曲靖天人高中 2022-2023学年春季学期期中考试 二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20.0分。在每小题给出的选项中，有多项
高二 数学 符合题目要求，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分。）
考试时间：120 分钟 满分：150 分 9. 下列各式求导正确的是( )
8 '
一、单选题（共 小题，每小题 5分，共 40.0分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） A. (sin ) cos B. (cos x) ' sin x3 3
1. 已知集合 ，则 A B ( ) C. (sin x) ' cos x D.（x 5）' 5x 6
A. B. C. D.
10. 已知函数 f (x) 2sin(3x )，则 ( )
2. 已知 i为虚数单位， (1 i)z 2，则 z 6
A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i A. f (x)的最大值是 2 B. f (x)的最小正周期为
π
3
C. f (x) 在[0,
π ]上是增函数 D. f (x)的图象关于点(π , 0)对称
6 6
3. 已知 a (x,1)，b ( 2,4)，若a b，则 x ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 给定组数 5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的( )
8
4. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有( ) A. 中位数为 3 B. 方差为 C. 众数为 3 D. 85%分位数为4.55
A. 24 种 B. 23 种 C. 12 种 D. 11 种
12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的
5. 在 ( x 2)5的展开式中， x2 的系数为( ) 直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体
积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为 n
6. 函数 y = log2(2x 4)的定义域是 ( )
若 ，则( )
A. [ 2, +∞ ) B. ( 2, +∞ ) C. ( ∞, 2 ] D. ( ∞, 2 )
A. f (x)的展开式中的常数项是 56
7. 2023 年云南省实行“3 1 2”新高考模式，学生选科时语数英三科必选，物理、历史两科中
B. f (x)的展开式中的各项系数之和为 0
选择 1科，政治、地理、化学、生物四科中选择 2科，则学生不同的选科方案共有( )
C. f (x)的展开式中的二项式系数最大值是 70
A. 6 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 24 种
D. ，其中 i为虚数单位
8. 如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边 三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20.0分）
长为 40cm，下底面边长为 10cm，侧棱长为 30cm，则该款粉碎机进物仓的容积为( )
3
A. 8600 2cm3 B. 8600 3cm3 13. ( ) = 2 在点(1, 1)处的切线方程为________.
C. 10500 2cm3 D. 10500 3cm3
14. 若在等差数列{ }中， 3 = 7， 7 = 3，则通项公式 =______．
第 1页，共 2页
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
15. 在△ ABC中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，并且 = 1， = 3， = 30°，则 的 年级 人数
值为______． 初一 4
初二 4
16. 已知函数 f (x)的定义域为 (0, )， f (x)为 f (x)的导函数，且满足 f (x) x f (x)，则不等
初三 6
式 f (x 1) (x 1) f (x2 1)的解集是________
高一 12
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 高二 6
17. ( 10.0分 ) 高三 18
已知数列{an}的前 n
2
项和 Sn，且 sn n n
合计 50
；
(1)求它的通项 an
（1）抽查的 50 人中，每天平均学习时间为6 ~ 8小时的人数有多少？
b 2n 1(2)若 n ，求数 an bn 的前 n项和Tn . （2）经调查，每天平均学习时间不少于 6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方
法，从学习时间不少于 6小时的学生中随机抽取 6名学生进行问卷调查，求这三个年级
各抽取了多少名学生；
( 12.0分 ) （3）在（2）抽取的 6名学生中随机选取 2人进行访谈，求这 2名学生来自不同年级的
已知 ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 a sin B 3bcos A 0. 概率．
(1)求角 A的大小；
(2)若bc 3，b c 4，求 a的值.
21. ( 12.0分 )
2 2
18. ( 12.0分 ) x y已知椭圆C : A(2,0) 3
a2 b2
1(a b 0)过点 ，离心率为 .
如图，在四棱锥S ABCD中，SD 底面ABCD 2，底面ABCD是正方形，且SD AD，E是SA
(1)求椭圆 C的方程;
的中点．
(2)已知定点 E(1,0)，若直线 y kx 2(k 0)与椭圆 C交于 M、N两点，则是否存在实数
(1)求证：直线 BA 平面 SAD ;
k，使以线段 MN 为直径的圆过定点E 若存在，求出 k的值;若不存在，请说明理由.
(2)求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值.
(
( ) 22. 12.0
)
20. 12.0
分
分
设函数 f (x) aex x 1，a R.
某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了 50 名学生，对他们每天平
(1) f (x)
均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列 当a 1时，求 的单调区间；
(2)当 x (0, )问题： 时， f (x) 0恒成立，求 a的取值范围；
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{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}曲靖天人高中 2022-2023 学年春季学期期中考试
高二 数学 参考答
一、单选题
1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查四棱台的体积计算.属于基础题.
根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.
【解答】
解：画出满足题意的正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ，如图所示，
则 B1D1 40 2 ， BD 10 2 .
过点 D作 DE B1D1 于点 E，
则 D1E 15 2 ， DE 302 (15 2)2 15 2 ，
所以该正四棱台的体积为 .
故选C.
二、多选题
9.CD 10.AC 11.AB 12.BC
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查圆柱，球的体积公式和表面积公式，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中
档题.
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
根据圆柱，球的体积公式和表面积公式得出 m，n 的值，再根据二项式定理分析 ABC 选项，
由复数的运算分析 D选项.
【解答】
解：设球的半径为 r，则圆柱的底的半径为 r，高为 2r，
2
m r 2r 3 24 n 2 r 2 r 2r 3则 ， ， r3 2
3 4 r
2 2
故 ，
可知 展开式的通项公式为 ，
令 24 4r 0，即 r 6，可得 f (x)的展开式中的常数项是 ，故 A 错误；
令 x 1，可得 f (x)的展开式中的各项系数之和为 ，故 B 正确；
C 4 8 7 6 5可知 的展开式中的二项式系数最大值是 8 70，故 C 正4 3 2 1
确；
，故 D错误；
故选： BC.
三、填空题
13.y=x-2或 x-y-2=0 ; 14.-n+10; 15.1 或 2（对其中一个 3 分，两个全对 5 分）
16.【答案】{x | x 2}
【解析】
【分析】
本题主要考查利用函数单调性对不等式求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调
性是解决本题的关键，属于中档题．
根据条件构造函数 g (x) xf (x)，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行
转化求解即可．
【解答】
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
解：设 g (x) xf (x)，则 g (x) f (x) xf (x)，
f (x) xf (x)，
f (x) xf (x) 0，
g (x) 0，
即 g (x)在 (0, )上为减函数，
则不等式 f (x 1) (x 1) f (x2 1)等价于 (x 1) f (x 1) (x 1)(x 1) f (x2 1)，
即 (x 1) f (x 1) (x2 1) f (x2 1)，
即 g (x 1) g (x2 1)，
g (x)在 (0, )上为减函数，
，解得 x 2，
故不等式的解集为{x | x 2}.
故答案为{x | x 2}.
17. 【答案】解：
（1） S 2n n n
当n 1时，a1 S1 2
当 2时，an Sn Sn 1 2n
经验证，a1 2满足an 2n
an 2n（n N*)
（2） b n 1n 2
n
b b 21 1，n 1 n 1 2bn 2
数列 bn 是以首项为1,2为公比的等比数列
Tn (a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
(n2 n) 1 (1 2
n )
1 2
n2 n 2n 1
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
18.【答案】解： (1)因为 a sin B 3bcos A 0，
所以由正弦定理可得 sin Asin B 3 sin B cos A 0，
因为 sin B 0，
所以 sin A 3 cos A 0，
所以 tan A 3 ，
因为 A (0, ) ，
所以 A . .....................................................................................6分
3
(2) 因为 A ， bc 3， b c 4，
3
所以由余弦定理可得
a2 b2 c2 2bc cosA b2 c2 bc (b c)2 3bc 16 3 3 7 ，
可得 a 7. ....................................................................................12分
【解析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综
合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)由正弦定理化简已知等式，结合 sin B 0，根据同角三角函数基本关系式可求 tan A的
值，结合范围 A (0, ) ，可得 A 的值．
(2)由已知利用余弦定理即可求解 a 的值．
19. 【答案】 (Ⅰ)证明：
SD 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，
SD AB，又 AD AB ， AD SD D，
AD、 SD 平面 SAD，
AB 平面 SAD. .........................................................................................6分
(Ⅱ)以 D 为原点，分别以 DA、DC、DS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
设 AB 2 ，则 A(2,0,0)， S (0, 0, 2)， B(2, 2, 0)，
E (1,0,1) ，故 SA (2, 0, 2)， DB (2, 2, 0)，
DE (1, 0,1) ，设平面 BED 的一个法向量为m (x, y, z)，
m
DE 0 x z 0
由 得 ，取m (1, 1, 1)，
m DB 0 x y 0
设直线 SA 与平面 BED 所成角为 ，
m SA 6
因为 cos m,SA ，|m || SA | 3
所以 sin 6 ，
3
6
即直线 SA与平面 BED所成角的正弦值为 . ............................................................12分
3
【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，较为基础．
(Ⅰ)证明 SD AB，结合 AD AB ，即可证明 AB 平面 SAD.
(Ⅱ)以 D 为原点，分别以 DA、DC、DS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出相关向量，
求出平面 BED 的一个法向量，设直线 SA 与平面 BED 所成角为 ，利用向量的数量积求解即
可．
20.【答案】解： (Ⅰ)由直方图知，学习时间为 6 ~ 8小时的频率为
1 (0.02 2 0.12 0.06) 2 0.36 ，
学习时间为 6 ~ 8小时的人数为 50 0.36 18(人 )；..................3 分
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于 6 小时的学生有18 12 6 36人．
6 1从中抽取 6 名学生的抽取比例为 ，高中三个年级的人数分别为 12、6、18，
36 6
从高中三个年级依次抽取 2 名学生，1 名学生，3 名学生；....................7 分
(Ⅲ) 设高一的 2 名学生为 A1， A2高二的 1 名学生为 B，高三的 3 名学生为C1，C2 ，C3.
则从 6 名学生中选取 2 人所有可能的情形有 (A1, A2 )， (A1,B )， (A1,C1 )， (A1,C2 )，
(A1,C3 )，(A2 ,B )，(A2 ,C1)，(A2 ,C2 )，(A2 ,C3 )，(B,C1)，(B,C2 )，(B,C3 )，(C1,C2
)， (C1,C3 )， (C2 ,C3 )，共 15 种可能．
其中 2 名学生来自不同年级的有 (A1,B)，(A1,C1)，(A1,C2 )，(A1,C3 )，(A2 ,B)，(A2 ,C1
)， (A2 ,C2 )， (A2 ,C3)， (B,C1)， (B,C2 )， (B,C3 )，共 11 种情形，
P 11故所求概率为 . .............................................................................................12分
15
【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，是概率统计的典型题，根据频
频数
率分布直方图中频率 小矩形的高 组距来获得数据，是解答此类问题的基本方
样本容量
法．
(I )利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为 1，求得学习时间为 6 ~ 8小时的频率，
再根据频数=频率 样本容量求解；
(II ) 求得分层抽样的抽取比例，再根据高中三个年级的人数分别乘以抽取比例可得三个年
级的抽取人数；
(III )利用列举法写出从 6 名学生中选取 2 人所有可能的情形，从中找出 2 名学生来自不同
年级的情形，利用个数比求概率．
a2 b2 c2 ,
c 3
21. 【答案】 (1)由题意得 , ，解得 a2 4， b2 1， c 2 3，所以椭圆 C 的方
a 2
a 2,
x2
程为 y2 1. .......................................................................................................5分
4
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
(2)假设存在实数 k，使以线段 MN 为直径的圆过定点 E，
设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，
y kx 2,
联立得 x2 2 整理得 (1 4k
2 )x2 16kx 12 0，
y 1, 4
所以 ( 16k)2 4 12 (1 4k 2 )，
x 16k1 x2
12
， x x
1 4k 2 1 2
1 4k 2
，
若以 MN 为直径的圆过定点 E，则 EM EN ，
所 以
EM EN (x1 1, y1) (x2 1, y2 ) (x1 1)(x2 1) y1y2 (x1 1)(x2 1)
(kx1 2)(kx2 2) (1 k
2 )x1x2 (2k 1)(x1 x2 ) 5 0，
(1 k 2 ) 12 16k所以
1 4k 2
(2k 1) 5 0，
1 4k 2
k 17 17解得 ，满足 0，故存在实数 k，使以线段 MN 为直径的圆过定点 E，此时 k .
16 16
...............................................................................................................................12分
【解析】略
22.【答案】解： (1)当 a 1时，则 f (x) e x x 1， f (x) e x 1；
令 f (x) 0，得 x 0；
当 x 0时， f (x) 0 ， f (x)在 ( , 0)上单调递减；
当 x 0时， f (x) 0， h(x)在 (0, )上单调递增；
即 a 1时， f (x)的单调减区间为 ( , 0)，单调增区间为 [0, ) ；...........5 分
(2) e x 0；
f (x) 0 x 1恒成立，等价于 a 恒成立；
ex
设 g(x)
x 1
， x (0, )x ， g (x)
x
；
e ex
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
当 x (0, )时， g (x) 0；
g (x) 在 (0, )上单调递减；
x (0, )时， g (x) g (0) 1；
a 1；
a 的取值范围为 [1, )；...........................................12 分
【解析】本题考查基本初等函数导数的计算公式，商的导数的计算公式，函数单调性和函数
导数符号的关系，以及函数单调性定义的运用，指数函数的单调性，指数式和对数式的意义，
指数式的运算．
(1)a 1 f (x) f (x) e x 1
时得出 ，进而得到 ，这样便可判断导数符号，根据符号即可得
出 f (x)的单调区间；
a x 1 x 1(2) f (x) 0 ex
g(x) x
可以由 恒成立得到 恒成立，这样设 e ，求导，根据导数符
号便可判断 g (x)在 (0, ) g (x) 1上单调递减，这便可得到 ，从而便可得出 a 的取值范围；
{#{QQABCYSQogAAABIAAAACAw3yCEKQkhGAAIgGRAAcoEABSQNABAA=}#}
