2．2．1 向量的加法
．
一、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和
向量；
3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
二、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量；
2．向量加法定义的理解。
三、教学过程：
（一）复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（）、、、 （）、、、
（）、、、 （）、、、
（二）新课讲解：
情景：利用向量的表示，从景点Ｏ到景点Ａ的位移为 ，从景点Ａ到景点Ｂ的位移为 ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是 （图２２ １）
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
规定：零向量与任一向量，都有．
说明：①共线向量的加法：
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.
作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 .
（1） （2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则
则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行
四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
4．例题分析：
如图２ ２ ５，Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥＦ 的中心，作出下列向量：
在长江南岸某渡口处，江水以１２．５ｋｍ／ｈ的速度向东流，渡船的速度为２５ｋｍ／ｈ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
例3 已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
六、小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法作业：
一、基本概念
1．向量的加法：求两个向量 叫做向量的加法
2．规定：零向量与任一向量，都有
3．向量加法的法则：
（1） 法则：（2） 法则
4．向量的运算律：
交换律： ．
结合律： ．
二、作业
１．如图，已知向量ａ，ｂ，作出ａ＋ｂ．
5.一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为 千米 ；两次位移的和的方向为北偏东，
大小为 千米．
6.化简；
7
8．
9
10．
课件8张PPT。2.3 .3向量平行的坐标表示复习回顾a=xi + yj（x，y） 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． 2.3.3平面向量共线的坐标表示如何用坐标表示向量平行(共线)的条件?
会得到什么样的重要结论?向量 与非零向量 平行(共线)的条件是有且
只有一个实数 , 使得设
即 中,至少有一个不为0 ,则由 得这就是说: 的条件是
3. 向量平行(共线)两种表示形式:2.3.4 平面向量共线的坐标表示例 题已知已知
求证: A、B、C 三点共线。若向量 与 共线且
方向相同, 求 x.作业选讲 向量平行(共线)两种表示形式:小结作业;讲义2．1． 向量的概念及表示
一、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；
2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；
3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
二、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；
2．向量的几何表示。
三、教学过程：
（一）问题引入：
1.老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
2.湖面上有三个景点Ｏ，Ａ，Ｂ，如图２ １ １所示景点Ｏ送至景点Ａ，半小时后，游艇再将游客送至景点Ｂ．从景点Ｏ到景点Ａ有一个位移，从景点Ａ到景点Ｂ也有一个位移．
● 位移和距离这两个量有什么不同？在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量等）在取定单位后只用一个实数就能表示，我们称之为数量．而另外一些量（如位移、速度、加速度、力等）必须用数值和方向才能表示．
（二）新课讲解：
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示； a
（2）用字母表示： b
c
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
c
a
b
4．例题分析：
例1 如图1，设是正六边形的中心，
(1)分别写出图中与向量，，相等的向量。
(2)试找出与、共线的向量
（3）相等吗？
例2． 在图２ １ ７（１）中的４×５方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）
例3 如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
解 ．
例3 在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
解：
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、向量的概念及表示作业
（一）基础回顾
1．向量定义：既有 又有 的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有 示； a
（2）用字母表示： b
c
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素： ；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作 ．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为 的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作 ；
（3）平行向量：方向 或 的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向 的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。 向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量 ，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的 无关。
（二）
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
在下列结论中，哪些是正确的？（１）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（２）模相等的两个平行向量是相等的向量； （３）若ａ和ｂ都是单位向量，则ａ＝ｂ；（４）两个相等向量的模相等．
３．设Ｏ是正△ＡＢＣ的中心，则向量， ，是（ ）．
Ａ．相等向量 Ｂ．模相等的向量 Ｃ．共线向量 Ｄ．共起点的向量
4.写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为１）
5、
6、
7、
8、
课件12张PPT。2.2.3 实数与向量的积（二）向量共线定理复习回顾运算律：结论：如果两个向量共线，那么
其中的一个向量可由另一个（非零）
向量的数乘来表示，即线性表示。向量共线定理应用1 如图，已知 ， ．
试判断 与 是否共线． 应用2判断下列各题中的向量是否共线：
（1） ， ；
（2） ， ， 且 ， 共线． 应用3 设 是两个不共线的向量，已
知 ， ， ，
若 ， ， 三点共线，求 的值。
课堂练习练习题： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。作业：讲义课件10张PPT。2.5向量的应用几何问题代数问题向量例1 已知：
当 为非零向量时
求证：证：因为所以即两式相减有：即又二、应用向量知识证明三线共点、三点共线例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点H由此可设利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。练习、证明直径所对的圆周角是直角分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。解：设
则 ，
由此可得：即 ，∠ACB=90°思考：能否用向量
坐标形式证明？例3 已知直线 l 经过点 和 ，用向量方法求 l 的方程。解 设P（x，y）是直线l上任意一点，则因为 三点都在直线 l 上，所以这就是直线 l 的方程思考1、已知两点 ， 试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为几何问题代数问题向量下课
作业：讲义课件24张PPT。向量的减法1.向量加法的三角形法则（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）2.向量加法的平行四边形法则（要点：两向量首尾连接）3.向量加法满足交换律及结合律复习回顾4.相反向量相反向量与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 — 。
和— 互为相反向量。并且规定，零向量的相反向量仍是零向量。向量减法的定义哪么如何作两个向量的差呢？讨论1：如何作两个向量的差？根据减法定义用加法的三角形法则来作两上向量的差得出结论——差向量的作法另一种方法差向量的作法：结论：作差向量的三角法则讨论—共线向量的减法作差向量的三角法则：(1)(2)讨论：还是根据减法定义用加法的三角形法则来作两个共线向量的差OAB按加法三角形法则作按减法三角形法则作减法三角形法则仍然适用OBA按加法三角形法则作按减法三角形法则作减法三角形法则仍然适用练习2：能否根据向量减法的三角形法则，不画图而给出答案轻点鼠标出现提示BOBAO`例3 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.ADBabC比较向量加法与减法的不同点 （1）加法：首尾相接，头指向尾 （2）减法：头头重合，减尾指向被减尾，（指向被减数）作业：讲义下课2．2．2 向量的减法
一、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
二、教学重、难点：向量减法的定义。
三、教学过程：
（一）复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算。
3．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：；．
（二）新课讲解：
1．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
2．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．
说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，
则．
思考：若，怎样作出？
4．例题分析：
例1．
例3 试证：对任意向量，都有．
证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。
（2）当，均不为零向量时：
①，，即时，当，同向时，；
当，异向时，．
②，不共线时，在中，，
则有．
∴其中：
当，同向时，，
当，同向时，．
例4 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。
已知：，，求证：四边形是平行四边形。
证明：设，，则，
∴，
∴，又∵点不在
∴平行且等于
所以，四边形是平行四边形．
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础
上的；
2．会作两向量的差向量；
3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。
2．2．2 向量的减法作业
一、概念
向量的减法：求两个向量 的运算，叫做向量的减法。表示 ．
3．向量减法的法则：
（1）三角形法则
（2）平行四边形
二作业：
7．已知正方形的边长等于1，，，，
求作向量：（1）（2）；
2．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围。
3．如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，
，，求证．
课件16张PPT。想一想：位移和距离这两个量有什么不同？o2000米1500米位移既有大小又有方向
距离只有大小没有方向向量的概念及表示生活中有向量 生活中用向量阅读课本 P57－58完成下列问题:既有大小又有方向的量称为向量.1）几何表示；
2）字母表示；指向量的长度零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量变1:以图中A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量 相等的向量有几个？变2： 的相反向量有几个？3个4个●●●●●●● 1、下列说法正确的是（ ）课堂练习C2、判断下列说法是否正确： 探究： 如图，以 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？课堂小结：向 量课本P59习题 1，3，4；课后作业讲义向量的表示方法：手写时写成:有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向 几何表示法：用一条有向线段 来表示.字母表示法：用字母a、b、c(黑体字)或 来表示.2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量.零向量模为0，方向不确定.单位向量模为1，方向不一定相同.两个特殊向量：思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？1、零向量：长度为 0 的向量. 记作 .平行向量：规定零向量与任一向量平行.两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上共线向量：平行向量又称共线向量两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量:思考：2.2.3 向量的数乘（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
例1 计算：（1）； （2）； （3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
例2．
例3
四、课堂练习：
五、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
2.2.3 向量的数乘（1）作业
一．基础知识
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向 ；
当时，的方向与的方向 ；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1） （结合律）；
（2） （第一分配律）；
（3） （第二分配律）．
二．作业
11．
2.2.3 向量的数乘（2）
一、教学目标：
理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。
二、教学重、难点： 1。共线向量定理
2．共线向量定理应用。
三、教学过程：
（一）复习：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．线性表示：
（二）新课讲解：
引例：
向量共线定理：
定理： 如果有一个实数，使 （），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
例1 如图，已知，．试判断与是否共线．
解：∵
∴与共线．
例2判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
解：（1）当时，则，显然与共线．
当时， ，∴与共线．
（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．
当，均不为零向量时，设
∴，
若时，，，显然与共线．
若时，，
∴与共线．
例3 设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值。
解：
∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得，
即是.
由向量相等的条件，得 ，∴．
四、课堂练习：
五、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
2.2.3 向量的数乘（2）作业：
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．设是两个不共线的向量，而和共线，求实数的值；
8．设二个非零向量不共线，如果，，
，求证，，三点共线。
课件11张PPT。2.2.3 实数与向量的积（一）1.向量加法的三角形法则（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）2.向量加法的平行四边形法则（要点：两向量首尾连接）3.向量加法满足交换律及结合律复习回顾4.向量的减法问题1：定义：(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),
并进行比较。(3)已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。运算律律练一般地:=(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),
并进行比较。一般地：(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。一般地:(3)已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 运算律：引练习(课本)作业提示9平面向量总复习题?
一、选择题
1.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．
答案：B
2.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
3.下列四式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：A选项中，
B选项中，＝0，，＋0＝
C选项中，＝0，－＋0＝＋0＝．
D选项中，，（∵）
答案：D
4.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A.0 B.2＋ C. D.2
解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2.
答案：D
5.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是?
A. B.＝0
C. D.
答案：D
6.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的是
A.a∥b B.a，b有共同的起点
C.a与b的长度相等 D.a⊥b
解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b
答案：D
7.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0
A.①②③ B.①④
C.②④ D.②⑤
解析：②
③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2
⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.
答案：B
8.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
解析：由题意|AB|＝，
∴|AC|＝.
故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个.
答案：D
9.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ）
A.4 B.2 C.5 D.2
解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得＝－1，＝2
解得x＝－2，y＝4，
∴|PQ|＝.
答案：B
10.下列命题中，正确的是( )
A.|a·b|＝| a |·|b| B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c
C.a2＞|a| D.a（b·c）＝（a·b）c
解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠| a ||b|
B.若a＝0，则a·b＝a·c，
若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c；
若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0.
∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.
C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|.
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
11.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵用x－替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－），
故可将原函数图象向左平移个单位得到.
答案：A
12.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|＝，|b|＝
∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－
∴cosα＝，∴α＝120°
13.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于
A. B. C.或 D.－
解析：由sinB＝，得
cosB＝±＝±
但当cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C无解
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）
＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝sinAsinB－cosBcosA＝··
答案：A
二、解答题
14.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.
分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值.
解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2，
∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2）
于是可得，解得k＝－8.
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.
15.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
解：＝a－b
∵（a－b）
∴=b+（a－b）＝a＋b
又由＝a＋b，得
a＋b
a＋b）－（a＋b）＝a－b
评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
16.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ．求证：O点是△ABC的垂心
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a.
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2
∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2
即c·b＝a·c＝b·a，
故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0 , ·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0
∴⊥，⊥，∴点O是△ABC的垂心.
17.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴ ∴
∴ ∴
解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）
18.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j
又i⊥j，∴i·j＝0
∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥
∴△ABC是直角三角形，
平面向量总复习题?
一、选择题
1.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
2.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
3.下列四式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A.0 B.2＋ C. D.2
5.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是?
A. B.＝0
C. D.
6.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的是
A.a∥b B.a，b有共同的起点
C.a与b的长度相等 D.a⊥b
7.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0
A.①②③ B.①④
C.②④ D.②⑤
8.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
9.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ）
A.4 B.2 C.5 D.2
10.下列命题中，正确的是( )
A.|a·b|＝| a |·|b|
B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c
C.a2＞|a|
D.a（b·c）＝（a·b）c
11.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
12.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
13.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于
A. B. C.或 D.－
二、解答题
14.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.
15.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
16.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ．求证：O点是△ABC的垂心
17.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
18.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
课件15张PPT。2.2.1向量的加法1.三角形法则 2.平行四边形法则 既有大小又有方向的量称为向量.1）几何表示；
2）字母表示；指向量的长度零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量概念复习 由于大陆和台湾没有直航，因此2005年春节探亲，乘
飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之
和是什么？ 台北香港上海引入ABC (2)飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位移的和 应
是:ABC(3)船的速度为 ，水流的速度为 ，则两个速度的和
是：ABC(1)一人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移之和
是二、向量加法的三角形法则作法（1）在平面内任取一点Oo·AB这种作法叫做向量加法
的三角形法则(1)向同(2)反向ABCABC注：三、向量加法的平行四边形法则(1)研究向量是否满足交换律:ABDC依作法有：这种作法称向量加法的平行四边法则(2)研究向量是否满足结合律:C由此可推广到多个向量
加法运算可按照任意的
次序与任意的组合进行例子（1）（2）（4）四、课堂练习一、用三角形法则求向量的和（2）二、用平行四边形法则求向量的和三、看图填写小结与回顾1.向量加法的三角形法则（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）2.向量加法的平行四边形法则（要点：两向量首尾连接）3.向量加法满足交换律及结合律再见！课件16张PPT。2.3.2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示 2．在平面内有点A和点B，向量 怎样 表示？1．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？1 00 10 0由a 唯一确定2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？两者相同概念理解3．两个向量相等，利用坐标如何表示？练习．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标．解：由图可知同理，平面向量的坐标运算1.已知a ，b ，求a+b，a-b．解：a+b=( i + j ) + ( i + j )=（ + )i+（ + )j两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差解： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相
应坐标． 练习2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）
=（6，3）+（-12，16）
=（-6，19） 例2． 已知 ABCD的三个顶点 A（－1，3）、B（ 1，－3）、C（4，1）、D（3，4），求向量 ,
的坐标。例3.质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力f.
(用向量的坐标运算求解) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． (3，4) （0，8）（3，6）（-7，2）例4P67例4课堂练习小结a=xi + yj（x，y） 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
标减去始点的坐标． 课件9张PPT。2.3.1 平面向量基本定理平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？设 e1、e2是同一 平面内的不共线向量，a是该平面内的任一向量，想一想，如何运用向量的加法运算及共线知识，用e1、e2表示出a？平面向量基本定理定理ABCDEFOCBADEFG再见作业：讲义课件14张PPT。2.4 平面向量的数量积及运算律（一）问题其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.数量 叫做力F 与位移s的数量积 向量的夹角 两个非零向量 和 ，作 ，
与 反向 与 同向则 叫做向量 和 的夹角．记作与 垂直，注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．5.6 平面向量的数量积及运算律例题讲解例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b. a ·b =|a | |b |cosθ平面向量的数量积讨论总结性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |练习：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a · b =0，则b=04．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．7．对任意向量 a 有√×××××√8.×ABC例3平面向量的数量积及运算律 1．a · b= b · a 交换律
2. (λ·a) b= a · (λ b)= λ(a · b)= λ a · b
3. (a+b) · c= a · c+ b · c 分配律
思考: 结合律成立吗: (a · b) · c= a · (b · c) ?| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．θ为锐角时，
| b | cosθ＞0θ为钝角时，
| b | cosθ＜0θ为直角时，
| b | cosθ=0平面向量的数量积及运算律讨论总结性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =—| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b | a ·b =|a | |b |cosθ课件10张PPT。 平面向量数量积习题课平面向量数量积习题课平面向量的数量积 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 复习回顾平面向量的数量积 性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |复习回顾（1）设a =（x，y），则 或|a |= .性质2若设 、 则 即平面内两点间的距离公式．（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式. 复习回顾1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
2.已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜ ＝16，求a与b的夹角θ. 小试牛刀例1.已知l1:x－2以＝0和l2:x+3y=0,
求直线l1和l2的夹角。已知a、b都是非零向量，且a＋3b与
7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
求a与b的夹角.
例4练习：讲义课堂练习作业：讲义麦瑞克瑞斯么斯
嗯得嗨皮牛野儿！课件12张PPT。 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示平面向量的数量积 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共
线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数
， 使 ．复习回顾平面向量的数量积 性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =-| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |复习回顾 在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1）， b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
先看x轴上的单位向量i，
y轴上的单位向量jY A（x1,y1）aB(x2，y2)b Oij
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
= x1 x2 i2 + x1 y2 i j + y1 x2 j i + y1 y2 j2
= x1 x2 + y1 y2
X∴a b =（ x1 i + y1 j）（x2 i + y2 j）i i = | i |2 = 1j j = | j |2 = 1i j = j i = 0 平面向量数量积的坐标表示b = x1 x2 + y1 y2 两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和a即：例1、设a = （5，-7），b = （-6，-4），求a b 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示（1）设a =（x，y），则 或|a |= .性质若设 、 则 即平面内两点间的距离公式．（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式. 平面向量数量积的坐标表示例4．已知 ， ， ，求证 是直角三角形. 1、 a b= -7，| a |= 5， 达标测评：1、已知a = （-3，4），b = （5，2），求a b，| a |，| b |。
2、a = （2，3），b = （-2，4），C = （-1，-2）求a b，
（a + b） （a - b），a （b + C），（a + b）2
3、已知a = （-2，4），b = （1，-2），则a 与b的关系是
A、不共线 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向
4、以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形的形状是
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形
D、等腰三角形或直角三角形| b|= ， 2、 a b = 8，（a + b） （a - b）= - 7，a （b + C）= 0（a + b）2 = 49××××√√小结（1）设a =（x，y），则 或|a |= .若设 、 则 即平面内两点间的距离公式．（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即再见！再见！再见！作业：讲义
2.4 向量的数量积（1）
一、课题：向量的数量积（1）
二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围；
3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；
4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：
（一）引入：
物理课中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
（二）新课讲解：
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它
是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影
的乘积。
【练习】：①已知，，与的夹角，则；
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
（3）数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
4．例题分析：
例1 已知正的边长为，设，，，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
例2 已知，，，且，求．
解：作，，
∵， ∴，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
五、课后练习：
补充：1．若非零向量与满足，则 0 ．
六、课堂小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。
七、作业：
2.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量数量积（2）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．
（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：( ；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1 设，求．
解：．
例2 已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵， ∴，
即：，
又∵， ∴， 即：，
由或，
∴，或， ．
例4 在中，，，求值。
解：当时，， ∴ ∴，
当时，，，
∴ ∴，
当时，，∴ ∴．
五、课堂练习 课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业： 课本习题5.7 第１，4，5题。
补充：已知，，
（1）求证： （2）若与的模相等，且，求的值。
2.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ( ①
( ②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
