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第一章 解三角形
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（ ）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．在△ABC中，，则△ABC一定是（ ）
Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）
A. ，有两解 B. ,有一解
C. ，有两解 D. ，无解
6．中，的对边分别为若且，则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
二、填空题
7．在△ABC中，若,求= ．
8．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．
10．在△ABC中，求证：
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A
二、填空题
7． 8. 1
三、解答题
9. 解∵Ｂ＝Ａ＋ ∴
又 ∴
∴
∴又∵ ∴
10. 解：.
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1.2应用举例（二）
一、选择题
1．台风中心从A地以20 km/h的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
2．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
3．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（ ） 21cnjy.com
A． B． C． D．
4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）
A．1公里 B．sin10°公里 C．cos10°公里 D．cos20°公里 2·1·c·n·j·y
5．一船向正北航行，看见正西方向有相距 ( http: / / www.21cnjy.com )10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.5海里? B.5海里 C.10海里? D.10海里°
6.在△ABC中，，则三角形最小的内角是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．以上都错
二、填空题
7．我舰在敌岛A南50°西相距 ( http: / / www.21cnjy.com )12nmile?的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小
为
8．在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏 ( http: / / www.21cnjy.com )东45° 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行用多少h能尽快追上乙船？21教育网
10．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．21·cn·jy·com
1.2应用举例（二）
一、选择题
1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B
二、填空题
7．14nmile/h 8. 20（1+） m
三、解答题
9. 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）
甲船用h可以追上乙船。
10. 解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a. ①
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a. ②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.
A
B
C
北
45°
15°
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1.1正、余弦定理的综合应用
一、选择题
1、在中，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，有一边是另一边的２倍，并且有一个角是，那么这个三角形（ ）
Ａ．一定是直角三角形 Ｂ．一定是钝角三角形
Ｃ．可能是锐角三角形 Ｄ．一定不是锐角三角形
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC中，＝（）成立的条件是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．且 Ｄ．或
5.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A . B . C . D．9
6在△ABC中，∠Ａ满足条件，△ABC的面积等于（ ）
A . B . C . D．
二、填空题
7．已知在△ABC中，Ａ＝，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么 ＢＣ边长等于__7______21世纪教育网版权所有
8．已知锐角的三内角A、B、C的对边分别是
则角A的大小_________；
三、解答题
9.在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
10. 在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，
（１）求∠Ａ的大小；（２）求的值
1.1正、余弦定理的综合应用
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C
二、填空题
7．7 8.
三、解答题
9. 解：由已知可得。由正弦定理，得
。。
10. 解 （１）∵∴在△ABC中，由余弦定理得 ∴∠Ａ＝（２）在△ABC中，由正弦定理得∵ ∴21教育网
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1.2应用举例（一）
一、选择题
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10海里 B.海里 C. 5海里? D.5海里
2．海上有A、B两个小岛相距10海里， ( http: / / www.21cnjy.com )从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里
3．如图，要测量河对岸A、B两点间 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.21世纪教育网版权所有
（A）20 （B）20 （C）40 （D）20
4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）www.21-cn-jy.com
A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
5．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )
A米 B米
C米 D米
6.如图所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A ( http: / / www.21cnjy.com )、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度为： .
A．40m B．50m C．60m D．70m
二、填空题
7．一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 21教育网
8．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 21cnjy.com
三、解答题
9.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
10．某船在海上航行中不幸 ( http: / / www.21cnjy.com )遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。21·cn·jy·com
1.2应用举例（一）
一、选择题
1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C
二、填空题
7． 8.
三、解答题
9. 解：如图，连结，由已知，，，
又，是等边三角形，
，由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．故乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．
10. 解：设所求最大圆的半径为x，
则在△ABC中
又在△ACD中：
又在△ACD中：
A
C
D
B
北
乙
甲
北
甲
乙
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1.1.2余弦定理（一）
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则△ABC的最小角为（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
2．在△ABC中，如果,则角Ａ等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4在△ABC中，已知则角Ｃ＝（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A. B. 2 C. 2或 D. 3
6．在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是（ ）
A．90° B.120° C .135° D.150°
二、填空题
7．已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是________
8．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ 21教育网
三、解答题
9．在△ABC中，已知，求及面积
10．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长.
1.1.2余弦定理（一）
一、选择题
1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B
二、填空题
7． 8.
三、解答题
9. 解 由余弦定理，知
∴又∵∴
∴
10. 解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴
∴ 又 ∴ ①
由余弦定理，得 ②
1 入②，得
∴
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1.1.1正弦定理（二）
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则的值为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．在△ABC中，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( )
Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（，＋∞）
Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）
5．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=－lg, 则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.在中，已知，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题
7、在△ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_________
8．在中，已知，那么的形状是一定是___
三、解答题
9．已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状
10、如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
1.1.1正弦定理（二）
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B
二、填空题
7． 8. 等腰三角形
三、解答题
9. 解：由方程两根之积为，方程两根之和为，∴
由正弦定理，得 即
∵ ∴Ａ－Ｂ＝０ ∴Ａ＝Ｂ
∴三角形为等腰三角形
10. 解：(1) ，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
D
α
β
A
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1.1.2余弦定理（二）
一、选择题
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C． 钝角三角形 D．非钝角三角形
2、△的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
A． B. C. D.
3．在△中，,,分别是，，的对边，且则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形
Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形
5．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
二、填空题
7．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝_________
8.如图，在中，是边上一点，则.
三、解答题
9．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，证明.
10. 在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若a=,b+c=3,求b和c的值.
1.1.2余弦定理（二）
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A
二、填空题
7． 8.
三、解答题
9. 解 由余弦定理,知，
∴
10. 解：（1）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得
4[1-cos（B+C）]-4cos2A+2=7.
又∵ cos（B+C）=-cosA， ∴4 cos2A-4cosA+1=0
解得：cosA=, 又A∈（0，π），∴ A=.
（2）由cosA= 知 =, 即
又a=，b+c=3，代入得 .
由 或
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