2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）期中数学试卷（艺术班）（PDF版含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）期中数
学试卷（艺术班）
第 I卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 正方形 的边长是 ， 是 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 设 ，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4. 下列四个命题中正确的是( )
A. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆锥
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5. 在 中，点 在边 上， 记 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 在 中，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 在长方体 中，直线 与平面 的交点为 ， 为线段 的中点，
则下列结论错误的是( )
A. ， ， 三点共线 B. ， ， ， 四点异面
C. ， ， ， 四点共面 D. ， ， ， 四点共面
8. 已知向量 ， ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知 为虚数单位，复数 ， ， ，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 以下命题 其中 ， 表示直线， ， 表示平面 ，其中错误的是( )
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
11. 如图，直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ，
的距离分别为 和 点 是直线 上一个动点，过点 作 ，
交直线 于点 ，则( )
A.
B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
12. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、
，其中小正方形的面积为 ，大正方形面积为 ，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为 B.
C. D.
第 II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 正方体 的所有棱所在直线中，与直线 垂直且异面的直线共
有 条
14. 若复数 ，则 ．
15. 如图，梯形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
， ， ，则原图形的面积为______．
16. 已知在 中， ， ， ，则 的外
接圆半径为数为______．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
已知向量 与 满足 ， ， 与 的夹角为 ．
求 ；
求 ；
当 为何值时， ？
18. 本小题 分
已知复数 为虚数单位 和 是关于 的方程
两根．
求 和
若 对应复平面内的点 ，且 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 对应的复
数 ．
19. 本小题 分
如图，已知正三棱锥 的底面边长为 ，正三棱锥的高 ， 为 的中点，根据正
棱锥信息知道 ， 为 中心．
求正三棱锥 表面积；
求正三棱锥 的体积；
20. 本小题 分
设锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
求角 的大小；
若 ， ，求 ．
21. 本小题 分
如图，在正四棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点．
求证： 平面 ；
求 与平面 夹角的余弦值．
22. 本小题 分
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
求
若 ， ，求 的面积．
答案和解析
1.
【解析】以 点为坐标原点， 为 轴，垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，
则 ， ， ，
所以
所以 ，故选：
2.
【解析】解：由于 ，所以 的虚部为 ，故选： ．
3.
【解析】若 成立，可得 ， ，
说明 是其中的一个角，不一定刚好 ，充分性质不一定成立，
反之如果 成立，则 成立，必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选： ．
4.
【解析】对于 ，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆
锥，所以 A正确．
对于 ，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以 B错误；
对于 ，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，也可能是三棱台，所以 C
错误；对于 ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱
台，所以 D错误．
5.
【解析】如图，
，
，即 ．故选： ．
6.
【解析】 ，由正弦定理得 ，
设 ，
则 ，
又角 是三角形的内角，
．
故选： ．
7.
【解析】解：根据题意，连接 ， ，则 ， ，
， ， 四点共面，
所以 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 在平面 与平面 的交线
上，
同理 在平面 与平面 的交线上，
所以 ， ， 三点共线．选项 A、 、 均正确，选项 C错误．故选： ．
8.
【解析】 ，
， ，
， ，
， ，
，
．
故选： ．
9.
【解析】 选项， ， 选项正确．
选项，当 时， ， 选项错误．
选项， ，
，
若 ，则 ，
解得 ，所以 选项正确．
选项，当 时， ，所以 选项错误．
故选： ．
10.
【解析】 项，直线 有可能在平面 内，A错误；
项， 与 可以相交，平行，异面，B错误；
项，直线 有可能在平面 内，C错误；
项，是线面平行的性质定理，D正确．
故选： ．
11.
【解析】设 中点为 ，连接 ，以 为原点， ， 方向分别为 ， 轴建立如图所示直角坐
标系：
所以 ， ，
设 ， ， ， ， ， ， ，且 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，故 ，即 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
因为
，
故 ，选项 A错误；
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ， ， 三点共线，且 为 靠近 的三等分点，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等，所以选项 B正确；
因为
，
所以
，
当且仅当
，即 时取等，故 ，选项 C正确：
因为
，
所以
．
因为 且 ，
所以 ，
记 ，
可知 单调递增，没有最值，即 没有最值，故选项 D错误．故选： ．
12.
【解析】四个直角三角形全等，大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
每一个直角三角形的面积为 ，A正确；
， ，故 B错误；
， ，且 ， ，
，
，故 D正确；
，C正确．
故选： ．
13.
【解析】由图象可知，与直线 垂直且异面的直线有：
、 、 、 ，共 条．
故答案为： ．
14.
【解析】解：由题意，复数 的实部为 ，虚部为 ，
则 ．故答案为： ．
15.
【解析】解：因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以
．
故答案为： ．
16.
【解析】在 中， ， ， ，
利用余弦定理 ，整理得 ，
所以 ，解得
．
故答案为： ．
17. ， ， 与 的夹角为 ，
；
；
，
，即 ，
即 ，解得 ，
故当 时，
18. 将 代入方程得
，化简得： ，即 ，
方程为 ，解得 ；
由题意 ，设 ，则 ， ，
由 ， ，
可得 ， 即
解得 或
故 或 ．
19.解： 在直角三角形 中， ， ，则
，
在 中， ， ， ，
所以正三棱锥 表面积为： ．
在正三棱锥 中， ，
所以 ．
20.解： ，
又 由正弦定理可得，
，
为锐角，
．
由余弦定理： ，
则 ．
21.证明： 由 为 交点，连接 ， 交于点 ，连接 ，由 为 中点，
则 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
解： 连接 ， 交于点 ，连接 ，
由 平面 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 平面 ，
所以平面 ，
又平面 平面 ，
作 于 ，则 平面 且 为 中点，
则 为 与平面 所成角，
由 ，不妨设 ，
则 ， ，
所以 ．
22.解： 因为 ，则 ，
由正弦定理得 ，
在 中， ，则 ，所以 ，
即 ，
则 ，
在 中， ，则 ，所以 ，
又 ，解得 ；
因为 ， ，
则由余弦定理得
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．