沪科版数学七年级下册10.3 平行线的性质 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．115° B．100° C．50° D．10°
2．（2023七下·河西期中）如图，如果，，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
4．（2023七下·闵行期中）下列说法不正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
B．两平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行
C．两平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行
D．两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直
5．（2023七下·汕尾期中）如图，，，求的度数．下面是小云同学的解题过程：
解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （填依据）．
则下列关于依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
6．（2023七下·松江期中）在同一平面内，已知，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
7．（2021七下·蜀山期末）如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
8．（2023七下·郓城期中）下列说法：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果直线，那么；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤
9．（2023七下·深圳期中）如图，直线直线，在中，，顶点A在上，顶点B在上，且平分．若，求的度数．下面是嘉琪在作业本上写出的解答过程，他故意把部分步骤内容用小图标遮挡．
关于小图标遮挡的内容，下面的回答错误的是（ ）
A．代表 B．代表
C．代表 D．代表
10．（2023七下·定州期中）如图，，，则α、β、γ的关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023七下·宝安期中）如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．
解∵∠A＝∠F（已知），
∴ ▲ ∥ ▲ （ ），
∴∠D＝∠ ▲ （ ），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴BD∥CE（ ）．
二、填空题
12．（2023七下·松江期中）如图，已知，，则 ．
13．（2023七下·顺德期中）如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若，于点，则的度数为 ．
14．（2023七下·赵县月考）如图，甲、乙两只蚂蚁在两条平行马路同一侧的，两点处，比赛看谁先横过马路．如果它们同时出发，速度一样，都走最近的道路，结果是 ，依据是 ．
15．（2021七下·玉田期中）如图，直线，则直线，之间距离是线段 的长度．
16．（2023七下·灵丘期中）如图，将一副三角板如图叠放，且EFBC，则∠BFD= 度．
17．（2023七下·闵行期中）如图，，，，则 ．
三、作图题
18．（2023七下·杭州月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线a，b，两条直线所成的角跑到黑板外面去了．老师让小明在黑板上测量出直线a，b所成的角的度数，他该怎么办？请在图2中画出测量示意图，简要说明画图方法和理由．
四、解答题
19．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
五、综合题
20．（2023七下·宝安期中）已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°，求∠EFG的度数．
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图甲）；
思路二：过P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图甲），可求得∠EFG的度数为 ；
（2）根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．
21．（2023七下·洞头期中）已知：如图，.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1＝130°，
∴∠3=180°-∠1=50°.
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，由邻补角的性质可求出∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，∴∠EOB=180°-∠2，
∵CD∥EF，∴∠COF=180°-∠3，
∵∠EOB+∠1+∠COF=180°，
∴180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°，
即得∠2+∠3-∠1=180°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得∠EOB=180°-∠2，∠COF=180°-∠3，由平角的定义可得∠EOB+∠1+∠COF=180°，代入整理即可得解.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： A：两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角相等，该说法错误，符合题意；
B：两平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，该说法正确，不符合题意；
C：两平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行，该说法正确，不符合题意；
D：两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，该说法正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质对每个选项一一判断即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图①所示：
当直线c在直线a，b之间时，直线a，c间的距离为：5-3=2（cm），
如图②所示：
②
当直线c在直线a，b外部时，直线a，c间的距离为：5+3=8（cm），
综上所述： 直线、间的距离为 2cm或8cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，先作图，再结合题意求解即可。
7．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，
∵到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，
∴符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个点.
故答案为：C.
【分析】由于到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，它们有4个交点，即为所求.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故此项正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误；
③如果直线，那么，故此项正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故此项正确；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，故此项错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定与性质、垂线段最短分别判断即可.
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠CAD=26°，
∴∠ADC=180°-90°-26°=64°，故A不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠DBE=∠ADC=64°，故B不符合题意，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE=32°，故C不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠BAD=∠ABE=32°，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C、D分别作的平行线、，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点C、D分别作的平行线、，根据平行线的性质可得，，，再结合，，求出即可。
11．【答案】解：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠1（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠A＝∠F，推出AC∥DF，由平行线的性质可得∠D＝∠1，结合∠C＝∠D可得 ∠1＝∠C，然后根据平行线的判定定理进行证明.
12．【答案】度/140°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴AB//CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵，
∴∠A=180°-∠ACD=140°，
故答案为：140°.
【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
13．【答案】50°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作，
∵过P作，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：50°；
【分析】过P作，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
14．【答案】同时到达；平行线间的距离处处相等
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵点到直线之间，垂线段最短，
∴两只蚂蚁走的都是垂线段，
∵平行线间的距离处处相等，它们同时出发，速度一样，
∴它们同时到达；
故答案为：同时到达，平行线间的距离处处相等．
【分析】根据“平行线间的距离处处相等”即可解答.
15．【答案】CD
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由题可得，a∥b，CD⊥b，
∴直线a与直线b之间的距离是线段CD的长度，
故答案为：CD．
【分析】根据平行线之间的距离定义可得。
16．【答案】15
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=45°，∠DFE=30°，EF//BC，
∴∠BFE=∠ABC=45°，
∴∠BFD=45°-30°=15°，
故答案为：15.
【分析】根据平行线的性质先求出∠BFE=∠ABC=45°，再计算求解即可。
17．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴∠EFB=∠C=55°，
又∵∠A=24°，
∴∠E=∠EFB-∠A=31°，
故答案为：31.
【分析】根据平行线的性质先求出∠EFB=∠C=55°，再根据∠A=24°，计算求解即可。
18．【答案】解：如图，过点O作直线c∥a，测量出∠1的度数即可解决问题．
理由：由作图可知：a∥c，
∴∠1就等于直线a、b相交形成的角(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】如图，过点O作直线c∥a，由两直线平行，同位角相等可知，测量出∠1的度数即可解决问题．
19．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
20．【答案】（1）120°
（2）解：由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）解：若选择思路二，理由如下：
如图乙，过P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP＝∠EOB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD＝∠ONP＝90°，
又∵∠1＝30°，
∴∠NPG＝90°+30°＝120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG＝∠NPG＝120°；
若选择思路三，理由如下：
如图丙，过O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1＝30°，
∴∠PNO＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON＝∠PNO＝30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON＝120°．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠4=90°.
∵MN∥CD，AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠4=∠3=90°，∠1=∠2=30°，
∴∠EFG=∠2+∠3=90°+30°=120°.
故答案为：120°.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠4=90°，由平行公理及推论可得MN∥CD∥AB，由平行线的性质可得∠4=∠3=90°，∠1=∠2=30°，然后根据∠EFG=∠2+∠3进行计算；
（2）根据思路二、思路三的作法进行作图；
（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，由平行线的性质得∠ONP=∠EOB=90°，∠NPD=∠ONP=90°，∠EFG＝∠NPG，根据角的和差关系可求出∠NPG的度数，据此解答；
若选择思路三，过O作ON∥FG，由平行线的性质得∠PNO=∠1=30°，∠BON=∠PNO=30°，∠EFG=∠EON，根据∠EON＝∠EOB+∠BON可得∠EON的度数，据此解答.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵
∴
解得，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得ED∥AF，由二直线平行，同旁内角互补得∠1+∠EDF=180°，结合∠1=∠E可得∠E+∠EDF=180°，然后由同旁内角互补，两直线平行得EB∥CD；
（2）由平行线的性质得∠C+∠EBC=180°，∠2=∠BDC，由已知得∠CBE=∠2+80°，∠C=∠2+50°，从而代入求解即可.
1 / 1沪科版数学七年级下册10.3 平行线的性质 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．115° B．100° C．50° D．10°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1＝130°，
∴∠3=180°-∠1=50°.
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，由邻补角的性质可求出∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答.
2．（2023七下·河西期中）如图，如果，，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，∴∠EOB=180°-∠2，
∵CD∥EF，∴∠COF=180°-∠3，
∵∠EOB+∠1+∠COF=180°，
∴180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°，
即得∠2+∠3-∠1=180°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得∠EOB=180°-∠2，∠COF=180°-∠3，由平角的定义可得∠EOB+∠1+∠COF=180°，代入整理即可得解.
3．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
4．（2023七下·闵行期中）下列说法不正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
B．两平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行
C．两平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行
D．两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： A：两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角相等，该说法错误，符合题意；
B：两平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，该说法正确，不符合题意；
C：两平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行，该说法正确，不符合题意；
D：两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，该说法正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质对每个选项一一判断即可。
5．（2023七下·汕尾期中）如图，，，求的度数．下面是小云同学的解题过程：
解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （填依据）．
则下列关于依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
6．（2023七下·松江期中）在同一平面内，已知，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图①所示：
当直线c在直线a，b之间时，直线a，c间的距离为：5-3=2（cm），
如图②所示：
②
当直线c在直线a，b外部时，直线a，c间的距离为：5+3=8（cm），
综上所述： 直线、间的距离为 2cm或8cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，先作图，再结合题意求解即可。
7．（2021七下·蜀山期末）如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，
∵到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，
∴符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个点.
故答案为：C.
【分析】由于到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上，
到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，它们有4个交点，即为所求.
8．（2023七下·郓城期中）下列说法：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果直线，那么；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤
【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故此项正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误；
③如果直线，那么，故此项正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故此项正确；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，故此项错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定与性质、垂线段最短分别判断即可.
9．（2023七下·深圳期中）如图，直线直线，在中，，顶点A在上，顶点B在上，且平分．若，求的度数．下面是嘉琪在作业本上写出的解答过程，他故意把部分步骤内容用小图标遮挡．
关于小图标遮挡的内容，下面的回答错误的是（ ）
A．代表 B．代表
C．代表 D．代表
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠CAD=26°，
∴∠ADC=180°-90°-26°=64°，故A不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠DBE=∠ADC=64°，故B不符合题意，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE=32°，故C不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠BAD=∠ABE=32°，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
10．（2023七下·定州期中）如图，，，则α、β、γ的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C、D分别作的平行线、，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点C、D分别作的平行线、，根据平行线的性质可得，，，再结合，，求出即可。
11．（2023七下·宝安期中）如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．
解∵∠A＝∠F（已知），
∴ ▲ ∥ ▲ （ ），
∴∠D＝∠ ▲ （ ），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴BD∥CE（ ）．
【答案】解：∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠1（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠A＝∠F，推出AC∥DF，由平行线的性质可得∠D＝∠1，结合∠C＝∠D可得 ∠1＝∠C，然后根据平行线的判定定理进行证明.
二、填空题
12．（2023七下·松江期中）如图，已知，，则 ．
【答案】度/140°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴AB//CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵，
∴∠A=180°-∠ACD=140°，
故答案为：140°.
【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
13．（2023七下·顺德期中）如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若，于点，则的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作，
∵过P作，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：50°；
【分析】过P作，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
14．（2023七下·赵县月考）如图，甲、乙两只蚂蚁在两条平行马路同一侧的，两点处，比赛看谁先横过马路．如果它们同时出发，速度一样，都走最近的道路，结果是 ，依据是 ．
【答案】同时到达；平行线间的距离处处相等
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵点到直线之间，垂线段最短，
∴两只蚂蚁走的都是垂线段，
∵平行线间的距离处处相等，它们同时出发，速度一样，
∴它们同时到达；
故答案为：同时到达，平行线间的距离处处相等．
【分析】根据“平行线间的距离处处相等”即可解答.
15．（2021七下·玉田期中）如图，直线，则直线，之间距离是线段 的长度．
【答案】CD
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由题可得，a∥b，CD⊥b，
∴直线a与直线b之间的距离是线段CD的长度，
故答案为：CD．
【分析】根据平行线之间的距离定义可得。
16．（2023七下·灵丘期中）如图，将一副三角板如图叠放，且EFBC，则∠BFD= 度．
【答案】15
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=45°，∠DFE=30°，EF//BC，
∴∠BFE=∠ABC=45°，
∴∠BFD=45°-30°=15°，
故答案为：15.
【分析】根据平行线的性质先求出∠BFE=∠ABC=45°，再计算求解即可。
17．（2023七下·闵行期中）如图，，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴∠EFB=∠C=55°，
又∵∠A=24°，
∴∠E=∠EFB-∠A=31°，
故答案为：31.
【分析】根据平行线的性质先求出∠EFB=∠C=55°，再根据∠A=24°，计算求解即可。
三、作图题
18．（2023七下·杭州月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线a，b，两条直线所成的角跑到黑板外面去了．老师让小明在黑板上测量出直线a，b所成的角的度数，他该怎么办？请在图2中画出测量示意图，简要说明画图方法和理由．
【答案】解：如图，过点O作直线c∥a，测量出∠1的度数即可解决问题．
理由：由作图可知：a∥c，
∴∠1就等于直线a、b相交形成的角(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】如图，过点O作直线c∥a，由两直线平行，同位角相等可知，测量出∠1的度数即可解决问题．
四、解答题
19．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
五、综合题
20．（2023七下·宝安期中）已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°，求∠EFG的度数．
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图甲）；
思路二：过P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图甲），可求得∠EFG的度数为 ；
（2）根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．
【答案】（1）120°
（2）解：由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）解：若选择思路二，理由如下：
如图乙，过P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP＝∠EOB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD＝∠ONP＝90°，
又∵∠1＝30°，
∴∠NPG＝90°+30°＝120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG＝∠NPG＝120°；
若选择思路三，理由如下：
如图丙，过O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1＝30°，
∴∠PNO＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON＝∠PNO＝30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON＝120°．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠4=90°.
∵MN∥CD，AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠4=∠3=90°，∠1=∠2=30°，
∴∠EFG=∠2+∠3=90°+30°=120°.
故答案为：120°.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠4=90°，由平行公理及推论可得MN∥CD∥AB，由平行线的性质可得∠4=∠3=90°，∠1=∠2=30°，然后根据∠EFG=∠2+∠3进行计算；
（2）根据思路二、思路三的作法进行作图；
（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，由平行线的性质得∠ONP=∠EOB=90°，∠NPD=∠ONP=90°，∠EFG＝∠NPG，根据角的和差关系可求出∠NPG的度数，据此解答；
若选择思路三，过O作ON∥FG，由平行线的性质得∠PNO=∠1=30°，∠BON=∠PNO=30°，∠EFG=∠EON，根据∠EON＝∠EOB+∠BON可得∠EON的度数，据此解答.
21．（2023七下·洞头期中）已知：如图，.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵
∴
解得，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得ED∥AF，由二直线平行，同旁内角互补得∠1+∠EDF=180°，结合∠1=∠E可得∠E+∠EDF=180°，然后由同旁内角互补，两直线平行得EB∥CD；
（2）由平行线的性质得∠C+∠EBC=180°，∠2=∠BDC，由已知得∠CBE=∠2+80°，∠C=∠2+50°，从而代入求解即可.
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