沪科版数学八年级下册第19章 四边形 基础过关单元卷
一、单选题
1．（2023八下·光明期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
2．（2023八下·嵊州期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2023八下·金坛期中）如图，的对角线，相交于点O，下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·温州期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·涡阳期中）如图，在平行四边形中，，连接，作//交延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，且，则的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023八下·怀集期中）如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
8．（2023八下·深圳期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则长方形纸片的长宽比为（ ）
A．2：1 B．：1 C．：1 D．2：
9．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
10．（2022八下·禅城期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
二、填空题
11．（2023八下·北仑期中）如果一个边形的内角和等于它的外角和的4倍，则 ．
12．（2022八下·宣城期末）正十边形的对角线条数为 ．
13．（2023八下·瑞安期中）在中，若，则 °．
14．（2023八下·金坛期中）如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是 ．
15．（2023八下·大兴期中）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，．若 ，，则的长是 ．
三、作图题
16．（2023八下·温州期中）如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
四、解答题
17．（2022八下·港南期中）求图（1）（2）中x的值.
18．（2023八下·通州期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：．
19．（2023八下·庐江期中）如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形．
五、综合题
20．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
21．（2023八下·杭州期中）如图所示，在 ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BC＝2，∠C＝105°，∠CBE＝45°，求线段DF的长度．
22．（2023八下·金坛期中）已知：如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高．
（1）四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论：
（2）问与有怎样的数量关系？证明你的结论．
23．（2023八下·仁化期中）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形为矩形．
（3） 满足什么条件时，四边形为正方形，并证明．
24．（2023八下·凤台期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF．
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，外角和为360°，不符合题意；
B四边形的内角和和外角和都为360°，符合题意；
C三角形的内角和为180°，外角和为360°，不符合题意；
D该说法错误，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用多边形的内角和与外角和的定理求解即可。
2．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意得n-3=3，
解得n=6.
故答案为：A.
【分析】根据n边形，过其中一个顶点可引（n-3）条对角线，并结合题意列出方程，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD=BC，CD=AB，AO=CO，BO=DO.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB∥CD，AD=BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断A选项；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断B选项；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断C选项；根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 在平行四边形中，，
∴∠BCD=∠BAD=120°，AB∥CD，AB=CD
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥CF，∴∠F=90°，
∴∠CEF=90°-∠ECF=30°，
∴CE=2CF=2，
∵AB∥ED，AE∥BD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，
∴AB=CE=1.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠BAD=120°，AB∥CD，AB=CD，利用垂直的定义及直角三角形的性质求出∠CEF=30°，可得CE=2CF=2，再证四边形ABDE为平行四边形，可得
AB=DE=CD，继而得解.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可知AO=OC，
而E为BC的中点，即BE=EC，
∴OE为△ABC的中位线， OE=AB，
由OE=1，得AB=2．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可知AO=OC，E为BC的中点，即BE=EC， 根据三角形中位线定理求解即可。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，
∴ 菱形的周长为4AB=4×5=20；
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，可得AB=BC=AC=5，根据菱形的周长=4AB即可求解.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵，
∴∠EFD=180°-∠E-∠EDF=60°，
∴∠AFB=∠EFD=60°，
∵AD//BC，
∴∠FDB=∠CBD，
由折叠的性质可得：∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∵∠AFB=∠FBD+∠FDB，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=2AB，
∴AD=，
∴AD：AB=：1，
故答案为C.
【分析】先利用折叠的性质及平行线的性质可得∠FBD=∠FDB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AD：AB=：1。
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
10．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C、正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D、正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断一种或几种的图形是否能够镶嵌，只要看看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360度，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可。
11．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=4×360°，
解之：n=10.
故答案为：10
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，再根据一个n边形的内角和等于它的外角和的4倍，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
12．【答案】35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：十边形有10个顶点，先选一个，再从和它不相邻的7个顶点中再选一个，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为＝35，
故答案为：35．
【分析】根据题意求出＝35，即可作答。
13．【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=3∠B，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠A=135°.
故答案为：135.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B及∠A的度数.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，B（-2，-1），C（2，-1），
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴点A、D的纵坐标相同，均为2.
∵AD=BC=4，A（-1，2），
∴点D的横坐标为4-1=3，
∴D（3，2）.
故答案为：（3，2）.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=4，则点A、D的纵坐标相同，均为2，根据AD=BC=4可得点D的横坐标，据此解答.
15．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠BAF=∠ADE=90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠EAD+∠AFB=90°，∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAD=∠ABF，
∴△DAE≌△ABF (ASA)，
∴DE=AF，
∴EC=DF=AD-AF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】利用正方形的性质先求出AD=AB， ∠BAF=∠ADE=90°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】（1）解：如图
四边形ABCD就是所求作的图形
（2）解：如图，
四边形ABEF就是所求作的图形
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用格点的特点和平行四边形的性质，以线段AB为边作平行四边形ABCD.
（2）利用勾股定理和平行四边形的性质，作出线段AB为边作平行四边形ABEF且AE=.
17．【答案】解：由图（1）得： ，
解得： ；
由图（2）得： .
解得：
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】对于图（1），根据外角的性质可得(x+65)°=x°+(x-5)°，求解可得x；
对于图（2），根据四边形内角和为360°可得x+x+10°+60°+90°=360°，求解可得x.
18．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边的性质证明 ， 即可证明结论。
19．【答案】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】先求出四边形 是平行四边形， 再求出 ， 最后利用矩形的判定方法证明即可。
20．【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过C作CG⊥DF于点G，
则∠CGF＝∠CGD＝90°，
由（1）可知，CF＝BC＝，四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠CFD＝∠CBE＝45°，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴CG＝FG＝CF＝1，∠GCF＝45°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠DCG＝∠BCD-∠GCF＝105°-45°＝60°，
∴∠CDG＝90°-∠DCG＝90°-60°＝30°，
∴CD＝2CG＝2，
∴DG＝＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
即线段DF的长度为+1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD＝BC，由中点的定义可得DE＝BF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）过C作CG⊥DF于点G，由中点定义得CF＝BC＝，由平行四边形的对边平行得BE∥DF，结合平行线的性质可得△CGF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求出CG＝FG＝CF＝1，∠GCF＝45°，根据角的和差及三角形的内角和定理可得∠CDG=30°，由含30°角直角三角形的性质及勾股定理可算出DG的长，最后根据DF=DG+FG可算出答案.
22．【答案】（1）解：∵在△ABC中， D、E、F分别是各边的中点，
∴DE、EF为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形.
（2）解：，证明如下：
由、是的中位线，可知，，
∵，是中点，，是中点，
∴，，
如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴；
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可得：DE、EF为△ABC的中位线，则DE∥AC，EF∥AB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）根据中位线的性质可得EF=AB，DE=AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DH=AB=EF，FH=AC=DE，连接DF，利用SSS证明△DFH≌△FDE，据此解答.
23．【答案】（1）证明：∵D、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点E时 的中点， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当 时，四边形 是正方形，证明如下：
同理可证 是 的中位线，
∴ ，
当 时，则 ，
∴矩形 是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 四边形 是平行四边形， 最后利用矩形的判定方法证明即可；
（3）根据三角形的中位线先求出 ， 再利用正方形的判定方法证明即可。
24．【答案】（1）证明：在△DFC中，DF⊥BC，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝ CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，
∴ ，
∵AE=t，CD=2t，
∴AD=10-2t，
又∵AE＝DF，AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10-2t，
解得： ．
即当 时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：当 秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10-2t＝2t，
∴ ．
②
∠DEF＝90°时，
四边形AEFD为平行四边形．
则
AD＝ AE，即10-2t＝ t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当 秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 DF＝ CD＝t，再根据AE=t证明即可；
（2）先求出AC=10，再利用平行四边形的判定方法证明四边形AEFD为平行四边形，最后列方程求解即可；
（3）分类讨论，根据直角三角形的性质，结合图形，列方程求解即可。
1 / 1沪科版数学八年级下册第19章 四边形 基础过关单元卷
一、单选题
1．（2023八下·光明期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（ ）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，外角和为360°，不符合题意；
B四边形的内角和和外角和都为360°，符合题意；
C三角形的内角和为180°，外角和为360°，不符合题意；
D该说法错误，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用多边形的内角和与外角和的定理求解即可。
2．（2023八下·嵊州期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意得n-3=3，
解得n=6.
故答案为：A.
【分析】根据n边形，过其中一个顶点可引（n-3）条对角线，并结合题意列出方程，求解即可.
3．（2023八下·金坛期中）如图，的对角线，相交于点O，下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD=BC，CD=AB，AO=CO，BO=DO.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，据此判断.
4．（2023八下·温州期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB∥CD，AD=BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断A选项；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断B选项；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断C选项；根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断D选项.
5．（2023八下·涡阳期中）如图，在平行四边形中，，连接，作//交延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，且，则的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 在平行四边形中，，
∴∠BCD=∠BAD=120°，AB∥CD，AB=CD
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥CF，∴∠F=90°，
∴∠CEF=90°-∠ECF=30°，
∴CE=2CF=2，
∵AB∥ED，AE∥BD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，
∴AB=CE=1.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠BAD=120°，AB∥CD，AB=CD，利用垂直的定义及直角三角形的性质求出∠CEF=30°，可得CE=2CF=2，再证四边形ABDE为平行四边形，可得
AB=DE=CD，继而得解.
6．（2023八下·怀集期中）如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可知AO=OC，
而E为BC的中点，即BE=EC，
∴OE为△ABC的中位线， OE=AB，
由OE=1，得AB=2．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可知AO=OC，E为BC的中点，即BE=EC， 根据三角形中位线定理求解即可。
7．（2023八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠BAD=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，
∴ 菱形的周长为4AB=4×5=20；
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，可得AB=BC=AC=5，根据菱形的周长=4AB即可求解.
8．（2023八下·深圳期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则长方形纸片的长宽比为（ ）
A．2：1 B．：1 C．：1 D．2：
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵，
∴∠EFD=180°-∠E-∠EDF=60°，
∴∠AFB=∠EFD=60°，
∵AD//BC，
∴∠FDB=∠CBD，
由折叠的性质可得：∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∵∠AFB=∠FBD+∠FDB，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=2AB，
∴AD=，
∴AD：AB=：1，
故答案为C.
【分析】先利用折叠的性质及平行线的性质可得∠FBD=∠FDB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AD：AB=：1。
9．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
10．（2022八下·禅城期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C、正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D、正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断一种或几种的图形是否能够镶嵌，只要看看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360度，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可。
二、填空题
11．（2023八下·北仑期中）如果一个边形的内角和等于它的外角和的4倍，则 ．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=4×360°，
解之：n=10.
故答案为：10
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，再根据一个n边形的内角和等于它的外角和的4倍，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
12．（2022八下·宣城期末）正十边形的对角线条数为 ．
【答案】35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：十边形有10个顶点，先选一个，再从和它不相邻的7个顶点中再选一个，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为＝35，
故答案为：35．
【分析】根据题意求出＝35，即可作答。
13．（2023八下·瑞安期中）在中，若，则 °．
【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=3∠B，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠A=135°.
故答案为：135.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B及∠A的度数.
14．（2023八下·金坛期中）如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点D的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，B（-2，-1），C（2，-1），
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴点A、D的纵坐标相同，均为2.
∵AD=BC=4，A（-1，2），
∴点D的横坐标为4-1=3，
∴D（3，2）.
故答案为：（3，2）.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=4，则点A、D的纵坐标相同，均为2，根据AD=BC=4可得点D的横坐标，据此解答.
15．（2023八下·大兴期中）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，．若 ，，则的长是 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠BAF=∠ADE=90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠EAD+∠AFB=90°，∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAD=∠ABF，
∴△DAE≌△ABF (ASA)，
∴DE=AF，
∴EC=DF=AD-AF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】利用正方形的性质先求出AD=AB， ∠BAF=∠ADE=90°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
三、作图题
16．（2023八下·温州期中）如图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法．
（1）在图①中以线段AB为边作一个平行四边形；
（2）在图②中以线段AB为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为2．
【答案】（1）解：如图
四边形ABCD就是所求作的图形
（2）解：如图，
四边形ABEF就是所求作的图形
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用格点的特点和平行四边形的性质，以线段AB为边作平行四边形ABCD.
（2）利用勾股定理和平行四边形的性质，作出线段AB为边作平行四边形ABEF且AE=.
四、解答题
17．（2022八下·港南期中）求图（1）（2）中x的值.
【答案】解：由图（1）得： ，
解得： ；
由图（2）得： .
解得：
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】对于图（1），根据外角的性质可得(x+65)°=x°+(x-5)°，求解可得x；
对于图（2），根据四边形内角和为360°可得x+x+10°+60°+90°=360°，求解可得x.
18．（2023八下·通州期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：．
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边的性质证明 ， 即可证明结论。
19．（2023八下·庐江期中）如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】先求出四边形 是平行四边形， 再求出 ， 最后利用矩形的判定方法证明即可。
五、综合题
20．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
21．（2023八下·杭州期中）如图所示，在 ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BC＝2，∠C＝105°，∠CBE＝45°，求线段DF的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过C作CG⊥DF于点G，
则∠CGF＝∠CGD＝90°，
由（1）可知，CF＝BC＝，四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠CFD＝∠CBE＝45°，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴CG＝FG＝CF＝1，∠GCF＝45°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠DCG＝∠BCD-∠GCF＝105°-45°＝60°，
∴∠CDG＝90°-∠DCG＝90°-60°＝30°，
∴CD＝2CG＝2，
∴DG＝＝，
∴DF＝DG+FG＝+1，
即线段DF的长度为+1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD＝BC，由中点的定义可得DE＝BF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）过C作CG⊥DF于点G，由中点定义得CF＝BC＝，由平行四边形的对边平行得BE∥DF，结合平行线的性质可得△CGF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求出CG＝FG＝CF＝1，∠GCF＝45°，根据角的和差及三角形的内角和定理可得∠CDG=30°，由含30°角直角三角形的性质及勾股定理可算出DG的长，最后根据DF=DG+FG可算出答案.
22．（2023八下·金坛期中）已知：如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高．
（1）四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论：
（2）问与有怎样的数量关系？证明你的结论．
【答案】（1）解：∵在△ABC中， D、E、F分别是各边的中点，
∴DE、EF为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形.
（2）解：，证明如下：
由、是的中位线，可知，，
∵，是中点，，是中点，
∴，，
如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴；
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可得：DE、EF为△ABC的中位线，则DE∥AC，EF∥AB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）根据中位线的性质可得EF=AB，DE=AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DH=AB=EF，FH=AC=DE，连接DF，利用SSS证明△DFH≌△FDE，据此解答.
23．（2023八下·仁化期中）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形为矩形．
（3） 满足什么条件时，四边形为正方形，并证明．
【答案】（1）证明：∵D、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点E时 的中点， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当 时，四边形 是正方形，证明如下：
同理可证 是 的中位线，
∴ ，
当 时，则 ，
∴矩形 是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 四边形 是平行四边形， 最后利用矩形的判定方法证明即可；
（3）根据三角形的中位线先求出 ， 再利用正方形的判定方法证明即可。
24．（2023八下·凤台期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF．
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：在△DFC中，DF⊥BC，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝ CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，
∴ ，
∵AE=t，CD=2t，
∴AD=10-2t，
又∵AE＝DF，AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10-2t，
解得： ．
即当 时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：当 秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10-2t＝2t，
∴ ．
②
∠DEF＝90°时，
四边形AEFD为平行四边形．
则
AD＝ AE，即10-2t＝ t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当 秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 DF＝ CD＝t，再根据AE=t证明即可；
（2）先求出AC=10，再利用平行四边形的判定方法证明四边形AEFD为平行四边形，最后列方程求解即可；
（3）分类讨论，根据直角三角形的性质，结合图形，列方程求解即可。
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