几何证明边相等[上学期]
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文档简介
第二十二章 几何证明
22.4几何证明举例
教学目的：
1、 熟悉几何论证，并会利用等角对等边，全等三角形对应边相等等定理来证明两条线段相等。
2、 学会一题多解，会从不同角度去证明同一个结论。
教学重点：能熟练运用各种定理证明两条线段相等
教学难点：怎样写推理过程使论证过程简便通畅
教学过程：
如何证明边相等？
例：
1、已知：如图，AB=AC,DE∥BC（书P63/例3）
求证：BD=CE
证明：∵AB = AC（已知）
∴∠B=∠C （等边对等角）
∵DE∥BC （已知）
∴∠B=∠ADE，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴∠ADE=∠AED（等量代换）
∴AD=AE（等角对等边）
∴AB-AD=AC-AE（等式性质）
即BD=CE
练习书P65/1，2，3，4
（1）∵AD⊥AB，BE⊥AB（已知）
∴∠DAB=∠EBA=90°（垂直的定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠DAB – ∠1=∠EBA – ∠2（等式性质）
即∠CAB=∠CBA
∴AC=BC（等角对等边）
（2）∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE=∠EBC（角平分线定义）
∵DE∥BC （已知）
∴∠DEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABE =∠DEB（等量代换）
∴⊿BDE是等腰三角形（等角对等边）
（3）∵BD，CE是高（已知）
∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直定义）
∵AB = AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB （等边对等角）
在⊿BEC和⊿CDB中，
∴⊿BEC≌⊿CDB（A.A.S）
∴∠DBC=∠ECB（全等三角形对应角相等）
∴OB=OC（等角对等边）
证二：∵BD，CE是高（已知）
∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直定义）
∵AB = AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB （等边对等角）
∵∠CEB+∠BCE+∠ABC=180°，∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°（三角形内角和180°）
∴∠DBC=∠BCE（等式性质）
∴OB=OC（等角对等边）
（4）∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形对边平行且相等）
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）
∵AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）
在⊿ABE和⊿CDF中，
∴⊿ABE≌⊿CDF（A.A.S）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
2、如图，已知AD=AE，BD=EC（书P64/例4）
求证：AB=AC
证明：∵AD=AE（已知）
∴∠1=∠2（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）
在⊿ABD和⊿AEC中，
∴⊿ABD≌⊿AEC（S.A.S）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
当然本题亦可以证明⊿ABE≌⊿ACD，思考：本题除了可以证明AB = AC，还可以证明什么？
3、 如图，已知：O中弦AB与CD，过圆心O有OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，
∠BAO=∠DCO
求证：AB=CD
证明一：∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知）
∴∠OEA=∠OFC=90°（垂直的定义）
在⊿AEO和⊿CFO中，
∴⊿AOE≌⊿COF（A.A.S）
∴OE=OF（全等三角形对应边相等）
∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知）
∴AB=CD（同圆中，弦心距相等，那么所对的弦相等）
总结：证明“边相等”的思考步骤：
第一层次：中点的定义
同圆的半径相等 （定理23）
第二层次：等角对等边 （定理19）
全等三角形对应边相等 （定理41）
第三层次：等式性质
等腰三角形顶角的平分线（底边上的高）平分底边 （定理18）
在同（等）圆中，如果圆心角（弧）相等，则所对的弦（弦心距）相等。
（定理25，26）
平行四边形对边相等 （定理37）
平行四边形对角线互相平分 （定理38）
垂直于弦的直径平分弦 （定理29，31，34）
*一般需要证明的两条边在同一个三角形中，多用等角对等边；在不同的三角形中，多用全等三角形对应边相等；平行线较多，多用平行四边形的性质；圆中主要同圆的半径相等，同圆中的四个量的关系和垂径定理。
习题精练：
1、等腰三角形顶点到两腰中线的距离相等。（画出图，写已知，求证，并证明）
2、已知：如图⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，AE=AD
求证：CD=BE
3、已知：⊿ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD
求证：⊿AFG为等腰三角形
4、 已知：如图，BD是等边⊿ABC的边AC上的高，E是BC延长线上一点，
求证：DB=DE
作业：
1、 B册/22.4（2）
2、 同步
3、 一课一练
22.4几何证明举例
教学目的：
1、 熟悉几何论证，并会利用等角对等边，全等三角形对应边相等等定理来证明两条线段相等。
2、 学会一题多解，会从不同角度去证明同一个结论。
教学重点：能熟练运用各种定理证明两条线段相等
教学难点：怎样写推理过程使论证过程简便通畅
教学过程：
如何证明边相等？
例：
1、已知：如图，AB=AC,DE∥BC（书P63/例3）
求证：BD=CE
证明：∵AB = AC（已知）
∴∠B=∠C （等边对等角）
∵DE∥BC （已知）
∴∠B=∠ADE，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴∠ADE=∠AED（等量代换）
∴AD=AE（等角对等边）
∴AB-AD=AC-AE（等式性质）
即BD=CE
练习书P65/1，2，3，4
（1）∵AD⊥AB，BE⊥AB（已知）
∴∠DAB=∠EBA=90°（垂直的定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠DAB – ∠1=∠EBA – ∠2（等式性质）
即∠CAB=∠CBA
∴AC=BC（等角对等边）
（2）∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE=∠EBC（角平分线定义）
∵DE∥BC （已知）
∴∠DEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABE =∠DEB（等量代换）
∴⊿BDE是等腰三角形（等角对等边）
（3）∵BD，CE是高（已知）
∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直定义）
∵AB = AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB （等边对等角）
在⊿BEC和⊿CDB中，
∴⊿BEC≌⊿CDB（A.A.S）
∴∠DBC=∠ECB（全等三角形对应角相等）
∴OB=OC（等角对等边）
证二：∵BD，CE是高（已知）
∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直定义）
∵AB = AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB （等边对等角）
∵∠CEB+∠BCE+∠ABC=180°，∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°（三角形内角和180°）
∴∠DBC=∠BCE（等式性质）
∴OB=OC（等角对等边）
（4）∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形对边平行且相等）
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）
∵AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）
在⊿ABE和⊿CDF中，
∴⊿ABE≌⊿CDF（A.A.S）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
2、如图，已知AD=AE，BD=EC（书P64/例4）
求证：AB=AC
证明：∵AD=AE（已知）
∴∠1=∠2（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）
在⊿ABD和⊿AEC中，
∴⊿ABD≌⊿AEC（S.A.S）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
当然本题亦可以证明⊿ABE≌⊿ACD，思考：本题除了可以证明AB = AC，还可以证明什么？
3、 如图，已知：O中弦AB与CD，过圆心O有OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，
∠BAO=∠DCO
求证：AB=CD
证明一：∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知）
∴∠OEA=∠OFC=90°（垂直的定义）
在⊿AEO和⊿CFO中，
∴⊿AOE≌⊿COF（A.A.S）
∴OE=OF（全等三角形对应边相等）
∵OE⊥AB，OF⊥CD（已知）
∴AB=CD（同圆中，弦心距相等，那么所对的弦相等）
总结：证明“边相等”的思考步骤：
第一层次：中点的定义
同圆的半径相等 （定理23）
第二层次：等角对等边 （定理19）
全等三角形对应边相等 （定理41）
第三层次：等式性质
等腰三角形顶角的平分线（底边上的高）平分底边 （定理18）
在同（等）圆中，如果圆心角（弧）相等，则所对的弦（弦心距）相等。
（定理25，26）
平行四边形对边相等 （定理37）
平行四边形对角线互相平分 （定理38）
垂直于弦的直径平分弦 （定理29，31，34）
*一般需要证明的两条边在同一个三角形中，多用等角对等边；在不同的三角形中，多用全等三角形对应边相等；平行线较多，多用平行四边形的性质；圆中主要同圆的半径相等，同圆中的四个量的关系和垂径定理。
习题精练：
1、等腰三角形顶点到两腰中线的距离相等。（画出图，写已知，求证，并证明）
2、已知：如图⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，AE=AD
求证：CD=BE
3、已知：⊿ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD
求证：⊿AFG为等腰三角形
4、 已知：如图，BD是等边⊿ABC的边AC上的高，E是BC延长线上一点，
求证：DB=DE
作业：
1、 B册/22.4（2）
2、 同步
3、 一课一练