黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：必修第二册（第六章~第八章），选择性必修第一册（第一章1.1~1.4.1）（考到空间向量线面垂直，不考空间向量距离 夹角问题）.
一 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A.1011 B. C. D.-1012
4.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.设是两条不同的直线是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，那么；
②若，那么；
③若，那么；
④若，则，
其中正确命题的序号是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
7.已知，若向量共面，则（ ）
A.2 B. C.3 D.6
8.如图，正方体的棱长为2，下面结论错误的是（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线与所成角为
D.三棱锥体积为
二 多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A.的夹角是 B.的夹角是或
C.或 D.或
10.如图，在长方体中，，以直线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（ ）
A.点的坐标为
B.点关于点对称的点为
C.点关于直线对称的点为
D.点关于平面对称的点为
11.如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.与异面 D.
12.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，一定正确的为（ ）
A. B.截面
C. D.异面直线与所成的角为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示，中，，边上的高，则其水平放置的直观图的面积为__________.
14.设复数满足，则__________.
15.在中，若，点在边上，且__________.
16.如图，在直角梯形中，分别是的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是__________（填序号）.
①不论折至何位置（不在平面内），都有平面；
②不论折至何位置，都有；
③不论折至何位置（不在平面内），都有；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（10分）
如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点.求证：平面.
18.（12分）
已知在直角坐标系中（为坐标原点），.
（1）若共线，求的值；
（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标.
19.（12分）
如图，四棱锥的底面是一个矩形，与交于点是棱锥的高.若，求锥体的体积.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
20.（12分）
已知中三个内角满足.
（1）求；
（2）若是角的对边，，求的面积.
21.（12分）
如图所示，在海岸处，发现北偏东方向，距离处的处有一艘走私船，在处北偏西的方向，距离处2的处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）求线段的长度；
（2）求的大小；（参考数值：）
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
22.（12分）
如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，.
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点分别为，求与所成角的正弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值.
牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 旋转体的轴截面还是正方形，故选B.
2.A 因为，所以.
3.D .
4.B 设球的半径为，平面截球体所得的圆的半径为，则由题可得，解得，所以，所以球的体积为.
5.C 对于①如果，根据直线与平面垂直的性质可知，所以①正确；对于②如果，，根据线面垂直与线面平行性质可知与可以垂直，也可以平行，还可以相交，所以②错误；对于③如果，根据直线与平面平行的判定可知，所以③正确；对于④设平面是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故④不正确.
6.A 设的中点为，则满足的形状是等腰三角形.
7.C ，三个向量共面，，解得
8.D A选项，在正方体中，，又平面平面，所以平面，即正确；选项，连接，在正方体中，平面平面，因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面，因此；同理，又平面，平面，所以平面；即正确；选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；选项，三棱锥的体积为..故D错.
9.BC 是两个单位向量，且的最小值为的最小值为.设的夹角为，，则与的夹角为或或3，则或.故选BC.
10.BCD 由图形及其已知可得：点的坐标为，故错误；点关于点对称的点为，故B正确；点关于直线对称的点为，故C正确；点关于平面对称的点为，故D正确.
11.BD 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（图略），设正方体棱长为3，则，与不垂直；.
12.ABD 平面，同理可得正确；截面正确；1，C不一定正确；异面直线与所成的角为，D正确.
13. 根据题意，设的水平放置的直观图的面积为，原图中，，边上的高，则，则有，则.
14.设，则，由于，所以，整理得：，所以.
15.
16.①②④ 分别取的中点，连接，则在折叠过程中，可证四边形是矩形，所以①②正确；因为，若，则，又与相交，所以③错误；当平面平面时，有，④正确.
17.证明：如图，建立空间直角坐标系，
.
是的中点，
又是平面的一个法向量，
，
平面.
18.解：（1），
又共线，，
（2）在直线上，设，
.
，
即：，解得：或.
或点的坐标为或.
19.解：因为是棱锥的高，所以.
在Rt中，，所.
在Rt中，.
边上的斜高，
边上的斜高.
（1）四棱锥的表面积.
（2）.
所以四棱锥的体积为.
20.解：（1）.又，
化为，结合，解得.
（2），又，可得为钝角..
又为锐角，的面积.的面积为.
21.解：（1）在中，，由余弦定理，得，
所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
所以.
又.
（3）设缉私船用在处追上走私船，如图，
则有.
在中，，
由正弦定理，得
.
又因为，所以，即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船.
22.（1）证明：因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面平面，
平面平面.
因为为等腰直角三角形，，所以，
又因为，
即，
，因此，平面；
（2）解：取的中点，连接，
四边形为正方形，则且，
分别为的中点，且，
为的中点，且且，
则四边形为平行四边形，，
所以与所成的角为或其补角，
由（1）知，平面平面，
设，则，
在Rt中，.
因此，与所成角的正弦值为；
（3）解：，平面平面，平面平面平面平面.
作，交的延长线于，则.从而，平面.
作于，连接，
平面平面，
平面，
平面，
所以，为二面角的平面角.
，
设，则，
在Rt中，，
在Rt中，.
因此，二面角的平面角的正切值为.