
∴∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等）
即AE平分∠BAD
（3）已知：如图：BE=CF，∠ACB=∠DFE，AC=DF
求证：AB∥DE
证明：∵BE=CF（已知）
∴BE+EC=CF+EC（等式性质）
即BC=EF
在⊿ACB与⊿DFE中，
∴⊿ACB≌⊿DFE（S.A.S）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
（4）已知：如图AB=AC，∠BAO=∠CAO
求证：∠OBC=∠OCB
证明：在⊿BAO和⊿CAO中，
∴⊿BAO≌⊿CAO（S.A.S）
∴OB=OC（全等三角形对应边相等）
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）
总结：证明“角相等”的思考步骤：
第一层次：对顶角相等 （定理3）
角平分线定义
第二层次：同（等）角的雨（补）角相等 （定理1，2）
两直线平行，同位角相等 （公理4）
两直线平行，内错角相等 （定理12）
第三层次：在同一个三角形中，等边对等角 （定理17）
全等三角形对应角相等 （定理41）
等腰三角形底边上的中线（底边上的高）平分顶角 （定理18）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。（定理20）
在同（等）圆中，如果弦（弦心距，弧）相等，则所对的圆心角相等。
（定理25，26，27）
平行四边形对角相等 （定理36）
等式性质与等量代换
*一般需要证明的两个角在同一个三角形中，多用等边对等角；在不同的三角形中，多用全等三角形对应角相等；平行线较多，多用平行线的性质；直角比较多时，多用等角的余角相等。
习题精练：
1、已知：如图，AD=AC，BD=BC
求证：∠1=∠2
2、已知：⊿ABC的三个内角平分线相交于点O，过O作OG⊥BC垂足为G
求证∠BOD=∠COG
3、已知：等腰⊿ABC的底边BC上两点P、Q，按B，P，Q，C的顺序，取BP=QC，
在AB、AC上分别取D，E点，使AD=AE，DQ与EP交于点O
求证：AO平分∠BAC
4、 已知：∠BAD=∠CAD，DE∥AC交AB于E交AB于E，EF⊥AD交BC于F
求证：∠B=∠FAC
作业：
1、 A册/22.4（1）
2、 同步
3、 一课一练