4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第1课时　等差数列的概念及通项公式
第四章　4.2.1　等差数列的概念
学习目标
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
导语
同学们，在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？这就需要用到一种特殊的数列，今天我们一起来探讨此类数列.
等差数列的概念
一
问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？
提示　对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
对于(2)有44－45＝－1，….
对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律.
知识梳理
一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的____都等于
___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母___表示.
差
同一个常数
公差
d
2
(1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*).
(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.
(3)差必须是同一个常数.
(4)公差可以是正数、负数、零.
(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.
注意点：
　　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9，…；
(2)9,6,3,0，－3，…；
(3)1,3,4,5,6，…；
(4)7,7,7,7,7，…；
例1
(1)是，a1＝1，d＝2；
(2)是，a1＝9，d＝－3；
(3)不是；
(4)是，a1＝7，d＝0；
(5)不是.
利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
反思感悟
跟踪训练1
　　　(多选)下列数列是等差数列的是
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
　　　　　　　　　　 D.－3，－2，－1，1，2
由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
C项d＝ ，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
√
√
√
等差中项
二
问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知识梳理
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的_________，且_________.
等差中项
2A＝a＋b
(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝ .
(3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系.
注意点：
例2
√
由题意知a，b的等差中项为
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
因为－1，a，b，c,7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
又a是－1与3的等差中项，
又c是3与7的等差中项，
所以该数列为－1,1,3,5,7.
反思感悟
跟踪训练2
　　　已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m
的等差中项是
A.8 　　　　B.6 　　　　C.4.5 　　　　D.3
∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，
∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，
√
等差数列的通项公式
三
问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
问题4　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，
点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，
公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列.
知识梳理
1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝____________.
2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为____，在y轴上的截距为______；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加____.
a1＋(n－1)d
d
a1－d
d
(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.
(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
注意点：
　　在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
例3
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
设等差数列的公差为d，由题意知
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
反思感悟
跟踪训练3
　　　在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝ ，a7＝8，则a1＝_____.
故a1＝10.
10
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______.
设首项为a1，公差为d，
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝_____.
由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，
得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
58
　　下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递
增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列 是递增数列；p4：数列
{an＋3nd}是递增数列.其中正确的为
A.p1，p2 B.p3，p4
C.p2，p3 D.p1，p4
例4
√
设等差数列的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，p1正确；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.
熟练掌握等差数列是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列.
反思感悟
跟踪训练3
　　　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
√
课堂
小结
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列通项公式与函数的关系.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.
3.常见误区：
(1)在具体应用问题中项数不清.
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况.