2022-2023学年度第二学期 6月份学情检测
数学试题 2023.06
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分,答题时间 120 分钟.
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考
证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案.
3.考试结束后将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合
题意的.
1 2i
1．若复数 z ( i为虚数单位)，则 z （ ）
i
A．1 B．2 C． 3 D． 5
2．设 ， 为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n ，则m∥ B．若m∥ ， n // ，m∥n，则 ∥
C．若m ， n // ，则m n D．若 ， m， n m，则 n
3．在 ABC中，若 AB 3， BC 4，C 30 ，则此三角形解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
4．若向量 a，b满足 | a | 2， b 2 3，且 a b 3，则向量b与b a夹角的余弦值为（ ）.
A. 3 B. 2 5 C. 7 2 D. 3 30
2 9 16 20
5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出
“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任
一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国
被称为祖暅原理.一个上底面边长为 1，下底面边长为 2，高为2 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂
势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
（第 5题图） （第 6题图）
A．16 B．16 3 C．18 3 D．21
6．如上图１，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口，六边形开口可记为图
2中的正六边形 ABCDEF，其中 O为正六边形 ABCDEF的中心，设 AB a， AF b，若 BM MC，
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
EF 3EN ，则MN （ ）
5 7 5
A. a b a 7 b 3 1 3 1 B. C. a b D. a b
6 6 6 6 5 6 5 6
7．已知四边形 ABCD中， AC BD, AB BC
BD
1, AC CD 3，点 E在四边形 ABCD的边上运动，
2
则 EB ED的最小值是（ ）
3 1 3 3
A． B． C． D． 1
4 4 4 4
8．取两个相互平行且全等的正 n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均
为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当 n=4时，得到如图所示棱长均为 2的“四角反棱柱”，
则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）
A. 11π B. 8 2 2 π C. 8 2 3 π D. 11 11 π
6
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
2
9．下面是关于复数 z 2023 （ i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） 1 i
A． z 的虚部为 i B．若 z0 z 1，则 z0 的最大值是 2 1
C． z 的共轭复数为 1 i D． z 在复平面内对应的点在第二象限
10．下列说法正确的是（ ）
A. 若a∥b，b∥c，则 a∥c
B. 两个非零向量 a和b，若 a b a b ，则 a与b垂直
C．若 PA PB PB PC PC PA ，则 P是△ABC 的垂心
r
D. 已知 a 1, 2 ，b t,1 ，若b在 a上的投影向量为 5e（ e为与 a同向的单位向量），则 t 2
11．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c， a sin B b sin
B C
， a 3，O为 ABC外接圆圆心，
2
M为 BC的中点。则下列结论正确的有（ ）
A． A π B． ABC外接圆面积为12π
3
9
C 3 3． BO BC D． AM 的最大值为2 2
12．如图 1，在边长为 2的正方形 ABCD中，E，F分别为 BC，CD的中点，沿 AE AF及 EF把这个正方形
折成一个四面体，使得 B C D三点重合于点 S，得到四面体 S AEF （如图 2）.下列结论正确的是（ ）
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
A．平面 AEF 平面 SAF
1
B．四面体 S AEF 的体积为
3
C．二面角 A EF S正切值为 2
D．顶点 S在底面 AEF上的射影为△AEF 的垂心
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
π
13．已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 ，底面圆的半径为 1，则圆锥的体积为__________．
3
1
14．已知向量 a，b 的夹角的余弦值为 ， a b ，且 a 2b与a b 垂直，则 ___________.3
15．已知 E F G H分别是正方体 ABCD A1B1C1D1，边 AB，CD， B1C1， A1D1的中点，则异面直线 EH与
GF所成角的余弦值为___________．
π
16．已知锐角 ABC的内角 A、B、C所对的边分别 a、b、c，A = ．若 AM 是 CAB的平分线，交 B C于点
3
M ，且 AM =2，则 AC+3AB的最小值为________；若 ABC的外接圆的圆心是O，半径是 1，则OA AB AC
的取值范围是__________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
2m217．已知复数 z1 ， z2 2 i m 3 1 2i ， m R ，i为虚数单位．1 i
(1)若 z1 z2 是纯虚数，求实数 m的值；
(2)若 z1 z2 0，求 z1 z2 的值．
18．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，D，E分别为 AC， A1C1的中点， AB BC 5， AC AA1 2．
(1)求证： AC 平面 BDE；
(2)求点 D到平面 ABE的距离．
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
2π
19．在 ABC中，CA 2， AB 3， BAC ，D为 BC的三等分点（靠近C点）．
3
(1)求 AD BC的值；
(2)若点 P满足CP CA，求 PB PC的最小值，并求此时实数 的值．
20．山东省济南市莱芜第一中学生物社团计划在综合实践基地举行油菜花节的活动，为了让油菜花种植区
与观赏路线布局最优化、合理，首先规划了一个平面图（如图）．
已知： A,B,D,E 5 7四点共圆， ABD 60o， AE 2， AB 2，cos EDA ，其中 AD,DB（不计宽度）
14
是观赏路线，△BCD与△AED是油菜花区域．
(1)求观赏路线 AD DB的长度；
(2)因为场地原因，只能使 BCD 135 ，求△BCD区域面积的最大值．
π
21．如图所示，在平行四边形 ABCD中，AB 2BC 8 3， DAB ，E为边 AB的中点，将 ADE沿直3
线 DE翻折为 A DE，若 F为线段 A C的中点．在 ADE翻折过程中，
(1)求证：BF //平面 ' ；
(2)若二面角 ' 的大小为60°，求 A C与面 A ED所成角的正弦值．
22．(1)平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 ABCD的顶点在
同一平面上，已知 AB BC CD 2, AD 2 3．当BD长度变化时， 3cosA cosC是否为一个定值？若是，
求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记 ABC
cos A
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 1 sin A
asin B bsin A
，求 的取值范围．
tan B 2bcosB
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}2022-2023 学年度第二学期 6 月份学情检测
数学答案
一、单项选择题：ＤＣＢＤ ＤＢＣＢ
【参考解法（不唯一）】7.C【详解】如图所示，因为 AC BD，且 AB BC，所以 BD垂直且平分 AC，则 ACD为
等腰三角形，又 AC CD 3，所以 ACD为等边三角形,则四边形 ABCD关于直线 BD对称，故点 E在四边形 ABCD
BD
上运动时，只需考虑点 E在边 BC ,CD上的运动情况即可，因为 AB BC 1，CD 3，知 BC 2 CD2 BD2，
2
即 BC CD，则CB CD 0，
①当点 E在边 BC上运动时，设 EB CB(0 1)，则 EC ( 1)CB，则
2 1
EB ED EB (EC CD) CB ( 1)CB ( 1)CB ( 1) 2 ,当 时，2 EB ED
1
最小值为 – ；
4
②当点 E在边CD上运动时， 2
设 ED kCD(0 k 1) ,则EC (k 1)CD ,则 EB ED (EC CB) ED EC ED CB ED k(k 1)CD kCD CB
2 1 3 3 3k 3k，当k 时， EB ED的最小值为 ；综上，4 EB ED
的最小值为 ；
2 4
８.B如图所示：设上下底面的中心分别为 A,B，设该“四角反棱柱”外接球的球心是O，
显然O是 AB的中点，设 AB的中点为 E，连接 EF，DF ，过 E做EG DF ，垂足为G，
1 1 2 2
因为DG CE 2 1，DF 2 2 2，所以
2 2 DG DF DG 2 1
，
在直角三角形 EGF 中， EG2 EF 2 GF 2 3 ( 2 1)2 2 2，
1 2 2
所以有CD EG 2 2 ，于是有OD CD ，在直角三角形ODF中，
2 2
OF 2 OD2 DF 2 2 2 2，
4
“ ” 4π OF 2 4π(2 2所以该 四角反棱柱 外接球的表面积等于 2) (2 2 8)π，
4
二、多项选择题：９.ＢＣ； １０.ＢC； 11.AＣD； 12.BD
12.BD 【详解】如图，作 EF 的中点M，连结 AM、SM，过 S作 AM的垂线交 AM于点 O，连结 SO，过 O作 AF
的垂线交 AF于点 N，连结 SN
由题知 AE=AF= 5，所以 AM EF ，SE=SF=1，所以 SM EF ，
SMA为平面 SEF与平面 AEF的二面角的平面角
又 SM AM M EF 平面 ASM， SO 平面 ASM， EF SO，
作法知 SO ^ AM ， AM EF M ， SO 平面 AEF，
所以 SO为锥体的高．所以 O为 S在平面 AEF上的射影. AF 平面 AEF，所以 SO AF ，
由作法知ON AF ， SO NO O AF 平面 SON， SN 平面 SON， SN AF
SNO为平面 SAF与平面 AEF的二面角的平面角，显然 SNO为锐角，故 A错．
AS SE
AS SF 由题知 AS 平面SEF ， SM 平面SEF ， AS SM
SE SF S
又 AS＝２， EM 1 EF 2 ，SE 2 3 2＝１， SM ，AM AE2 EM2
2 2 2 2
2 2
SO AS SM 2 2 1 1 3 2 1，四面体 S AEF的体积为V S AEF SO ，故 B正确．AM 3 2 3 3 3 2 3 3
2
AS 2
在直角三角形 ASM中： tan SMA 2 2SM 2 故 C不正确．
2
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
因为OM SM 2 SO 2 2 ， AO AM OM 4 2 5 ，OE OM 2 EM 2
6 3 3
OE2 OF 2 EF 2 4 2 2 2
所以 cos EOF cos EOA OE OA AE 10，
2OE OF 5 2OE OA 10
5 5 4 5 4 2 10 OE AF OE OF OA OE OF cos EOF OE OA cos EOA 3 3 5 3 3 10
4 4
0 OE AF ，由对称性知OF AE ，又 AM EF 故 D正确．
9 9
35 5 1 5
三、填空题．１３． 14. 15. 16. 8 37 4
3, .
3 3
3 2
16. 【详解】(1)由 AM 是 CAB的平分线，得 CAM BAM=30 ，又Q S△ABC S△CAM S△BAM ，
1 bc sin π 1 2 b sin π 1 π即 2 c sin 1 1 3，化简得
2 3 2 6 2 6
，
b c 2
AC 3AB=b+3c 2 1 1 b 3c
2
4 3c b 2 3c b 8 3 4+2 + 4，3 b c 3 b c
3 b c 3
3c b
c 2 2 3 2 3当且仅当 ，即 ，b 2 时，取等号．
b c 3 3 3
π 2π uur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur uuur uur 2(2)Q A = ，B C ， OA AB AC =OA OB OC 2OA OA OB OA OC 2 OA3 3
2π
= cos AOB cos AOC 2= cos 2C cos 2B
2 =cos2 B cos2B 2
3
0 π B
= 1
π 2
cos 2B 3 sin 2B 2 =cos 2B 2， ABC是锐角三角形， ，2 2 3 0 C 2π π B
3 2
π π 2π π 4π uur uuur uuur
B , 2B+ 1 cos 2B π 1 ， OA AB AC
5
3, ．
6 2 3 3 3 3 2
2
四、解答题
2m2z (1 i)17. 1 m2 m2（ ） 1 i， z 2m 3 m 6 i ，(1 i)(1 i) 2
m2 2m 3 0
所以 z1 z2 m
2 2m 3 m2 m 6 i，因为 z1 z2 是纯虚数，所以 2 ，得m 1.
m m 6 0
m22 2 2m 3 0
（2）由（1）知， z1 z2 m 2m 3 m m 6 i，因为 z1 z2 0，所以 2 ，得m 2，
m m 6 0
所以 z1 4 4i， z2 1 4i，所以 z1 z2 (4 4i)(1 4i) 20 12i .
18.（1）证明：∵ AB BC，D，E分别为 AC， A1C1的中点，
∴ AC DB，且DE //AA1，又 AA1 平面 ABC，∴DE 平面 ABC，又 AC 平面 ABC，∴ AC DE，
又 AC DB，且DE DB D，DE,DB 平面 BDE，∴ AC 平面 BDE．
（2）∵ AC DB， AB 5， AC 2AD 2，∴ BD AB2 AD2 2，
1
∴BE DE2 BD2 2 2， AE DE2 AD2 5， S△ABD 1 2 1．2
2 2
在 ABE中， AB AE 5， BE 2 2 ，∴ BE边上的高为 5 2 3 ．
∴ S
1
△ABE 2 2 3 6 ．设点 D到平面 ABE的距离为 d，2
根据V
1 1 6 6
D ABE VE ABD，得 6 d 1 2，解得 d ，所以点 D到平面 ABE的距离为 ．3 3 3 3
1 1
19.【详解】（1）因为D为 BC的三等分点（靠近C点），所以CD CB (AB AC)，
3 3
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
1 1 AD AC CD AC AB AC 1
2
所以 AB AC，
3 3 3 3
1 2 1 2 ( AB AC) (AC AB) | AB |2 | AC |2 1 AB AC 1 2 1 2π 2所以 AD BC 9 4 3 2 cos .
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
（2）因为CP CA，所以 PC AC，因为 PB PC CB PC AB AC AB ( 1)AC，
所以 PB PC AB ( 1)AC AC AB AC ( 1) | AC |
2
| AB || AC | cos 2π 7 49 ( 1) | AC | 2 3 4 ( 1) 4 2 7 4( )2 ，
3 8 16
7
49
所以当 时，
8 PB PC
取得最小值 .
16
20. 1 A,B,D,E ABD 60o AED 120 cos EDA 5 7 sin EDA 1 cos2 EDA 21（ ） 四点共圆， ， ， ， ；
14 14
AE AD
在V ADE中，由正弦定理得： ，
sin EDA sin AED
AE sin AED
AE 2， AED 120 ， sin EDA 21 ， AD 2 7；
14 sin EDA
在△ABD中，由余弦定理知： AD2 BD2 AB2 2AB DBcos ABD，
即DB2 2DB 24 0，解得：DB 6或DB 4（舍）， AD DB 6 2 7 .
2 △BCD BCD 135 S 1CB CD sin135 2（ ）在 中， ， BCD CB CD ；2 4
在△BCD中，由余弦定理得：DB2 CD2 BC2 2 BC CDcos BCD，
36 CD2 CB2 2CB CD 2 2 CB CD（当且仅当CB CD时取等号），
CB CD 36 18 2 2 S 2， BCD 18 2 2 9 2 9，即△BCD区域面积的最大值为 .2 2 9 2 94
21.（1）证明：取CD的中点G，连接 FG，BG，
F为线段 A C的中点， GF // A D， FG 平面 A DE，A D 平面 A DE， GF // 平面 A DE，又DG // BE，DG BE，
四边形 BEDG为平行四边形，则 BG // DE. BG 平面 A DE，DE 平面 A DE，可得 BG //平面 A DE，又
BG GF G ， BG，GF 平面 BFG，可得平面 A DE //平面 BFG， BF 平面 BFG，则 BF //面 A DE .
（2）取DC中点G，DE中点O，连接OG
， A O， A G，由 AB 2BC 8 3， DAB ， E为边 AB的中点，3
得 AE AD 4 3，所以V ADE为等边三角形，从而DE 4 3， EDC 60 ，又DG 4 3，O为DE的中点所以
OG DE，又 A DE是等边三角形，所以 A O DE，所以 A OG为二面角 A DE C的平面角，所以 A OG 60 ，
过点 E作 EM //OA ，过 A 作 A M //OE 交于M ，连接CM ， △A DE是等边三角形，所以可求得 A O 6，OE 2 3，
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
所以 EM 6，A M 2 3， DE A O，DE OG，OG //CE ，EM // A O ，所以DE EM ，DE EC，又EC EM E，
EC，EM 面EMC，所以DE 面 EMC，又 A M // DE ，所以 A M 面 EMC， A M 平面 A DE，所以面 A DE
面 EMC，由ME 6，在△CBE中易求得CE 12，又 MEC A OG 60 ,所以MC EM ，MC 6 3，面 A DE
面 EMC EM ，MC 面 EMC，所以MC 面 A DE，所以 MA C为 A C与平面 A DE所成的角，
在Rt A MC 6 3 3 10 3 10中可求得 A C 2 30，所以 sin MA C ， A C与面 A ED所成角的正弦值为 .
2 30 10 10
2
22. 1 △ABD cosA AD AB
2 BcoD
2 (2 3)2 22sA BD
2 2
【详解】（ ）在 中，由余弦定理 ，即 3cosA 16 BD ①，
2AD AB 2 2 3 2 8
22 22 BD2 8 BD2
同理，在△BCD中， cosC ，即 cosC ②，
2 2 2 8
① ②得 3cosA cosC 1，所以当 BD长度变化时， 3cosA cosC为定值，定值为 1；
（2）A ，B为 ABC的内角，则1 sin A 0
cos A
则由 1 sin A
cos A
，可得 0，则 A、B均为锐角
tan B tan B
cos2 A sin 2 Acos A 1 tan
A
tan B 2 2 2A A tan
π A
1 sin A (sin cos ) 2 1 tan A 4 2
2 2 2
0 B π ,0 π A π B π A 0 B π A π又 ，则 ， 则 2B，则 sin A sin
π
2B
cos 2B
2 4 2 4 4 2 4 2 2
a sin B b sin A 2b sin A 2b cos 2B 2cos 2B 1 1
则 2cos B
2bcosB 2bcosB 2bcosB cosB cosB
t cosB
π
2令 0 B ，则
4
t 1
2
1 2
又 f (t) 2t 在 ,1
2
单调递增，t 2 f ( ) 0
， f (1) 1
2
0 2t 1可得 1，则 2cos B
1
的取值范围为 0,1 ，
t cos B
asin B bsin A
则 的取值范围为 0,1
2bcosB
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{#{QQABbYYQggAAAhAAAQBCEwFyCgOQkhCAACgGxAAQMEABiQFABAA=}#}
