2.3 幂函数及其性质
【学习要求】
了解幂函数的定义；
掌握以下五个幂函数的图象和性质：
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的基本性质。
结合五个幂函数的图象和性质，解决复合函数的定义域、值域、单调性
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质，与幂函数有关的复合函数单调性。
【学习过程】
情景导入：
引例：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要支付钱 元，这里是的函数；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积 ，这里是的函数；
（3）如果立方体的边长为，那么立方体的体积 ，这里是的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 ，这里是的函数；
（5）如果某人秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度 千米/秒，这里是的函数。
思考：以上问题中的函数具有什么共同特征？
讲授新课：
幂函数的定义：
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。
问题一：（1）、说出幂函数与指数函数的区别与联系？
（2）、已学函数哪些是幂函数？
例1：1.下列函数中，哪些是幂函数？
2.已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为
3.已知函数为幂函数，则
2、幂函数图象性质的探究：
在同一坐标系内，作出幂函数的图象。
观察上图，将发现的结论写在下表内：
性 函质 数
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
总结五个幂函数性质：
（1）、函数的图象都通过点（1，1）；
（2）、函数是奇函数，函数是偶函数，函数是非奇非偶函数；
（3）、在第一象限内，函数是增函数，函数是减函数；
（4）、在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近。
例2：1、比较下列各组数中两个数的大小：
（1） （2） （3）
2、若，求实数的取值范围.
3、已知幂函数是偶函数，则实数
4.已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性.
3、复合函数的单调性：
例3：
1.求下列函数的定义域：
1） 2）
3） 4）
思考：设函数的定义域为，则的定义域为
2.求下列函数的单调递减区间：
1） 2）
3） 4）
小结：幂函数性质及其图像的应用，关于幂函数的复合函数。
课后练习：
1. ，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，曲线为幂函数在第一象限的图象，则大小关系为
（ ）
A. B.
C. D.
y
0 x
3. 函数的图象可以看成由幂函数（ ）得到的。
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向上平移1个单位 D. 向下平移1个单位
4. 当时，函数的图象，恒在的下方，则a的取值范围是 。
5.已知函数为常数），问
（1）为何值时，此函数为幂函数？
（2）为何值时，此函数为正比例函数？
（3）为何值时，此函数为反比例函数？2.2.1对数与对数运算（一）
一、教学目标：
理解对数的定义；
掌握指数式对数式的相互转化；
掌握基本的对数运算.
二、课前预习：
1．问题探究：
问题：截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，
若经过年后，我国人口数为（精确到亿），写出关于的函数关系式.并计算20年后
我国人口最多为多少亿？哪一年我国人口数可达18亿？20亿？
2．概念解读：
（1）定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 a
为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意：1）．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数）
2）．对任意 且 , 都有 ∴，同样易知：
3）．如果把 中的 b写成 , 则有 （对数恒等式）
（2）两种常用的对数：
1）以10为底的对数叫做常用对数。为了简便N的常用对数简记作lgN。
2）在科学技术中常常使用以无理数2.71828……为底的对数，以为底的对数叫自
然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN。
三、典型例解剖析：
【例1】：给出四个命题，其中正确的是___________________
（1）对数真数是非负数； （2）若，则；
（3）若，则； （4），则；
（5）若，则。
【例2】：将下列指数式与对数式互化：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5） （6）
【引申1】：求下列各式中的：
（1） （2）
（3） （4）
【引申2】：若，求的值。
【引申3】：已知，求的值
【例3】：（1）计算：
（2）若求
【例4】：设方程的两个根为，求.
四、课后练习：
1．的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．若．则的值为_________________
3. 若，则.
4．如果点关于轴的对称点是（0，1），则.
5．已知，则=______________
6．已知，则
2.2.1对数与对数运算（二）
一、教学目标：
1．理解对数的运算性质；
2．掌握用对数的运算性质进行对数的化简和求值.
二、课前预习：
1．对数的运算性质：如果，，那么
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
三、典型例解剖析：
【例1】：用表示下列各式：
（1）； （2）
【例2】：求下列各式的值：
（1）； （2）
【例3】：计算：（1）.
=____________.
【例4】：计算：（1）；
（2）；
（3）；
(4)；
（5）；
【例5】：已知,求的值.
四、课后练习：
1．已知时，，则的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
2．若，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．若且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为 ( )
A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
5．计算=______________
6．化简_______________
7．log6[log4(log381)]＝________.
8．已知，则=_______________
9．已知，则的值为_____________
10．计算：
（1）
（2）
（3）
2.2.1对数与对数运算（三）
一、教学目标：
1．理解对数的换底公式；
2．掌握用对数的换底公式进行对数的化简和求值.
3．学会运用对数来解决实际问题.
二、学习过程：
1．问题探究：
在第一节的问题中，我们可以从关系式中，算出任意一个年头的人口总数，求哪一年的人口数可达到18亿？列出算式，并计算出结果.
可得：，利用计算器不能直接解决.
要把它化成以10或以为底的对数才可以计算.
问题：你能根据对数的定义推导出下面的公式吗？
2．换底公式.
变式：______=1 =_________
三、典型例解剖析：
【例1】：计算下列各式的值：
（1） （2）
（3）
【引申】：计算：
（1）
（2）
【例2】：
（1）已知，，均大于1，，，
求的值。
（2）已知，试用、表示.
【引申】：（1）已知，用表示;
（2）已知，用表示.
【例3】： 设求的值。
【引申】：设，，都是正数，且，求证：
四、课后练习：
1．若，则______________；
2．设，求证：；
3.解方程（1）；
（2）；
4.已知,求的值；2.1.2指数函数及其性质（三）
一、学习目标：
1．会求与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等；
2．了解函数图象的平移与对称变换；
二、重点和难点：
1．重点：求与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等。
2．难点：图象的平移与对称变换。
三、学习过程：
题型一、指数函数单调性的应用：
【例1】：（1）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为________.
（2）比较下列各组数中两个值的大小：
①______； ②______
③______ ； ④______
【例2】：若，求的取值范围.
【例3】：（1）函数的单调减区间为______________________；
（2）函数的单调增区间为_______________________。
结论：判断复合函数的单调性的规则是“同增异减”，即：“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数；“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数.
题型二、指数函数图象的应用：
【例4】：指数函数在 c d
同一坐标系内的图象如图所示， y
则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A. B. 1 a
C. D. b
O x
【练习1】：的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【练习2】：给出下列4个指数函数：，，，。若
，试将按从大到小的顺序排列。
【例5】：已知函数
讨论函数与函数的图象的关系;
画出函数的图象,并写出的值域和单调区间.
【例6】：说出下列各函数图象与图象之间的关系：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）。
复合函数的图象的变换方法:
函数 将的图象
,向 平移; ,向 平移
,向 平移; ,向 平移
与 的图象关于 轴对称
与的图象关于 轴对称
与的图象关于 对称
图象关于轴对称，时函数即，时,作时关于轴的对称图象
先作的图象,再将轴下方部分翻折至轴上方
课堂练习：
1.函数的图象是由函数的图象_____________得到的；
2.将函数的图象先向右移3个单位，再向下移3个单位，所得图象的解析式为__________________________________;
3.将的图象先向左移2个单位，再向下移2个单位，得到的图象，则=_________________________;
4.函数的图象在第一、三、四象限内，则________________.
5.方程的根有___________________个.
题型三、指数函数的应用问题：
【例7】：（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，写出1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式.
（2）1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为1%，经过年后世界人口数为（亿），求与的函数关系式.
四、课后练习：
1．化简的结果 （ ）
A． B． C． D．
2．设指数函数，则下列等式中不正确的是（ ）
A．f(x+y)=f(x)·f(y) B．
C． D．
3．函数，满足的的取值范围 （ ）
A． B．
C． D．
4．函数得单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列正确的是 （ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
6．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 .
7．当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .
8．计算= .
9．已知－1
10．已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
11．已知函数(a＞1).
（1）判断函数f (x)的奇偶性；（2）求f (x)的值域；
（3）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.2.1.2指数函数及其性质（一）
一、学习目标：
1．理解指数函数的概念和含义；
2．能用描点法或借助计算机画出指数函数的图象，初步了解指数函数的性质（定义域、值域、单调性、特殊点）
二、重点和难点：
1．重点：指数函数的概念和性质。
2．难点：指数函数的图象、性质与底数的关系。
三、学习过程：
【引出】：阅读课本第48页，探究问题1和问题2中两个函数的共同特征.
1.指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
探究一：为什么要规定且？
①若，则当时，；当时，无意义.
②若，则对于的某些数值，可使无意义. 如，这时对于，，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若，则对于任何，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定且.在规定以后，对于任何都有意
义，且. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究二：是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如(且，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 (且)，因为它可以化为，其中，且.
【例1】：判断：下列函数哪些是指数函数？
（1）； （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系内分别作出、、、的图象
总结：
图象
性质 定义域：
值 域：
过 点：
在R上单调（ ） 在R上单调（ ）
【例2】：（1）函数是指数函数，则的值为_____________.
（2）指数函数的图象过点，则，，
（3）若，且，则函数的图象一定过定点___________.
（4）已知，则函数的图象不经过第____象限.
（5）若函数且的图象经过第一、三、四象限，则
【例3】：函数的图象如图所示.
（1）求的值；
（2）当时，求的最大值与最小值
【例4】：（1）比较大小：
① ② ③
（2）已知下列不等式，判断的大小：
①
②2.2.2 对数函数及其性质（一）
【学习要求】
1．理解对数函数的概念和含义；
2．能用描点法或借助计算机画出对数函数的图象，初步了解对数函数的性质（定义域、值域、单调性、特殊点）
【学习过程】
一、提出问题：
问题：在本大节的问题2中碳14含量P和时间的对应关系：，能否构成函数关系？
二、概念解读：
1．对数函数的定义：
函数叫做对数函数；
思考：对数函数 的定义域为 ，值域为
2．对数函数的图象
在同一坐标系内分别作出的图象
总结：
图象
性质 定义域：
值 域：
过 点：
在R上单调（ ） 在R上单调（ ）
练习：
1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1） （2） （3）
（4） （5）
2.已知对数函数，求.
三、性质应用：
题型一、解决对数型函数的定义域问题：
例1求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）
练习：
1．求下列函数的定义域：
(1)y= （2） （3）
例2．求下列函数的定义域：
（1） （2）
（3）函数的定义域为，求函数的定义域。
题型二、对数函数的图象问题：
例3． （1）函数的图象过定点
（2）如图，各曲线是对数函数的图象，已知a的取值为，则相应于的a的值依次为
题型三、对数函数单调性的应用：
例4：比较下列各组值的大小：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
例5：（1）若，则的取值范围是
（2）已知，试确定 m和n的大小
（3）已知且，求x的范围
2.2.2 对数函数及其性质（二）
【学习要求】
1．进一步理解对数函数的性质（单调性、定义域、值域）；
2．了解对数函数性质的应用，掌握利用单调性比较大小，确定单调区间。
【学习过程】
一、知识回顾：
图象
性质 定义域：
值 域：
过 点：
在R上单调（ ） 在R上单调（ ）
二、范例解读：
题型四、解决对数型函数的值域和最值问题：
例1．函数在[2，4]上的最大值比最小值多2，求.
例2．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域。
练习：（1）求函数的定义域和值域。
（2）求函数的值域。
例3．求下列函数的最大值或最小值及其对应的x的值。
（1） （2）；
（3）
例4．已知x满足不等式，求函数的最大值和最小值。
题型五、对数函数奇偶性的应用：
例4：判断下列函数的奇偶性（
（2）
2.2.2 对数函数及其性质（三）
【学习要求】
1．进一步理解对数函数的性质（单调性、定义域、值域）；
2．了解对数函数性质的应用，掌握复合函数的单调。
3．了解反函数的概念。
【学习过程】
一、范例解读：
题型六、对数型函数单调性的应用：
[单调性]
例1：⑴证明函数在上是增函数
⑵ 函数在上是减函数还是增函数？
例2：求下列函数的单调区间
（1）的单调增区间为 ，单调减区间为
（2）求y=(-2x)的单调递减区间
[简单含参问题]
例3．(1)已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
(2) 函数在上单调递减，求实数的取值范围。
【课后反馈】
1．已知下列不等式，比较正数m、n的大小：
（1）m＜n (2) m＞n
(3) m＜n (4) m＞n(a＞1)
2．若，则a的取值范围是____________.
3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．求函数y=(-4x)的单调递增区间是
5．已知关于的方程有正根，则实数的取值范围是____________。
[反函数]
1．阅读课本P73，指出与互为反函数。
观察下列指数函数与对数函数的图象，指出它们的对称关系。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )2.1.2指数函数及其性质（二）
一、学习目标：
1．进一步理解指数函数的性质（定义域、值域、奇偶性）；
2．了解指数函数的性质及应用.
二、重点和难点：
1．重点：指数函数的图象和性质的应用.
2．难点：构建指数函数的模型来解决问题.
三、学习过程：
知识回顾：
图象
性质 定义域：
值 域：
过 点：
在R上单调（ ） 在R上单调（ ）
题型一、解决指数型函数的定义域、值域和最值问题：
【例1】：求下列函数的定义域和值域：
① ②
③ ④
⑤
【练习】：（1）函数的定义域是______________；
（2）函数的定义域为_____________，值域为___________.
（3）设的定义域为，则函数的定义域是_________.
【例2】：已知，且，若函数在区间上的最大值为，求的值.
【例3】：函数在区间[-1，1]上的最大值是7，求的值.
【练习】：（1）求函数（）的值域。
（2）当时，_________.
题型二、指数函数奇偶性的应用：
【例4】：已知为定义在（-1，1）上的奇函数，当时，
求在（-1，1）上的解析式.
【练习】：（1）已知是奇函数，则的值是________________.
(2)已知奇函数偶函数满足.
求证:2.1.1指数与指数幂的运算(1)
一、教学目标：
1、理解次方根概念及次方根的性质；
2、会求或化简根指数为正整数时的根式；
3、初步了解分数指数幂的概念。
二、重点和难点：
重点：利用次根式的性质化简次根式；分数指数幂的概念。
难点：次根式的性质及应用。
三、预习指导：
1、一般地，如果，那么叫做___________，其中，且。
式子叫做_______________；叫做________________；叫做________________。
当是奇数时，__________； 当是偶数时, ________，此时满足__________。
0的次方根都是___________，记作____________。
2、根式的性质：a)
b) 当为奇数时，
当为偶数时，
3、正数的分数幂：
1)=___________ ； ___________=______________。
4、0的正分数指数幂为________；0的负分数指数幂没有意义。
四、学习过程：
例1：求值
(1)64的8次方根 (2)-32的5方根
(3) 的3次方根
探索与的联系
练习：求值
(1) (2) (3)
小结：
探索与联系
例2：求值
(1) (2) (3)
思考： 与有什么区别，它们的分别是什么意义？
例3：化简求值：
（1） （2）
（3）
（4）
练习：化简下列各式：
(1) (2) (3)
例4：设，化简
例5：求使等式成立的实数a的取值范围。
例6：求值：
(1) (2) (3) (4)
例7：用分数指数幂表示下列各式：
(1) (2) (3)
2.1.1指数与指数幂的运算(2)
一、教学目标：
1、深刻理解分数指数幂的概念；
2、掌握有理指数幂的运算性质；
3、初步了解无理数指数幂的概念；
二、重点和难点：
重点：利用正分数有理数指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式；
难点：正分数有理指数幂的运算性质的理解。
三、预习指导：
1、对于任意有理数，和实数，
对于任意无理数和实数，我们也可以定义，并且。
四、学习过程：
例1：用分数指数幂表示下列各式：
例2：（1）化简 （2）化简
练习：（计算或求值）
（1） （2）
（3）
例3：已知的值。
练习：已知，求下列各式的值：
（1） (2) (3) （4）
例4：计算：1）
2）
例5：已知
(1) 求的值；
（2）设求的值。
五、课后练习：
1、给出下列判断：①；②若，则；③；
④，其中正确是 。
2、化简（a,）：（1）
（2）
（3）
3、已知，求的值。
4、已知，求的值。