4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
第四章　4.3.2　等比数列的前n项和公式
学习目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
等比数列前n项和公式的性质
一
问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，
从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶.
问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.
问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
故有(S2n－Sn) 2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn) 2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
知识梳理
1.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中， ＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝
(q≠－1)；
S奇＝a1＋qS偶.
2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋______(n，m∈N*).
3.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，________仍构成等比数列.
qnSm
S3n－S2n
等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
注意点：
　　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.
例1
2
由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为____.
由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
设这个数列共有2n＋1项，
2
9
解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
　　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
例2
方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐
含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
反思感悟
跟踪训练1
　　　(1)已知等比数列{an}的公比q＝　，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝______.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)
120
(2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于
A.12 　　　　B.18 　　　　 C.21 　　　　 D.27
√
方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，
所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，
所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.
方法二　由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，
所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝3＋6＋12＝21.
等比数列前n项和公式的实际应用
二
　　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96 　　　　 B.126 　　　　C.192 　　　　D.252
例3
√
解得a1＝192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
(1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
反思感悟
跟踪训练2
　　　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂____盏灯笼.
3
依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，
解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.
等比数列前n项和公式的综合应用
三
　　螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可
以得到阴影部分的图案.如图(2)阴影部分，
设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角
形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的
面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n
项和Sn＝_________.
例3
由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为a1，a2，a3，…，an，
…，
解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题.
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.
反思感悟
跟踪训练3
　　　如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 023.
记第n个正方形的边长为bn，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的性质.
(2)等比数列前n项和公式的实际应用.
(3)等比数列前n项和公式的综合应用.
2.方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法.
3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件.