高二数学参考答案
1. 答案 C 【详解】因为 a与b互相垂直，所以 a b 0，即 k 2k 2 0，
故选：C
f x x f x
2. 答案 A 【详解】 因为 f ' x 2，所以 lim 2
x 0 x
lim f x f x 2 x f x 2 x f x 所以 2 lim 4 故选：A
x 0 x x 0 2 x
3. 2【解析】：因为随机变量 服从正态分布 N 1, ，所以 1，即正态曲线关于直线 x 1对称，所以
P( 2) P( 4) 1 P( 4) 0.14．故选：A．
4. 【答案】D
【解析】曲线 y a ln x y 1 1的导数为 ，由题意直线 y x是曲线 y a ln x的一条切线，可知 1，
x x
所以 x 1，所以切点坐标为 (1, 1)，因为切点在曲线 y a ln x上，
所以 a 1． 故选：D．
5.【答案】A
【解析】：由题意得， X 的所有可能的取值为 0，1，2．
P(X 0) C
2 1 1 2
2 1 P(X 1) C 2 C 3 6 3 ， ， P(X 2) C 3 3 .
C 2
10 2 10 5 2 10
3 C 3 C 3
E(X ) 0 1 3 3 6 1 2
∴ 10 5 10 5 ，答案 A
1
6、【详解】函数 f x x 2 a ln x x在[1, ] '上单调递增，即 f x a x 1 0在[1, )恒成立．故
2 x
a
1 x 即a x(1 x)在[1, )恒成立, x 1 x 在 x 1处取得的最大值0，所以a 0．
x
1 1
7、【解析】由题意MA OA OM OA OB OC ，
2 6
1 5 MB OB OM OA OB OC ，
2 6
1 1 MC OC OM OA OB (1 )OC ，∵MA，MB，MC共面，
2 6
∴存在实数唯一实数对 (m,n)，使得MA mMB nMC，
1 1 1 5 1 1 OA OB OC m OA OB OC n OA OB (1 )OC
，
2 6 2 6 2 6
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
1 1 1
m n
m
1
2 2 2 3
5m 1 1 2∴ n
，解得
6 6 6
n ．故选：B．
3
m n(1 ) 1
3
8.答案 B【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件 B，被检测者患病为事件 A，未患病为事件 A，
则 P B A 0.99， P A 0.01， P B A 0.1， P A 0.99，
故所求概率 P B 0.99 0.01 0.1 0.99 0.1089，故选：B.
9、【答案】CD
【解析】：由散点图可知这两个变量为负相关，所以 r1， r2 0．
因为剔除点 10,21 后，剩下点的数据更具有线性相关性， r2 更接近 1，
所以 1 r2 r1 0．故选：CD．
10、 【答案】AD
【解析】：对于选项 A，由条件可知，P(X 0) 1 P(X 1) 1 E(X ) 0 1 1 1 1 ， ，故正确；
2 2 2 2
对于选项 B，D(2Y 1) 4D(Y ) 12，故错误；对于选项 C若随机变量ζ服从二项分布 B(4, 1)，则
3
P( 3) C 3 (1)3 2 8 ，故错误；对于选项 D，根据对称性可知，正态分布曲线关于 x 1对称，4 3 3 81
所以 P(0 2) 1 2(1 P( 2)) 0.64，故正确.
故选：AD．
11、 【答案】ACD
【解析】在长方体 ABCD A B C D 中， AB 2， AD 3， AA 1，
以D为原点，以DA，DC，DD 分别为 x轴， y轴， z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 A 3,0,0 ,B 3,2,0 ,C 0,2,0 ,
D 0,0,1 , A 3,0,1 ,C 0,2,1 ,B 3,2,1
选项 A: 所以 BD ( 3, 2,1)，则 A 正确.
选项 B:DA 3,0,1 , BD ( 3, 2,1) ,
cos DA ,BD D A
,B D 8 4 35所以
DA BD 10 14 35
，
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
A D BD 4 35所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则 B不正确.
35
选项 C：设平面 A C D的一个法向量为 n x, y, z
n
DA 0 3x z 0
由DA 3,0,1 ，DC 0,2,1 ，则 ，所以 ，取 z 6，
n DC 0 2y z 0
得 n 2, 3,6 ，则 C正确.
选项 D：由上可得平面 A C D的一个法向量为 n ( 2, 3,6)
ur n m 3
又平面 A DD 的法向量为m 0,1,0 ，则 cos n,m n m 1 7
3
所以二面角C A D D 的余弦值为 ，则 D正确.故选：ACD
7
12．【解析】因为 ex 1 1，所以 f (x)的值域为 (0, 4)，故选项 A正确；
x x
因为 f (x) f ( x) 4 4 4 4e 4(e 1) x x 4 ，e 1 e 1 ex 1 1 ex ex 1
所以 f (x)的图象关于点 (0, 2)对称 ，故选项 B正确；
令 g(x) 0，得 f (x)= | x |．因为函数 f (x)的图象与函数 y | x |的图象有且只有两个交点，故选项 C正
确；
x
因为 f (x) 4e 4 x 2 x x [ 1,0)，所以曲线 y f (x) 的切线斜率无最大值，故选项 D 错(e 1) e e 2
误．综上，选 ABC．
1 a 1 b 2 c MN ON OM 113． 答案 【详解】 (OA OB) (OC CM )
2 6 3 2
1 1 1 1 2
因为CM CB (OB OC) 所以MN a b c
3 3 2 6 3
14、 【答案】0.05
【解析】 2 4.844 3.841，P( 2 3.841) 0.05，
选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05．
1 1
15、【解析】：因为 P A ， P(B) ， P(B∣A) 1
3 2 2
P AB P AB
P(B A) 1 ∣
所以 2 P A 1 ，解得 P AB
1
，
6
3
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
1
P AB
所以 P(A∣B)
1
6 1
1
. 故答案为：
P B 3 3
2
1
16.【答案】 a 0
e
【解析】首先求出 x 0时 f (x) ax2关于原点对称的函数为 g(x) f ( x) ax2，
x3
, x 0 x3
若要 f (x) ex 恰有两个“友情点对”，则 x ax
2有两解，
ax2 , x 0
e
x x x 1
即 a
ex
在 0, 上有两解，令 h(x) x ，求导可得 h (x) e ex 0， x 1，
当 x (0,1)， h (x) 0，h(x)为减函数，
当 x (1, )， h (x) 0， h(x) 1为增函数，则 h(1) ，
e
所以其图像为：
x
若要 a x 在 0,
1
上有两解，则 a 0，
e e
（17）（本题满分 10 分）
1
解：（1）由题意知 x (1 2 3 4 1 5) 3， y (12 15 20 25 28) 20 ，
5 5
5 5
(xi x )(yi y) 16 5 0 5 16 42 ， (xi x )2 4 1 0 1 4=10，
i 1 i 1
b 42所以 4.2， a y b x 20 4.2 3 7.4，
10
故所求经验回归方程为 y 4.2x 7.4；
2 P(76 X 79 = 0.9973 0.9545（ ）由题可知， ≤ ） 0.0214 ，
2
该地参与社区养老的老人有321 0.0214=15000（人），
该地参与社区养老的老人约有15000人．
18、（本题满分 12 分）
解：（1）设 AB a， AD b， AA1 c，则 A1C a b c .
因为， A1AB A1AD BAD 60 ， AB AD AA1 1，
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
2 2 2
所以 a b c 1， a b a c b c 1 1 cos60
1
2
2 2 2 2 2 2
所以 A1C A1C a b c a b b 2a b 2a c 2b c
1 1 1 1 1 1 2，所以 A1C 2
（2）由（1）知： BD b a，BB1 c，
2 2 所以 A1C BD a b c b a a b a b a b b c a c 0，
A1C BB1 a b c
2
c a c b c c 0，即 A1C BD，A1C BB1 ，又BD BB1 B，所以 A1C
平面 BDD1B1 .
19、【详解】(1) f x x3 ax 2 bx 1 a,b R ， f (x) 3x 2 2ax b ，
又∵曲线 y f (x)在 x 1处取得极值 4 .
'
f ' 1 f 1 3 2a b 0 0, f 1 4，即得： ，
f 1 1 a b 1 4
解得： a 3,b 9
(2)由（1）得： f x x3 3x 2 9x 1， f ' x 3 x 3 x 1 ，
令 f ' x 0，得 x 3或x 1，令 f ' x 0，得 1 x 3，
所以 f (x)在[0,3)上单调递减，在[3,4]上单调递增，
所以 f x min f 3 28,
因为 f 0 1, f 4 21，所以. f x max 1.
y f (x)在区间[0,4]上的最大值为 1，最小值为 28 .
20、（本题满分 12 分）
证明：（1）以点 A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 A 0,0,0 ，B 0,1,0 ，C 2,0,0 ，D 1, 2,0 ，A1 0,0,2 ，B1 0,1,2 ，C1 2,0,2 ， D1 1, 2,2 ，
1
因为M ， N 分别为 B1C，D1D的中点，则M (1, ,1)，N 1, 2,1 ，2
由题意可知， AA1 0,0, 2 是平面 ABCD
5
的一个法向量，又MN (0, ,0)，
2
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
所以 AA1 MN 0，又MN 平面 ABCD，故MN//平面 ABCD；
（2）解：因为 AC 2,0,0 ， AD1 1, 2,2 ， AB1 0,1, 2 ，
n AC 2p 0
设平面D1AC的法向量为 n p,q, r ，则 ，
n AD1 p 2q 2r 0
n AB
q 11 cos 3 3 10令 r 1，则 ，故 n 0,1,1 ，所以 n, AB1 ，
n AB 5 2 101
3 10 3 2
设点 B1到平面D1AC的距离为 d ，则 cos n, AB1 5 ，10 2
3 2
所以点B1到平面D1AC的距离为 ；
2
21．【详解】(1) 0.001 0.001 50 100 10，所以样本的 B级零件个数为 10个，质量指标值在[350，400]
的零件为 5个，故 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为：
3 0 2 1 1 2 0 3
P( 0) C5C5 1 P 1 C5C5 5 C5C5 5 C C ， 5 5 1
C 3 12 C 3
， P 2 3 ， P( 3)
10 10 12 C
3
10 12 C10 12
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
1 5 5 1
P
12 12 12 12
E 5 10 3 3所以期望 .
12 12 12 2
(2)设每箱零件中 A级零件有 X 个，每箱零件的利润为Y元，则 B级零件有 500 X 个，
由题意知：Y 10X 5 500 X 5X 2500，由（1）知：每箱零件中 B级零件的概率为
0.001 0.001 50 0.1，A级零件的概率为 1-0.1=0.9
所以 X ~ B 500,0.9 ， 所以 E X 500 0.9 450，
所以 E Y E 5X 2500 5E X 2500 4750 (元).
所以每箱零件的利润是 4750元.
22.（本题满分 12 分）
解：（1） f (x) 6x2 2ax 2x(3x a)，
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
令 f (x) 0 a，得 x 0或 x ．
3
若 a 0，则当 x ( a a， 0) , 时， f (x) 0；当 x (0, )时， f (x) 0．
3 3
故 f (x)在 ( ,0)， (a , )上单调递增，在 (0, a )上单调递减；
3 3
若 a 0， f (x)在 ( , )上单调递增；
a a
若 a 0，则当 x ( ， ) (0， )时， f (x) 0；当 x ( ， 0)时， f (x) 0．
3 3
故 f (x)在 ( , a ) a， (0, )上单调递增，在 ( ， 0)上单调递减；
3 3
（2）当 0 a 3时，由（1）知， f (x) (0, a a在 )上单调递减，在 ( ，1)上单调递增，
3 3
3
f (x) a a在区间[0，1]的最小值为 f ( ) 2，最大值为 f (0) 2或 f （1） 4 a．
3 27
a3
a3 4 a,0 a 2 2 a ,0 a 2
于是，m 2，M ． M m
27 ．
27 2,2 a 3
3
a
, 2 a 3 27
a3
当 0 a 2 2 a 8时，可知 单调递减， M m的取值范围是 ( , 2)；
27 27
3
当 2 a 3 a 8时， 单调递增， M m的取值范围是 [ ，1)．
27 27
8
综上，M m的取值范围 [ ， 2)．
27
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}民勤县22-23 学年度第二学期第二次月考试卷
高二数学
(时间：120 分钟 分值：150 分)
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的 .
1. 已知向量OA 1, 1,0 ,OB 1 k ,3k ,k 2 ，且OA OB，则 k的值为
1 1 1
A． B． C． D．1
2 3 2
2．已知 f ' lim f x f x 2 x x 2，则 =
x 0 x
A． 4 B． 1 C．1 D． 4
3．已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.86，则 P( 2)等于
A．0.14 B．0.28 C．0.68 D．0.86
4．直线 y x是曲线 y a ln x的一条切线，则实数 a的值为
A． 1 B．e C． ln 2 D．1
5．一个课外兴趣小组共有 5名成员，其中 3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取 2名成员进行
学习汇报，记选出女性成员的人数为 X ，则 X 的均值是
A． 6 B． 3 C． 4 D． 1
5 10 5 5
1
6．已知函数 f x x 2 a ln x x在[1, ]上单调递增，则实数 a的取值范围是
2
A．[0, ) 1B．[ , ) (1C． , ) D． (0, )
4 4
1 1
7．在四面体OABC中，空间的一点M 满足OM OA OB OC，若MA， ， 共面，则2 6 MB MC
1 1 5 7
A． B． C． D．
2 3 12 12
8．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决
策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件 A，B， A（A的对立事件）存在如下关
系： P(B) P(B∣A) P(A) P(B∣A) P(A) .若某地区一种疾病的患病率是 0.01，现有一种试剂可以检验被
检验者是否患病.已知该试剂的准确率为 99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 99%的可能
呈现阳性；该试剂的误报率为 10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 10%的可能会误报
阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为
A．0.01 B．0.1089 C．0.0099 D．0.1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 在每小
题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求. 全部选对的
得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．相关变量 x， y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行
线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归
方程 y b1x a1，相关系数为 r1；方案二：剔除点 10,21 ，
根据剩下数据得到线性归直线方程： y b2x a2，相关系数
1 / 4
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
为 r2 ．则
A． r1 r2 B． r1 r2 C． r1 r2 D． r1,r2 1,0
10．下列结论正确的是
A．若随机变量 X 服从两点分布， P(X 1) 1 ，则 E(X ) 1
2 2
B．若随机变量Y 的方差D(Y ) 3，则D(2Y 1) 6
C．若随机变量 服从二项分布 B(4, 1) ，则 P( 3) 32
3 81
D．若随机变量 服从正态分布 N (1, 2 ) ， P( 2) 0.82，则 P(0 2) 0.64
11、在长方体 ABCD A B C D 中，AB 2 ，AD 3，AA 1，以D为原点，以DA，DC， DD
分别为 x y 轴 ， 轴，
z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A． BD ( 3, 2,1)
B．异面直线 A D与 BD 所成角的余弦值为 2 35
35
C．平面 A C D的一个法向量为 ( 2, 3, 6)
3
D．二面角C A D D 的余弦值为
7
4
12．已知函数 f (x)
ex
，则下列结论正确的是
1
A．函数 f (x)的值域为 (0,4) B．函数 f (x)的图象关于点 (0,2)对称
C．函数 g(x) f (x) | x |有且只有 2个零点 D．曲线 y f (x) 的切线斜率的最大值为 1
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 其中 16题第一空 2分，第二空 3分.
13．如右图，在三棱锥O ABC中，设OA a,OB b,OC c，若
AN NB,BM 2MC，则MN _______. （用 a,b,c表示）
14、为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到
如右图 2 2 列联表：
根据表中数据，得到 2 50 13 20 10 7
2
4.844，则认为选修文
23 27 20 30
科与性别有关系出错的概率约为 ．
（参考数据： P( 2 3.841) 0.05 ， P( 2 6.635) 0.01）
1 1
15、已知随机事件 A，B，且 P A 1 ，P(B) ， P(B∣A) ，则 P(A∣B) _____.
3 2 2
16、若 f (x)图象上存在两点 A，B关于原点对称，则点对[A, B]称为函数 f (x)的“友情点对”（点对
x3
[A, B] , x 0与[B, A]视为同一个“友情点对”），若 f (x) ex 恰有两个“友情点对”，则实数 a的
ax
2 , x 0
2 / 4
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本题满分 10分）
某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.
从 2016 年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码（ x） 1 2 3 4 5
新建社区养老机构（ y ） 12 15 20 25 28
（1）根据上表数据可知， y与 x之间存在线性相关关系，用最小二乘法求 y关于 x的经验回归方程
y b x a ；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄 X 近似服从正态分布 N (70,9)，其中年龄 X (76,79]
的有321人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
n
(xi x ) yi y
参考公式：线性回归方程 y b x a ，b i 1 ， a y b x；n
x x 2i
i 1
参考数据： P( 2 X 2 ) 0.9545， P( 3 X 3 ) 0.9973．
18 、（本题满分 12 分）如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，
A1AB A1AD BAD 60
， AB AD AA1 1．
（1）求 A1C的长；
（2）证明：直线 A1C 平面 BDD1B1．
19.（本题 12分）已知函数 f x x3 ax 2 bx 1 a,b R 在 x 1处取得极值 4．
(1)求 a,b的值；
(2)求函数 y f x 在区间[0,4]上的最值.
3 / 4
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
20、（本题满分 12 分）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，侧棱 AA1 底面 ABCD， AB AC，
AB 1, AC AA1 2 ， AD CD 5 ，且点M 和 N 分别为 B1C和DD1的中点.
（1）求证：MN //平面 ABCD；
（2）求点 B1到平面D1AC的距离；
21、（本题 12分）某企业从生产的一批零件中抽取 100 件产品作为样本，
检测其质量指标值m（其中：100 m 400），得到频率分布直方图，并
依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 150≤m<350 100≤m<150 或 350≤m≤400
等级 A级 B级
(1)从样本的 B级零件中随机抽 3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为 ，求 的分布列
和数学期望；
(2)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按 500 件一箱包装，已知一个 A级零件的利润
是 10元，一个B级零件的利润是 5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．
22.（本题满分 12分）
已知函数 f (x) 2x3 ax2 2 ．
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）当0 a 3时，记 f (x)在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m，求M m 的取值范围．
4 / 4
{#{QQABKYQQggioABJAAQACAwlQCkIQkhGACIgGQAAYoEIByBNABAA=}#}
