2-4-2 同步检测
一、选择题
1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220 C．216 D．215
2．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则等于( )
A．－或－ B .
C . D.或
3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
4．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
5．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 B．34 C．66 D．64
6．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( )
A．4 B．2 C. D.
二、填空题
7．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值为__________．
8．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．
三、解答题
9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn最小时，求n的值；
(3)求不等式Tn2-4-2 同步检测
1 B 2 D 3 D 4 B 5 C 6 D
7 8 3或27
9 [解析] 由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有解得或
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
10 [解析] (1)依题意：Sn＝2n－1(n∈N*)，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
当n＝1，S1＝a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)因为bn＝log2an－12＝n－13，所以数列{bn}是等差数列．
∴Tn＝＝(n－)2－.
故当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．
(3)∵Tn－bn＝－(n－13)＝
＝<0，
∴1所以不等式的解集为{n|1一、选择题
1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24 C．36 D．48
3．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
5． ＋＋＋…＋＝( )
A. B. C. D.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn，且S3＝S12，则a8＝________.
8．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
*10.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．
2-3 同步检测
1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A
7 0 8 110
9 [解析] 设{an}的公差为d，则
，
即，解得，或.
因此Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，或Sn＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n.
10[解析] (1)由等差数列的性质得，a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的解，
又公差大于零，故解得a3＝9，a4＝13，
所以公差d＝a4－a3＝13－9＝4，首项a1＝1.
所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋4(n－1)＝4n－3.
(2)由(1)知：Sn＝＝2n2－n，
所以bn＝＝. 故b1＝，b2＝，b3＝.
令2b2＝b1＋b3，即＝＋，
所以2c2＋c＝0. 因为c≠0，故c＝－，此时bn＝＝2n.
当n≥2时，bn－bn－1＝2n－2(n－1)＝2.
所以当c＝－时，{bn}为等差数列2-4-1 同步检测
一、选择题
1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81 C．128 D．243
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )
A．m>k B．m＝k
C．m4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B. C. D．2
5．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A . B.
C. D.或
6．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A . B．4 C．2 D.
二、填空题
7．已知等比数列{an}，a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则{an}的通项公式为__________．
8．已知1，x1，x2, 7成等差数列，1，y1，y2, 8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．
三、解答题
9．数列{an}中，前n项和Sn＝2n－1，求证：{an}是等比数列．
10．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
2-4-1同步检测
1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 C
7 an＝2n－1或an＝(－2)n－1
8 x＋y－7＝0
9 [证明] 当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)
＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，2n－1＝21－1＝1＝a1，
∴an＝2n－1.
∴＝＝2(常数)，
∴{an}是等比数列．
10[解析] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.2-2-1 同步检测
一、选择题
1．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )
A．92 B．47 C．46 D．45
2．设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是( )
A．48 B．49 C．50 D．51
3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
4．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B. C. D.
5．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于( )
A. B. C. D.
6．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 B. C. D.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
8．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为__________．
三、解答题
17．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列 的项，如果是，是第几项？
19 数列｛｝满足 （n≥2） 设
（1）证明数列｛｝是等差数列;
（2）求数｛｝列的通项公式
2-2-1 同步检测
1 C 2 C 3 D 4 A 5 C 6 C
7 13 8 12
9[证明] ∵，，成等差数列，
∴＝＋化简得：2ac＝b(a＋c)，
又∵＋＝＝
＝＝＝＝2·，
∴，，也成等差数列．
10（1）由可证得。
（2）2-5-1 同步检测
一、选择题
1．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．2或－1
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么log2a10＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B. C. D.
4．若等比数列{an}对于一切自然数n都有an＋1＝1－Sn，其中Sn是此数列的前n项和，又a1＝1，则其公比q为( )
A．1 B．－ C. D．－
5．设数列{an}的通项an＝(－1)n－1·n，前n项和为Sn，则S2010＝( )
A．－2010 B．－1005 C．2010 D．1005
6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
二、填空题
7．数列{an}的前n项和Sn＝log0.1(1＋n)，则a10＋a11＋…＋a99＝________.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.
10．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
2-5-1同步检测
1 C 2 B 3 B 4 C 5 B 6 D
7 －1 8 3
9 [解析] ∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，解方程得x1＝2，x2＝64，∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
若a1＝2，an＝64，由＝126得2－64q＝126－126q，∴q＝2，由an＝a1qn－1得2n－1＝32，∴n＝6.
若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6.
综上所述，n的值为6，公比q＝2或.
10 [解析] (1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，或d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.2-5-2 同步检测
一、选择题
1．一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )
A．三边边长之比为3:4:5 B．三边边长之比为1: :3
C．较小锐角的正弦为 D．较大锐角的正弦为
2．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
A．1＋ B．3＋ C . D．2＋
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( ) A．7 B．8 C．15 D．16
11．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
12．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
A. B. C. D.
14．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1 2
0.5 1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D.
二、填空题
8．an＝sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2010＝________.
9．已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，其前n项之和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n的最小值是________．
三、解答题
10．数列{an}共有k项(k为定值)，它的前n项和Sn＝2n2＋n(n≤k，n∈N*)，现从k项中抽取某一项(不抽首末两项)，余下的k－1项的平均数为79.
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列的项数，并求抽取的是第几项．
17．(2009·陕西)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋1＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
2-5-2 同步检测
1 C 2 C 3 C 4 B 5 B 6 D
7 2＋ 8 63
9 [解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
∵当n＝1时也适合， ∴an＝4n－1(n∈N*)．
(2)设抽取的为第t项，则1＜t＜k.
由题意知Sk＝79×(k－1)＋at，即2k2＋k＝79k－79＋4t－1
∴2t＝k2－39k＋40，∴2＜k2－39k＋40＜2k.则38＜k＜40，∵k∈N*.∴k＝39，t＝20. 故抽取的为第20项，共有39项.
10 [解析] 解：(1)b1＝a2－a1＝1，
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1.
∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列；
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋＝－n－1，
当n＝1时，－1－1＝1＝a1，
∴an＝－n－1(n∈N*)．第二章：数列
2-1同步检测
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
2．已知数列，，2，，…，则2可能是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
3．已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝( )
A．1 B．1999 C．1000 D．－1
5．数列1，－3,5，－7，9，……的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
6．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
二、填空题
7.，，，，，……的一个通项公式是________．
8．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a7＝，则a5＝________.
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…
(2)2,3,5,9,17,33，…
(3)，，，，，…
(4)1，，2，，…
(5)－，，－，，…
(6)2,6,12,20,30，……
10．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；
(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．
2-1 同步检测
1 A 2 B 3 C 4 A 5 C 6 A
7 an＝ 8 1
9 [解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝……，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10 [解析] (1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，
∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.
(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝.2-2-2 同步检测
一、选择题
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
2．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( )
A. B. C. D.
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1 C．3 D．7
4．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列{an}，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈[，]，则k的取值不可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋
C . D．2＋
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
二、填空题
7．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________15．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．
8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：b2012是数列{an}中的第________项．
.三、解答题
9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数
10．设数列{an}是等差数列，bn＝()an，又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
2-2-2 同步检测
1 D 2 A 3 B 4 A 5 B 6 A
7 15 8 5030
9 [解析] 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94
2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18 8d2＝18 d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,
或－8，－5，－2，1.
10 [解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
