沪科版数学七年级下册10.2 平行线的判定 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
2．（2023七下·长兴期中）在学习平行线知识时，甲同学认为“经过一点有且只有一条直线与已知直线平行”；乙同学认为“垂直于同--条直线的两条直线互相平行”，则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
3．（2023七下·宝安期中）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·河西期中）如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·大兴期中）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
6．（2023七下·上城期中）下列图形中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·瑞安期中）下列图形中，与互为内错角的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·华蓥期中）如图，同旁内角是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
9．（2023七下·江都期中）如图，直线被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A．∠3与∠4是同旁内角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
10．（2023七下·洪山期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
二、填空题
11．（2022七下·建湖期中）如图，直线、被直线所截，交点分别为M、N，则的同位角是 .
12．（2022七下·梧州期末）如图，直线和被第三条直线所截，与成内错角的是 ．
13．（2023七下·松江期中）如图，一共有 对同旁内角．
14．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
15．（2023七下·英德期中）如图，请添加一个合适的条件 ，使．
三、作图题
16．（2023七下·新城月考）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD.（不写画法，保留作图痕迹）
四、解答题
17．（2023七下·西安月考）已知：如图，，和互余，于点，求证：.
18．（2022七上·双阳期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
五、综合题
19．（2023七下·河西期中）
（1）已知：如图，且，求证．
证明：∵，（已知），
∴（ ），
∵（已知）
∵( ），
∴ ▲ ，
∴（ ）；
（2）已知：如图，直线，被所截，，求证：．
证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ）．
20．（2023七下·韩城期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3=25，求∠BOF的度数
21．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【解答】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故甲同学说法错误；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故乙同学说法错误；
故答案为：D
【分析】经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对甲同学的说法作出判断；再根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可对乙同学的说法作出判断.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：选项A中∠1与∠2是直线AB、CD被直线BC所截的内错角，故AB∥CD.
故答案为：A.
【分析】内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故此项符号题意；
B、∵∠3=∠4，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
C、∵∠D=∠DCE，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
D、∵∠D+∠ACD=180°，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
5．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠5与∠2不是对顶角，故不符合题意；
B、∠1与∠4是同位角，故符合题意；
C、∠2与∠3不是同旁内角，故不符合题意；
D、∠1与∠5不是内错角，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义分别判断即可.
6．【答案】A
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是同位角，故此选项正确，符合题意；
B、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
C、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
D、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条线被第三条线所截形成的8个角中，如果在被截直线的同侧，并在截线的同旁的两个角互为同位角，据此一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：A、图形中的∠1和∠2是同位角，故A不符合题意；
B、图形中的∠1和∠2是内错角，故B符合题意；
C、图形中的∠1和∠2不是内错角，故C不符合题意；
D、图形中的∠1和∠2不是内错角，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角，再对各选项逐一判断.
8．【答案】B
【知识点】同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是邻补角，故此选项不符合题意；
B、∠3与∠4是同旁内角，故此选项符合题意；
C、∠2与∠4不是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠4是同位角，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此一一判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠3与∠4是内错角，故此选项说法错误，不符合题意；
B、∠2与∠5不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以不是同位角，故此选项说法错误，不符合题意；
C、∠1与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以不是内错角，故此选项说法错误，不符合题意；
D、∠2与∠6是同旁内角，故此选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的同侧，且在截线的同旁的两个角互为同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的之间，且在截线的同旁的两个角互为同旁内角；两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的异侧，且在截线的两旁的两个角互为内错角，据此一一判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
B. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
C. 因为，所以，原说法错误，符合题意；
D. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
11．【答案】∠CNF
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知，∠AMN的同位角是∠CNF.
故答案为：∠CNF.
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，据此判断.
12．【答案】
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：与成内错角的是．
故答案为：∠7.
【分析】两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，据此解答.
13．【答案】
【知识点】同旁内角
【解析】【解答】解：如图所示：同旁内角有：∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B，∠B和∠A，
∴一共有4对同旁内角，
故答案为：4.
【分析】 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。根据同旁内角的定义，结合图形，判断求解即可。
14．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
15．【答案】或或（任填一个即可）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图可得：当∠DCE=∠ABC时，AB//CD，
故答案为：∠DCE=∠ABC.
【分析】根据平行线的判定方法证明求解即可。
16．【答案】解：如图，直线AD即为所求作.
【知识点】平行线的判定；作图-角
【解析】【分析】以点A为顶点，AB为一边，在AB的左边作一个∠DAB=∠B，根据内错角相等，两直线平行，得AD就是过点A作的边BC的平行线.
17．【答案】证明：，
，
，
又和互余，即，
，
又∵，
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠EGD=90°，则∠1+∠D=90°，根据∠2和∠D互余可得∠2+∠D=90°，则∠1=∠2，结合∠1=∠C可得∠C=∠2，然后根据平行线的判定定理进行证明.
18．【答案】解：∵（已知）
∴（）（内错角相等，两直线平行．）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（）（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知）
∵（等式的性质），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，由∠1=∠2，利用等式的性质可得，即得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）由对顶角相等可得∠2=∠3，结合已知利用等量代换可得∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行即证结论.
20．【答案】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，
又∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠COE=∠3，
∴∠AOC=∠3，
由(1)知，∠2+∠AOC=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵∠2：∠3=2：5，
∴∠3=∠2，
∴∠2+∠2=90°，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°
∴∠BOF=∠2+∠3=140°
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平角的定义可证得AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，利用平角的定义可推出∠2+∠AOC=90°，利用余角的性质可证得∠1=∠AOC，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠AOC=∠3，由(1)知，∠2+∠AOC=90°，可推出∠2+∠3=90°，结合已知条件，可求出∠2和∠3的度数，然后根据∠BOF=∠2+∠3，代入计算求出∠BOF的度数.
21．【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
1 / 1沪科版数学七年级下册10.2 平行线的判定 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
2．（2023七下·长兴期中）在学习平行线知识时，甲同学认为“经过一点有且只有一条直线与已知直线平行”；乙同学认为“垂直于同--条直线的两条直线互相平行”，则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定
【解析】【解答】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故甲同学说法错误；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故乙同学说法错误；
故答案为：D
【分析】经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对甲同学的说法作出判断；再根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可对乙同学的说法作出判断.
3．（2023七下·宝安期中）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：选项A中∠1与∠2是直线AB、CD被直线BC所截的内错角，故AB∥CD.
故答案为：A.
【分析】内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
4．（2023七下·河西期中）如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故此项符号题意；
B、∵∠3=∠4，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
C、∵∠D=∠DCE，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
D、∵∠D+∠ACD=180°，∴DB∥CA，故此项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定逐一分析即可.
5．（2023七下·大兴期中）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠5与∠2不是对顶角，故不符合题意；
B、∠1与∠4是同位角，故符合题意；
C、∠2与∠3不是同旁内角，故不符合题意；
D、∠1与∠5不是内错角，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义分别判断即可.
6．（2023七下·上城期中）下列图形中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是同位角，故此选项正确，符合题意；
B、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
C、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
D、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条线被第三条线所截形成的8个角中，如果在被截直线的同侧，并在截线的同旁的两个角互为同位角，据此一一判断得出答案.
7．（2023七下·瑞安期中）下列图形中，与互为内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：A、图形中的∠1和∠2是同位角，故A不符合题意；
B、图形中的∠1和∠2是内错角，故B符合题意；
C、图形中的∠1和∠2不是内错角，故C不符合题意；
D、图形中的∠1和∠2不是内错角，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角，再对各选项逐一判断.
8．（2023七下·华蓥期中）如图，同旁内角是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是邻补角，故此选项不符合题意；
B、∠3与∠4是同旁内角，故此选项符合题意；
C、∠2与∠4不是同旁内角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠4是同位角，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此一一判断得出答案.
9．（2023七下·江都期中）如图，直线被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A．∠3与∠4是同旁内角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：A、∠3与∠4是内错角，故此选项说法错误，不符合题意；
B、∠2与∠5不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以不是同位角，故此选项说法错误，不符合题意；
C、∠1与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以不是内错角，故此选项说法错误，不符合题意；
D、∠2与∠6是同旁内角，故此选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的同侧，且在截线的同旁的两个角互为同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的之间，且在截线的同旁的两个角互为同旁内角；两条直线被第三条直线所截，形成的八个角中，在被截直线的异侧，且在截线的两旁的两个角互为内错角，据此一一判断得出答案.
10．（2023七下·洪山期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
B. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
C. 因为，所以，原说法错误，符合题意；
D. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
二、填空题
11．（2022七下·建湖期中）如图，直线、被直线所截，交点分别为M、N，则的同位角是 .
【答案】∠CNF
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知，∠AMN的同位角是∠CNF.
故答案为：∠CNF.
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，据此判断.
12．（2022七下·梧州期末）如图，直线和被第三条直线所截，与成内错角的是 ．
【答案】
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：与成内错角的是．
故答案为：∠7.
【分析】两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，据此解答.
13．（2023七下·松江期中）如图，一共有 对同旁内角．
【答案】
【知识点】同旁内角
【解析】【解答】解：如图所示：同旁内角有：∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B，∠B和∠A，
∴一共有4对同旁内角，
故答案为：4.
【分析】 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。根据同旁内角的定义，结合图形，判断求解即可。
14．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
15．（2023七下·英德期中）如图，请添加一个合适的条件 ，使．
【答案】或或（任填一个即可）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图可得：当∠DCE=∠ABC时，AB//CD，
故答案为：∠DCE=∠ABC.
【分析】根据平行线的判定方法证明求解即可。
三、作图题
16．（2023七下·新城月考）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD.（不写画法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，直线AD即为所求作.
【知识点】平行线的判定；作图-角
【解析】【分析】以点A为顶点，AB为一边，在AB的左边作一个∠DAB=∠B，根据内错角相等，两直线平行，得AD就是过点A作的边BC的平行线.
四、解答题
17．（2023七下·西安月考）已知：如图，，和互余，于点，求证：.
【答案】证明：，
，
，
又和互余，即，
，
又∵，
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠EGD=90°，则∠1+∠D=90°，根据∠2和∠D互余可得∠2+∠D=90°，则∠1=∠2，结合∠1=∠C可得∠C=∠2，然后根据平行线的判定定理进行证明.
18．（2022七上·双阳期末）如图，如果，，试说明与平行．请完善解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（ ）
∴（ ）（内错角相等，两直线平行．）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）（ ）
∴（ ）
【答案】解：∵（已知）
∴（）（内错角相等，两直线平行．）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（）（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
五、综合题
19．（2023七下·河西期中）
（1）已知：如图，且，求证．
证明：∵，（已知），
∴（ ），
∵（已知）
∵( ），
∴ ▲ ，
∴（ ）；
（2）已知：如图，直线，被所截，，求证：．
证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ）．
【答案】（1）证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知）
∵（等式的性质），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，由∠1=∠2，利用等式的性质可得，即得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）由对顶角相等可得∠2=∠3，结合已知利用等量代换可得∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行即证结论.
20．（2023七下·韩城期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3=25，求∠BOF的度数
【答案】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，
又∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠COE=∠3，
∴∠AOC=∠3，
由(1)知，∠2+∠AOC=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵∠2：∠3=2：5，
∴∠3=∠2，
∴∠2+∠2=90°，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°
∴∠BOF=∠2+∠3=140°
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平角的定义可证得AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，利用平角的定义可推出∠2+∠AOC=90°，利用余角的性质可证得∠1=∠AOC，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠AOC=∠3，由(1)知，∠2+∠AOC=90°，可推出∠2+∠3=90°，结合已知条件，可求出∠2和∠3的度数，然后根据∠BOF=∠2+∠3，代入计算求出∠BOF的度数.
21．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
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