陕西省渭南市大荔县2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题（含解析）

大荔县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（文科）
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.选择题用2B铅笔将正确答案涂写在答题卡上；非选择题用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡的指定答题区域内，超出答题区域答案无效。
3.答题前，请将姓名、考号、试卷类型按要求涂写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B.i C. D.1
2.命题“，”的否定为（ ）
A.， B.， C.， D.，
3.函数，其导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
4.以下四个命题中是假命题的是（ ）
A.“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.
B.“在平面中，对于三条不同的直线，，，若，，则，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理.
C.若命题“”与命题“”都是真命题，那么命题一定是真命题.
D.若，则的最小值为.
5.设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与抛物线交于，，若，则（ ）
A. B.1 C.2 D.4
7.的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.或
8.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码 1 2 3 4 5
云计算市场规模千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模的估计值为（ ）
A. B. C. D.
9.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为（ ）
题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 × √ × √ × × √ × 30
乙 × × √ √ √ × × √ 25
丙 √ × × × √ √ √ × 25
丁 × √ × √ √ × √ √
A.35 B.30 C.25 D.20
10.我国唐代天文学家、数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：“李白街上走，提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的时，输入的的值是（ ）
A. B. C. D.4
11.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，.若，则圆的半径为（ ）
A.4 B.2 C. D.
12.已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于，两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C.2 D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.
14.已知i是虚数单位，复数，.若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为______.
15.写出一个满足以下三个条件的函数：______.
①定义域为；②不是周期函数；③是周期为的函数.
16.已知实数，且，则的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求.
19.（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于，两点，求的值.
20.（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆方程；
（2）过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长.
21.（12分）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
平均每天体育锻炼时间（分钟）
人数 40 72 88 100 80 20
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.
（1）完成下面列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标”与性别有关？
锻炼达标 锻炼不达标 合计
男
女
合计 400
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中随机选2人作重点发言，求发言的2人恰好为1男1女的概率.
22.（12分）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
大荔县2022-2023学年高二下学期期末考试
答案解析部分
选择题
1.【答案】C
【解析】【解答】由题得=，故复数的虚部为
故答案为：C.
2.【答案】A
【解析】【解答】“”的否定为“”.
故答案为：A
3.【答案】A
【解析】【解答】函数f（x）=1+sinx，其导函数为f′（x）=cosx，∴， 故答案为：A.
4.【答案】D
【解析】【解答】A：根据描述知：该推理为一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，真命题；
B：若，，根据平行公理的推论知：，属于合情推理，真命题；
C：为真则为假，又为真则为真，真命题；
D：由题设，，但因为所以等号不成立，假命题.
故答案为：D
5.【答案】D
【解析】【解答】结合图象根据导数的几何意义可得：
对于A：由图可得，A不符合题意；
对于B：由图可得，B不符合题意；
对于C：由图可得，C不符合题意；
对于D：由图可得，D符合题意；
故答案为：D.
6.【答案】C
【解析】【解答】由消去x并整理得：，设，
则有，，因此线段的中点，
依题意，，于是，而点N在抛物线C上，
则，又，所以.
故答案为：C
7.【答案】C
【解析】【解答】解不等式可得或，
因为或，
故只有C选项中的条件才是“”的充分不必要条件.
故答案为：C.
8.【答案】B
【解析】【解答】因为，
所以，
即经验回归方程，
当时，，
所以，
即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，
故答案为：B
9.【答案】B
【解析】【解答】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确， 又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，
故其余6题答案均正确，
故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，
对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m＝6×5＝30，
故答案为：B.
10.【答案】B
【解析】【解答】解：模拟程序的运行，可得
当 时， ， ，不满足条件 ，执行循环体；
， ，不满足条件 ，执行循环体；
， ，满足条件 ，退出循环体，输出 ，
所以 ，解得 。
故答案为：B.
11.【答案】B
【解析】【解答】解：由托勒密定理，得.
因为，所以.
设圆的半径为，由正弦定理，得.
又，所以.
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故.
故答案为：B
12.【答案】D
【解析】【解答】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，
为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线的离心率.
故答案为：D.
二、填空题
13.【答案】2
【解析】【解答】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，
由，可得直线，
当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，
又由，解得，
所以的最大值为.
故答案为：2.
14.【答案】
【解析】【解答】因为，
所以复数在复平面上的对应点的坐标为，
由已知可得，，
由可得，
由可得或，
所以，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
15.【答案】x+sinx（答案不唯一）
【解析】【解答】的解析式形式：或均可.
如：定义域为R，不是周期函数，且是周期为的函数.
故答案为：x+sinx（答案不唯一）
16.【答案】
【解析】【解答】，
，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
三、解答题
17.【答案】（1）解：等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，……………………………………2分
设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，
所以.………………………………………………5分
（2）解：由（1）知，，……………………7分
所以.………………10分
18.【答案】（1）解：因为，
所以由余弦定理得，…………………………1分
由正弦定理得，…………………………2分
由于，
整理得.…………………………………………4分
又因为，所以，即，
因为，所以，
所以，即.………………………………………………6分
（2）解：由得，
又，所以，，………………………………………………9分
由余弦定理知，
解得.…………………………………………………………………………12分
19.【答案】（1）解：因为直线的参数方程为（为参数），
所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为.…………………………………………3分
曲线的极坐标方程化为，
将代入得：，即，
所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为……………………6分
（2）解：把代入得，解得，………………9分
所以，
所以.………………………………………………………………………12分
20.【答案】（1）解：由椭圆的离心率可得： ，
根据短轴长可得： ， ，
设 ， ， ，所以 ，………………………………2分
所以椭圆方程为 .…………………………………………………………4分
（2）解：设以点 为中点的弦与椭圆交于 ， ，
则 ，则 ，……………………………………………………6分
分别代入椭圆的方程得， ， ，两式相减可得
，所以 ，………………………………8分
故以点 为中点的弦所在直线方程为 ；
由 ，得 ，
所以 ， ； ， ，…………………………………………10分
所以 .
故该直线截椭圆所得弦长为 .……………………………………………………12分
21.【答案】（1）解：补充完整的2×2列联表如下：
锻炼达标 锻炼不达标 合计
男 60 120 180
女 40 180 220
合计 100 300 400
……………………………………………………………………………………3分
∵，
∴有99.9%以上的把握认为“锻炼达标”与性别有关.…………………………6分
解：“锻炼达标生”中男女人数之比为60：40＝3：2，抽取的男生有3人，记作A，B，C；女生有2人，记作d,f.…………………………………………………………8分
在这5人中随机抽取2人的所有可能结果为：AB、BC、AC、Ad、Af、Bd、Bf、Cd、Cf、df。
………………………………………………………………………………………………10分
记选取的2人恰好为1男1女为事件F，则.………………………………12分
22.【答案】（1）解：………………………………1分
①当时，，此时函数在上单调递增；…………………………3分
②当时，令，得，
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，，此时函数在上单调递增.…………6分
（2）解：由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，
因为，令，得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；…………………………10分
则，而，且.
所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，则
所以的取值范围为.………………………………………………………………12分