4.3.1 第2课时 等比数列的判定与性质 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
第2课时　等比数列的判定与性质
第四章　4.3.1　等比数列的概念
学习目标
1.掌握等比数列的判断及证明方法.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
等比数列的判定与证明
一
问题1　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
1.定义法： ＝____(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；
2.等比中项法： ＝________(n∈N*且n≥2)；
3.通项公式法：an＝_______＝ ＝A·qn(A≠0).
q
an－1an＋1
a1qn－1
(1)证明{an}为等比数列常用定义法.
注意点：
　　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (n∈N*).
(1)求a1，a2；
例1
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
反思感悟
跟踪训练1
得an>0，Sn>0.
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
等比数列中项与项之间的关系
二
问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
提示　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝
a1qm－1，两式相除可得 ＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m.
问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？
提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.
推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，
因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.
知识梳理
1.等比数列通项公式的推广和变形an＝_______.
2.设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________.
(2)若m，p，n成等差数列，则__________成等比数列.
amqn－m
ak·al＝am·an
am，ap，an
(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
注意点：
　　(1)在等比数列{an}中：
①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝　，求n；
例2
设等比数列{an}的公比为q.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
所以n－8＝1，所以n＝9.
②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
(2)已知{an}为等比数列.
在等比数列{an}中，
②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
由等比中项，化简条件得
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
(3)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.
所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二　设后三个数为4－d,4,4＋d，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
(1)等比数列的通项公式及变形的应用
①在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.
②在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
反思感悟
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
反思感悟
反思感悟
(3)几个数成等比数列的设法
②四个符号相同的数成等比数列设为
反思感悟
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
③四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练2
　　　(1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝　　 ，则a7等于
A.4 　　　　B.8 　　　　 C.16 　　　　 D.32
设数列{an}的公比为q，
则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3，
√
因为a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21，
所以a1＝1，则a7＝a1q6＝8.
√
因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，
所以a1a13＝9，a1＋a13＝13，
所以a1>0，a13>0，
又{an}为等比数列，
则a7＝a1q6>0，
所以a7＝3或a7＝－3(舍去)，
(3)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.
设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
45
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
由等比数列构造新等比数列
三
问题4　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
提示
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列
等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
知识梳理
1.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
2.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)， 都是等比
数列，且公比分别是_________.
3.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与
也都是等比数列，公比分别为____和_____.
pq
在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列.
注意点：
　　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是
例3
√
取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；
对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.
由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况.
反思感悟
跟踪训练3
　　　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比
　相同
√
因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，
则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)等比数列的判定与证明.
(2)等比数列项与项之间的关系及应用.
(3)由等比数列构造新的等比数列.
2.方法归纳：公式法、类比法、定义法、分类讨论法.
3.常见误区：
(1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项.
(2)四个数成等比数列时设成 aq，aq3，未考虑公比为负的情况.