4.1第2课时数列的递推公式 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
第2课时　数列的递推公式
第四章　§4.1　数列的概念
学习目标
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.
数列通项公式的简单应用
一
　　(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
例1
在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
反思感悟
跟踪训练1
　　　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项.
数列的递推公式
二
问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7).
知识梳理
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
一个式子
(1)通项公式反映的是an与n之间的关系.
(2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项.
注意点：
　　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N*，求a6.
例2
延伸探究　在例2的条件下，求a2 023.
由例2知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…，
∴{an}是周期为4的周期数列，
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性).
反思感悟
跟踪训练2
√
由递推公式求通项公式
三
例3
√
方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
又a1＝1，
又a1＝1也适合上式，
a1＝1，
…
以上各项相加得
因为a1＝1也适合上式，
√
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法.
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
反思感悟
跟踪训练3
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
又a1＝1也符合上式，
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
因为ln an－ln an－1＝1，
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
an与Sn的关系
四
问题2　如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4
提示　a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.
知识梳理
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_______________.
2.an＝_______________.
a1＋a2＋…＋an
(1)注意等式成立的条件.
(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项.
(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得.
注意点：
　　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
例4
因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]
＝4n－32.
当n＝1时不符合上式.
由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段
表示为an＝
反思感悟
跟踪训练4
　　　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
(2)Sn＝3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*).
课堂
小结
1.知识清单：
(1)数列通项公式的简单应用.
(2)数列的递推公式.
(3)由递推公式求通项公式.
(4)数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.