2022-2023学年第二学期高二年级期中检测
数学试卷
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.请考生将答案写在答题卷上，写在试卷上无效.
3.请考生在答题卷规定的位置写班级，姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.
【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为，
切线方程为：，即.
本题选择A选项.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
2. 数列的通项公式为，则的第5项是
A. 13 B. C. D. 15
【答案】B
【解析】
【详解】分析:把n=5代入，即得的第5项.
详解：当n=5时，=-13.故选B.
点睛：求数列的某一项，只要把n的值代入数列的通项即得该项.
3. 函数有极值的充要条件是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，所以，即，应选答案C．
4. 若函数在处取得极值，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.
【详解】因为，所以，
又函数在处取得极值，
所以，即．
此时，
当或时，，当时，，
故是极大值点，故符合题意．
故选：D．
5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
6. 若数列满足，，则的值为
A. 2 B. -3 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，，所以
故数列是以4 为周期的周期数列，故
故选B.
7. 已知数列前项和，则的通项公式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．
【详解】令，则，解得，
当时，，
则，即，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以．
故选：C．
8. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得
A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石
【答案】A
【解析】
【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案．
【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，
只知道甲比丙多分三十六石，所以，
所以，解得石．
甲应该分得78石．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）
9. 如图是导数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
【答案】AB
【解析】
【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可.
【详解】对于A、B选项，由导函数的图象可知上导函数为正，上导函数为负，故A、B正确；
对于C、D选项，由导函数的图象可知处导函数不为零，在处导函数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故处应取得极大值，故C、D选项错误.
故选：AB
10. （多选）等差数列是递增数列，且，前项和为，则（ ）
A. B.
C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为8
【答案】AD
【解析】
【分析】先求得，结合数列的单调性判断AB选项的正确性，结合二次函数的性质、一元二次不等式判断CD选项的正确性.
【详解】设等差数列的公差为，
由，可得，即．
又由等差数列是递增数列，
可知，则，故A正确，B错误；
因为，
由，可知当或时最小，故C错误；
令，解得（舍去）或，
即时的最小值为8，故D正确．
故选：AD．
11. 若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数过原点的切线．
【详解】解：函数的导数为；
所以过原点的切线的斜率为；
则过原点的切线的方程为：；
所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；
故选：BCD
【点睛】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题．
12. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B.
C. 方程有实数解
D. 存在实数，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定.
【详解】由，
显然当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，故A错误；
对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；
对于C项，由上知处取得极小值，而，故C正确，如图所示；
对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，
令，解得，即在上单调递减，
令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，
又时，，可得的大致图象，如图所示，
当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
故选：BCD
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13. 已知，若三个数成等差数列，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由等差中项即可求解.
【详解】由等差中项可得，所以，
故答案为：5
14. 函数在点处的切线方程为，则_____，____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
由题得，由导数的几何意义可得，解方程组即得解.
【详解】由题得，由导数的几何意义可得，
即，，
所以.
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，设，
由解得
，两式相加得，即的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题.
16. 若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．
【详解】由题意可得：函数 f（x）＝x3﹣3x，
所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增，
因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1），
1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，
又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
联立解得：﹣2≤a＜1．
故答案为[﹣2，1）．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在处取得极值．
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．
【答案】（1）是极大值，是极小值；（2）；
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由函数在处取得极值，则得到关于的方程组，求出，可以得到函数的解析式，再去判断函数的单调性，从而得出函数的极大值与极小值；（2）点不在曲线上，先设切点坐标，然后写出切线的方程，再根据点在切线上，得到关于的方程，求出，从而得出切点坐标和切线方程；
试题解析：（1），依题意得，，即
解得．，．
令，得．若，则，故
在上是增函数，在上是增函数．若，则，故在上是减函数．是极大值；是极小值．
（2）曲线方程为．点不在曲线上．
设切点为，则点M的坐标满足．，故切线的方程为．注意到点在切线上，有
化简得，解得，因此切点为，切线方程为．
考点：导数的应用；
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式
（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，当时，递推作差得，即，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，利用分组求和，即可求解．
【详解】（1）当时，，所以，
当时，因为，所以，
两式作差得，即，因为，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
故；
（2）令，则，，
所以数列的公差，故，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19. 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出．
（1）判断的正负，并说明理由．
（2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？
【答案】（1）负（2）第三分钟的水温，平均每分钟下降
【解析】
【分析】（1）利用导函数的意义解释即可.
（2）根据图像过，即可画出大致图象.
【详解】（1）因为的意义为在附近函数值的瞬时变化率，热红茶的温度随时间的增加而减小，故，的符号为负.
（2）的实际意义表示在第三分钟附近红茶的温度约以每分钟速率下降.函数的图象过，，大致图象如下：
20. 已知数列满足，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项和
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式.
（2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和.
【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得： ，则，又
故是以首项为2，公比为2的等比数列，
所以，故
（2）由（1）知
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.
21. 正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【详解】（1）因为数列前项和满足：，
所以当时，，
即
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
当时，有，
所以，
解得，
当时，，符合
所以数列的通项公式，;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：
，
当时，
有，
所以，
所以对于任意，数列的前项和.
22. 已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
（2）4
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；
（2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
由，得，
令，得；令，得，
∴的单调增区间是，单调减区间是，
故在处有极小值，无极大值；
【小问2详解】
由及，得恒成立，
令，则，
由，由，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
因此，所以m的最大值是4．2022-2023学年第二学期高二年级期中检测
数学试卷
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.请考生将答案写在答题卷上，写在试卷上无效.
3.请考生在答题卷规定的位置写班级，姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
2. 数列的通项公式为，则的第5项是
A. 13 B. C. D. 15
3. 函数有极值的充要条件是
A. B. C. D.
4. 若函数在处取得极值，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
6. 若数列满足，，则的值为
A. 2 B. -3 C. D.
7. 已知数列前项和，则的通项公式（ ）
A. B.
C. D.
8. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得
A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）
9. 如图是导数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
10. （多选）等差数列是递增数列，且，前项和为，则（ ）
A. B.
C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为8
11. 若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为
A. 2 B. 1 C. 0 D.
12. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B.
C. 方程有实数解
D. 存在实数，使得方程有4个实数解
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13. 已知，若三个数成等差数列，则__________.
14. 函数在点处的切线方程为，则_____，____.
15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______.
16. 若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在处取得极值．
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式
（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.
19. 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出．
（1）判断的正负，并说明理由．
（2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？
20. 已知数列满足，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项和
21. 正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
22. 已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，成立，求实数m的最大值．
