2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有一项
是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B B C C A B
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．AB 10．AC 11．BCD 12．ACD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
5
13．－28 14．0 15．63 16．( ，1)
3
四、解答题
17．（1）因为 EH AH AE AD AB BD ，
FG CG CF (1 )CD (1 )CB (1 )BD ，
所以 EH FG ，因此 ， ， ， 四点共面．
1
1 2
（2）由（1）知， EH BD, FG BD ，
3 3
1 1
因此 EH FG ，则 EM MG ，所以，
2 2
2 1 2 2 1 1 1 2
OM OE OG ( OA OB) ( OC OD)
3 3 3 3 3 3 3 3
4 2 1 2
OA OB OC OD
9 9 9 9
*
18．（1）设差数列 an 的公差为 d ，则由S4 4S2 ，a2n 2an 1(n N )可得
4a1 6d 8a1 4d , a1 1, *
解得 因此an 2n 1(n N ).
a1 (2n 1)d 2a1 2(n 1)d 1. d 2.
（2）由an 2n 1，得ab 2bn 1，又由 ab 1 是以a1 1为首项，2 为公比的等n n
比数列，得ab 1 2
n
2b 2n b 2n 1，因此 n ， n ， n
1 2n
所以Tn 2
n 1．
1 2
z
19．（1）证明：取 中点 ，连接 1 ， ，则 ⊥ ．
∵ 1＝ ，∠ 1 ＝60°，∴△ 1 为等边三角形，
∴ 1 ⊥ ，∵ 1 ＝ ＝√3，
2
1 ＝√6， ∴ 1 +
2＝ 21 ，∴ 1 ⊥ ，
∵ ∩ ＝ ， ， 平面 ， x M
∴ 1 ⊥平面 ，
y
{#{QQABRYaUogigABJAAABCAwUgCEEQkhEACIgGwAAUIEABCANABAA=}#}
∵ 1 平面 1 1，∴平面 1 1 ⊥平面 ．
（2） 方法一：如图，以MA,MB,MA1，
所在的直线为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系．
A1B1 ( 1, 3,0), A1B (0, 3, 3)，
平面 BA1B1的的法向量n ( 3,1,1) ，
平面 A1B1C1的的法向量m (0,0,1) ，
1
cos n,m
2 5
，故平面BA1B1与平面A1B1C1的夹角的正弦值为 ．
5 5
方法二：由题可知平面 1 1与平面 1 1 1的夹角二面角 1 1 1的正弦值与平面
1 与平面 的夹角相等．
∵ 1 ⊥平面 ，过 作 ⊥ 于点 ，连接 1 ，
∴ ∠ 1 即为平面 1 与平面 的夹角的平面角，
3
√∵ A1M＝√3，MN＝A1M cos60°＝ ， 2
3
√
15
∴ A1N＝√3+ ＝ ， 4 2 M
A M 2√5
∴ sin∠A1NM＝
1 ＝ ． N
A1N 5
2 5
故平面BA1B1与平面A1B1C1的夹角的正弦值为 ．
5
20．（1）
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁 80 20 100
首选其他 60 40 100
合计 140 60 200
零假设为 0:城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算 2 ≈ 9．524 > 6．635，根据小概率值 ＝0．010的独立性检验，我们推断 0不
成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于 0．010．
（2）①证明：第 段行程上 David 坐地铁的概率为 ，
则当 ≥ 2时，第 1段行程上 David 坐地铁的概率为 1，不坐地铁的概率为1 1
1 1 1
则 ＝ 1 0 + (1 1) ＝ 3 3 1 + ， 3
1 1 1
从而 ＝ ( 4 3 1 )， 4
1 3 1 3 1
又 1 ＝ ，所以{ }是首项为 ，公比为 的等比数列． 4 4 4 4 3
3 1 1
②解：由①可知 ＝ ( ) 1 + ， 4 3 4
{#{QQABRYaUogigABJAAABCAwUgCEEQkhEACIgGwAAUIEABCANABAA=}#}
3 1 4 1 1 1 1则 5＝ ( ) + < ，又 5＝ (1 5) > ， 故 5 < 5． 4 3 4 4 3 4
p
21．（1）由题意，当直线 AB 垂直于 x轴时 x ，代入抛物线方程得 y1 p ，则 AB p21 ，
2
所以2p 2，抛物线C : y2 2x ．
1
（2）（ⅰ）设C(x3, y3), D(x4, y4)，直线 AB ： x my ，与抛物线C : y
2 2x 联立，
2
得： y2 2my 1 0，因此 y1 y2 2m, y1y2 1．
设直线 AC ： x ny 1，与抛物线C : y2 2x 联立，得： y2 2ny 2 0，
2 2
因此 y1 y3 2n, y y 2，则 y1 3 3 ．同理可得： y4 ．所以， y1 y2
y3 y4 y3 y4 2 2 y y 1kCD
1 2
x x y
2
3 y
2
3 4 4 y3 y 2 24 y1 y 2m ． 2
2 2 y1 y2
因此直线CD： x 2m(y y3) x x3，由对称性知，定点在 轴上，令 y 0得
y 2 2 1 2 4m 2
x 2my3 x3 2my3
3 2m ( )2
2 y 21 2 y1 y1 y1
2(y1 y2 ) 2 y2 1 y1y 1 2 2( ) 2 2 2 2
y1 y
2
1 y1 y
2 2
1 y1
所以直线CD过定点Q(2,0) ．
1 1
（ⅱ）因为 S PAB PF y1 y2 y1 y2 ，
2 4
1 1 2 2 1 1 y y
S PCD PQ y3 y4
1 2 y1 y2 ，
2 2 y1 y2 y1 y2 y1y2
5 5 5 5
所以 S PAB S
2 2
PCD y1 y2 4m 4 m 1 当且仅当m 0时取到
4 4 2 2
5
最小值 ．
2
f (0) 2, a 1,
22．（ ） f (x) (x2 1)ex1 a,由题意知 ，解得
f (0) b, b 1.
f (x) 0即(x 1)2ex
x
（2） x 0 (x 1)
2 0 ，
ex
x
函数 f (x)
2
有两个零点即函数 g(x) (x 1) 有两个零点．
ex
1
g (x) (x 1)(2 )，
ex
当 x 1时， g (x) 0， g(x)单调递减；当 x 1时， g (x) 0， g(x)单调递增．
1 2
又 g(0) 1 0, g(1) 0, g(2) 1 0，故 x1 (0,1)使得 g(x2 1) 0，e e
x2 (1,2)使得 g(x2) 0，命题得证．
（3）由（1）（2）知 f (x) ( x 1) e 2 x ,x f (x) ( x 12) e 1, x 且0 x1 1 x2 2．要
{#{QQABRYaUogigABJAAABCAwUgCEEQkhEACIgGwAAUIEABCANABAA=}#}
x x x x1 2 x1 x
1 2
证明 f ( ) a ，即证明 (( 2 )2 1)e 2 1 1 ，即证明 x1 x2 2．
2 2
令h(x) g(x) g(2 x)(0 x 1), 则
1 1 (1 x)(ex e2 x )
h (x) g (x) g (2 x) (x 1)(2 ) (1 x)(2 ) 0,
ex e2 x e2
因此h(x) 单调递减，则h(x) h(1) 0．因此h(x1) 0，即 g(x1) g(2 x1)，
即 g(x2) g(2 x1)，又 x2,2 x1 (1,2)，且 g(x)在 (1,2)上单调递增，
因此 x2 2 x1，即 x1 x2 2．命题得证．
{#{QQABRYaUogigABJAAABCAwUgCEEQkhEACIgGwAAUIEABCANABAA=}#}2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测
数学试题卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟，
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出
答题区域的作答无效！
3.考试结束，只需上交答题卡，
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
有一项是符合题目要求的，
1.直线3x十2y-1=0的一个方向向量是()
A.(2,-3)
B.(2,3)
C.(-3,2)
D.(3,2)
2.若{a,b,c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（)
A.b+c,b,-b-c
B.a,a+b,a-b
C.atb,a-b,c
D.a+b,a+b+c,c
3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大
律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从
第二个单音起，每，一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于瓦.而
早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个
理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为则第四个单音的频率
为()
A.5f
B.2
C.4f
D.2
4.“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少
量志愿者。甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一
个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若
甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（)
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
高二数学·第1页（共6页)
可只
0000000
6.A,B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的
一组坐标信息x,).A小组根据表中数据，直接对(x,y)作线性回归分析，
得到：回归方程=0.4699x十0.235决定系数R2=0.8732.B小组先将数据按照
变换u=x,v=y进行整理，再对u,v作线性回归分析，得到：回归方程=
一0.5006u十0.4922，决定系数R2=0.9375.根据统计学知识，下列方程中，最
有可能是该粒子运动轨迹方程的是()
A.0.4699x-y+0.235=0
B.0.5006x+y-0.4922=0
C.0.5006x2+y2
=1
_+05006y2=1
0.49220.4922
0.4922
0.4922
7.,设A,B,C,D是半径为1的球O的球面上的四个点.设OA+OB+OC=0,
则ADI+BD十HCD不可能等于(.)
A.3
B.
C.4
D.3V2
8.
设椭圆C:等+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F,P是椭圆上不与
顶点重合的一点，记I是△PFF的内心.直线PI交x轴于A点，|OA=c,
且PF·PF=6,则椭圆C的离心率为（）
A.月
B.
2
C.3
D.
2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数f(x)导函数的部分图象如图所示，则()
A.x1是f(x)的一个极大值点
B.是fx)的一个极小值点
C.3是f(x)的一个极大值点
D.x4是f()的一个极小值点
(第9题)
10.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1,2,3,4,5,6)，抛掷两
次.设事件A:“两次向上的点数之和大于7”，事件B:“两次向上的点数之
积大于20”，事件C:“两次向上的点数之和小于10”，则()
A.事件B与事件C互斥
B.PMB)=是
C.PBA)=号
D.事件A与事件C相互独立
高二数学·第2页（共6页）
0000000
