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第 8 章平面向量
【基础】
一、单选题
uuur uuur
1．（2021 春·上海·高一期末）已知VABC 是边长为 2 的正三角形，则向量 AB 在BC 上的投影是（ ）
A． 1 B．1 C． 3 D． 3
r r r r
2．（2021 春·上海·高一期末）已知平面向量a (1,2),b ( 2,k)，若 a与b 共线，则 k 等于（ ）
A．1 B． 4 C． 1 D．4
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）已知平行四边形 ABCD，点E ，F 分别是 AB ，BC的中点（如图
uuur r uuur r uuur所示），设 AB a ， AD b ，则EF 等于（ ）
1 r ra b 1 ar r 1 r r 1 r rA． B． b C． b a D． a b2 2 2 2
uuur uuur
4．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在VABC 中，已知D是 AB 边上一点，若 AD 2DB ，
uuur 1 uuur uuurCD CA CB，则 （
3 ）
A 2
2 2 1
． 3 B． C． D．3 5 3
uuur uuur uuur
5．（2022 春·上海奉贤·高一校考期中）若OA 1, 2 ，OB -1,1 ，则 AB （ ）
A． 0,1 B． 2, 3 C．( - 1, 2) D． 2,3
r r 1 r r
6．（2022 春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）已知向量 a 2,0 ，b ,12 ，则
a 2b
（ ）
A． 5 B． 3 C． 2 3 D．5
二、填空题
uuur uuur
7．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末）已知 P1(2,7)，P(3,9)，P1P 2PP2 ，则点P2的坐
标为____________．
r r r r r r r
8．（2022 春·上海黄浦·高一校考期末）已知向量 a，b 满足 b 2， a与b 的夹角为60 ，则b 在 a上的数量
投影__________.
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r r r r
9．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知向量 a (x, 1)，b (2, 3)，若 a / /b，则实数 x 的值等于
______．
r r r r
10．（2022 春·上海闵行·高一校考期末）已知 a (5,3),b ( 1,2) ，则 | a b | _______．
r r r
11．（2022 春· r上海浦东新·高一校考期末）已知向量 a m,3 ，b 4,3 ，且 a b ，则m _____．
r r
12．（2021 · r春 上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量 a (m, 2),b (1, 1) r，若 a / /b ，则实数
m __________.
r r r
13．（2022 春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）已知向量 a 2,1 ，b q,1 ，且 a在
r
b 上的投影数量等于 1，则 q ___________.
uuur
14．（2022 春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知点 A(1,0), B(3,0) ，向量 AC ( 4, 3)，则向量
uuur
BC __________．
15．（2022 · 春 上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期末）若向量 a k,1 ， b 5,3k 4 ，已知 a 与
b 的夹角为 ，则实数 k 是______．2
三、解答题
r r
16．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知向量 a (1, 2)，b (3, 2) ．
r r
(1)求 a b ；
r r r r r r
(2)已知 c 10 ，且 (2a c) c ，求向量 a 与向量 c的夹角．
r r r
17．（2022 · r r春 上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）已知a (1,1),b (4, x),u ar 2b,vr r 2a b ．
r
(1) r若 a P b ，求实数 x 的值；
r r
(2)若 (u 2v ) (u
r
vr )，求实数 x 的值．
r r r
18．（2022 春·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）a (1, 2),b (k, 3), c ( 2,0)，依照下列条件求实
数 k 的值.
r r r r
(1) a 2b 与 2a c相互平行；
r r r r
(2) a 2b 与 2a c相互垂直.
【典型】
一、填空题
1．（2021 春·高一课时练习）如图，在菱形 ABCD中，若 DAB 120 ，则以下说法中正确的是
__________.（填序号）
uuur uuur
①与 AB 相等的向量只有一个（不含 AB ）；
uuur uuur
②与 AB 的模相等的向量有 9 个（不含 AB ）；
uuur uuur
③ BD的模恰为DA模的 3倍；
uuur uuur
④ BD与OB 不平行.
r r r r r r
2．（2021 春·高一课时练习）若 a b 2 ， a b 2 3 ，则 a b __________.
uuur r uuur r r
3．（2021 春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知正六边形 ABCDEF
uuur
，若 AC a， AD b ，则 A E 用 a，
r
b 表示为________．
二、解答题
4．（2021 春·高一课时练习）在VABC 中，D、E 分别是边 AB 、 AC 的中点，F 、G 分别是DB、 EC 的中
点，判别下列命题是否正确.
uuur uuur
（1）DE FG ；
uuur uuur
（2）DE 和FG 是平行向量；
uuur uuur
（3）DE FG .
uuur uuur
5．（2021 春·高一单元测试）如图，两个长度为 1 的平面向量OA和OB ，夹角为120 ，点 C 在以 O 为圆心
uuur uuur uuur
的圆弧 AB 上移动，若OC xOA yOB，求 x y 的最大值.
uuur
6．（2021 春·高一课时练习）如图，质点O受到两个力F1和F2 的作用，已知 F1OF2 135 ， OF1 8N ，
uuuur uuur
OF2 4 2N ，求这两个力的合力OF 的大小以及 FOF1的大小.
7．（2021·上海·高一期末）作五边形 ABCDE ，求作下列各题中的和向量：
uuur uuur
（1） AB BC ；
uuur uuur uuur uuur
（2） AB ED DB BE .
v uv v v
8．（2022 春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知向量 x 、 y 满足： x 1， y 2 ，且
(xv 2yv) · (2xv yv) 5．
v uv
（1）求 x 与 y 的夹角 ；
v v v
（2）若 (x my) y ，求实数m 的值．
r r
9．（2022 春·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）已知向量a (2,1),b m 2, m2 m 2 ，
r
(1)若 ar b 0，求实数 m 的值；
r
(2) r若 a,b 可以构成平面上的一个基底，求实数 m 的取值范围．
【易错】
一．选择题（共 1 小题）
1．（2022 春 徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图 1 中的正八边形的 U 盘，图 2
中的正八边形窗花．在图 3 的正八边形 A1A2A3A4A5A6A7A8 中， + ＝λ ，则 λ＝（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共 7 小题）
2．（2022 春 浦东新区校级月考）已知 ，则向量 在向量 方向上的数量投影
为 ．
3．（2022 春 浦东新区校级期末）已知点 P 在单位圆 O 上，点 A（﹣3，0），则 的取值范围
是 ．
4．（2022 春 浦东新区校级月考）已知点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在
方向上的投影的数量为 ．
5．（2022 春 普陀区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动
联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次
连接图中各顶点可近似得到正六边 ABCDEF．若正六边形的边长为 1，点 P 是其内部一点（包含边界），
则 的取值范围为 ．
6．（2022 春 宝山区校级月考）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E．若 ＝6，
| |＝2，则 AC＝ ．
7．（2022 春 浦东新区校级期末）已知等边三角形 ABC 的边长为 1，点 P 在△ABC 的边上运动，则
的最大值为 ．
8．（2022 春 闵行区校级月考）如图，已知 AB 是边长为 1 的正六边形的一条边，点 P 在正六边形内（含边
界），则 的取值范围是 ．
三．解答题（共 1 小题）
9．（2022 春 浦东新区校级期末）已知| ，| ， 与 的夹角为 ．
（1）若 ， 且 ∥ ，求 k 的值；
（2）若 ， 且 ，求 k 的值．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·高一课时练习）在给出的下列命题中，是假命题的是
uuuv uuuv uuuv
A．设O、A、B、C 是同一平面上的四个不同的点，若OA m OB (1 m) OC(m R)，则点 A、B、C 必共
线
v v
B．若向量 a,b是平面
v
上的两个不平行的向量，则平面 上的任一向量 c都可以表示为
cv av
v
b( 、 R)，且表示方法是唯一的
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv v
C．已知平面向量OA、OB、OC 满足 | OA OB OC r(r 0)，且OA OB OC 0，则 ABC是等边三角形
v vD v
v
．在平面 上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量 a、b、c、d ，使得其中任意两个向
量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
uuur uuur uuur r
2．（2021 春·上海·高一期末）设 O 为△ABC 所在平面内一点，满足 2OA 7OB 3OC 0 ，则△ABC 的面
积与△BOC 的面积的比值为（ ）
8 12
A．6 B． C． D．4
3 7
二、填空题
3．（2021 春·高一课时练习）已知正三角形 ABC 的边长为 3，点M 是 ABC所在平面内的任一动点，若
uuuv uuuv uuuv uuuuv
MA 1，则 MA MB MC 的取值范围为________.
r r r r r r
4．（2022 春·上海浦东新· r高一上海师大附中校考期末）已知平面向量 a,b ，且 a b 2,a b 2，向量 c 满
r r r r r
足 c 2a 2b a
r
b ，则当 c
r
λb (λ R)成最小值时 ___________.
r r r r r r r r r r r r
5．（2021·高一课时练习）已知平面向量 a，b ， e，满足 e 1， a e 1，b e 2 ， a b 2，则 a b 的最
小值为________.
ur uur r ur ur
6．（2022 春·上海长宁·高一上海市复旦中学校考期中）设 e1 ， e2 为单位向量，非零向量b xe1 ye2 ，
ur uur
x, y R ．若 e1 ， e2 的夹角为 ，6
| rx |则 | b | 的最大值等于________．
uuur uuur
7．（2021 春·上海·高一期末）已知 A、B、C、D 是单位圆上的四个点，且 A、B 关于原点对称，则 AC BD
的最大值是________．
uuuv uuuv uuuv v
8．（2021·高一课时练习）设 G 是△ABC 重心，且 (56sin A)GA (40sin B)GB (35sin C)GC 0，则
B _________．
ur uur ur ur uur
9．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知 e1,e2 ,e3 是平面向量，且 e1,e2 是互相垂直的单
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
位向量，若对任意 R 均有 e3 e1 的最小值为 e3 e2 ，则 e1 3e2 e3 e3 e2 的最小值为
___________．
uuur uuur uuur r
10．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设 H 是 ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0，
则 cos ABC ______.
ur uur ur uur r ur uur r ur uur r r
11．（2021 春·高一课时练习）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 | 2 ， a e1 e2 ，b 3e1 e2 ，设 a，b
的夹角为 ，则 cos2 的最小值为_______．
12．（2021·高一课时练习）已知 ABC 满足 AB 3， AC 4 ，O是 ABC的外心，且
uuuv uuuv 1 uuuvAO AB AC R ，则 ABC 的面积是______.
2
uuuv uuuv
13．（2021 春·高一课时练习）设点O是VABC 的外心， AB 13，AC 12 ，则BC AO _______.
三、解答题
uuuv
14．（2021 春·高一课时练习）已知平面直角坐标系内三点A 、 B 、C 在一条直线上，满足OA ( 3, m 1)，
uuuv uuuv uuuv uuuv
OB (n,3) ，OC (7, 4)，且OA OB，其中O为坐标原点.
（1）求实数m 、n的值；
uuuv 2 uuuv
（2）设△ AOC 的重心为G ，且OG OB ，且P1、P2为线段 AB 的三等分点，求3
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
OA AB OP1 AB OP2 AB OB AB 的值.关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
第 8 章平面向量
【基础】
一、单选题
uuur uuur
1．（2021 春·上海·高一期末）已知VABC 是边长为 2 的正三角形，则向量 AB 在BC 上的投影是（ ）
A． 1 B．1 C． 3 D． 3
【答案】A
【分析】由投影的概念计算即可.
uuur uuur
uuur uuur ABuu urBC 2 2 cos120
【详解】 AB 在BC 方向的投影为 1.| BC | 2
故选：A.
r r r r
2．（2021 春·上海·高一期末）已知平面向量a (1,2),b ( 2,k)，若 a与b 共线，则 k 等于（ ）
A．1 B． 4 C． 1 D．4
【答案】B
【分析】由向量共线得出1 k 2 2 0 即可求解.
r r
【详解】由题，若 a与b 共线，则1 k 2 2 0 ，解得 k 4 .
故选：B.
3．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）已知平行四边形 ABCD，点E ，F 分别是 AB ，BC的中点（如图
uuur uuur r uuur
所示），设 AB ar ， AD b ，则EF 等于（ ）
1 rar 1 r r rA． b B． ar b 1 C． b ar 1 rD． a b2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 AC ，则 AC 为VABC 的中位线，
uuur 1 uuur r EF AC 1 r 1 a b ，
2 2 2
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故选：A
uuur uuur
4．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在VABC 中，已知D是 AB 边上一点，若 AD 2DB ，
uuur uuur uuur
CD 1 CA CB，则 （
3 ）
2 2 1
A 2． 3 B． C． D．3 5 3
【答案】A
【分析】利用向量线性运算可直接得到结果.
【详解】
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuurQ CD CA AD CA AB CA CB 2 CA CA CB， .3 3 3 3 3
故选：A.
uuur uuur uuur
5．（2022 春·上海奉贤·高一校考期中）若OA 1, 2 ，OB -1,1 ，则 AB （ ）
A． 0,1 B． 2, 3 C．( - 1,2) D． 2,3
【答案】D
uuur uuur uuur
【分析】根据 AB OB OA可求出结果.
uuur uuur uuur
【详解】 AB OB OA ( 1,1) (1, 2) ( 2,3) .
故选：D
r r 1 r r
6．（2022 春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）已知向量 a 2,0 ，b ,1 ，则 a 2b
2
（ ）
A． 5 B． 3 C． 2 3 D．5
【答案】A
r r
【分析】先求 a 2b 的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.
r r r r
a 2b 1, 2 a 2b 12 2【详解】 ，所以 2 5 .
故选：A.
二、填空题
uuur uuur
7．（2022 春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末）已知 P1(2,7)，P(3,9)，P1P 2PP2 ，则点P2的坐
标为____________．
7 10 【答案】 ，2
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.
uuur uuur
【详解】解：设P2 (x, y)，因为 P1(2,7)，P(3,9)，所以P1P (1, 2), PP2 (x 3, y 9) ，
uuur uuur 1 2 x 3 7 P 7又P1P 2PP2 ，所以 x , y 10
，10
2 2 y 9
，解得 ，故点 的坐标为 .
2 2 2
7
故答案为： ，10 .
2
r r r r r r r
8．（2022 春·上海黄浦·高一校考期末）已知向量 a，b 满足 b 2， a与b 的夹角为60 ，则b 在 a上的数量
投影__________.
【答案】1
【分析】根据平面向量数量积的几何意义求解即可.
r r r
【详解】因为 b 2， a与b 的夹角为60 ，
r r r
所以b 在 a上的数量投影为 b cos 60 2
1
1，
2
故答案为：1
r r r r
9．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知向量 a (x, 1)，b (2, 3)，若 a / /b，则实数 x 的值等于
______．
2
【答案】 3
【分析】根据向量平行坐标运算即可.
r r r r
【详解】由题知， a (x, 1)，b (2, 3)， a / /b，
x 1 2
所以 ，解得 x
2 3 3
2
故答案为： 3 .
r r r r
10．（2022 春·上海闵行·高一校考期末）已知 a (5,3),b ( 1,2) ，则 | a b | _______．
【答案】 41
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
r r r r
【详解】由题可知, a b (4,5) ,所以 | a b | 16+25= 41 ,
故答案为: 41 .
r r r
11．（2022 春·上海浦东新·高一校考期末）已知向量 a m,3 ，b 4,3 r，且 a b ，则m _____．
9
【答案】
4
r r
【分析】根据向量垂直与坐标间关系 a b x1x2 y1 y2 0计算即可.
r r r r 9
【详解】因为 a b ，所以 a b 4m 9 0，解得m 4
9
故答案为：
4
r r
12．（2021 r春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量 a (m, 2),b (1, 1) ar，若 / /b ，则实数
m __________.
【答案】-2
【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解.
ar
r
【详解】因为 / /b ，所以m 1 1 2 0，解得：m 2 .
故答案为： 2
r r r
13．（2022 春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）已知向量 a 2,1 ，b q,1 ，且 a在
r
b 上的投影数量等于 1，则 q ___________.
【答案】
4
3
【分析】由数量投影的公式直接计算即可.
r r
r r a b 2q 1 4
【详解】 a在b 上的投影数量为 r 1b 2 ，解得
q 0（舍）或 .
q 1 3
4
故答案为： .
3
uuur
14．（2022 春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知点 A(1,0), B(3,0) ，向量 AC ( 4, 3)，则向量
uuur
BC __________．
【答案】 6, 3
uuur
【分析】首先求出 AB 的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得；
uuur
【详解】解：因为 A(1,0), B(3,0) ，所以 AB 2,0 ，
uuur uuur uuur uuur
又 AC ( 4, 3)，所以BC AC AB 4, 3 2,0 6, 3 ；
故答案为： 6, 3
15．（2022 春· · 上海嘉定 高一上海市嘉定区第一中学校考期末）若向量 a k,1 ， b 5,3k 4 ，已知 a 与
b 的夹角为 ，则实数 k 是______．2
【答案】 2
【分析】解方程 ( k) 5 1 (3k 4) 0即得解.
【详解】解：因为 a 与 b 的夹角为 ，所以 agb 0 ，2
所以 ( k) 5 1 (3k 4) 0,
所以 k 2 .
故答案为： 2
三、解答题
r r
16．（2022 春·上海崇明·高一统考期末）已知向量 a (1, 2)，b (3, 2) ．
r r
(1)求 a b ；
r r r r r r
(2)已知 c 10 ，且 (2a c) c ，求向量 a 与向量 c的夹角．
【答案】(1) 2 5
3π
(2)
4
【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量
的夹角即可.
r r
【详解】（1）由题知， a (1, 2) ，b (3, 2)
r r
所以 a b ( 2,4)，
r
所以 a
r
b 4 16 2 5 .
r r r r
（2）由题知， a (1, 2) c
r
， 10 ， (2a c) c ，
r
所以 a 5， (2a
r
cr ) cr 0 ，
所以 2ar r r c c 2 0，
所以 2 | ar || cr | cos ar ,cr ) | cr |2 0，
所以 2 5 10
r r
cos a,c 10 0，
cos ar所以 ,cr 2 ，
2
n ar因为 ,c
r ) 0, π ，
r r 3π
向量 a 与向量 c的夹角为 .4
r r r
17．（2022 · r r r r r春 上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）已知a (1,1),b (4, x),u a 2b,v 2a b ．
r
(1)若 ar P b ，求实数 x 的值；
r r
(2)若 (u 2v )
r r
(u v )，求实数 x 的值．
【答案】(1)4；
(2) 6
【分析】（1）利用向量平行(共线)的坐标关系可得;
（2）利用向量垂直即数量积为零即得.
(1)
r
解：Q ar∥b 故1 x 1 4 x 4；
(2)
v v v
解：u 2vv av 2b 2(2av b) 3av
v v v
uv vv av 2b 2av b 3av 3b
Q (ur 2vr ) (ur r v)
3av v v3a 3b 0
2 4 x 0
x 6 .
r r r
18．（2022 春·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）a (1, 2),b (k, 3), c ( 2,0)，依照下列条件求实
数 k 的值.
r r r r
(1) a 2b 与 2a c相互平行；
r r r r
(2) a 2b 与 2a c相互垂直.
7
【答案】(1)
2
9
(2) 2
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示即可求解.
(1)
r r r
解：因为a (1, 2),b (k, 3), c ( 2,0)，
r r r r
所以a 2b 1 2k,8 ，2a c 4, 4 ，
r r r r
因为 a 2b 与 2a c相互平行，
所以4 1 2k 4 8 0 7，解得 k ；
2
(2)
r r r
解：因为a (1, 2),b (k, 3), c ( 2,0)，
r r r r
所以a 2b 1 2k,8 ，2a c 4, 4 ，
r r r r
因为 a 2b 与 2a c相互垂直，
所以4 1 2k 4 8 0 9，解得 k .
2
【典型】
一、填空题
1．（2021 春·高一课时练习）如图，在菱形 ABCD中，若 DAB 120 ，则以下说法中正确的是
__________.（填序号）
uuur uuur
①与 AB 相等的向量只有一个（不含 AB ）；
uuur uuur
②与 AB 的模相等的向量有 9 个（不含 AB ）；
uuur uuur
③ BD的模恰为DA模的 3倍；
uuur uuur
④ BD与OB 不平行.
【答案】①②③
【分析】根据相等向量的概念判定①；根据菱形的性质和 DAB 120 的条件，可得对角线 AC 与菱形的
边长相等，可以判定②；根据菱形的对角线垂直且互相平分，结合已知角度，利用特殊角的三角函数，可
以得到BO 3CO, 进而得到BD 3AD，从而判定③；注意到方向相同或相反的向量都叫做平行向量，
表示向量的有向线段可以在同一直线上，可以对④作出否定.
uuur uuur
【详解】与 AB 相等的向量需要方向相同,模相等,只有DC ,故①正确；
uuur
根据菱形的性质结合 DAB 120 ,可知对角线 AC 与菱形的边长相等，故与 AB 的模相等的向量有
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BA, AD, DA, DC,CD, BC,CB, AC,CA ,共 9 个向量，故②正确；
易得BO 3CO, BD 3AC 3AD ,
uuur uuur
∴ BD的模恰为DA模的 3倍，故③正确；
uuur uuur
向量BD与OB 的方向是相反的，是平行向量，故④不正确.
故答案为：①②③.
r r r r r r
2．（2021 春·高一课时练习）若 a b 2 ， a b 2 3 ，则 a b __________.
【答案】2
【分析】根据向量的加减法的几何意义，结合菱形的判定与性质可以求解
r r r r
【详解】如图所示，由 a b 2 可知四边形 OAPB 为菱形，∵ a b 2 3 ，
∴对角线OP 2 3 ,
r r
于是∠OAP=120°，∴∠AOB=60°，∴三角形OAB 为等边三角形，∴对角线BA 2 ，即 a b 2，
故答案为：2.
uuur r uuur r uuur r
3．（2021 春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知正六边形 ABCDEF ，若 AC a， AD b ，则 A E 用 a，
r
b 表示为________．
3 r r
【答案】 b a
2
【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 r r
【详解】如图， AE AF FE CD FE AD AC AD b a ，
2 2
3 r r
故答案为： b a
2
二、解答题
4．（2021 春·高一课时练习）在VABC 中，D、E 分别是边 AB 、 AC 的中点，F 、G 分别是DB、 EC 的中
点，判别下列命题是否正确.
uuur uuur
（1）DE FG ；
uuur uuur
（2）DE 和FG 是平行向量；
uuur uuur
（3）DE FG .
【答案】答案见解析
【分析】（1）画出图形，根据平面几何知识，结合相等向量的概念进行判定；
（2）根据平面几何知识，结合平行向量的概念进行判定；
（3）注意到向量的概念，包括方向和大小（模），模可以比较大小，方向没法比较大小，因此向量没有大
小的比较可以判定.
【详解】
uuur uuur
（1）不正确. DE 和FG 的模不相等，为此它们必不是相等向量；
uuur uuur
（2）正确.由平面几何知识可知DE / /FG ，所以DE 和FG 为平行向量；
（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.
uuur uuur
5．（2021 春·高一单元测试）如图，两个长度为 1 的平面向量OA和OB ，夹角为120 ，点 C 在以 O 为圆心
uuur uuur uuur
的圆弧 AB 上移动，若OC xOA yOB，求 x y 的最大值.
【答案】2
uuur
【分析】首先以O为原点，向量OA的方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系，并设 COA ，从而可
uuur uuur uuur y 3y
写出A ， B ，C 三点的坐标，从而根据条件OC xOA yOB便可得到 (cos ,sin ) (x , )，这样便可得
2 2
3
x sin cos
3
到 ，根据两角和的正弦公式即可得到 x y 2sin( 30 ) ，根据 的范围即可得出 x y 的
y
2 3
sin
3
最大值．
【详解】解：如图，以O为坐标原点，直线OA为 x 轴，建立平面直角坐标系，则：
A(1,0) 1，B( , 3 )，设 AOC ， 0 120 ， C(cos ,sin )；
2 2
uuur uuur uuur
OC xOA yOB (x,0) ( y , 3y ) (x y 3y , ) (cos ,sin ) ；
2 2 2 2
y
x cos
2 ；
3y
sin 2
x
3
sin cos
3 ；
y 2 3 sin 3
x y 3 sin cos 2sin( 30 ) ；
Q 0 120 ；
30 30 150 ；
30 90 ，即 60 时 x y 取最大值 2．
uuur
6．（2021 春·高一课时练习）如图，质点O受到两个力F1和F2 的作用，已知 F1OF2 135 ， OF1 8N ，
uuuur uuur
OF2 4 2N ，求这两个力的合力OF 的大小以及 FOF1的大小.
uuur
【答案】 OF 4 2 牛， FOF1 45 .
【分析】由向量的数量积的运算，结合向量的模和夹角余弦值公式求解即得.
uuur 2 uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuur uuuur【详解】 OF OF1 OF2 OF1 OF2 2 OF1 OF2 cos135
2
82 4 2 2 8 4 2 2 2 32，
uuur
所以 OF 4 2 （牛），
uuur uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur
cos OF ,OF OF OF
OF1 OF1 OF2
1 uuur
1 uuur
OF1 OF 8 4 2
uuur 2 uuur uuuur 82 8 4 2
2
OF1 OF1 OF 2
2 2 ,
8 4 2 8 4 2 2
则 FOF1 45 .
7．（2021·上海·高一期末）作五边形 ABCDE ，求作下列各题中的和向量：
uuur uuur
（1） AB BC ；
uuur uuur uuur uuur
（2） AB ED DB BE .
uuur uuur
【答案】（1） AC ；（2） AB .
【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；
（2）利用平面向量的加法法则求解即可．
uuur uuur uuur
【详解】（1） AB +BC = AC ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2） AB ED DB BE AB EB BE AB .
v uv v v
8．（2022 春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知向量 x 、 y 满足： x 1， y 2 ，且
(xv 2yv) · (2xv yv) 5．
v uv
（1）求 x 与 y 的夹角 ；
（2）若 (x
v myv) yv，求实数m 的值．
1
【答案】(1) (2) m
3 4
r ur
r ur r ur r ur x g y 1
【分析】（1）由 (x 2y) (2x y) 5展开，可解出 x y 1，根据向量夹角公式 cos r ur x y 2 ，即可求出
夹角 的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为 0，列出方程即可求出m 的值．
r ur r ur
【详解】（1）∵ (x 2y) g (2x y) 5
r 2 r ur ur 2 r ur
∴ 2 x 5x y 2 y 5 x y 1
r ur
cos x y 1∵ r ur x y 2
∴ ．
3
r ur ur
（2）∵ (x my) y
r ur ur r ur ur 2
∴ (x my) y 0，即 x y m y 0
∴1 4m 0 m
1
．
4
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，
属于基础题．
r r
9．（2022 春·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）已知向量a (2,1),b m 2, m2 m 2 ，
r r(1)若 a b 0，求实数 m 的值；
r
(2) r若 a,b 可以构成平面上的一个基底，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) m 1或 2
3
(2) m 2且m
2
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；
（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.
(1)
2m 4 m2 m 2 0得到m 1或 2
(2)
r r 3
由已知得 a,b 不平行，得到m 2 2m2 2m 4，所以m 2且m .2
【易错】
一．选择题（共 1 小题）
1．（2022 春 徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图 1 中的正八边形的 U 盘，图 2
中的正八边形窗花．在图 3 的正八边形 A1A2A3A4A5A6A7A8 中， + ＝λ ，则 λ＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的线性运算解答即可．
【解答】解：如图：
连接 A6A3，A1A4，A2A7，A6A3 与 A1A4 相交于 B，
在 A1A4 上取一点 C，使得 ＝ ，
则 ＝ ，
设| |＝m，则| |＝| |＝m+ m+m＝（2+ ）m，
由图可知， + ＝ + ＝2 ＝2× ＝ ，
λ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正八边形的性质，属于中档题．
二．填空题（共 7 小题）
2．（2022 春 浦东新区校级月考）已知 ，则向量 在向量 方向上的数量投影
为 1 ．
【分析】先求出两向量的夹角，然后算出各自的模长，再套用公式求解．
【解答】解：由题知 ， ，
故 ＝ ＝ ，
故 在向量 方向上的数量投影为 ＝ ．
故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量夹角的计算公式和数量投影的概念，属于基础题．
3．（2022 春 浦东新区校级期末）已知点 P 在单位圆 O 上，点 A（﹣3，0），则 的取值范围是 [6，
12] ．
【分析】可设 P（cosθ，sinθ），然后将结论表示为 θ 的三角函数，求其值域即可．
【解答】解：由已知设 P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），且 O（0，0），A（﹣3，0），
所以 ＝（3，0） （cosθ+3，sinθ）
＝3cosθ+9，因为﹣1≤cosθ≤1，
故 ∈[6，12]．
故答案为：[6，12]．
【点评】本题考查数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题．
4．（2022 春 浦东新区校级月考）已知点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在
方向上的投影的数量为 ．
【分析】分别求出 的坐标，然后结合投影向量的计算公式计算即可．
【解答】解：因为点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），
故 ， ，所以 ， ，
则 向 量 在 方 向 上 的 投 影 的 数 量 为 ＝ ＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查数量积的定义和运算，属于基础题．
5．（2022 春 普陀区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动
联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次
连接图中各顶点可近似得到正六边 ABCDEF．若正六边形的边长为 1，点 P 是其内部一点（包含边界），
则 的取值范围为 [0，3] ．
【分析】根据数量积的几何意义可知， 表示的是 与 在 上的投影的乘积，显然∠BAC＝
30°，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以 P 点的位置在直线 AF 的右侧的六边形内（包括边界）或
落在线段 AF 上，则由此易求得结论．
【解答】解：如图：由正六边形的性质可知，∠BAC＝∠BCA＝30°，故 AC＝ ，
所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以 P 点的位置在直线 AF 的右侧的六边形内（包括边界）或落在线
段 AF 上，
又 表示的是 与 在 上的投影的乘积，故当 P 落在线段 AF 上时， 在 上的投影最小
为 0，当 P 落在线段 DC 上时， 在 上的投影最大为 ＝ ，
故 ，
故答案为：[0，3]．
【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义和运算，属于中档题．
6．（2022 春 宝山区校级月考）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E．若 ＝6，
| |＝2，则 AC＝ 4 ．
【分析】方法一，利用平面向量的线性运算与数量积求模长即可；
方法二：根据题意建立平面直角坐标系，设 B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC＝α，由| |＝2
求出点 A 的坐标，再写出 、 ，利用 ＝6 求出 a 与 α 的关系，计算模长| |．
【解答】解：【方法一】△ABC 中， ＝6，
∴（ + + ） ＝6，
∴ + + ＝ + ＝6，
∴ + ＝6，
∴ ＝ +2 + ＝ +2（ + ）＝4+12＝16，
∴AC＝4．
【方法二】建立平面直角坐标系如图所示，
设 B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC＝α，
由| |＝2，知 A（﹣a+2cosα，2sinα），
∴ ＝（a﹣2cosα，b﹣2sinα），
＝（2a，0），
∴ ＝2a（a﹣2cosα）+0＝2a2﹣4acosα＝6，
∴a2﹣2acosα＝3；
又 ＝（2a﹣2cosα，﹣2sinα），
∴ ＝（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2
＝4a2﹣8acosα+4
＝4（a2﹣2acosα）+4
＝4×3+4
＝16，
∴| |＝4，即 AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是中档题．
7．（2022 春 浦东新区校级期末）已知等边三角形 ABC 的边长为 1，点 P 在△ABC 的边上运动，则
的最大值为 ．
【分析】据图分析，可设 AC 中点为 E，BC 中点为 F，当 P 落在线段 EA，AB，BF 上时， ＜0，
再研究 P 在线段 EC 上移动时， 的模长、夹角的变化，进而求出 的最大值．
【解答】解：如图：在等边三角形 ABC 中，设 AC 中点为 E，BC 中点为 F，当 P 落在线段 EA，AB，BF
上时，易知 π≥ ，故
＜0；
当 P 点在 EC 上由 E 向 C 移动时，∠APB 是锐角，且越来越小，与 C 重合时取得最小角为 ，
且同时 也随着 P 点由 E 向 C 移动时，同时变大，到 C 时都达到最大，
故当 P 与 C 重合时， 取得最大值 ＝ ，（当 P 由 F 向 C 移动时， 的
变化规律与 P 由 E 向 C 移动的变化规律相同）．
故答案为： ．
【点评】本题考查数量积的定义和性质，属于中档题．
8．（2022 春 闵行区校级月考）如图，已知 AB 是边长为 1 的正六边形的一条边，点 P 在正六边形内（含边
界），则 的取值范围是 [ ] ．
【分析】利用平面向量基本定理，将 用向量 表示，（其中 O 为 AB 的中点），则问题最
终转化为求 范围的问题，利用圆的性质易求出 的最大值为 MO，问题可求解．
【解答】解：如图，取 AB 的中点 O，由已知得 ，
则 ， ＝ ．
故 ＝ ＝ ．
如图，以 O 为圆心，OT（T 为边 AB 的对边 NM 的中点）为半径作圆，由正六边形的性质可知，
该圆与边 NM 相切于点 T，且故 P 点为 M 或 N 点时，PO 最大，且此时 OT＝2× ．
所以 OPmax＝ ＝ ，
当 P 与 O 重合时，PO＝0 最小．
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，属于中档题．
三．解答题（共 1 小题）
9．（2022 春 浦东新区校级期末）已知| ，| ， 与 的夹角为 ．
（1）若 ， 且 ∥ ，求 k 的值；
（2）若 ， 且 ，求 k 的值．
【分析】根据利用平面向量平行、垂直的充要条件列出 k 的方程求解．
【解答】解：由已知得 ，
（1）因为 ，故存在实数 λ，使得 ，
即 ，又因为 不共线，
故 ，解得 k＝±2，
故 k 的值为﹣2，或 2．
（2）因为 ，所以 ＝（ ）
＝ ＝﹣4k2+4k+32＝0，
解得 k＝ ，或 ．
【点评】本题考查平面向量平行、垂直的充要条件以及数量积的运算性质，属于基础题．
【压轴】
一、单选题
1．（2021 春·高一课时练习）在给出的下列命题中，是假命题的是
uuuv uuuv uuuv
A．设O、A、B、C 是同一平面上的四个不同的点，若OA m OB (1 m) OC(m R)，则点 A、B、C 必共
线
v v v
B．若向量 a,b是平面 上的两个不平行的向量，则平面 上的任一向量 c都可以表示为
v
cv av b( 、 R)，且表示方法是唯一的
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv v
C．已知平面向量OA、OB、OC 满足 | OA OB OC r(r 0)，且OA OB OC 0，则 ABC是等边三角形
v v v vD．在平面 上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量 a、b、c、d ，使得其中任意两个向
量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
【答案】D
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
【详解】由OA m OB 1 m OC OA OC m OB OC CA mCB 则点 A、B、C 必共线，故 A
正确；
由平面向量基本定理可知 B 正确；
uuuv uuuv uuuv
OA OB OC r(r 0) uuuv uuuv uuuv由
v
可知O为 ABC的外心，由OA OB OC 0可知O为 ABC 的重心，故O为
ABC 的中心，即 ABC 是等边三角形，故 C 正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相
互垂直,D 错误
故选 D.
uuur uuur uuur r
2．（2021 春·上海·高一期末）设 O 为△ABC 所在平面内一点，满足 2OA 7OB 3OC 0 ，则△ABC 的面
积与△BOC 的面积的比值为（ ）
8 12
A．6 B． C． D．4
3 7
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
【分析】先设OA1 2OA，OB1 7OB，OC1 3OC ，于是得到点 O 是△A1B1C1的重心，则
SVOA B SVOA S 1 1 1C1 VOB1C1 k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积，进而得到答案.
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
【详解】不妨设OA1 2OA，OB1 7OB，OC1 3OC ，如图所示，
uuur uuur uuuur r
根据题意则OA1 OB1 OC1 0，
即点 O 是△A1B1C1的重心，所以有 SVOA S1B1 VOA1C S 1 VOB1C1 k，
SVOBC OB OC 1 SVOAB OA OB 1 SVOAC OA OC 1
又因为 ， ， SVOB C OB1 OC1 21 SVOA B OA1 OB1 14 S
，
1 1 1 1 VOA C
OA1 OC 61 1 1
那么 S
1 1
VOBC k，S k
1
，S k ，
21 VOAB 14 VOAC 6
S S S S 1 1 1 4VABC VOAB VOAC VOBC k k ，
14 6 21 21
4 k
故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 211 4 .k
21
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据重心的性质可得 SVOA B S S1 1 VOA1C1 VOB C 1 1 k，再由三角形面积公式可得
SVOBC OB OC 1 1
S OB OC 21，即 SVOBC k ，同理可得其他三角形面积，再利用 SVABC SVOAB S 21 VOAC
SVOBC 即
VOB1C1 1 1
可求解，属于难题.
二、填空题
3．（2021 春·高一课时练习）已知正三角形 ABC 的边长为 3，点M 是 ABC所在平面内的任一动点，若
uuuv uuuv uuuv uuuuv
MA 1，则 MA MB MC 的取值范围为________.
【答案】[0,6]
【分析】以 A 点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设M (cosq ,sinq) ,根据向量的坐标运算和向量
uuur uuur uuuur
| MA MB MC |2的模可得 18 18sin
,再根据三角函数的性质即可求出范围.
3
【详解】解：以A 点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则 A(0,0), B( 3,0),C
3 3÷
è
,
2 2÷ ,
uuur
Q| MA |=1 ,不妨设M (cosq ,sinq) ,
uuur uuur uuuur
\ MA +MB +MC = (- cosq , - sinq) +( 3 - cosq , - sinq)
3 cosq , 3 sinq ÷ 3 3 3
+ - - ÷=
÷
è 2 2
- 3cosq , - 3sinq
2 2 ÷,è
uuur uuur uuuur 2 2
\ | MA +MB +MC |2 = 3 3 - 3cosq
÷ +
3
- 3sinq ÷
è 2 ÷ è
2 ÷
= 9(2 - 3 cosq - sinq) =18 - 18sin q
p
+ ÷ ,
è 3 ÷
p
Q - 1 sin q + ÷ 1è 3 ÷
0 18 18sin q p
\ - + ÷ 36 ,è 3 ÷
uuur uuur uuuur
| MA MB MC |的取值范围为：[0,6] .
故答案为：[0,6]
【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题.
r r r r r r
4．（2022 r春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知平面向量 a,b ，且 a b 2,a b 2，向量 c 满
r r r r r r r
足 c 2a 2b a b ，则当 c λb (λ R)成最小值时 ___________.
【答案】3
r r
【分析】先根据平面向量数量积的定义求出 a,b 夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出
a b 和 2 a b ，进而根据图形得出点 C 的几何意义，最后确定取最小值时的 .
r r r r 1
【详解】∵ a b 2， a×b = 2，而 a b a b cos a, b 2 ， cos a, b ， 又 a,b 0, π ∴2
π
2 2 2 2 2 2
a, b ，∴ a b a b 3 a 2 a b b 2
， a b a b
a 2 a b b 2 3 ，
2 | a b | 4 3，
r r r r r r r
因为向量 c 满足 c 2a 2b a b ，所以 c
r r
2a 2b 2
如图所示，
uuur uuur uuur uuur uuur OE 2 a b uuur uuur 若OA a ，OB b ， ， OC c
，则BA a b ，EC c 2 a b ，所以 EC c 2 a b 2，
C uuur uuur 所以 在以E 为圆心，2 为半径的圆上，若OD b ，则DC c b ，由图象可得当且仅当E ，C ，D三
uuur r r uuur uuur
点共线且ED OD 时， DC 最小，即 c λb (λ R)
π
取最小值，此时 EOD = ， OD OE cos 6，又
6 6
uuur
| b | 2，OD b ，所以. 3，
故答案为：3 .
r r r r r r r r r r r r
5．（2021·高一课时练习）已知平面向量 a，b ， e，满足 e 1， a e 1，b e 2 ， a b 2，则 a b 的最
小值为________.
5
【答案】
4
2 3 r r
【分析】设出向量坐标，根据题目条件得到 m n 3，进而得到mn ，求出 a b 的最小值.4
r r
【详解】因为 e 1，不妨设 e 1,0 ，
r r r r
因为 a e 1，b e 2
r r
不妨设 a 1, m ,b 2, n
r r
所以 a b 1,m n ，
r r
因为 a b 2，
所以1 m n 2 4， m n 2 3，
故 m n 2 m n 2 4mn 3 4mn 0，
3 3
所以mn ，当且仅当
4 m n
时等号成立，
2
r r
所以 a b 2 mn 2
3 5
4 4
5
故答案为：
4
ur uur r ur ur
6．（2022 春·上海长宁·高一上海市复旦中学校考期中）设 e1 ， e2 为单位向量，非零向量b xe1 ye2 ，
ur uur
x, y R ．若 e1 ， e2 的夹角为 ，6
| rx |则 | b | 的最大值等于________．
【答案】2
ur uur 3 r r 2 | x |
【分析】由题意，可得 e 2 2 r 01 e2 ， | b | b x 3xy y ，从而可得当 x 0时， x 02 | b |
；当 时，
| x | | x | x2 1
r | rx || b | 2 2 x2 3xy y2x 3xy y ( y 3 )2 1
，再利用二次函数的性质可得 的最大值，比较大小
| b |
x 2 4
即可得答案．
ur uur ur uur
【详解】解：Q e1 ， e2 为单位向量， e1 和 e2 的夹角等于 ，6
ur uur
e1 e2 1 1
3
cos ，
6 2
| x |
当 x 0时，则 r 0| b | ；
r ur ur
Q 非零向量b xe1 ye2 ，
r r 2 ur uur
| b | b x2 2xye1 e2 y
2 x2 3xy y2 ，
当 x 0时，
| x | | x | x2 1 1
r
| b | x2
2 2
3xy y2 x 3xy y 1 y y 3 ( )2 ，
x x (
y 3
)2 1
x 2 4
y 3 | rx |故当 时， | b | 取得最大值为 2，x 2
| x |
综上， r| b | 取得最大值为 2．
故答案为：2．
uuur uuur
7．（2021 春·上海·高一期末）已知 A、B、C、D 是单位圆上的四个点，且 A、B 关于原点对称，则 AC BD
的最大值是________．
1
【答案】 2
【分析】建立平面直角坐标系，设 A 1,0 , B 1,0 ，C cos ,sin , D cos ,sin ， , 0,2 ，
uuur uuur
AC BD用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
设 A 1,0 , B 1,0 ，C cos ,sin , D cos ,sin ， , 0,2 ，
uuur uuur
所以 AC BD cos 1 cos 1 sin sin
cos cos sin sin cos cos 1
cos 2sin sin 1
2 2
1 2sin2 2sin sin 1
2 2 2
1 2 1 1 1
2 sin sin
sin
2 ，当且仅当 sin sin 且 sin 1时取等
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
号．
1
故答案为： 2 ．
【点睛】思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解
析法解决，根据题目条件引入参数 , ，用三角函数定义表示出点C , D 的坐标，再根据三角恒等变换转化
为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力．
uuuv uuuv uuuv v
8．（2021·高一课时练习）设 G 是△ABC 重心，且 (56sin A)GA (40sin B)GB (35sin C)GC 0，则
B _________．
【答案】
3
【分析】将重心 G 满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面
向量基本定理，得到对应系数为 0，最后利用正、余弦定理求解.
【详解】如图，设VABC 三边 AB 中点为 D，Q G 是VABC 的重心，
uuur 2 uuur 1 uuur uuur
GA AD (AB AC)，
3 3
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
同理可得，GB (BA BC) ，GC (CA CB) ，
3 3
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
GA GB GC 0，即GA GB GC ，
uuuv uuuv uuuv v uuur uuur uuur uuur r
Q (56sin A)GA (40sin B)GB (35sin C)GC 0 56sin A( GB GC) 40sin B GB 35sinC GC 0
uuur uuur r
(40sin B 56sin A)GB+(35sinC 56sin A)GC=0
uuur uuur 40sin B 56sin A 0
又GB 与GC 不共线，由平面基本定理得，
35sin C 56sin A
，
0
7
5b 7a b a 5
由正弦定理得， 5c ，即 ， 8a
c 8 a
5
a2 8
2 7 2
2 2 2 a
a
由余弦定理得， cos B a c b 5 5
1
8
，
2ac 2a a 2
5
又 B 为VABC 的内角， B .
3
故答案为： .
3
【点睛】关于VABC 四心的向量关系式：
uuur uuur uuur uuur
O VABC | OA | | OB | | OC | 2
uuur 2 uuur 2
是 的外心 OA OB OC ；
uuur uuur uuur r
O 是VABC 的重心 OA OB OC 0；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
O 是VABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA；
uuur uuur uuur r
O 是VABC 的内心 aOA bOB cOC 0 .(其中a、b、c为VABC 的三边)
ur uur ur ur uur
9．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知 e1,e2 ,e3 是平面向量，且 e1,e2 是互相垂直的单
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
位向量，若对任意 R 均有 e3 e1 的最小值为 e3 e2 ，则 e1 3e2 e3 e3 e2 的最小值为
___________．
【答案】3
ur ur ur ur
【解析】根据 e3 e1 的最小值为 e3 e2 ，代入得关于 的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出
ur ur 2 uur ur ur
uur ur ur uur
4 e1e3 4 2e2 e3 1 0，然后设 e1 为 x 轴的方向向量， e 为 y2 轴方向向量， e3 xe1 ye2 ，则得关于点
(x, y)的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.
ur ur 2 ur 2 ur ur ur 2 ur uur 2 ur 2 uur ur uur 2 ur ur uur ur
【详解】 e3 e1 e3 +2 e1e3 +
2 e1 e
2
3 e2 e3 2e2 e3 e2 ，即 2 e1e3 2e2 e3 1 0，所以
ur ur
uur
4 e1e3 2
uur ur ur ur 2 uur ur ur
4 2e x y2 e3 1 0，即 e1e3 2e2 e3 1 0，设 e1 为 轴的方向向量， e2 为 轴方向向量，所以
ur ur uur
e xe ye (x, y) x2 2y 1 0 x2
1
3 1 2 ，对应的坐标为 ，所以 ，得 2(y ) ；2
ur uur ur ur uur
e1 3e2 e3 e3 e2 (1,3) (x, y) (x, y) (0,1) ，因为 x
2 1 2(y ) 1为抛物线 x2 2y 向上平移 2 个单位，2
所以焦点坐标为( 0, 1)，准线为 y 0 ，所以点 (x, y)到( 0, 1)的距离与到 y 0 的距离相等，
(1,3) (x, y) (x, y) (0,1) = 1 x,3 y y 3 y y 3，当且仅当 x y 1时，取最小值.
故答案为：3
【点睛】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，
涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解.
uuur uuur uuur r
10．（2022 春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设 H 是 ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0，
则 cos ABC ______.
105
【答案】
21
【解析】利用三角形的垂心与向量的关系得解.
【详解】先证明：已知O是 ABC内的一点， BOC, AOC, AOB的面积分别为 SA， SB ， SC ，求证：
uuur uuur uuuur r
SA OA SB OB SC OC 0
证明：如图 2 延长OA与BC边相交于点D则
图 1 图 2
BD S
ABD
S BOD S ABD S BOD S C
DC S ACD S COD SACD S COD SB
uuur DC uuur BD uuur S uuur S uuur OD OB OC B
C
BC BC S S OB
S S OCB C B C
OD S S S S
Q BOD COD BOD COD
S
A
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SB SC
uuuur S
OD A uuur OA
SB SC
S A uuur SB uuur SC uuur OA S S OB OCS S B C SB SCB C
uuur uuur uuuur r
SA OA SB OB SC OC 0
再证明：O是 ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A : tan B : tan C
uuur uuur uuuur r
tan A OA tan B OB tanC OC 0
CD
证明：如图O为三角形的垂心， tan A , tan B
CD
tan A: tan B DB : AD
AD DB
S BOC : S COA DB : AD
S BOC : S COA tan A : tan B
同理得 S COA : S AOB tan B : tan C ， S BOC : S AOB tan A : tan C
S BOC : S COA : S AOB tan A : tan B : tan C
uuur uuur uuuur r
tan A OA tanB OB tanC OC 0
由以上结论得：
H 是 ABC 的垂心 S BHC : S CHA : S AHB tan A: tan B : tanC
uuur uuuur uuuur r
tan A HA tan B HB tanC HC 0
tanA tanB tanC 1
由题设得 .再由 tanA tanB tanC tanAtanBtanC ，得 ，
3 4 5 5 tan B
4 5
.故
5
cos ABC 105 .
21
105
故答案为:
21
【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.
ur uur ur uur r ur uur r ur uur r r
11．（2021 春·高一课时练习）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 e2 | 2 ， a e1 e2 ，b 3e1 e2 ，设 a，b
的夹角为 ，则 cos2 的最小值为_______．
28
【答案】
29
ur ur 3
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得 e 21 e2 ，再根据向量夹角公式求 cos 函数关系式，4
根据函数单调性求最值.
ur ur
【详解】Q| 2e1 e2 | 2 ，
ur ur
4 4e1 e2 1 2，
ur ur
e1 e
3
2 ，4
r r ur ur ur ur
2
cos2 (a b) (4 4e1 e )
2
2 4(1 e1 e ) r 2 r 2 ur ur ur ur ur ur
2
a b (2 2e1 e2 )(10 6e1 e2 ) 5 3e1 e2
4 (1 2 ur ur ) 4 (1 2 ) 28
3 5 3e e 3 5 3 3 29 .1 2
4
28
故答案为： .
29
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合
分析求解能力，属中档题.
12．（2021·高一课时练习）已知 ABC 满足 AB 3， AC 4 ，O是 ABC的外心，且
uuuv uuuv 1 uuuvAO AB AC R ，则 ABC 的面积是______.
2
3 7
【答案】 2 5 或
2
【分析】设 AC 的中点为D，根据条件和O是 ABC 的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，
求得BD AC 和 B 、O、D三点共线 ( 0)，在直角三角形中求出 sin BAC ，代入三角形的面积公式求出
ABC 的面积；当 0 时， AB BC ，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出 ABC 的面积.
【详解】如图： ，O是 ABC 的外心，设 AC 的中点为D，
uuur uuur 1 uuur
∵ AO AB AC ，
2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur∴BO AO AB 1 AB AC 1 AB BC 1 BA BC BA ，2 2 2
uuur uuur uuur
则BC BA 2BD ，
uuur uuur
∴BO 1 BD，即 B 、O、D三点共线.
∵O是 ABC的外心，当 0时， OD AC ，则BD AC ，
sin BAC BD 9 4 5∴ ，
AD 3 3
1
∴ ABC 的面积 S AB AC sin BAC 2 5 ；
2
uuur 1 uuur
当 0 时，此时 AO AC ，即 AB BC ，
2
∴ ABC S 1 1 3 7的面积 AB BC 3 16 9 ，
2 2 2
3 7
综上可得， ABC 的面积是 2 5 或 .
2
3 7
故答案为： 2 5 或 .
2
【点睛】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定
理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题.
uuuv uuuv
13．（2021 春·高一课时练习）设点O是VABC 的外心， AB 13，AC 12 ，则BC AO _______.
25
【答案】
2
【分析】由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来
进行求解
uuur uuur
【详解】设 AB，AC 为平面 ABC 内的一组基底.如图所示，
设M 为BC的中点，连接OM，AM，OA，则OM BC .
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur 1 uuur uuur uuuur又∵BC AC AB，AO AM MO AB AC2 MO，
uuur uuur uuur uuuur uuuur
∴BC AO BC AM MO
uuur uuuur
BC AM uuur uuur 1 uuur uuurAC AB AB AC 1 122 132 25 .2 2 2
【点睛】考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、
外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向
量有关的向量进行表示
三、解答题
uuuv
14．（2021 春·高一课时练习）已知平面直角坐标系内三点A 、 B 、C 在一条直线上，满足OA ( 3, m 1)，
uuuv uuuv uuuv uuuv
OB (n,3) ，OC (7, 4)，且OA OB，其中O为坐标原点.
（1）求实数m 、n的值；
uuuv 2 uuuv
（2）设△ AOC 的重心为G ，且OG OB ，且P1、P2为线段 AB 的三等分点，求3
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
OA AB OP1 AB OP2 AB OB AB 的值.
【答案】（1）m 1， n 2；或m 8，n 9 ；（2） 0 .
uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）由A 、 B 、C 在一条直线上，即 AB / /BC ，又OA OB根据向量平行与垂直的坐标运算得到
方程组，解得.
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）由G 为△ AOC 的重心则OG (OA OC)
2
3 ，又
OG OB，可得m 1， n 2，即可表示出OA，OB ，3
再由定比分点坐标公式求得：P1，P2的坐标， 然后利用向量的数量积的坐标运算解得答案.
uuur uuur uuur
【详解】解：由点A 、 B 、C 在一条直线上，满足OA ( 3,m 1)，OB (n,3) ，OC (7,4)，
uuur uuur
所以 AB (n 3,2 m)， BC (7 n,1)，
uuur uuur uuur uuur
即 AB / /BC ，又OA OB，
(n 3) 1 (2 m) (7 n)
所以 3n 3(m 1) 0 ，
m 1 m 8
解得： n 2 或 n 9
．
（2）Q AOC 的重心为G ，
uuur 1 uuur uuur 4 m 5
所以OG (OA OC) ( , )3 3 3 ，
uuur
OG 2
uuur 2n
又 OB ( ,2)3 3 ，
m 5
2 3
2n 4
3 3
解得m 1， n 2，
uuur uuur uuur
OA ( 3,2) ，OB (2,3)，OC (7,4)
4 7 1 8
由定比分点坐标公式得： P1( ， )， P2 ( ， )3 3 3 3 ，
uuur uuur uuuur uuur uuur
所以OA OP1 OP2 OB ( 2,10)，又 AB (5,1)，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
所以OAgAB OP1gAB OP2 gAB OBgAB (OA OP1 OP2 OB)gAB 2 5 10 1 0
【点睛】本题考查了两向量平行与垂直的运算及平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属难度较大
的题型
