珠海市广东实验高中金湾学校 2022-2023 学年下学期 6 月月考
高一年级数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上。）
1．复数 z 2 i，则复数 z1 zi 2的实部和虚部分别是（ ）
A．1，2 B．1，2i C．3，2 D．3，2i
2
2．已知 sin ，则 cos2 等于（ ）
3
A 5 B 5
1 1
． ． C． D．
3 3 9 9
3．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状
也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为
1.8g/cm3，若图中粽子的底面边长为8cm，高为 4 3cm，则该粽子的重
量大约是（ ）
A．105g B．110g C．115g D．120g
4． sin 400 cos20 cos40 cos110 （ ）
1
A 1． 2 B
3
． C 3． D．
2 2 2
5．如图，点 D、E分别 AC、BC的中点，设 AB=a，AC b，F是 DE的中点，则 AF
（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A． a b B． a b C． a b D． a b
4 2 4 2 2 2 2 2
6．在 ABC中，若 a 2b cosC，则 ABC一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
7．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强 视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥
大家族”中最年轻的项目.图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处 C点的高度，小王在场馆内的，
试卷第 1页，共 4页
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AB两点测得 C的仰角分别为 45°，30°， AB 60m，且 AOB 30 ，则大
跳台最高高度OC （ ）
A．45m B．45 2 m C．60m D．60 3 m
8．已知函数 f x 2sin x
0 ，若方程 f x 1在区间 0,2 上
6
恰有 3个实根，则 的取值范围是（ ）
4 4 5 4 3
A． 1, B． 1, 3 3
C． ,1 D． , 6 3 2
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题列出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上，全部答对 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 2 分。）
9．已知向量 a，b满足 a b 1且 | b 2a | 5 ，则下列结论正确的是（ ）
A． | a b | 2 B． a b 2 C． a,b 60 D．a b
10．已知函数 f (x) Asin( x )（ x R， A 0
， 0，| | ）的部分图像如图所示，则下
2
列说法正确的是（ ）
1
A． f (x)
的图像关于点 ,0 对称
6
4 1 1
B． f (x)的图像关于直线 x 对称 C． f (x)在 , 上为增函数3 2 3
D．把 f (x) 2的图像向右平移 3 个单位长度，得到一个奇函数的图像
11．关于 x的方程 x2 4的复数解为 z1， z2，则（ ）
A． z1 z2 4 B．若 z1 2i，则满足 z z1 2 i的复数 z在复平面内对应的点在第二象限
C． z1与 z2互为共轭复数 D．若 z 1，则 z z1 z2 的最小值是 3
12．用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做
正三棱台.如图，在正三棱台 ABC - A1B1C1中，已知 AB 2AA1 2A1B1 2，则（ ）
1
A． A1B1 在 AC上的投影向量为 AC2
π
B．直线BC与平面 ABC1所成的角为 6
C A 1．点 1到平面 ABC1的距离为 2
D 6．正三棱台 ABC - A1B1C1存在内切球，且内切球半径为
6
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填写在答题卡上。）
a
13．已知向量 (1,1)
，b (0, 2)，则 a在b 上的投影向量是______．
14．已知 A,B为锐角，且满足 tan A tan B 3 3 tan Atan B ，则cos(A B) ___________
15．在 ABC中，若 cos2 A cos2 B cos2 C 1 sin Asin B，且 AB边上的中线长为 2，则 ABC面
积的最大值为______
16．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 E是 ABC内（包括边界）的动点，则下
列结论中正确的序号是_____.（填所有正确结论的序号）
①若 AE AC, 0,1 ，则D1E 平面 A1BC1；
1 ②若 AE AB AC 10，则直线 AE与C1D所成角的余弦值为 ；2 5
③若D1E tDE，则 t
6
的最大值为 ；
2
④若平面 与正方体各个面都相交，且B1D ，则截面多边形的周长一
定为 6 2 .
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17 ．已知向量 a,b 满足 a 4,b 1,2 .
(1) 若 a / /b ，求向量 a的坐标； (2)若 a b b ，求向量 a与向量b 夹角的余弦值.
1
18．在 ABC中， a 4，b 5， cosC .
8
(1)求 ABC的面积； (2)求 c及 sin A的值.
19．如图，在四棱锥 P ABCD中， AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
(1)证明：平面 PAB 平面 PAD；
8
(2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，且四棱锥 P ABCD的体积为 ，3
求 PB与平面 ABCD所成的线面角的大小．
试卷第 3页，共 4页
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20．已知函数 f (x) 3 sin 2x 2cos2 x 2 .
(1)求 f (x)的单调递增区间及对称中心坐标；
π π
(2)将 y f (x)的图象上的各点______得到 y g(x)的图象，当 x , 6 4
时，方程 g(x) m有解，
求实数 m的取值范围.
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.
π
①向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半.
6
π
②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移 个单位.
6
21． ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 4a sin A bsinC cos A c sin AcosB．
sin A
(1)求 的值；
sinC
(2)若 BD是 ABC的角平分线．
（i）证明： BD2 BA BC DA DC；
（ⅱ）若 a 1，求 BD AC的最大值．
22．几何体 E ABCD是四棱锥，△ABD为正三角，BC CD 2， BCD 120 ，M 为线段 AE
的中点.
(1)求证：DM / /平面 BEC；
(2)线段 EB上是否存在一点 N，使得D,M ,N ,C四点共面？若存在，请
BN
求出 的值；若不存在，并说明理
BE
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高一年级数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C B A D C A AD ABC CD BCD
1
13.__(0,1)___ 14.__ ____ 15.__4 3 ______ 16.___①②④______2
1
8．A【详解】若方程 f x 2sin x 1，则 sin x ，即 x 2k 或
6 6 2 6 6
2k 5 k Z ，当 x 0,2 时， x , 2
，6 6 6 6
则 x
5 13 17
的可能取值为 , , , , ，因为原方程在区间 0,2 上恰有 3个实根，
6 6 6 6 6
13 2 17 4
4
所以 ，解得1 ，即 的取值范围是 1, ，6 6 6 3 3
1
12．BCD 【详解】 A1B1 在 AC上的投影向量即为 AB在2 AC
上的投影向
1
AC 1
量,即为 AB cos AB,AC 2 cos60
AC AC ，故 A错；
2 AC 2 2 4
过 A1作直线 AC的垂线，交直线 AC于点 M，过C1作直线 AC的垂线，交直线 AC于点 N，
1 1 2 3
连接 AC ，所以MN 1,CN ,C N 12 1 ，所以 C1CN 60
，
2 1 2 2
AC CC 2 CA 2 2 CC CA cos60 3 CC 2 AC 2 AC 2由余弦定理得 1 1 1 ，所以 1 1 ，
CC AC1
所以CC AC1，同理可得CC BC1，所以 CC BC1 ，CC1 平面 ABC1，
AC1 BC1 C1
π
所以直线 BC与平面 ABC1所成的角为 C1BC C1AC 30
，B正确；
6
取BC1中点 P，因为 B1C1 B1C，所以 B1P BC1，
所以 B1P C1C，又CC1 平面 ABC1，
所以 B1P 平面 ABC1，所以点 B1到平面 ABC1的距离为
答案第 1页，共 7页
{#{QQABIYSQoggoAAAAAAACAwFQCkOQkgCAACgGwBAcoEABiQFABAA=}#}
B1P 1 sin 30
1 ，
2
A1B1∥AB且 AB ABC1，所以点 A1到平面 ABC1的距离等于点 B1到
1
平面 ABC1的距离等于 2 ，故选项 C正确；
取 AC中点 H， AC中点H1，△A1B1C1的外心为O1， ABC的外心
O 2 3 3 2 2 3为 2，过 B1作垂线交HB于点T，所以O1B1 ，O2B 3 ，3 2 3 3 3
2
2 3 3 3 2 2 2 3 6所以 BT ，所以 B1T BB3 3 3 1
BT 1 3
，
3
2r 6 r 6所以 ，即 ，故选项 D正确；
3 6
15． 4 3【详解】因 sin2 x cos2 x 1，则 cos2 A cos2 B cos2 C 1 sin Asin B
1 sin2 A 1 sin2 B 1 sin2C 1 sin Asin B，即
sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin Asin B a2 b2 c2 ab .
a2 b2 c2 1 2π
所以 cosC ，又 0 C π，所以C .设 AB边上的中线为 CD，
2ab 2 3
1
2
则CD CA
1
CB ，则 CD 4
2
CA CB 1 a2 b2 ab4 4，2
所以16 a2 b2 ab 2ab ab ab，当且仅当 a＝b时等号成立，所以
S△ABC
1
(ab)max sinC 4 3max 2
16．①②④.
【详解】对于①，由 AE AC, 0,1 知，点 E在线段 AC上，连接
AD1,CD1，则 AD1 //BC1,CD1 //A1B ，
又 AD1,CD1 平面 A1BC1， BC1,A1B 平面 A1BC1，
则 AD1 //平面 A1BC1，CD1 //平面 A1BC1，
又 AD1 CD1=D， AD1,CD1 平面D1AC，
则平面D1AC 平面 A1BC1，
因为D1E 平面D1AC，所以D1E 平面 A1BC1，故①正确；
答案第 2页，共 7页
{#{QQABIYSQoggoAAAAAAACAwFQCkOQkgCAACgGwBAcoEABiQFABAA=}#}
1
对于②，由 AE AB AC ，易知点 E是 BC中点，2
因为 AB1∥C1D，则 B1AE为异面直线直线 AE与C1D所成角，
且 AE B1E 5， AB1 2 2 ，在△AB1E中，由余弦定理知
2 2
cos B AE AB1 AE B
2
1E (2 2)
2 ( 5)2 ( 5)2 10
1 ，故②正确；2AB1 AE 2 2 2 5 5
D E DE2 DD2 DE2 4 4
对于③，若D1E tDE，则 t 1 1 1 ，
DE DE DE DE2
因为DE 2,2 2 ,t的最大值为 3 .判断错误；
对于④，易知 B1D 平面 A1BC1，又因为 B1D ，
所以平面 平面 A1BC1，即所求截面与平面 A1BC1平行.
因为平面 A1BC1 平面 A1B1C1D1 A1C1 ，
平面 E1FGHIJ 平面 A1B1C1D1 E1J ，所以 A1C1∥E1J ，
同理可证 A1B∥FG ,BC1 ∥HI ，设 E1J xD1A1，其中 x 0,1 ，
则E1A1 1 x D1A1 ，
因为 A1C1∥EJ ，所以 E1J xA1C1 ,E1F 1 x AD1 ，
因为 A1C1 AD1 2 2，
所以 E1J E1F xA1C1 1 x AD1 A1C1 2 2 ，
同理，可得GF GH 2 2,HI IJ 2 2 ，
故截面多面形 E1FGHIJ 的周长为 6 2；故④正确；
答案第 3页，共 7页
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故答案为：①②④.
17．【详解】（1） a / /b ，b 1,2 ，设 a b , 2 ，...................1分
又 a 4, 2 4 2 4, 4 5 ，..................3分
5
4 5 8 5 a 4 5 8 5
, 或 a , ..................5分
5 5
5 5
r r r （2） a b b ， a b b 0 ，
2
即a b b 0 ， a b cos a,b 5 0 ，.................7分
cos a,b 5 5 ，..................9分
4 5 4
5
即向量 a 与向量b 夹角的余弦值为 ...................10分
4
cosC 118．【详解】（1）由 且0 C π，则 sinC 3 7 ，..................3分
8 8
S 1 ab sinC 15 7所以 ABC ...................6分2 4
（2）由 c2 a2 b2 2abcosC 16 25 5 36，则 c 6，..................9分
c a
sin A asinC 7而 ，则 ..................12分sinC sin A c 4
19．【详解】（1）因为在四棱锥 P ABCD中， BAP CDP 90 ，
所以 AB PA，CD PD，
又 AB//CD，所以 AB PD，
因为 PA PD P， PA,PD 平面 PAD，
所以 AB 平面 PAD，
因为 AB 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PAD．..................5分
答案第 4页，共 7页
{#{QQABIYSQoggoAAAAAAACAwFQCkOQkgCAACgGwBAcoEABiQFABAA=}#}
（2）取 AD中点O，连结PO，因为 PA PD，所以 PO AD，
由（1）知 AB 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 AB PO，
因为 AB AD A， AB, AD 底面 ABCD， 所以 PO 底面
ABCD， 设 PA PD AB DC a，求得 AD a2 a2 2a，
PO 2 a，因为四棱锥 P ABCD
8 1
的体积为 ，所以VP ABCD S四边形ABCD PO
2 3 3
1
AB 1 AD PO a 2a 2 1 8 a a3 解得 a 2，
3 3 2 3 3
所以 PB PO2 AO2 PB2 2 2 4 2 2，因为 PO 底面 ABCD， 所以 PBO为 PB与
平面 ABCD PO 2 1所成的角，在Rt△POB中， sin PBO ，
PB 2 2 2
所以 PBO 30 ．所以 PB与平面 ABCD所成的线面角为30 ．..................12分
20 1 f (x) 3 sin 2x 2cos2 x 2 3 sin 2x cos 2x 3 2sin 2x
π
．【详解】（ ） 36 ，.......2分
π π π π
令2kπ 2x 2kπ ， k Z ，得 f (x)的单调递增区间为 kπ ,kπ
π
2 6 2 3 6 ， k Z ...........4分
kπ π
令 2x
π
kπ， k Z ，得 f (x)
的对称中心坐标为 ,3 ， k Z ...................6分6 2 12
π
（2）若选择①，由（1）知 f (x) 2sin 2x 3，那么将 f (x)
π
图象上各点向左平移 个
6 6
单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到 g(x) 2cos 4x 3 ................9分
x π , π 4x 2π , π 当 时，可得 ，cos4x 1,1 ， g x 1,5 ， 6 4 3
由方程 g(x) m有解，可得实数 m的取值范围为 1,5 ...................12分
若选择②，由（1）知 f (x) 2sin
2x
π
3，那么将 f (x)图象上各点纵坐标保持不变，
6
π
横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移 个单位，得到 g(x) 2sin x 3 .................9分
6
x π π
1 2
当 , 时， sin x , ， g(x) [2,3 2]， 6 4 2 2
由方程 g(x) m有解，可得实数 m的取值范围为 [2,3 2] .................12分
21．【详解】（1）因为 4a sin A bsinC cos A c sin AcosB
由正弦定理可得4sin2 A sin B sinC cos A sinC sin AcosB
答案第 5页，共 7页
{#{QQABIYSQoggoAAAAAAACAwFQCkOQkgCAACgGwBAcoEABiQFABAA=}#}
sinC(sin B cos A sin AcosB) sinC sin(A B) sin 2C ，................3分
A,C 0, π sin A, sinC 0 sin A 1且 ，则 ，所以 ................4分
sinC 2
ABD AD AB（2）（i）在△ 中，则 ①，
sin ABD sin ADB
AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB②，
BCD CD BC在△ 中，则 ③， BC 2sin CBD sin CDB CD
2 BD2 2CD BD cos CDB④，
因为 BD是 ABC的角平分线，则 ABD CBD，所以 sin ABD sin CBD，
因为 ADB CDB π，所以 sin ADB sin CDB,cos ADB cos CDB 0，
AD AB
①÷③得： ⑤，
CD BC
AD AB CD BC
所以 , ，
AC AB BC AC AB BC
CD ② AD ④得：CD AB2 AD BC2 CD AD( AD CD) ( CD AD) BD2
CD AD AC AC BD2，
2
BD2 CD AB AD BC
2
CD AD BC AB
2 AB BC2
所以 CD AD
AC AB BC
BA BC DA DC ，得证．................8分
sin A 1
（ⅱ）由（1）可得： ，则 c 2a 2，
sinC 2
AD AB
由⑤式知（或由角平分线定理知）： 2，
CD BC
AD 2 AC,DC 1所以 AC，
3 3
2 2 2
所以由（ⅰ）知：BD 2 AC ，
9
BD2 2 AC2所以 2，
9
2 2 2 3 2
因为 BD2 AC 2 BD AC，当且仅当 BD 1, AC 时，取得等号，
9 3 2
3 2
所以 BD AC .................12分
2
22．【详解】（1）记 F为 AB的中点，连接DF ,MF，如图 1，
因为 F ,M 分别为 AB,AE的中点，故MF / /EB，
因为MF 平面 EBC,EB 平面 EBC,
所以MF / /平面 EBC，
又因为 ADB为正三角形，所以 DBA 60 ，DF AB，
答案第 6页，共 7页
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又△BCD为等腰三角形， BCD 120 ，所以 DBC 30 ,
所以 ABC 90 ，即BC AB，
所以DF / /BC，又 DF 平面 EBC ,BC 平面 EBC,
所以 DF / /平面 EBC，又DM MF F，DM ,MF 平面DMF，
故平面DMF / /平面EBC，
又因为DM 平面 EBC，故DM / /平面 BEC .................5分
（2）延长CD, AB相交于点 P，连接 PM交 BE于点 N，连接CN ，过点 N作 NQ / /AE交 AB
于点Q，如图 2，
因为DM / /平面 ECB，DM 平面 PDM ，平面 PDM 平面 ECB CN，
所以DM / /CN，此时D,M ,N ,C四点共面，
由（1）可知， BC CD 2, PCB 60 ,CB BP，得 CPB 30 ,PC 4，
PN CP 4 2 NQ / /AE NQ PN 2故 ，又因为 ，所以 ，
PM DP 6 3 AM PM 3
NQ NQ 1 2 1 BN NQ 1
则有 ，故 .................12分
AE 2AM 2 3 3 BE AE 3
答案第 7页，共 7页
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