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3.1.4
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则( )
A．i＋j＋k B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
4．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，
A，B，C一定共面．
其中正确的命题是( )
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
5．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )21世纪教育网版权所有
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
6．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
二、填空题
7．已知e1、e2、e3是不共面向量， ( http: / / www.21cnjy.com )若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________．21教育网
8．已知向量p在基底{a，b，c} ( http: / / www.21cnjy.com )下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．21cnjy.com
三、解答题
9．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)用a，b，c表示向量，.
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
10．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)＝x＋y＋z.
(2)＝x＋y＋ z.
3.1.4答案
1-6 .BBCBDA 7.[答案] －1 －. 8.[答案] (，，－1) (1,1,1)
9.[解析] (1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)
10.[解析] (1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋
又＝x＋y＋z
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋，
又＝x＋y＋z.
∴x＝，y＝，z＝1.
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第三章 空间向量
第3.1.1节
一、选择题
1．下列命题正确的有( )
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(4)向量a，b相等的充要条件是
(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(6)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.＋＝ B.＋＋＝0
C.－＝ D.＝－
3．已知空间向量，，，，则下列结论正确的是( )
A.＝＋ B.－＋＝
C.＝＋＋ D.＝－
4．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )21世纪教育网版权所有
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
6．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝( )21教育网
A．－a－b B．a＋b C.a－b D．2(a－b)
二、填空题
7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
8．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋＝0，那么＝________.
三、解答题
9．如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)＋＋；(2)－＋.
10．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)＋－＋－；
(2)－＋－.
3.1.1答案
1-6 CBBBAA 7 b－c－a 8
9.[解析] (1)＋＋＝＋＋＝
(2)－＋＝－(－)＝－＝
10.[解析] (1)原式＝＋＋－－＝
(2)原式＝＋－＝.
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3.2.1
一、选择题
1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：
( http: / / www.21cnjy.com )
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)．
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)．
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连结各边中点P、Q、R、S，如图，所得图形是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．长方形 B．正方形
C．梯形 D．菱形
5．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
6．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是( )
A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90°
C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°
二、填空题
7．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.
8．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝________.21世纪教育网版权所有
三、解答题
9．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB.
10．如图， 正四棱柱ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.21教育网
3.2.1答案
1-6.DCCDBD 7.[答案] 3 2 8.[答案]
9.[证明] 设＝a，＝b，＝c，则＝(b＋c)，＝(a＋b)，＝a－c，
∵＝2－2，
∴与、共面，
∵、不共线，PA 平面BDE.
∴PA∥平面BDE.
10.[解析] 以D为原点，DA、DC ( http: / / www.21cnjy.com )、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，＝(0，－，－4)，＝(－，，0)．
设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0.
解得x＝y，z＝－y，令y＝1得n＝(1,1，－)，
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)
而n·＝1×(－2)＋1×2＋(－)×0＝0
即n⊥.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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3.1.2
一、选择题
1．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，a＋b＋c＝0，则为( )
A. B. C. D.
2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
3．i∥\ j，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( )
A.＝＋＋ B.＝＋＋
C.＝－＋＋ D．以上皆错
5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )21世纪教育网版权所有
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
6．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A.a－b＋c B．－ a＋b＋c C.a＋ b－c D.a＋b－c
二、填空题
7．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.
8．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与、共面．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
10．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．www.21-cn-jy.com
3.1.2 答案
1-6 DAABDB 7. －13i＋2j＋7k 8.－ －
9.[解析] ＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋.
∴与，共面．
10.[解析] 设a＝λb＋μc，则i－2j＋k＝(－λ－3μ)i＋(3λ＋7μ)j＋2λk，
∵i，j，k不共面，∴，∴，
故存在实数λ＝，μ＝－，使a＝λb＋μc，
故a，b，c共面．
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3.2.2
一、选择题
1．l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则( )
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
2．设M(3，－1,4)，A(4,3，－1)若＝，则点B应为( )
A．(－1，－4,5) B．(7,2,3)
C．(1,4，－5) D．(－7，－2，－3)
3．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )21世纪教育网版权所有
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ ( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
5．△ABC中，∠C＝90°，点P在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC所在平面外，PC＝17，点P到AC、BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于( )21教育网
A．7 B．8
C．9 D．10
6．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影的比为3?5，则α、β间的距离为( )21cnjy.com
A.cm B.cm
C.cm D.cm
二、填空题
7．若＝λ＋u(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
8．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若⊥，则λ等于________．21·cn·jy·com
三、解答题
9．如图，已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM?MA＝BN?ND＝5?8.www.21-cn-jy.com
求证：直线MN∥平面PBC.
10．已知矩形ABCD和矩形ADEF， ( http: / / www.21cnjy.com )AD为公共边，它们不在同一平面上，点M、N分别为对角线BD、AE上的点，且AN＝AE，BM＝BD.证明：直线MN∥平面CDE.
3.2.2答案
1-6. DBACAC 7.[答案] AB∥平面CDE或AB 平面CDE 8.[答案]
9.[证明] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与、共面，
∴∥平面BCP，
∵MN 平面BCP，
∴MN∥平面BCP.
10[证明] ＝－＝－(＋)
＝(＋)－－
＝＋－－(－)
＝＋－＋＋
＝－，∴与、共面，
∵MN 平面CDE，
∴MN∥平面CDE.
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3.1.5
一、选择题
1．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b则向量a＋b与a－b的夹角是( )21cnjy.com
A．90° B．60° C．30° D．0°
2．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1 C．10 D．11
3．下列各组向量中共面的组数为( )
①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)
②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)
③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1)
④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列各组向量不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
5．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于( )21世纪教育网版权所有
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A．(0，，－1) B．(－，0,1) C．(0，－，1) D．(，0，－1)
6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4
C．04
二、填空题
7．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________.
8．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是____________．
三、解答题
9．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c.
(2)求a与b的夹角．
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．
求证：(1)AE⊥D1F；
(2)AE⊥平面A1D1F.
3.1.5答案
1-6.ADDDCA 7.
8.[答案] 120°
9.[解析] (1)∵c∥，＝(－2，－1,2)．
∴设c＝(－2λ，－λ，2λ)，
∴|c|＝＝3|λ|＝3
∴λ＝±1
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)a＝＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)
b＝＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．
∴cos＝
＝＝－.
∴a和b的夹角为＝π－arccos.
(3)ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又(ka＋b)⊥(ka－2b)，则(ka＋b)·(ka－2b)＝(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
∴10[证明] 设正方体的棱长为1，以、、为坐标向量，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示．21教育网
(1)易知A(1,0,0)、E(1,1，)、F(0，，0)、D1(0,0,1)．
∵＝(0,1，)，＝(0，，－1)．
又·＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，
∴AE⊥D1F.
(2)＝(1,0,0)＝，
∴·＝(1,0,0)·(0,1，)＝0，
∴AE⊥D1A1，
由(1)知AE⊥D1F，且D1A∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F.
k＝2或k＝－.
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3.2.4
一、选择题
1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )21世纪教育网版权所有
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )21·cn·jy·com
A. B. C．－ D.
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3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
4．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( ) 21*cnjy*com
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )21教育网
A．90° B．60°
C．45° D．30°
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )21cnjy.com
A. B. C. D.
二、填空题
7．如图，在正三棱柱ABC－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．www.21-cn-jy.com
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8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．
三、解答题
9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．2·1·c·n·j·y
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．【来源：21·世纪·教育·网】
3.2.4答案
1-6.CCDCDC 7. [答案] 8.[答案] 30°
9[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0，0,2)，E(0，，1)，
∴＝(，1,0)，＝(，0，－2)
设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N(x,0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，21·世纪*教育网
即
化简得.∴6，
即N点的坐标为(，0,1)．
10.[解析] 以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C(0,1,0)，E(0，，1)，F(，1,1)．www-2-1-cnjy-com
设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则，
∵＝，＝，
∴，∴，
令z＝1，则n＝(－2,1,1)．
显然平面ABCD的法向量e＝(0,0,1)，则
cos〈n，e〉＝＝.
设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝.
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3.2.3
一、选择题
1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )
A．(1，－2,0) B．(0，－2,2)
C．(2，－4,4) D．(2,4,4)
3．(2010·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )21教育网
A. B．1 C. D.
4．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为( )21世纪教育网版权所有
A．1 B.
C．2 D.
6．已知向量n＝(1,0，－1)与平面α垂直，且α经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到α的距离为( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
二、填空题
7．在直角坐标系O—xyz ( http: / / www.21cnjy.com )中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．www.21-cn-jy.com
8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
9．已知A、B、C、D是空间四个不同的点，求证：AC⊥BD的充要条件是AD2＋BC2＝CD2＋AB2.【来源：21·世纪·教育·网】
10．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.21cnjy.com
3.2.3答案
1-6.CCACCB 7.[答案] 或 8.[答案] ①②③
9.[证明] 设＝a，＝b，＝c，则AC⊥BD b·(c－a)＝0 a·b＝b·c，
AD2＋BC2＝CD2＋AB2 ||2＋||2＝||2＋||2 |c|2＋(b－a)2＝|c－b|2＋|a|2 a·b＝b·c，
∴AC⊥BD AD2＋BC2＝CD2＋AB2.
10.[证明] 设＝a，＝b，＝v.
由条件知，v是平面ABC的法向量，
∴v·a＝0，v·b＝0，
∵D为AB中点，∴＝(a＋b)，
∵O在CD上，
∴存在实数λ，使＝λ＝(a＋b)，
∵CA＝CB，∴|a|＝|b|，
·＝(b－a)·
＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝(|a|2－|b|2)＋b·v－a·v＝0，
∴⊥，∴AB⊥PC.
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3.1.3
一、选择题
1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )21世纪教育网版权所有
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.·<· B.·＝·
C.·>· D.·与·不能比较大小
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( )
A. B. C. D．4
4．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6 C．12 D．144
5．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝( )
A．14 B. C．4 D．2
6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于( )
A. B.
C．－ D．0
二、填空题
7．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
8．已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，则·＝________.
三、解答题
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
10．如图所示，已知空间四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．21教育网
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3.1.3答案
1-6 BCCCBD 7. 8. 0
9.[解析] (a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)
＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.
10.[解析] ∵点F是BC的中点，
∴＝(＋)．
∴＝－
＝(＋)－.
又||＝||＝|－|，
∴＝2－2·＋2①
同理＝2＝2－2·＋2.②
由①代入②可得
2＝2－2·＋2－2·＋2，
∴22－2·(＋)＝0
∴·(＋－)＝0.∴·(＋－)＝0.∴·＝0.∴⊥.
同理可得⊥.
∴EF是AD与BC的公垂线．
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3.2.5
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是( )21世纪教育网版权所有
A．5 B.
C. D．8
3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD间的距离为( )21cnjy.com
A.a B.a
C.a D.a
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A. B.
C. D.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为( )21·cn·jy·com
A.a B.a
C.a D.a
6．二面角α－l－β等于120 ( http: / / www.21cnjy.com )°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )21教育网
A. B.
C．2 D.
二、填空题
7．矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则P到BC的距离为________．www.21-cn-jy.com
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
三、解答题
9．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
10．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点．2·1·c·n·j·y
(1)求证：MN⊥BD；
(2)若AB与CD所成的角为60°，求MN的长．
3.2.5答案
1-6.BCCDAC 7.[答案] 5 8.[答案]
9.[解析] (1)证明：取AB1中点M，则＝＋＋，又＝＋＋.
∴2＝＋＝＋..
2·＝(＋)·＝0,2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴DM⊥AA1，DM⊥AB.∴DM⊥平面ABB1A1.
∵DM 平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
(2)解：∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
∴是平面AB1D的一个法向量．
∴点C到平面AB1D的距离为
d＝＝
＝＝＝a.
10.[解析] (1)证明：由点M，N分别是BD、AC的中点可知，＋＝0，
＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)，
∴·＝(＋)·
＝(·＋·)，
∵⊥，⊥，∵·＝0，·＝0.
∵·＝0，∴MN⊥BD.
(2)证明：＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(2＋2·＋2)
＝a2＋×2a2cos60°＋a2＝a2.
所以||＝a.
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