2022—2023学年度（下）高2024届5月月考
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间.
【详解】函数的定义域为，
由，得，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：B.
2. 的展开式中的系数是（ ）
A. B. 0 C. 35 D. 70
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，根据通项求出展开式中的系数.
【详解】因为，
其中展开式的通项为，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
3. 核酸检测是新型冠状病毒感染疫情防控的一项重要举措．某社区每周六组织A，B，C三个小区的居民进行核酸检测．现有甲、乙、丙、丁、戊5名大学生报名参加这三个小区的志愿者服务工作，要求每个小区至少分配1人，且甲和乙必须分配在同一个小区，则不同的分配方案共有（ ）
A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.
【详解】若按照3：1：1进行分配，即从丙、丁、戊中再选一人与甲和乙分配在同一个小区，则有种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，即甲和乙必须分配在同一个小区，再从丙、丁、戊中选两人分配在同一个小区，则有种不同的方案，
故共有36种派遣方案.
故选：B.
4. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
5. 某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（ ）
，则：
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布的性质求出的概率，再利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为单只海鲜产品质量，所以，，则，
所以
，
现随机购买只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.
故选：B
6. 若函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数有两个不同的极值点，则在上有两个不同的实数解，转化为二次方程在有两个不同的实数解，求解即可.
【详解】由题意可得的定义域为，，
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个不同的实数解，
所以，解得，
故选：D
7. 学校开设5门不同的数学选修课，每名同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ）
A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种
【答案】A
【解析】
【分析】根据每位同学可以从中任选1门或2门课学习，且甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，可以按照甲、乙、丙三位同学选择课的门数进行分类即可求解.
【详解】因为每位同学可以从中任选1门或2门课学习，且甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，所以可以按照甲、乙、丙三位同学选择课的门数进行分类.
①甲、乙、丙三位同学都只选择一门，则不同的选法共有种；
②甲、乙、丙三位同学有两位同学选择了一门，另一位同学选择了两门，则不同的选法共有种；
③甲、乙、丙三位同学有一位同学选择了一门，另外两位同学都选择了两门，则不同的选法共有种；
所以不同的选法共有种，
故选：A.
8. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式变形为，令，，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.
【详解】，不等式可化为，
令，，
由解得，由解得，
在为增函数，在为减函数，
令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，
当时，有无数个整数解，不满足题意；
当时， 如图，2满足不等式且3不满足不等式，即且，
.
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用数学期望以及方差运算性质，求解即可.
【详解】，．
故选：AD．
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法，令，可判断A；令，，计算求解可判断B；由，利用二项展开式的通项求解可判断C；两边求导，令，可判断D.
【详解】令，则，即，故A正确；
令，则，
令，则，
则，故B正确；
，则，令，则，故C错误；
由两边求导，
得，
令，则，故D正确.
故选：ABD.
11. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确.
【详解】由题意得：，，
故，A正确；
，，D错误；
，，
故，B错误；
，C正确.
故选：AC
12. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（ ）
A. 是“函数”
B. 是“函数”
C. 是“函数”，且
D. 是“函数”，且
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的定义域，根据导函数得出函数的单调递增区间.然后根据“函数”的定义，即可判断.若导函数存在隐零点，则可根据零点存在定理，得出零点的取值范围，以及满足的条件，进而判断C、D两项.
【详解】对于A项，的定义域为，，
因为，所以，所以在上单调递增.
显然不是“函数”，故A错误；
对于B项，函数的定义域为，，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
故，是“函数”，故B正确；
对于C项，的定义域为，，
根据复合函数的单调性可知是减函数，
又，，
根据零点存在定理可得，存在唯一的常数，使，
即，所以，
且当时，，所以函数在上单调递增.
令，则，且，满足条件，
所以.故C项正确；
对于D项，因为的定义域为，.
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减，
所以，当时，函数有最大值.
令，，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，
所以，当时，有，
即，所以，
所以，在上恒成立，
所以函数在上没有零点.
又时，
由零点存在定理及函数的单调性可知，
存在唯一的常数，使得，即，
且当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
令，则是“函数”，且.故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：C项，得出的，零点不确定，即存在隐零点.根据，，结合零点存在定理，即可得出的值.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，分别求得三人均未击中目标与只有一人击中目标的概率，然后用减去其概率之和，即可得到结果.
【详解】根据题意，三人均未击中目标的概率为；
只有一人击中目标的概率为
所以三人中至少有两人击中目标的概率为
故答案为:
14. 同一种产品由甲 乙 丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95 0.90 0.80，甲 乙 丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________.
【答案】0.86
【解析】
【分析】由全概率公式计算所求概率.
【详解】由全概率公式，得所求概率.
故答案为：.
15. 若函数的图象与直线相切，则a＝______
【答案】1
【解析】
【分析】根据导数的几何意义列式计算即可.
【详解】设切点为，因为，
所以，
则，化简得，
令，则，
令可得，令可得，令可得，
则在内单调递减，在上单调递增，且，
所以，故，
故答案为：1
16. 关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数单调性计算最小值即得到答案.
【详解】，即，
设，恒成立，故单调递增.
原不等式转化为，即，
即在上恒成立.
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，
即，解得.
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：将不等式化为，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．
四、解答题：本题共6小题，共70分.其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为．
（1）求，的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），；的单调递增区间为，；单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可得从而求得，．进而令得增区间，令得减区间；
（2）利用导数求得函数在上的最大值为8，进而转化为，解不等式即可.
【小问1详解】
，
，
函数的图象在点处的切线方程为．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
【小问2详解】
由（1）可得：，．
令，则，
所以当变化时，的变化情况如下：
， 0 2 ，
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．
函数在上的最大值为8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范围是．
18. 某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．
（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
（2）现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）2,2,3；
（2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样的性质运算可得.
（2）先列出X的取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算期望即可.
【小问1详解】
三个学习群人数比例为24000:24000 : 36000 = 2 : 2 : 3
因此,应从A、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人.
【小问2详解】
由题X所有可能的取值为0,1,2,3,故
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
19. 随着我国居民生活水平的提高和人们对精神生活的追求，如今有越来越多的人养宠物，很多人的朋友圈除了晒美食 晒旅行 晒孩子外，还会晒各自的宠物，宠物也成了很多家庭中的重要角色之一，为记录下宠物可爱 呆萌的瞬间，会有很多人选择去宠物照相馆，为了解顾客的消费需求，某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.若套餐价格（单位：元）在内的称为“尊享套餐”，在内的称为“普通套餐”.
（1）根据统计数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关？
选择“尊享套餐” 选择“普通套餐” 合计
年龄不低于45岁 50
年龄低于45岁 80
合计
（2）把频率当作概率，现从年龄低于45岁的所有客户中，随机抽取3名客户，记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，没有
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先求得套餐价格在内的频率，再乘以200即可；完善列联表，求得的观测值，再与临界值表对照下结论；
【小问1详解】
解：因为套餐价格在内的频率为，
所以选择“尊享套餐”的客户有（名）.
完善列联表如下：
选择“尊享套餐” 选择“普通套餐” 合计
年龄不低于45岁 50 70 120
年龄低于45岁 20 60 80
合计 70 130 200
的观测值.
所以没有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关.
【小问2详解】
由题设，年龄低于45岁的所有客户中，估计选择“普通套餐”的概率为，
易知.
所以，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.
20. 根据以往大量测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：
（1）通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
【答案】（1）0.71
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）运用频率分布直方图求得其平均数及即可.
（2）运用对立事件的概率公式、古典概型概率及运用导数研究函数的单调性，进而求得最值即可.
【小问1详解】
由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，
所以，，
则，，，
则一等品内径在内，即，
二等品内径在内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率为：
．
【小问2详解】
①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法，
所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，
则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为：
，
，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，
此时，，解得或（舍去）．
所以当时，取得最大值.
21. 已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；
（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.
【小问1详解】
因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立得，解得， ，
所以
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值.
22. 已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论单调性；
（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．
【答案】（1）极大值为，无极小值．
（2）分类讨论，答案见解析.
（3）1
【解析】
【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；
（2）求导，分，讨论可得；
（3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得.
【小问1详解】
的定义域为，
当 时，，
令，解得
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以在时取得极大值为，无极小值．
【小问2详解】
因为
当时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当时
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【小问3详解】
因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，，则在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数的最小值为1．
【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.2022—2023学年度（下）高2024届5月月考
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. ， D.
2. 的展开式中的系数是（ ）
A. B. 0 C. 35 D. 70
3. 核酸检测是新型冠状病毒感染疫情防控一项重要举措．某社区每周六组织A，B，C三个小区的居民进行核酸检测．现有甲、乙、丙、丁、戊5名大学生报名参加这三个小区的志愿者服务工作，要求每个小区至少分配1人，且甲和乙必须分配在同一个小区，则不同的分配方案共有（ ）
A. 72种 B. 36种 C. 18种 D. 6种
4. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某海鲜商家海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（ ）
，则：
A B. C. D.
6. 若函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或 D.
7. 学校开设5门不同的数学选修课，每名同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ）
A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种
8. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，则（ ）
A. B.
C D.
11. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（ ）
A. 是“函数”
B. 是“函数”
C. 是“函数”，且
D. 是“函数”，且
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.
14. 同一种产品由甲 乙 丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95 0.90 0.80，甲 乙 丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________.
15. 若函数的图象与直线相切，则a＝______
16. 关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为．
（1）求，的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
18. 某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．
（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
（2）现需要从匹配7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．
19. 随着我国居民生活水平的提高和人们对精神生活的追求，如今有越来越多的人养宠物，很多人的朋友圈除了晒美食 晒旅行 晒孩子外，还会晒各自的宠物，宠物也成了很多家庭中的重要角色之一，为记录下宠物可爱 呆萌的瞬间，会有很多人选择去宠物照相馆，为了解顾客的消费需求，某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.若套餐价格（单位：元）在内的称为“尊享套餐”，在内的称为“普通套餐”.
（1）根据统计数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关？
选择“尊享套餐” 选择“普通套餐” 合计
年龄不低于45岁 50
年龄低于45岁 80
合计
（2）把频率当作概率，现从年龄低于45岁的所有客户中，随机抽取3名客户，记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20. 根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：
（1）通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
21. 已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
22. 已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．
