2022～2023学年下期高2024届阶段二质量监测
数学试题
（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 书架上放有3本不同的语文书和4本不同的数学书，甲同学从中任选两本，则不同的选法有（ ）．
A. 1 B. 21 C. 35 D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用组合问题列式计算作答.
【详解】依题意，不同的选法有.
故选：B
2. 已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）．
X 0 1 2
P
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的分布列，结合互斥事件的加法公式计算作答.
【详解】依题意，.
故选：D
3. 的展开式中的系数是（ ）．
A. -6 B. 2 C. 10 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式的通项求展开式的系数即可.
【详解】二项式的通项为，
当产生时，令，解得；
当产生时，令，解得；
所以展开式中的系数为.
故选：A
4. 若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（ ）．
A. 72 B. 120 C. 144 D. 288
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法，列式求解作答.
【详解】依题意，先排除A、B、C外的另3件艺术品，有种方法，
再把A和B视为一个整体，与C插入4个间隙中，有种方法，而A和B间的排列有种方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的排列方法数为144.
故选：C
5. 已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，设切点坐标为，
于是，解得，则，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
6. 已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求得，，结合，，即可求解.
【详解】由随机变量服从两点分布，且，
可得，且，
所以，.
故选：B.
7. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，由给定条件可得在上有解，再求出函数的最值作答.
【详解】函数，，
依题意，存在，使得，即存在，使得，
显然函数在上单调递减，当时，，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别构造函数，，根据函数单调性和特殊值的思路比较大小即可.
【详解】令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，即，；
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，
，，，所以，即，
所以.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，下列结论正确的是（ ）．
A. 所有项的二项式系数和为 B.
C. D. 展开式中含项的二项式系数最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二项式定理逐项进行判断即可求解.
【详解】由题意知的二项式系数和为，故选项A正确；
令，可得，故选项B正确；
令可得，；
令可得，；
上式减下式可得，，故选项C错误；
由杨辉三角可知，展开式中第6项的二项式系数最大，所以展开式中含项的二项式系数最大，故选项D正确，
故选：ABD.
10. 若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为，优质品率分别为、，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（ ）．
A. 买到的是甲品牌产品的概率为0.2
B. 若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9
C. 买到的是优质品的概率为0.8
D. 若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意直接判断AB选项；利用全概率公式求优质品的概率，即可判断C选项；利用贝叶斯公式求已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率，即可判断D选项.
【详解】因为甲、乙品牌的市场占有比例为，所以买到的是甲品牌的概率为0.2，故A正确；
因为乙品牌的优质品率为90%，所以若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率为0.9，故B正确；
设买到的产品为甲品牌为事件，买到的产品为乙品牌为事件，优质品为事件，
则，故C正确；
，故D错.
故选：ABC.
11. 某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（ ）．
A. 共有300种不同的安排方法
B. 若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法
C. 若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法
D. 若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法
【答案】BC
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合问题求出不同安排方法数判断A；求出1号楼去2人的安排方法数判断B；利用排除法求出甲乙去同一栋楼的安排方法数判断C；利用隔板法求出不同分配方法数判断D作答.
【详解】对于A，5名教师按去到三栋楼有种方法；按去到三栋楼有种方法，
因此不同的安排方法种数是，A错误；
对于B，取2名教师去1号楼，不同的安排方法种数是，B正确；
对于C，甲乙两名教师去同一栋楼，另3名教师去另两栋楼有种，另3名教师去三栋楼有种，
则不同的安排方法种数是，由选项A知，共有种不同安排方法，
所以甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，安排方法种数是，C正确；
对于D，每栋楼先放5个灭火器，再将余下10个灭火器排成一排，在9个间隙中插入2块板子，有种，D错误.
故选：BC
12. 若函数有3个不同的零点，分别记为，则下列说法正确的是（ ）．
A. 是函数的一个零点
B. a的取值范围是
C.
D. 若，则a范围是．（其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，）
【答案】AD
【解析】
【分析】由求得函数的一个零点判断A；由函数零点的意义构造函数结合图象求解判断BC；由的意义结合已知求出大于1且不为的零点范围求解判断D作答.
【详解】函数的定义域为，由，得或，
解，得，因此是函数的一个零点，A正确；
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上递增，在上递减，，且，当时，恒成立，
函数有3个零点，不妨令，于是方程有两个不同的解，
即函数的图象与直线有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，，于是当时，函数有两个或三个零点，
当时，，即当时，函数只有两个零点，因此，B错误；
显然函数的图象关于直线不对称，即，因此，C错误；
因为，又，则，即，
于是，而，则，即，D正确.
故选：AD
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，15题第一空2分，第二空3分）
13. 已知的二项展开式中常数项为__________．（用数字作答）
【答案】80
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】二项式展开式的通项公式，
令，解得，
所以二项式展开式的常数项为.
故答案为：80
14. 高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有__________种．（用数字作答）
【答案】35
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答.
【详解】不同的选人方案有3类，既能唱歌又会跳舞的人不选有种，
既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有种，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选人方案共有35种.
故答案：35
15. 口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”；则__________；记事件“三次抽到的号码之和为7”，则__________．（用数字作答）
【答案】 ①. ②. ##0.25
【解析】
【分析】第一空，先求出，根据可得，第二空，可判断，故
，求出后，由公式可得.
【详解】“三次抽到的号码全相同”， 由题意，
所以，
事件“三次抽到的号码之和为7”，即抽到的三个数为2，2，3或1，3，3，
故，
，
故，
故答案为：；
16. 若，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同构法，构造函数，将问题转化为，从而得到恒成立问题，再构造，利用导数求得其最小值，由此得解.
【详解】因为，
，
令，则原式等价于，
恒成立，所以在定义域内单调递增，
所以，
令，
则时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
所以，则又a为正数，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）；
（2）最大值为18，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出的导函数，利用导数的几何意义和给定的切点，建立的方程求解即可.
（2）利用的导数探讨函数的单调性，即可求出函数在上的最值.
【小问1详解】
因为，求导得，
又的图象在处的切线方程为，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，
则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，又，
所以在上的最大值为18，最小值为.
18. 现有10件分别来自于甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出．
（1）求选出的3件产品来自于同一车间的概率；
（2）设随机变量x表示选取的产品是来自于乙车间的件数，求X的分布列和期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）求出从这10件产品中任选3件的不同取法数及来自于同一车间的取法数，再利用古典概率计算作答.
（2）求出的所有可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答.
小问1详解】
依题意，从这10件产品中任选3件的不同取法数为种，
3件产品来自于同一车间的取法数有种
所以选出的3件产品来自于同一车间的概率.
【小问2详解】
依题意，的所有可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
期望为.
19. 已知函数，且，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）递减区间是，递增区间是；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用导数求出单调区间作答.
（2）把给定的不等式作等价变形，构造函数并求出函数最小值作答.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，由，得，
即，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，，不等式，
令，，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，依题意，存在，成立，即，
所以实数b的取值范围是.
20. 有某一项游戏活动的规则如下：先随机投掷一枚骰子，然后根据骰子出现的点数再在袋中取球，最后由取出的球的结果决定奖项．现甲袋中有3个红球，1个白球；乙袋中有2个红球，2个黑球(两个袋中球的大小和质地都是相同的)．每人只参加一次活动，且活动后把球放回原袋中．
（1）小王同学参加的具体活动是：若骰子出现2点或4点，则在甲袋中任取一球，若骰子出现1、3、5或6点，则在乙袋中任取一球．如果取到的球是红球，就获奖．
①求小王同学参加活动获奖的概率；
②小王同学参加活动已经获奖，求他是在甲袋中取球的概率；
（2）小李同学参加的具体活动是：若骰子出现1点或2点，则在甲袋中任取一球，如果取出的球是红球，就获得三等奖；若骰子出现3点或4点，则在甲袋中任取2球，如果取出的球都是红球，就获得二等奖；若骰子出现5点或6点，则在甲袋中任取3球，如果取出的球都是红球，就获得一等奖．求小李同学参加活动获奖的概率．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别计算出小王从甲袋和乙袋中取球，且为红球的概率，相加后得到答案；②利用条件概率公式计算即可；
（2）分别计算出小李同学参加活动获得三等奖，二等奖和一等奖的概率，相加得到答案.
【小问1详解】
①小王从甲袋中取球，且为红球的概率为，
小王从乙袋中取球，且为红球的概率为，
所以小王同学参加活动获奖的概率为；
②由①知，小王同学参加活动获奖的概率为，而且从甲袋中取球，且为红球的概率为，
所以小王同学参加活动已经获奖，他是在甲袋中取球的概率为.
【小问2详解】
小李同学参加活动，获得三等奖的概率为，
获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，
故小李同学参加活动获奖的概率为.
21. 已知函数．
（1）若存在两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设是的极小值点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将存在两个极值点转化为函数与函数的图象有两个交点，然后结合的图象求解即可；
（2）根据得到的单调性，结合（1）中的结论得到，然后根据的单调性即可证明，利用作差法即可证明.
【小问1详解】
由题意得，定义域为，
因为存在两个极值点，所以存在两个零点，即，有两个解，
即函数与函数的图象有两个交点，
，令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减，图象如下所示，
所以，即.
【小问2详解】
令，则，令，解得，
令，解得，
所以，即在上单调递增，上单调递减，设的极大值点为，则大致图象如下所示，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
，即，
因为，所以，且，所以，
，
，
因为，，所以，，即，所以，
综上所述，.
【点睛】函数零点问题的解决方法：
（1）将函数零点转化为方程的解；
（2）将函数零点转化为函数图象与轴交点的横坐标；
（3）将函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标.
22. 已知函数，其中，a为常数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解大于0、小于0的不等式作答.
（2）等价变形不等式，借助特值法判断，令，构造新函数，利用导数探讨不等式恒成立的a的范围作答.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，当时，恒有，即函数在R上单调递减；
当时，由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
所以当时，函数在R上单调递减；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
【小问2详解】
当时，恒成立，
当时，对不恒成立，不符合题意；
当时，取，，即对不恒成立，不符合题意；
当时，令，则函数在上单调递增，即有，
不等式等价变形为，令，
于是当时，恒成立，等价于当时，恒成立，
求导得，令，，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，因此函数上单调递增，，
则函数在上单调递增，，即对恒成立，于是，
当时，由，得，即函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递减，
当时，，即对不恒成立，不符合题意，
所以a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.2022～2023学年下期高2024届阶段二质量监测
数学试题
（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 书架上放有3本不同的语文书和4本不同的数学书，甲同学从中任选两本，则不同的选法有（ ）．
A. 1 B. 21 C. 35 D. 42
2. 已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）．
X 0 1 2
P
A. B. C. D.
3. 的展开式中的系数是（ ）．
A. -6 B. 2 C. 10 D. 18
4. 若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（ ）．
A 72 B. 120 C. 144 D. 288
5. 已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（ ）．
A. B. C. D.
7. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，下列结论正确的是（ ）．
A. 所有项的二项式系数和为 B.
C. D. 展开式中含项的二项式系数最大
10. 若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为，优质品率分别为、，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（ ）．
A. 买到的是甲品牌产品的概率为0.2
B. 若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9
C. 买到是优质品的概率为0.8
D. 若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5
11. 某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（ ）．
A. 共有300种不同的安排方法
B. 若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法
C. 若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法
D. 若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法
12. 若函数有3个不同的零点，分别记为，则下列说法正确的是（ ）．
A. 是函数的一个零点
B. a的取值范围是
C.
D. 若，则a的范围是．（其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，15题第一空2分，第二空3分）
13. 已知的二项展开式中常数项为__________．（用数字作答）
14. 高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有__________种．（用数字作答）
15. 口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”；则__________；记事件“三次抽到的号码之和为7”，则__________．（用数字作答）
16. 若，则实数a的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求在区间上的最值．
18. 现有10件分别来自于甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出．
（1）求选出的3件产品来自于同一车间的概率；
（2）设随机变量x表示选取的产品是来自于乙车间的件数，求X的分布列和期望．
19. 已知函数，且，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数b的取值范围．
20. 有某一项游戏活动的规则如下：先随机投掷一枚骰子，然后根据骰子出现的点数再在袋中取球，最后由取出的球的结果决定奖项．现甲袋中有3个红球，1个白球；乙袋中有2个红球，2个黑球(两个袋中球的大小和质地都是相同的)．每人只参加一次活动，且活动后把球放回原袋中．
（1）小王同学参加的具体活动是：若骰子出现2点或4点，则在甲袋中任取一球，若骰子出现1、3、5或6点，则在乙袋中任取一球．如果取到的球是红球，就获奖．
①求小王同学参加活动获奖概率；
②小王同学参加活动已经获奖，求他是在甲袋中取球的概率；
（2）小李同学参加的具体活动是：若骰子出现1点或2点，则在甲袋中任取一球，如果取出的球是红球，就获得三等奖；若骰子出现3点或4点，则在甲袋中任取2球，如果取出的球都是红球，就获得二等奖；若骰子出现5点或6点，则在甲袋中任取3球，如果取出的球都是红球，就获得一等奖．求小李同学参加活动获奖的概率．
21 已知函数．
（1）若存在两个极值点，求实数a取值范围；
（2）在（1）的条件下，设是的极小值点，求证：．
22. 已知函数，其中，a为常数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．
