4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
第四章　4.2.2　等差数列的前n项和公式
学习目标
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
等差数列前n项和的实际应用
一
问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.
提示　我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等.
　　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.
(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？
例1
设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构
成一个以12为首项，4为公差的等差数列，共12n＋4×　　　＝(2n2
＋10n)万元，
因此利润y＝50n－(72＋2n2＋10n)＝－2n2＋40n－72，
令y>0，解得2因为n∈N*，
所以从第3年起开始获取纯利润.
(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？
所以应在第6年转投其他项目.
(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.
反思感悟
跟踪训练1
　　　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天
起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天
计)共织390尺布，则每天比前一天多织_____尺布(不作近似计算).
由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，
等差数列中前n项和的最值问题
二
问题2　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
提示　 当d≠0时，Sn是常
数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R).
知识梳理
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式组________
确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最___值，使Sn取得最值的n可由不等式组________
确定.
(2) 若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最____值；当d<0时，Sn有最____值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
大
小
小
大
(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1.
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
注意点：
　　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
例2
方法一　因为S8＝S18，a1＝25，
解得d＝－2.
＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二　同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法三　因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以Sn的最大值为169.
方法四　设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以当n＝13时，Sn取得最大值.
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
反思感悟
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
②运用二次函数求最值，注意n∈N*.
(3)已知等差数列{an}，求{|an|}前n项和的方法根据(2)①中的方法寻找正、负项，然后分类讨论即可.
反思感悟
跟踪训练2
　　　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30，若Sn≥8n＋λ对任意的正整数n成立，求实数λ的取值范围.
设等差数列{an}的公差为d，
由已知a2＝a1＋d＝4，
由题意Sn＝n2＋n≥8n＋λ，即λ≤n2－7n.
令f(n)＝n2－7n，其图象为开口向上的抛物线，
因为n∈N*，
所以当n＝3或4时，f(n)取得最小值－12，所以实数λ的取值范围是
(－∞，－12].
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝－16，S6＝－12.
①求{an}的通项公式an；
设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d，
∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*.
②求数列{|an|}的前n项和Tn.
当an≥0时 2n－9≥0 n≥5；
当an<0时 2n－9<0 n≤4，
当0Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2，
当n≥5时，
Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an)＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16)
＝n2－8n＋32.
等差数列前n项和的性质
三
问题3　设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
知识梳理
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
　　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
例3
方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
∴该数列的前10项和为10×100＋ ＝S100＝10，解得d＝－22，
所以S110＝－110.
方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
反思感悟
跟踪训练3
　　　(1)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于
A.12 　　　　B.18 　　　　 C.24 　　　　 D.30
根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.
√
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
方法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用.
(2)等差数列前n项和的最值问题.
(3)等差数列前n项和性质的应用.
2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.常见误区：
(1)忽视最值问题中n的个数.
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.