18.2.3 正方形教案
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第18章《平行四边形》教案
18.2.3 正方形
教学目标：
掌握正方形的性质和判定方法，并能进行相关的证明和计算，体会解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．
重点：
掌握正方形的性质与判定及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：
灵活运用正方形的性质与判定定理进行相关的证明和计算．
教学流程：
一、导入新课
问题：说一说、矩形、菱形的性质？
1、平行四边形的性质：
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：中心对称图形
2、矩形的性质：
答案：
边：两组对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相平分.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
3、菱形的性质：
答案：
边：对边平行且四条边都相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：对角线垂直且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
二、新课讲解
情境：欣赏图片
指出：正方形的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是________，又是________. 它既有_______的性质，又有________性质.
答案：矩形，菱形，矩形，菱形
追问：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
答案：正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
思考1：正方形有哪些性质呢？
边：正方形的对边平行且四边相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线相等,并且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？
答案：矩形+一组邻边相等
即：先证它是一个矩形，再证它是菱形.
思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？
答案：菱形+有一个角是直角
即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.
归纳：
例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
答案：45°
例2：下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案：C
例3：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO,
∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,
并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例4：如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．
(1)写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线)
(2)求证：AE⊥BF
解：(1)△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF
(2)延长AE交BF于点M，
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF
三、巩固提升
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
答案：C
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
答案：B
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是____________．
答案：答案不唯一，如AC＝BD或AB⊥BC等
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
(1)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D为中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)
(2)证明：∵∠A=∠DEA=∠DFA＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
由(1)知△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE是正方形
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.正方形有哪些性质？如何判定呢？
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别？
五、布置作业
教材P59页练习题第2、3题．
第18章《平行四边形》教案
18.2.3 正方形
教学目标：
掌握正方形的性质和判定方法，并能进行相关的证明和计算，体会解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．
重点：
掌握正方形的性质与判定及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：
灵活运用正方形的性质与判定定理进行相关的证明和计算．
教学流程：
一、导入新课
问题：说一说、矩形、菱形的性质？
1、平行四边形的性质：
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：中心对称图形
2、矩形的性质：
答案：
边：两组对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相平分.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
3、菱形的性质：
答案：
边：对边平行且四条边都相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：对角线垂直且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
二、新课讲解
情境：欣赏图片
指出：正方形的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是________，又是________. 它既有_______的性质，又有________性质.
答案：矩形，菱形，矩形，菱形
追问：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
答案：正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
思考1：正方形有哪些性质呢？
边：正方形的对边平行且四边相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线相等,并且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？
答案：矩形+一组邻边相等
即：先证它是一个矩形，再证它是菱形.
思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？
答案：菱形+有一个角是直角
即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.
归纳：
例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
答案：45°
例2：下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案：C
例3：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO,
∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,
并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例4：如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．
(1)写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线)
(2)求证：AE⊥BF
解：(1)△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF
(2)延长AE交BF于点M，
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF
三、巩固提升
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
答案：C
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
答案：B
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是____________．
答案：答案不唯一，如AC＝BD或AB⊥BC等
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
(1)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D为中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)
(2)证明：∵∠A=∠DEA=∠DFA＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
由(1)知△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE是正方形
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.正方形有哪些性质？如何判定呢？
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别？
五、布置作业
教材P59页练习题第2、3题．