(共21张PPT)
计数原理与排列、组合（复习）
1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.
组数问题
例1:8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析：先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6=294(个)不同的三位数．
变式训练1:用0,1,…,9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数；
(2)无重复数字的三位整数；
9×10×10=900（个）
9×9×8=648（个）
涂色问题
例2:用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？
解析：按地图A、B、C、D四个区域依次
涂色，分四步完成：
第一步，涂A区域，有5种选择；
第二步，涂B区域，有4种选择；
第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有3种选择；
第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有3种选择.
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有5×4×3×3＝180(种)．
变式训练2:如图,要给A、B、C、D、E五个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
A
B
C
D
E
（1）B、D同色：
×1×2 ＝48
4×3×2
（2）B、D不同色：
4×3×2×1×1 ＝24
＝
72
+
例3:7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻的不同排法有多少种？
相邻问题捆绑法
解析：分步完成：
第一步，将甲、乙两人进行排列，有=2×1=2种排法；
第二步，将甲、乙视为一个整体与其余5名同学一起全排列，共=6×5×4×3×2×1=720种排法；
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的排法种数共有．
例4:7名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
不相邻问题插空法
解析：分步完成：
第一步，将甲、乙之外的5名同学进行排列，有=5×4×3×2×1=120种排法；
第二步，让甲、乙两人插空排，有=6×5=30种排法；
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的排法种数共有．
除此之外，你还有别的做法吗？
方法小结
有限制条件的排列问题
(1)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列。
(2)插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中。
(3)间接法：正难则反等。
变式训练3:有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是（ ）
A.12
B.24
C.36
D.48
答案：B
例5:6本不同的书分成3组，每组至少1本书，有多少种不同的分法？
分组问题
解析：将6本不同的书分成3组需分类完成：
第一类，1+1+4：==15种；
第二类，1+2+3：；
第三类，2+2+2：=15种；
所以根据分类加法计数原理，得到不同的分法种数共有15+60+15=90种．
注意平均分组！
例6:6本不同的书分给3个人，每个人至少1本书，有多少种不同的分法？
分配问题
解析：先分组，再分配
第一步，分组：由例5可知，将6本不同的书进行分组的共90种分法；
第二步，分配：将3组书分给3个人，共
所以根据分步乘法计数原理，共90×6=540种不同分法.
方法小结
分组分配问题
解题思想：先分组、后分配
(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.
①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复；
②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘法
计数原理解题.
(2)部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同．
需要除以相同的组的“全排列”，保证没有重复．
(3)非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的．这种分组不考虑重复现象。
例7:6本不同的书分给3个人，有多少种不同的分法？
解析：将6本不同的书分给3个人，没有限制条件，所以每本书都有3种分法，所以共有种分法.
变式训练4:某市践行“干部村村行”活动.现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少1名干部，每个干部至多去3个村，则不同的选派方案共（）
A.243种
B.210种
C.150种
D.125种
答案：C
例8:6本相同的书，分给3个人，每个人至少1本书，有多少种不同的分法？
相同元素挡板法
解析：将6本相同的书分给3个人，因为6本书无差别，所以把它们排成一排，相邻书本之间形成5个空，在5个空中选2个位置放“挡板”，可以把书本分成3份，对应地分给3个人，每一种插入挡板的方法对应一种分法，所以共有
变式训练5:将组成篮球队的10个名额分配给7个学校，每校至少1个，则名额的分配方式共_____种.
答案：84
课堂小结
1、内容：两个计数原理、排列与组合；
2、题型：组数问题、涂色问题、排列问题、分组与分
配问题、相同元素问题等；
3、方法：排列—捆绑法、插空法、正难则反
分组与分配—先分组再分配、平均分组
相同元素—挡板法
作业
1、认真整理本节课题型，对知识方法进行归纳总结；
2、完成强化训练.
谢谢！计数原理与排列、组合复习案 2、排列与排列数
【学习目标】 (1)排列的概念：一般地，从 n个不同元素中取出
m(m n)个元素，并按照 排
1、掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.（重点） 成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
2、理解排列与组合的区别与联系，能利用排列组合解决一些实际问题.（重点、难点） (2)两个排列相同的条件：两个排列的元素完全相同，且元素的 也相同.
【知识网络构建】
(3)排列数的概念：我们把从 n 个不同元素中取出个m(m n)元素的所有不同排列的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示.
(4)排列数公式：①连乘形式： ；②阶乘形式： .
(5)全排列：我们把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列.
(6)阶乘：正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 表示，于是， n 个元素的全排
列数公式可以写成 = .另外，我们规定，0!= .
【基础知识梳理】 3、组合与组合数
1、两个计数原理 (1)组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素 ，叫做从 n
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2
个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.
(2)排列与组合的联系与区别：
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n种
共同点：两者都是 .
不同的方法，那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.
区别：排列与元素的 有关，而组合与元素的 无关.
(3)两个计数原理的区别与联系
(3)组合数的概念：我们把从 n个不同元素中取出个m(m n)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 元素的所有不同组合的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示.
各步都完成，才能完成这件事
每类方法都能独立完成这件事
各步之间是关联的、独立的， (4)组合数公式：①连乘形式： ；②阶乘形式： .
区别 各类方法之间是互斥的、并列
“关联”确保不遗漏，“独立” (5)组合数性质：① ② ③
的、独立的
确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
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【典例分析】 变式训练 4：某市践行“干部村村行”活动.现有 3 名干部可供选派，下乡到 5 个村蹲点指导工
例 1：8张卡片上写着 0,1,2，…，7 共 8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的
三位数？ 作，每个村至少 1 名干部，每个干部至多去 3 个村，则不同的选派方案共（ ）
A.243 B.210 C.150 D.125
变式训练 1：用 0,1,…,9 这十个数字，可以组成多少个： 例 8:6 本相同的书，分给 3 个人，每个人至少 1 本书，有多少种不同的分法？
(1)三位整数；
变式训练 5：将组成篮球队的 10 个名额分配给 7 个学校，每校至少 1 个，则名额的分配方式共
(2)无重复数字的三位整数.
_____种.
例 2：用 5 种不同颜色给图中的 A、B、C、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域
颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？ 【课堂小结】
变式训练 2：如图,要给 A、B、C、D、E 五个区域分别涂上 4 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使
【强化训练】
用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
1、由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ）
A.72 B.60 C.48 D.12
2、如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用
多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
例 3：7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻的不同排法有多少种？
例 4:7 名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
3、某同学有 7本不同的书，其中语文书 2 本、英语书 2 本、数学书 3本.现在该同学把这 7 本书
变式训练 3：有 5 盆各不相同的菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2盆、红菊花 1盆，现把它们摆放成一 放到书架上排成一排，要求 2 本语文书相邻、2本英语书相邻、3 本数学书中任意 2 本不相邻，
排，要求 2 盆黄菊花必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花的不同摆放种数是（ ） 则不同的排法种数为( )
A.12 B.24 C.36 D.48 A.12 B.24 C.48 D.720
例 5:6 本不同的书分成 3 组，每组至少 1 本书，有多少种不同的分法？ 4、若将 9 名队员分成 3 组讨论问题，每组 3 人，则不同的分组方法种数有（ ）
3 3
A. 3 3 B. 3 3
9 6 3 3 3
9 6 9 6 C. 3 D. 9 6 3
例 6:6 本不同的书分给 3 个人，每个人至少 1 本书，有多少种不同的分法？ 3
5、有 10 个无差别的运动员名额，分给班号为 1,2,3 的 3 个班.
(1)每个班至少 1 个名额，有多少种分配方案？
例 7:6 本不同的书分给 3 个人，有多少种不同的分法？
(2)每个班至少 2 个名额，有多少种分配方案？
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