11.3.2 多边形的内角和 课件(共35张PPT)2023-2024学年人教版八年级数学上册

(共35张PPT)
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.掌握多边形内角和与外角和公式.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（难点）
3.能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（重点）
新课导入
复习引入
什么是多边形的内角？什么是多边形的外角？
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
多边形的内角和与外角和有什么性质呢？
新知探究
知识点1 多边形的内角和
（2）长方形和正方形的内角和是多少度？
思考 （1）三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180°.
都是360°.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
用量角器量出四个内角的大小，发现四边形的四个内角和为360°.
（3）请大家任意画一个四边形，这个四边形的内角和是多少度？是否与长方形和正方形的内角和相等？你是怎么得到内角和的度数的？
但是测量有误差，推理证明更有说服力.
该如何证明呢？
新知探究
知识点1 多边形的内角和
如图，求四边形ABCD的内角和.
C
B
D
分析：如果四边形内角和是360°，我们已经知道三角形内角和是180°，利用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360°，
可将四边形分成两个三角形.
A
新知探究
知识点1 多边形的内角和
C
B
D
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=∠D+（∠2+∠1）+∠B+（∠3+∠4）=（∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3）=360°，即四边形ABCD的内角和为360°.
1
4
3
2
解：如图，连接对角线AC，则四边形被分为
△ABC和△ACD，
在△ACD中，∠D+∠2+∠4=180°，
在△ABC中，∠B+∠1+∠3=180°.
A
新知探究
知识点1 多边形的内角和
类比四边形内角和的推导方法，请尝试探究五边形和六边形的内角和.
从五边形的一个顶点出发，可以作出 条对角线，它们将五边形分成了 个三角形，五边形的内角和等于180°× .
从六边形的一个顶点出发，可以作出 条对角线，它们将六边形分成了 个三角形，六边形的内角和等于180°× .
2
3
3
3
4
4
新知探究
知识点1 多边形的内角和
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3 0 1 1×180°=180°
4 1 2 2×180°=360°
5 2 3 3×180°=540°
6 3 4 4×180°=720°
...... ...... ...... ......
n
你发现了多边形的内角
和与边数的关系了吗？
n-3
n-2
（n-2）×180°
新知探究
知识点1 多边形的内角和
通过以上的探究，我们发现：从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°.
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
以上我们的探究过程用到了转化的思想，把多边形分割成几个三角形.那么把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A
C
D
E
B
以五边形ABCDE为例说明.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
A
C
D
E
B
F
A
C
D
E
B
分割成5个三角形，∴内角和为180°×5-周角 =180°×5-180°×2 = 180°×3= 540°.
A
C
D
E
B
F
F
分割成4个三角形，∴内角和为180°×4-平角=180°×4-180°×1 = 180°×3 = 540°.
分割成4个三角形，∴内角和为180°×4-三角形内角和 =180°×4-180°×1 = 180°×3
=540°.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
外部
多边形分割成三角形
内部
边
顶点
分割点位置
转化思想
新知探究
知识点1 多边形的内角和
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系？
B
A
C
D
解：如图，若在四边形ABCD中，∠A和∠C互补，
则∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360 °-（∠A+∠C）=180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
知道了多边形的内角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？为什么？
因为正多边形的每个内角相等，所以用内角和除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个内角的度数.
正多边形的每个内角的度数等于 .
跟踪训练
新知探究
1.将一个多边形的边数增加1，它的内角和将（　　）
A．增加90° B．增加180° C．增加360° D．保持不变
【解析】设原多边形边数是n，则n边形的内角和是（n-2） 180°，边数增加1后，新多边形的内角和是（n+1-2） 180°．∵（n+1-2） 180°-（n-2） 180°=180°．∴它的内角和增加180°．故选B．
由此可以看出，多边形每增加一条边，其内角和就会增加180°.
B
跟踪训练
新知探究
2.（2021春 娄底期中）一个正多边形的内角和为1800°，求它的边数和
每个内角的度数．
解：设这个正多边形的边数是n，则（n-2） 180°=1800°.
解得n=12．
1800°÷12=150°.
故这个正多边形的边数为12；每个内角的度数150°．
利用内角和公式计算时，先不要去括
号，把（n-2）看成一个整体，先求
（n-2）的值，再求n的值.这样可使
运算更简单
知识点2 多边形的外角和
新知探究
分析：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
知识点2 多边形的外角和
新知探究
分析：
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
1个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以6个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
上述总和（即六边形的内角和加外角和）为180°×6，六边形的内角和为180°×4，则六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°.
知识点2 多边形的外角和
新知探究
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形
的外角和．n边形的外角和又是多少呢？
n个外角加上与它们相邻的内角为180°×n，
n边形的内角和为180°×（n-2），
n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.
多边形的外角和等于360°.
多边形的外角和为定值，与边数无关
知识点2 多边形的外角和
新知探究
我们也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.
A
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
新知探究
知识点1 多边形的内角和
知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？
因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.
正多边形的每个外角的度数等于 .
（2021 盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　　．
跟踪训练
新知探究
9
【解析】∵一个多边形的每一个外角均为40°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是360°÷40°=9.
课堂小结
多边形的
内角和
内角和计算公式
外角和
正多边形
（n-2）×180°（n为≥3的整数）
多边形的外角和等于360°（与边数无关）
每个内角= ,每个外角=
1.（2020秋 张店区期末）内角和为720°的多边形是（　　）
A． B． C． D．
课堂训练
【解析】 设多边形为n边形，
依题意有（n-2） 180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，故选D．
D
2.（2021扬州模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（　　）
A．增加180° B．增加360°
C．减少180° D．不变
D
【解析】任意多边形的外角和都是360°，与它的边数无关.
课堂训练
课堂训练
3.（2021春 西湖区校级期中）在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（　　）
A．70° B．80° C．120° D．130°
【解析】 ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=160°，
∴∠B+∠D=200°.∵∠B-∠D=60°，∴2∠B=260°.
解得∠B=130°．故选D．
D
课堂训练
4.（2021广州一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．
A．60 B．72 C．48 D．36
【解析】 根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，
所以一共走了8×6=48（米）．
故选C．
C
课堂训练
5.（2021上海徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【解析】一个多边形剪掉一个角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是3，4，5.
∴内角和分别为（3-2）×180°=180°；（4-2）×180°=360°；
（5-2）×180°=540°.∴所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°．故选B．
B
课堂训练
6.（2021北京通州区一模）如图中的平面图形由多条直线组成，计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= °．
360
课堂训练
7.一个多边形的边数由5增加到11，则内角和增加的度数是 °．
方法二：多边形的边数由5增加到11，边数增加了6,.∵多边形每增加一条边，其内角和就会增加180°.∴内角和增加的度数是6×180°=1080°．故答案为1080°．
1080
【解析】方法一：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，十一边形的内角和为（11-2）×180°=1620°.∴内角和增加的度数是1620°-540°=1080°．故答案为1080°．
课堂训练
8.（2021南京一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C-∠1= °．
54
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E= =108°.
∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°.
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=108°-90°=18°.
∴∠1=180°-∠C-∠CBF=180°-108°-18°=54°.
∴∠C-∠1=108°-54°=54°.故答案为54．
课堂训练
9.已知正多边形的一个内角为144°，求该正多边形的内角和.
解：根据题意，得（n-2)×180°=144°n，
解得n=10.
∴这个正多边形的边数是10．
∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400°.
你还有其他解法吗？
课堂训练
解法二：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为36°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数= =10.
∴这个正多边形的边数是10．
∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400°.
课堂训练
10.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
∵∠3＋∠4=∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
=∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
=五边形的内角和
=540°.
8
9
不规则图形求角度之和，关键是转化，借助辅助线转化角的关系是常见的思路
解：如图，