4.2.1 第2课时 等差数列的判定与性质 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第2课时　等差数列的判定与性质
第四章　4.2.1　等差数列的概念
学习目标
1.掌握等差数列的判定与证明的方法.
2.掌握等差数列的性质及应用.
3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
导语
当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？
等差数列的判定与证明
一
问题1　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
知识梳理
证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*).
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2).
(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q为常数).
证明{an}是等差数列常用定义法.
注意点：
例1
(2)求an.
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列.
反思感悟
跟踪训练1
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
等差数列的性质
二
问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？
提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.
问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？
提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.
知识梳理
1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；
(2)an＝am＋________(m，n∈N*)；
(3)d＝_______(m，n∈N*，且m≠n).
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝_______.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝_____.
(n－m)d
ap＋aq
2ap
(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.
(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….
注意点：
　　(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
例2
方法一　(利用an＝am＋(n－m)d)
设数列{an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
方法二　(利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于
A.7 　　　　B.14 　　　　C.21 　　　　D.7(n－1)
√
因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
延伸探究　在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
方法一　设数列{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.
(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
反思感悟
跟踪训练2
　　　(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝____.
方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
8
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
(2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是
√
由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列.
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.
由等差数列构造新数列
三
问题4　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
提示　设新数列为{ bn }，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝ .
知识梳理
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
　　有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为
A.15 B.16 C.17 D.18
例3
√
易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，
所以通项公式为an＝12n－10，
而n∈N*，所以n的最大值为16.
对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：
(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数.
反思感悟
跟踪训练3
　　　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是____.
由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25，
又n∈N*，故{cn}的项数为25.
12n－1
25
课堂
小结
1.知识清单：
(1)证明等差数列的方法.
(2)等差数列的项与项之间的性质及应用.
(3)由等差数列构造新的数列.
2.方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法.
3.常见误区：
(1)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
(2)实际问题中项数的确定.