角平分线[下学期]

用推理方法研究三角形——角平分线教学设计
教学目标
使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
重点
角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点
角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培养。
教学过程
1、 回忆、思考
如图，OC是∠AOB的平分线，那么OC上的点具备
什么性质呢？
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
这个性质是怎么得到的？
2、 推理证明角平分线的性质定理和判定定理
1、 角平分线的性质定理
求证：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知： 如图27.2.3，OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证： PD＝PE．
证明　因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以　　　　　∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
在△PDO和△PEO中，因为
∠DOP＝∠EOP（已知），
∠PDO＝∠PEO（已证），
PO＝PO（公共边），
所以　　　　　　　　　　△PDO≌△PEO（A.A.S）．
因此　　　　　PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．
于是就有：
定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2、 角平分线的判定定理
求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
（让学生写出已知、求证，并写出证明的全过程）
已知：如图27.2.4，QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析　为了证明点Q在∠AOB的平分线上，
可以画射线OQ，利用（H.L.）
定理证明△QOD≌△QOE，
从而得到∠AOQ＝∠BOQ．
于是就有：
定理　到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
3、 定理的应用
（1）三角形的三条角平分线交于一点吗？为什么？这一点称为三角形的 心。
（让学生思考，思考后归纳）
（2）如图，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，
且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F。
求证：EB=FC
3、 练习
1. 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
(第1题)
　　　 （第2题）

2. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
4、 小结
本节课推理证明了角平分线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程。
1、角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2、角平分线的判定定理：
到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
注意学习证明定理的思想方法，并能运用这些方法和定理本身的内容去解决问题。
5、 作业
P12-13习题27.21.第3题。